專題突破：三角恒等變換重點(diǎn)題型突破1.給角求值：一般不會給出特殊角！所以，應(yīng)用各種公式，設(shè)法化成特殊角的函數(shù)值，或?qū)⒋笾等呛瘮?shù)式，用已知表示出來.2.給值求值：由給出的某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變角”使“目標(biāo)角”變成“已知角”，另外角的范圍應(yīng)根據(jù)所給條件進(jìn)一步縮小，避免出現(xiàn)增解．應(yīng)用半角公式求值時(shí)，要特別注意根據(jù)單角的范圍去確定半角三角函數(shù)值的符號．3.給值求角：(1)先確定角α的范圍，且使這個范圍盡量?。O易由于角的范圍過大致誤）；(2)根據(jù)(1)所得范圍來確定求tanα、sinα、cosα中哪一個的值，盡量使所選函數(shù)在所得范圍內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(3)求α的一個三角函數(shù)值；(4)寫出α的大小．4.三角函數(shù)式的化簡，主要有以下幾類：(1)對三角的和式，基本思路是降冪、消項(xiàng)和逆用公式；(2)對三角的分式，基本思路是分子與分母的約分和逆用公式，最終變成整式或較簡式子；(3)對二次根式，則需要運(yùn)用倍角公式的變形形式．在具體過程中體現(xiàn)的則是化歸的思想，是一個“化異為同”的過程，涉及切弦互化，即“函數(shù)名”的“化同”；角的變換，即“單角化倍角”“單角化復(fù)角”“復(fù)角化復(fù)角”等具體手段，以實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)式的化簡．5.三角公式化簡求值的策略(1)使用公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號變化規(guī)律．(2)使用公式求值，應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．(3)使用公式求值，應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．（4）注意三角函數(shù)公式逆用、變形用及“變角、變名、變號”的“三變”問題①公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系．②注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)eq\f(1,2)，1，，等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構(gòu)造適合公式的形式．6.三角函數(shù)等式的證明：（1）包括無條件三角函數(shù)等式的證明和有條件三角函數(shù)等式的證明．對于無條件三角函數(shù)等式的證明，要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)，找出差異，化異角為同角，化異次為同次，化異名為同名，尋找證明的突破口．對于有條件三角函數(shù)等式的證明，要認(rèn)真觀察條件式與被證式的區(qū)別與聯(lián)系，靈活使用條件等式，通過代入法、消元法等方法進(jìn)行證明．（2）三角恒等變換常見變形策略有：變角、變名、變次，其中變角是核心；常見變角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等.（3）三角恒等式的證明方法①從等式的比較復(fù)雜的一邊化簡變形到另一邊，相當(dāng)于解決化簡題目．②等式兩邊同時(shí)變形，變形后的結(jié)果為同一個式子．③先將要證明的式子進(jìn)行等價(jià)變形，再證明變形后的式子成立．提醒：開平方時(shí)正負(fù)號的選取易出現(xiàn)錯誤，所以要根據(jù)已知和未知的角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)匕呀遣鸱?，根?jù)角的范圍確定三角函數(shù)的符號．7.當(dāng)給出的三角函數(shù)關(guān)系式較為復(fù)雜，我們要先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡，將函數(shù)表達(dá)式變形為y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì)．題型一給角求值問題【例1】（2425高一上·廣東茂名·期末）．【變式11】（多選）（2425高一上·廣東汕頭·期末）下列化簡正確的是（

）A． B．C． D．【變式12】（2223高一下·甘肅定西·期中）化簡．【變式13】（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期末）（

）A．1 B． C． D．題型二給值求值問題【例2】（2425高一上·廣東汕頭·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)．(1)求；(2)的值．(3)求的值．【變式21】（2425高一上·安徽合肥·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【變式22】（2425高一上·廣東廣州·期末）已知角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)．(1)求；(2)求的值；(3)若角是三角形內(nèi)角，且，求的值．【變式23】（2425高一上·廣東廣州·期末）已知，．(1)求的值；(2)求的值．題型三給值求角問題【例3】（2425高一上·福建龍巖·期末）已知函數(shù).(1)若，且，求的值；(2)若，且，，求的值.【變式31】（2425高一上·廣東深圳·期末）已知，則（

）A． B． C． D．【變式32】（2425高一下·全國·課堂例題）設(shè)α，β為鈍角，且，，求的值．【變式33】（2324高一上·湖北武漢·期末）已知函數(shù)．(1)化簡的解析式；(2)若，且，，求．題型四化簡求值問題【例4】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）化簡求值：(1)；(2).【變式41】（2425高一上·廣東汕頭·期末）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為，這一數(shù)值也可表示為，若，則；【變式42】化簡求值：；【變式43】（2023高一上·全國·專題練習(xí)）證明：．題型五化簡問題【例5】（2324高三上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）化簡：(1)(2).【變式51】化簡sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2αcos2β．【變式52】（2324高一下·四川·期中）化簡：，并指出的取值范圍.【變式53】（2223高一下·甘肅蘭州·期末）化簡：(1)；(2)．題型六三角恒等式的證明【例6】（2425高一上·湖南張家界·期末）公元前世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為，這一數(shù)值也可以表示為.三倍角公式是把形如，等三角函數(shù)用單倍角三角函數(shù)表示的恒等式，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、天文等學(xué)科.(1)記，試寫出此三倍角公式的具體內(nèi)容，并證明；(2)若角滿足，求的值；(3)試用三倍角公式并結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)知識，求出黃金分割值.【變式61】（2122高一上·廣東湛江·期末）證明下列等式：(1)(2).【變式62】（2223高一下·四川眉山·期中）化簡證明：【變式63】（2324高一下·云南大理·階段練習(xí)）證明：(1)(2)(3)已知，，求證．題型七三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例7】（2425高一上·黑龍江綏化·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將的圖象向左平移個單位，向下平移1個單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，求的解析式及圖象的對稱中心；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有5個零點(diǎn)，求的取值范圍．【變式71】（多選）（2425高一上·浙江嘉興·期末）已知函數(shù)，則（

）A．若函數(shù)的周期為，則B．若，則函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到C．若且直線是函數(shù)的一條對稱軸，則在上單調(diào)遞增D．若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則【變式72】（2425高一上·青?！て谀┮阎瘮?shù)的最小正周期為．(1)求ω的值．(2)先將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．（ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（ⅱ）若，求的值．【變式73】（2425高一上·云南昆明·期末）已知．(1)求函數(shù)的解析式和最小正周期；(2)（ⅰ）將的函數(shù)圖象向右平移個單位，然后縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，最后向上平移1個單位得到的函數(shù)圖象，若是一個偶函數(shù)，試求的值；（ⅱ）寫出的零點(diǎn)．題型八最值、范圍問題【例8】（2425高一上·福建莆田·期末）若，且．（1）當(dāng)時(shí)，；（2）的最小值為．【變式81】（2425高一上·重慶沙坪壩·期末）已知，則取得最小值時(shí)的的值為（

）A． B． C． D．【變式82】（2425高一上·福建南平·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)，且.(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值；(2)求的取值范圍.【變式83】（2425高一上·重慶沙坪壩·期末）學(xué)校準(zhǔn)備用一段長為30米的籬笆在墻角（墻的長度足夠長）圍出一個如圖的直角三角形區(qū)域進(jìn)行栽種（其中為籬笆，為墻），設(shè)．劃定正方形區(qū)域栽種鮮花，其中頂點(diǎn)在斜邊上，頂點(diǎn)分別在直角邊上．(1)設(shè)鮮花栽種區(qū)域面積為，求最大值并求此時(shí)的；(2)將鮮花栽種面積占圍出的整塊三角形區(qū)域面積的比例稱為土地有效利用率，求土地有效利用率的最大值．題型九三角恒等變換與平面向量【例9】（2324高一上·浙江寧波·期末）已知向量，，.(1)求的最大值，并求此時(shí)的值；(2)若，求的取值范圍.【變式91】（2425高三上·湖南·階段練習(xí)）已知向量，，若，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式92】（多選）（2025·廣東佛山·一模）在中，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C．在方向上的投影向量為 D．若，則【變式93】（2324高一下·江蘇徐州·期末）已知向量，．(1)若，求；(2)若，且，求．題型十三角恒等變換與解三角形【例10】（2023·河北·三模）在銳角三角形中，角對應(yīng)的邊分別記為.(1)求