計數原理一．分類加法計數原理與分步乘法計數原理【知識點梳理】1．分類加法計數原理完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．2．分步乘法計數原理完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法.3．兩個計數原理的綜合應用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類計數原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數時，使用分步計數原理．考點一分類加法計數原理【典型例題】完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會第二種方法，從這9個人中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．45種【解題思路】【解題思路】分類計數原理解題思路1.根據題目特點恰當選擇一個分類標準．2.分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復．3.分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏【過關檢測】將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（）A．16種 B．12種 C．9種 D．6種考點二分步乘法計數原理【典型例題】【例2】1.學校組織社團活動，要求每名同學必須且只能參加一個社團，現僅剩的3個社團供4名同學選擇，則不同的選擇方法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種2.某校為了慶祝新中國成立70周年舉辦文藝匯演，原節目單上有10個節目已經排好順序，又有3個新節目需要加進去，不改變原來節目的順序，則新節目單的排法有（）種A．165 B．286 C．990 D．1716【方法總結】【方法總結】(1)利用分步計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成．【過關檢測】1．如圖，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區域涂色，相鄰區域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種（）A．280 B．180 C．96 D．602．7名旅客分別從3個不同的景區中選擇一處游覽，不同選法種數是（）A． B． C． D．3．從集合中任取兩個互不相等的數a，b組成復數，其中虛數有（）A．10個 B．12個 C．16個 D．20個考點三兩個計數原理綜合運用【典型例題】某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動．選2個班參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有_______種不同的選法．【方法總結】【方法總結】兩種計數原理選擇思路①分清要完成的事情是什么；②分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯系；③有無特殊條件的限制；④檢驗是否有重復或遺漏．【過關檢測】1．如圖，圓形花壇分為部分，現在這部分種植花卉，要求每部分種植種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現有種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有______種（用數字作答）2．假設今天是4月23日，某市未來六天的空氣質量預報情況如下圖所示.該市有甲、乙、丙三人計劃在未來六天（4月24日～4月29日）內選擇一天出游，甲只選擇空氣質量為優的一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這三人出游的不同方法數為________.鞏固練習1.中國燈籠又統稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類.現有4名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購1種，則不同的選購方式有（

）A．81種 B．64種 C．36種 D．48種2.春節期間，某地政府在該地的一個廣場布置了一個如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個區域．現有5種不同的花卉可供選擇，要求相鄰區域不能布置相同的花卉，且每個區域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（

）A．120種 B．240種 C．420種 D．720種3.某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目．如果將這兩個節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不同插法的種數為（

）A．6 B．12 C．15 D．304．（多選）設從東、西、南、北四面通往山頂的路分別有2，3，3，4條，現要從一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則下列結論正確的是（

）A．從東面上山有20種走法 B．從西面上山有27種走法C．從南面上山有30種走法 D．從北面上山有32種走法

二．排列及排列數【知識點梳理】一、定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示．二、排列數的公式：．特例：當時，；規定．三、排列數的性質①；②；③．四、解排列應用題的基本思路：通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．1.解決相鄰問題，捆綁策略：相鄰問題的模型為將個不同元素排成一排，其中個元素排在相鄰位置上，求不同排法的種數．方法是：先將這個元素“捆綁在一起”，視為一個整體，當作一個元素同其它元素一起進行排列，共有種排法；然后再將“捆綁“在一起的元素“內部”進行排列，共有種排法．根據分步乘法計數原理可知，符合條件的排法共有種．2．解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰()，求不同排法種數的方法是：先將()個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據分步乘法計數原理可知，符合條件的排法共有·種．3．定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數，再減去不符合要求的排列數．4．數字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項（1）解題原則：排列問題的本質是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優先”原則，即優先排特殊元素或優先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數時，應分類討論．（2）常用方法：直接法，間接法．（3）注意事項：解決數字問題時，應注意題干中的限制條件，恰當地進行分類和分步，尤其注意特殊元素“0”的處理．5.對于某些元素順序確定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進行排列．（1）個人的排列中有個人的順序一定，則所求排列數就是總的無限制條件的排列數除以．對于在排列中，當某些元素次序一定時，可用此法．解題方法是：先將個元素進行全排列有種，（）個元素的全排列有種，由于要求個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調序的作用，即若個元素排成一列，其中個元素次序一定，則有種排列方法．（2）對于給定元素順序確定，再插入其它元素進行排列：順序確定的元素為個，新插入的元素為個，則排列數為：．考點一排列的概念【例1】（1）下列問題是排列問題的是()A．從10名同學中選取2名去參加知識競賽，共有多少種不同的選取方法？B．10個人互相通信一次，共寫了多少封信？C．平面上有5個點，任意三點不共線，這5個點最多可確定多少條直線？D．從1,2,3,4四個數字中，任選兩個相加，其結果共有多少種？（2）從3個不同的數字中取出2個：①相加；②相減；③相乘；④相除；⑤一個為被開方數，一個為根指數．則上述問題為排列問題的個數為()A．2B．3C．4D．5【過關檢測】判斷下列問題是否為排列問題．(1)會場有50個座位，要求選出3個座位有多少種方法？若選出3個座位安排三位客人，又有多少種方法？(2)從集合M＝{1,2，…，9}中，任取兩個元素作為a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1？可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1?(3)從1,3,5,7,9中任取3個數字，有多少種方法？若這3個數字組成沒有重復的三位數，又有多少種方法？考點二排列數【例2】（1）若，則（）A．5 B．6 C．7 D．8（2）若，則m的值為()A．5 B．3 C．6 D．7【方法總結】【方法總結】要注意中隱含了3個條件：①，；②；③的運算結果為正整數2.形，（即），的應用．【過關檢測】1．對于滿足的正整數n，（）A． B． C． D．2．已知，則（）A．5 B．7 C．10 D．143．給出下列四個關系式：①②③④其中正確的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點三排隊問題【例3】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數.(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.【過關檢測】1．甲、乙、丙、丁四名同學和一名老師站成一排合影留念．若老師站在正中間，則不同站法的種數有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．60種2．參加完某項活動的6名成員合影留念，前排和后排各3人，不同排法的種數為（）A．360 B．720 C．2160 D．43203．某單位有8個連在一起的車位，現有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個連在一起，則不同的停放方法的種數為（）A．240 B．360 C．480 D．7204．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.85.將4個6和2個8隨機排成一行，則2個8不相鄰的情況有（

）A．480種 B．240種 C．15種 D．10種6．（2023·全國甲卷·高考真題）現有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20考點四數字問題【例4】現有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數字.（1）可以組成多少個無重復數字的三位數？（2）可以組成多少個無重復數字的四位偶數？【過關檢測】1．由0，1，2，3，4，5共6個不同數字組成的6位數，要求0不能在個位數，奇數恰好有2個相鄰，則組成這樣不同的6位數的個數是（）A．144 B．216 C．288 D．4322．用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有A．144個 B．120個 C．96個 D．72個3．用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數.（1）可組成多少個不同的四位數？（2）可組成多少個不同的四位偶數？鞏固練習1．“繽紛藝術節”是西大附中的一個特色，學生們可以盡情地發揮自己的才能，某班的五個節目（甲?乙?丙?丁?戊）進入了初試環節，現對這五個節目的出場順序進行排序，其中甲不能第一個出場，乙不能第三個出場，則一共有（

）種不同的出場順序.A．72 B．78 C．96 D．1202．有3名男生和2名女生排成一排，女生相鄰的不同排法有（

）A．36種 B．48種 C．72種 D．108種3．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛．某商店有4個不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3個不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相鄰，且均不與“雪容融”丙相鄰的不同的排列方法總數為（

）A．480 B．960 C．1080 D．1440【答案】B4．某學校安排了4場線上講座，其中講座A只能安排在第一或最后一場，講座B和C必須相鄰，則不同的安排方法共有（

）種A．4 B．6 C．8 D．125．紅海行動是一部現代化海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執行撤僑任務的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務，并對任務的順序提出了如下要求：重點任務A必須排在前三位，且任務、必須排在一起，則這六項任務的不同安排方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種6．某班級周三上午共有5節課，只能安排語文、數學、英語、體育和物理.數學必須安排，且連續上兩節，但不能同時安排在第二三節，除數學外的其他學科最多只能安排一節，體育不能安排在第一節，則不同的排課方式共有（

）A．48種 B．60種 C．72種 D．96種7．現有4男3女共7個人排成一排照相，其中三個女生不全相鄰的排法種數為（

）A． B． C． D．8．（多選題）A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（

）A．若A、B不相鄰共有72種方法B．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法．C．若A在B左邊有60種排法D．若A、B兩人站在一起有24種方法三、填空題9．五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數是．10．五名同學站成一排合影，若站在兩端，和相鄰，則不同的站隊方式共有種.（用數字作答）

三．組合及組合數【知識點梳理】（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數，用符號表示．（2）組合數公式及其推導求從個不同元素中取出個元素的排列數，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數；第二步，求每一個組合中個元素的全排列數；根據分步計數原理，得到；因此．這里，，且，這個公式叫做組合數公式．因為，所以組合數公式還可表示為：．特例．注釋：組合數公式的推導方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．（3）組合數的主要性質：①；②．（4）組合應用題的常見題型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．=2\*GB3②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．考法一組合的概念【例1】給出下列問題：①有10個車站，共需要準備多少種車票？②有10個車站，共有多少中不同的票價？③平面內有10個點，共可作出多少條不同的有向線段？④有10個同學，假期約定每兩人通一次，共需通話多少次？⑤從10個同學中選出2名分別參加數學和物理競賽，有多少中選派方法？以上問題中，屬于組合問題的是_________(填寫問題序號).【過關檢測】以下四個問題中，屬于組合問題的是（）A．從3個不同的小球中，取出2個小球排成一列B．老師在排座次時將甲?乙兩位同學安排為同桌C．在電視節目中，主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星D．從13位司機中任選出兩位分別去往甲?乙兩地考法二組合數【例2】（1）（）A． B． C． D．（2）滿足條件的自然數有（）A．7個 B．6個 C．5個 D．4個【過關檢測】1．已知，那么（）A．20 B．30 C．42 D．722．（多選）下列等式正確的是（）A． B．C． D．考法三組合的應用【例3】男運動員6名，女運動員4名，其中男、女隊長各1名．現選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)隊長中至少有1人參加；(4)既要有隊長，又要有女運動員．【過關檢測】1．一個口袋內有3個不同的紅球，4個不同的白球（1）從中任取3個球，紅球的個數不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取4個球，使總分不少于6分的取法有多少種？2．某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人．現采用分層抽樣方法（層內采用不放回簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進行技術考核．（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數；（Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．3．現有12張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且紅色卡片至多1張，則不同的取法種數為（

）A．84 B．172 C．160 D．2304．（2023·新課標Ⅱ卷·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種5．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．鞏固練習1．將4個6和2個8隨機排成一行，則2個8不相鄰的情況有（

）A．480種 B．240種 C．15種 D．10種2．（2024·全國·模擬預測）今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學一行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（

）A． B． C． D．3.如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中???是道路網中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發，直到到達N?M處為止，則下列說法錯誤的是（

）A．甲從M必須經過到達N處的方法有9種B．甲?乙兩人相遇的概率為C．甲乙兩人在處相遇的概率為D．甲從M到達N處的方法有20種4．（多選·重慶沙坪壩·期中）小明與小兵兩位同學計劃去科技博物館參加活動．小明在如圖的街道E處，小兵在如圖的街道F處，科技博物館位于如圖的G處，則下列說法正確的是（

）

A．小明到科技博物館選擇的最短路徑條數為126條B．小兵到科技博物館選擇的最短路徑條數為4條C．小明到科技博物館在選擇的最短路徑中，與到F處和小兵會合一起到科技博物館的概率為D．小明與小兵到科技博物館在選擇的最短路徑中，兩人約定在科技博物館門口匯合，事件A：小明經過F；事件B：從F到科技博物館兩人的路徑沒有重疊部分（路口除外），則四．排列組合的綜合運用常見題型及解法如下：1.特殊位置特殊元素：優先策略.對于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些“特殊”入手，先滿足特殊元素或特殊位置，再去滿足其他元素或位置，這種解法叫做特殊優先法．特殊元素（位置）優先排列法主要適用于排列中元素“在”與“不在”的定位問題．（1）直接法①元素優先法：以元素為主，優先考慮有限制條件的特殊元素，再考慮其他元素；②位置優先法：以位置為主，優先安排有限制條件的特殊位置，再安排其他位置．注意：若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件；無論從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素又考慮位置．（2）間接法若題目太復雜，解題時分類太多，用“直接法”麻煩，往往采用“間接法”，即先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列數或組合數．2.相鄰元素：捆綁法.相鄰問題的模型為將個不同元素排成一排，其中個元素排在相鄰位置上，求不同排法的種數．3.不相鄰元素：插空法.即將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰()，求不同排法種數的方法是：先將()個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據分步乘法計數原理可知，符合條件的排法共有·種．4.定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數，再減去不符合要求的排列數．5.分組分配問題：（1）整體均勻分組在解決整體均分型題目時，要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以(為均分的組數)，避免重復計數．（2）部分均勻分組解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有組元素個數相等，則分組時應除以，一個分組中有幾個這樣的均勻分組就要除以這樣的全排列數．（3）不均勻分組解答本類題，只需先分組，后排列，注意分組中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數．同元問題：隔板法.把個相同的小球放到個不同盒子中，不同放法的種數的求解方法是：（1）若每個盒子至少放一球，則只需在個小球的個間隙中放置塊隔板把它隔成份即可，共有種不同放法；此類型問題等效于“將個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題”：可把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有．（2）若允許某些盒子不放球，則相當于在個位置中選放塊隔板，把個小球分隔成份，共有種不同放法．注意：1．解簡單的組合應用題時，要先判斷它是不是組合問題，若取出的元素只是組成一組，與順序無關則是組合問題；若取出的元素排成一列，與順序有關則是排列問題．只有當該問題能構成組合模型時，才能運用組合數公式求出其種數．在解題時還應注意兩個計數原理的運用，在分類和分步時，注意有無重復或遺漏．2．解有限制條件的組合問題與解有約束條件的排列問題的方法一樣，都是遵循“誰特殊誰優先”的原則，在此前提下，或分類或分步或用間接法．3．要正確理解題中的關鍵詞（如“都”與“不都”，“至少”與“至多”，“含”與“不含”等）的確切含義，正確分類，合理分步．考法一全排列【例1】將5本不同的數學用書放在同一層書架上，則不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【過關檢測】3本不同的課外讀物分給3位同學，每人一本，則不同的分配方法有（）A．3種 B．6種 C．12種 D．5種考法二相鄰問題（捆綁法）【例2】某班優秀學習小組有甲?乙?丙?丁?戊共5人，他們排成一排照相，則甲?乙二人相鄰的排法種數為（）A．24 B．36 C．48 D．60【過關檢測】1．在某場新冠肺炎疫情視頻會議中，甲?乙?丙?丁?戊五位疫情防控專家輪流發言，其中甲必須排在前兩位，丙?丁必須排在一起，則這五位專家的不同發言順序共有（）A．8種 B．12種 C．20種 D．24種2．6月，也稱畢業月，高三的同學們都要與相處了三年的同窗進行合影留念.現有4名男生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則有（）種排法.A．24 B．120 C．240 D．1403.把座位號為、、、、、的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數為（）A． B． C． D．考法三不相鄰問題（插空法）【例3】1.省實驗中學為預防秋季流感爆發，計劃安排學生在校內進行常規體檢，共有3個檢查項目，需要安排在3間空教室進行檢查，學校現有一排6間的空教室供選擇使用，但是為了避免學生擁擠，要求作為檢查項目的教室不能相鄰，則共有（）種安排方式.A．12 B．24 C．36 D．482．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【過關檢測】1．3位老師和4名學生站成一排，要求任意兩位老師都不相鄰，則不同的排法種數為（）A． B．C． D．2．若5個人排成一列縱隊，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有（）A．12種 B．14種 C．5種 D．4種3．五名學生和五名老師站成一排照相，五名老師不能相鄰的排法有（）A． B． C． D．4．現“學習強國”平臺設有“閱讀文章”、“視聽學習”等多個欄目.在某時段時，更新了2篇文章和4個視頻，一位學習者準備學習這2篇文章和其中2個視頻，則這2篇文章學習順序不相鄰的學法有（）種.A．24 B．36 C．72 D．144考法四分組分配（先分組再分配）【例4】1.某社區安排5名志愿者到3個不同的小區宣傳，每名志愿者只去一個小區，每個小區至少安排一名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．60種 B．90種 C．150種 D．240種2.6名研究人員在3個無菌研究艙同時進行工作，由于空間限制，每個艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（

）A．360種 B．180種 C．720種 D．450種3.某校有5名大學生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學生且至多2名學生前往，則甲同學不去觀看冰球比賽的方案種數有（

）A．48 B．54 C．60 D．72【過關檢測】1．有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發（G77只會在長沙、廣州、深圳停），分別在每個停的站點至少下一個人，則不同的下車方案有（）A．24種 B．36種 C．81種 D．256種2．特崗教師是中央實施的一項對中西部地區農村義務教育的特殊政策.某教育行政部門為本地兩所農村小學招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數學教師4名.按每所學校1名體育教師，2名數學教師進行分配，則不同的分配方案有（）A．24 B．14 C．12 D．83．江西省旅游產業發展大會于2020年6月11日～13日在贛州舉行，某旅游公司為推出新的旅游項目，特派出五名工作人員前往贛州三個景點進行團隊游的可行性調研.若每名工作人員只去一個景點且每個景點至少有一名工作人員前往，則不同的人員分配方案種數為（）A．60 B．90 C．150 D．2404．公元2020年年初，肆虐著中國武漢，為了抗擊，中國上下眾志成城，紛紛馳援武漢.達州市決定派出6個醫療小組馳援武漢市甲、乙、丙三個地區，每個地區分配2個醫療小組，其中A醫療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數為（）A．30 B．60 C．90 D．1805．據《孫子算經》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共五級，若給獲得巨大貢獻的7人進行封爵，要求每個等級至少有一人，至多有兩人，則伯爵恰有兩人的概率為（）A． B． C． D．6.某校為加強校園安全管理，欲安排12名教師志愿者（含甲、乙、丙三名教師志愿者）在南門、北門、西門三個校門加強值班，每個校門隨機安排4名，則甲、乙、丙安排在同一個校門值班的概率為（

）A． B． C． D．7．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8考向五同元問題【例5】1.現有6個評優名額要分配給3個班級，要求每班至少一個名額，則分配方案有（

）A．8種 B．10種 C．18種 D．27種2.方程的正整數解的個數__________.【過關檢測】1．三元一次方程x+y+z=13的非負整數解的個數有_____.2．（1）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有多少種放法；（2）4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有一個盒子空，共有多少種放法；（3）10個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，每個盒子不空，共有多少種放法；（4）4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，恰有兩個盒子空，共有多少種放法？鞏固練習1．中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現有5支救援隊前往，，等3個受災點執行救援任務，若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去，兩個受災點中的一個，則不同的安排方法數是（

）A．72 B．84 C．100 D．1202．哈三中招聘了8名教師，平均分配給南崗群力兩個校區，其中2名語文教師不能分配在同一個校區，另外3名數學教師也不能全分配在同一個校區，則不同的分配方案共有（

）A．18種 B．24種