專題16解答壓軸函數綜合題

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統考中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數學興趣小組將兩把含有刻度的直尺

垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為無，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數學小

組選擇不同位置測量數據如下表所示，設5。的讀數為無，CD讀數為》拋物線的頂點為C.

并求出y與尤的關系式;

（2）如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x-/z）2+Z的頂點為C,該數學興趣小組用水平

和豎直直尺測量其水平跨度為A3,豎直跨度為CD,且=CD=n,為了求出該拋物線的開口大

小，該數學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數,平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為y=.

①此時點B'的坐標為

②將點3'坐標代入＞中，解得；（用含〃的式子表示）

方案二：設C點坐標為他㈤

①此時點B的坐標為；

②將點8坐標代入y=a（x—〃了+女中解得。=；（用含加，”的式子表示）

（3）【應用】如圖4,已知平面直角坐標系xQy中有A,8兩點，AB=4,且AB〃x軸，二次函數

。1：%=2（%+/7）2+左和。2：%=。（％+力）2+人都經過48兩點，且Ci和。2的頂點尸，。距線段A5的

距離之和為10,若AB〃x軸且AB=4,求。的值.

2.（2023?廣東深圳?統考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現使得人

們可以吃到反季節蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，

這樣就形成了一個溫室空間.如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線構成，其

中A3=3m,BC=4m,取中點O,過點。作線段的垂直平分線交拋物線AED于點E,

若以。點為原點，所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標系.

請回答下列問題：

（1）如圖，拋物線AEO的頂點后（0,4）,求拋物線的解析式；

（2）如圖，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LEGT,SMNR,若

FL=NR=Q75m,求兩個正方形裝置的間距GM的長；

（3）如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為5K,求的長.

3.(2022?廣東深圳?統考中考真題)一個玻璃球體近似半圓O,A3為直徑，半圓。上點。處有個吊燈

EF//AB,。0,48,所的中點為。,。4=4.

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在08上，0M=1.6,。尸=0.8,求CZ)長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，H為切點，M為。8上一點，為入射光線，為反射光線,

3

ZOHM=ZOHN=45°,tanZCOH='，求ON的長度.

4

(3)如圖③，M是線段上的動點，為入射光線，NHOM=50。，/W為反射光線交圓。于點N,

在M從。運動到8的過程中，求N點的運動路徑長.

4.(2024?廣東深圳?鹽田區一模)【項目式學習】

項目主題：車輪的形狀

項目背景：在學習完圓的相關知識后，九年級某班同學通過小組合作方式開展項目式學習，深入探究車輪

制作成圓形的相關原理.

【合作探究】

(1)探究A組：車輪做成圓形的優點是：車輪滾動過程中軸心到地面的距離始終保持不變.另外圓形車

輪在滾動過程中，最高點到地面的距離也是不變的.如圖1,圓形車輪半徑為4cm,其車輪最高點到地面

的距離始終為cm；

(2)探究B組：正方形車輪在滾動過程中軸心到地面的距離不斷變化.如圖2,正方形車輪的軸心為。,

若正方形的邊長為6cm,車輪軸心。距離地面的最高點與最低點的高度差為cm；

(3)探究。組：如圖3,有一個正三角形車輪，邊長為6cm,車輪軸心為。(三邊垂直平分線交點),

車輪在地面上無滑動地滾動一周，求點。經過的路徑長.

探究發現：車輛的平穩關鍵看車輪軸心是否穩定，即車輪的軸心是否在一條水平線上運動.

【拓展延伸】

如圖4,分別以正三角形的三個頂點A,B,C為圓心，以正三角形的邊長為半徑作60。圓弧，這樣形成

的曲線圖形叫做“萊洛三角形”.“萊洛三角形”在滾動時始終位于一組平行線之間，因此放在其上的物

體也能夠保持平衡，但其車軸中心。并不穩定.

(4)探究。組：使“萊洛三角形”以圖4為初始位置沿水平方向向右滾動.在滾動過程中，其“最高點”

和“車輪軸心。”均在不斷移動位置，那么在“萊洛三角形”滾動一周的過程中，其“最高點”和“車輪

軸心。”所形成的圖形按上、下放置，應大致為.

5.(2024?廣東深圳?福田區三模)背景：雙目視覺測距是一種通過測量出左、右兩個相機視野中，同一物

體的成像差異，來計算距離的方法.它在“4”領域有著廣泛的應用.

材料一：基本介紹

如圖1,是雙目視覺測距的平面圖.兩個相機的投影中心。/,。，的連線叫做基線，距離為3基線與左、

右投影面均平行，到投影面的距離為相機焦距力兩投影面的長均為/G,/,/是同型號雙目相機中，內置

的不變參數)，兩投影中心。/,。,分別在左、右投影面的中心垂直線上.根據光的直線傳播原理，可以確

定目標點尸在左、右相機的成像點，分別用點片，匕表示.4，4分別是左、右成像點到各投影面左端

的距離.

p

材料二：重要定義

①視差——點P在左、右相機的視差定義為d=|4-41

②盲區——相機固定位置后，在基線上方的某平面區域中，當目標點P位于該區域時，若在左、右投影面

上均不能形成成像點，則該區域稱為盲區(如圖2,陰影區域是盲區之一).

③感應區一承上，若在左、右投影面均可形成成像點，則該區域稱為感應區.

材料三：公式推導片段

以下是小明學習筆記的一部分：

京滬f_EP,_FP

△POQ,r

如圖3,顯然,△。甲/\O,.PrF/\POrH,可得一—----------

Z

Q,HOrH

EPi+FP.

所以，-(依據)…

Z

O,H+OrH

圖3圖4

任務:

(1)請在圖2中(A,B,C,。是兩投影面端點)，畫出感應區邊界，并用陰影標示出感應區.

(2)填空：材料三中的依據是指；已知某雙目相機的基線長為200mm,焦距/為4mm,則位

于感應區的目標點尸到基線的距離z(mm)與視差d(mm)之間的函數關系式為

（3）如圖4,小明用（2）中那款雙目相機（投影面CO長為10mm）正對天空連續拍攝時，一物體〃正

好從相機觀測平面的上方從左往右飛過，已知〃的飛行軌跡是拋物線的一部分，且知，當M剛好進入感

應區時，dx=0.05mm,當M剛好經過點。，.的正上方時，視差d=0.02mm,在整個成像過程中，d呈

現出大一小一大的變化規律，當［恰好減小到上述4的;時，開始變大.

①小明以水平基線為x軸，右投影面的中心垂直線為y軸，建立了如圖4所示的平面直角坐標系，則該拋

物線的表達式為（友情提示：注意橫、縱軸上的單位：lm=1000mm）；

②求物體M剛好落入“盲區”時，距離基線的高度.

6.（2024?廣東深圳S3校聯考二模）【項目式學習】

項目主題：設計落地窗的遮陽篷

項目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度AB=2m，為了遮擋太陽光，小明做了以下遮陽蓬

的設計方案，請根據不同設計方案完成以下任務.

方案1：直角形遮陽篷

如圖1,小明設計的第一個方案為直角形遮陽篷點C在A5的延長線上

圖1

（1）若6C=0.5m,C￡）=lm,則支撐桿—m.

（2）小明發現上述方案不能很好發揮遮陽作用，如圖2,他觀察到此地一年中的正午時刻，太陽光與地平

14

面的最小夾角為小最大夾角為小小明查閱資料，計算出tana=3,tanj3=~,為了讓遮陽篷既能最

大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內（太陽光與5。平行），又能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光（太陽光與

AD平行）.請求出圖2中5C,CD的長度.

c

(3)如圖3,為了美觀及實用性，小明在(2)的基礎上將CD邊改為拋物線形可伸縮的遮陽篷，點P為拋

物線的頂點，段可伸縮)，且NCED=90°,BC,CD的長保持不變.若以C為原點，CD方向為

尤軸，方向為y軸.

①求該二次函數的表達式.

②若某時刻太陽光與水平地面夾角。的正切值tan8=|使陽光最大限度地射入室內，求遮陽蓬點。上升

的高度最小值(即點DC至CD的距離)

7.(2024?廣東深圳33校聯考一模)如圖1,一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口〃離地豎直高度為〃=1.2

米.建立如圖2所示的平面直角坐標系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象,

把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,其水平寬度DE=2米，豎直高度跖=0.7米，下邊緣拋物線是由

上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米，灌

(2)求下邊緣拋物線與％軸交點3的坐標;

(3)若d=3.2米，灌溉車行駛時噴出的水(填“能”或“不能”)澆灌到整個綠化帶.

8.(2024?廣東深圳?南山區一模)己知一次函數丁=米+/?仕。0)的圖象與二次函數y=g(x+2)2—2的

圖象相交于點4(1,7"),6(—2,〃).

(1)求一次函數的表達式，并在圖中畫出這個一次函數的圖象；

1

(2)根據函數圖象，直接寫出不等式6+b<5(x+2)92-2的解集；

(3)當—時，拋物線y=a(x+2)2—2與直線y=”只有一個交點，求〃的取值范圍；

(4)把二次函數y=](x+2)2—2的圖象左右平移得到拋物線G：y=-(x-/n)2-2,直接寫出當拋物

線G與線段AB只有一個交點時機的取值范圍.

9.(2024?廣東深圳?羅湖區模擬)如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，已知4(2,0)、C(l,3石)，將

.OAC繞AC的中點旋轉180。，點。落到點8的位置，拋物線y=2氐經過點A,點。是拋物線

的頂點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)判斷點B是否在拋物線上;

（3）若點尸是線段。4上的點，且NAPD=NQ4B,求點P的坐標;

（4）若點P是x軸上的點，以P、A、〃為平行四邊形的三個頂點作平行四邊形，使該平行四邊形的另一

個頂點在y軸上，請直接寫出點尸的坐標.

10.（2024?廣東深圳?寶安區三模）根據以下素材，探索完成任務.

如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案？

圖1中有一座拱橋，圖2是其

素拋物線形橋拱的示意圖，某時

——--------1-

材測得水面寬20m,拱頂離水面//'\Siw

Z.________________\J

1闔謬!?---------2QmT

15m.據調查，該河段水位在

mi陽2

此基礎上再漲1.8m達到最高.

為迎佳節，擬在圖1橋洞前面

的橋拱上懸掛40cm長的燈

籠，如圖3.為了安全，燈籠底橋橫n產刖

素

部距離水面不小于1m；為了/安全距離：

材

實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的/；最高

2水位

水平間距均為1.6m；為了美

圖3

觀，要求在符合條件處都掛上

燈籠，且掛滿后成軸對稱分布.

問題解決

任

務確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數表達式.

1

任

在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標

務探究懸掛范圍

的最小值和橫坐標的取值范圍.

2

任給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數量，并根據你所建立的坐標系，

擬定設計方案

務求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標.

11.（2024?廣東深圳?福田區二模）根據以下素材，探索完成任務.

如何設計噴泉安全通道？

在拋物線形的噴泉水柱下設置一條安全的通道，可以讓兒童在任意時間穿過安全通道時不被水柱噴到（穿

梭過程中人的高度變化忽略不計）.

圖1為音樂噴泉，噴頭的高度在垂直地面的方向上隨著音樂變化

素

而上下移動.不同高度的噴頭噴出來的水呈拋物線型或拋物線的

材?

一部分，但形狀相同，最高高度也相同，水落地點都在噴水管的M1

1圖

右側.i

圖2是當噴水頭在地面上時（噴水頭最低），其拋物線形水柱的/

0M

素示意圖，水落地點離噴水口的距離為4m,水柱最高點離圖2

材地面3m./A

2圖3是某一時刻時，水柱形狀的示意圖.Q4為噴水管，B為水

A

的落地點，記02長度為噴泉跨度.

0B

圖3

素安全通道CD在線段上，若無論噴頭高度如何變化，水柱都

A

材不會進入CD上方的矩形區域，則稱這個矩形區域CDEF為安/

3全區域.ocDBM

圖4

問題解決

任在圖2中，以。為原點，所

務確定噴泉形狀.在直線為無軸，建立平面直角坐

1標系，求出拋物線的函數表達式.

任若噴水管。4最高可伸長到

務確定噴泉跨度的最小值.2.25m,求出噴泉跨度的最

2小值.

現在需要一條寬為2m的安全通

道CD,為了確保進入安全通道

任

CD上的任何人都能在安全區域

務設計通道位置及兒童的身高上限.

內，則能夠進入該安全通道的人

3

的最大身高為多少？（精確到

0.1m）

12.（2024?廣東深圳?光明區二模）【項目式學習】

項目主題：學科融合一用數學的眼光觀察世界

項目背景：學習完相似三角形性質后，某學校科學小組的同學們嘗試用數學的知識和方法來研究凸透鏡成

像規律.

項目素材：

素材一：凸透鏡成像規律：

像的大像的正

物體到凸透鏡距離像到凸透鏡距離

小倒

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距縮小倒立

距

2倍焦距2倍焦距等大倒立

大于1倍焦距小于2倍焦

大于2倍焦距放大倒立

距

小于焦距與物同側放大正立

素材二：透鏡成像中，光路圖的規律：通過透鏡中心的光線不發生改變：平行于主光軸的光線經過折射后

光線經過焦點.

項目任務：

任務一：凸透鏡的焦距。尸為6cm,蠟燭A3的高為4cm,離透鏡中心。的距離是9cm時，請你利用所

ON

學的知識填空：①——=,②MN=—；

0B

任務二：凸透鏡的焦距OF為6cm,蠟燭A3是4cm,離透鏡中心。的距離是xcm(%>6)時，蠟燭的成

像"N的高,請你利用所學的知識求出y與x的關系式:

任務三：

(1)根據任務二的關系式得出下表:

物距

810121416

x/cm

像高

1264m2.4

y/cm

其中；

(2)請在坐標系中畫出它的圖像:

14

12

10

8卜

6

4-

2

68101214161820*

（3）根據函數關系式，結合圖像寫出1條你得到的結論:

13.（2024?廣東深圳-33校三模）數學活動：如何提高籃球運動罰球命中率一以小華同學為例活動背景：

某學校體育節進行班級籃球比賽，在訓練過程中發現小華同學罰球命中率較低，為幫助小華同學提高罰球

命中率，該班數學小組拍攝了如下圖片并測量了相應的數據（圖片標注的是近似值）.

（1）模型建立：如圖所示，直線AE是地平線，A為小華罰球時腳的位置，籃球在運動過程中8、D、F

為籃球的三個不同位置，8點為球出手時候的位置.已知

AB=1.75m,CD-3.202m,EF-3.042m,AC=2.2m,AE—3.8m,籃球運動軌跡是拋物線的一部分，

數學小組以A、B、C、D、E、尸中的某一點為原點，水平方向為％軸，豎直方向為y軸建立平面直角坐標

111

系，計算出籃球的運動軌跡對應的拋物線解析式為丁=-1/9+記x,根據解析式，請你判斷該數學小組

是以點（填A、B、C、。、E、尸中的一個）作為坐標原點.

??

I;

II

I

I

III

III

III

ACE

（2）問題解決：已知籃球框與罰球線水平距離為4米，距離地面為3米，請問在（1）的情況下，小華的

這次罰球能否罰進？并說明理由.

（3）模型應用：如下圖所示為拋物線y=-y/+x+2的一部分函數圖象，拋物線外一點尸（4,3）,試通

過計算說明在不改變拋物線形狀的情況下，把原拋物線向上平移多少個單位，能使平移后的拋物線經過點

P.

14.（2024?廣東深圳?龍華區二模）【項目式學習】

項目主題：合理設計智慧泉源

項目背景：為加強校園文化建設，學校計劃在原有的噴泉池內增設一塊矩形區域，安裝LEO發光地磚燈，

用于展示校園文化標語，要求該矩形區域被噴泉噴出水柱完全覆蓋，因此需要對原有噴泉的噴頭豎直高度

進行合理調整.圍繞這個問題，某數學學習小組開展了“合理設計智慧泉源”為主題的項目式學習.

任務一測量建模

（1）如圖1,在水平地面上的噴泉池中心有一個可以豎直升降的噴頭，它向四周噴出的水柱為拋物線.經

過測量，水柱的落點均在水平地面半徑為2米的圓上，在距池中心水平距離0.75米處，水柱達到最高，高

度為1.25米.學習小組根據噴泉的實景進行抽象，以池中心為原點，水平方向為無軸，豎直方向為y軸建

立平面直角坐標系，畫出如圖2所示的函數圖象，求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式（不

需寫自變量的取值范圍）；

任務二推理分析

（2）學習小組通過進一步分析發現：當噴頭豎直高度調整時，噴頭噴出的水柱拋物線形狀不發生改變，

當噴頭豎直高度增加九米，水柱落點形成的圓半徑相應增加d米，〃與d之間存在一定的數量關系，求出

與1之間的數量關系式；

任務三設計方案

(3)現計劃在原有噴水池內增設一塊矩形區域ABCD,48=1.4米，5c=0.4米，增設后的俯視圖如

圖3所示，A5與原水柱落點形成的圓相切，切點為A5的中點P.若要求增設的矩形區域ABCD被噴泉

噴出水柱完全覆蓋，則噴頭豎直高度至少應該增加米.

15.(2024?廣東深圳?羅湖區二模)綜合與應用

如果將運動員的身體看作一點，則他在跳水過程中運動的軌跡可以看作為拋物線的一部分.建立如圖2所

示的平面直角坐標系運動員從點4(0,10)起跳，從起跳到入水的過程中，運動員的豎直高度y(m)

與水平距離x(m)滿足二次函數的關系.

(1)在平時的訓練完成一次跳水動作時，運動員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下表:

水平距離X

011.5

(m)

豎直高度y

10106.25

(m)

根據上述數據，求出y關于x的關系式；

(2)在(1)這次訓練中，求運動員甲從起點A到入水點的水平距離的長;

(3)信息1：記運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度為Mm),從到達到最高點8開始計時，則他

到水面的距離//(m)與時間，(s)之間滿足〃=—5/+k.

信息2：已知運動員甲在達到最高點后需要1.6s的時間才能完成極具難度的270c動作.

問題解決：

①請通過計算說明，在(1)的這次訓練中，運動員甲能否成功完成此動作？

②運動員甲進行第二次跳水訓練，此時他的豎直高度y(m)與水平距離x(m)的關系為

丁=依2_依+10(。＜0),若選手在達到最高點后要順利完成270c動作，則。的取值范圍是.

16.(2024.廣東深圳?羅湖區三模)【項目式學習】

項目主題：如何擬定運動員拍照記錄的方案？

項目背景：

任務一：確定滑道的形狀

(1)圖1是單板滑雪運動員從大跳臺滑雪場地滑出的場景，圖2是跳臺滑雪場地的橫截面示意圖.AC垂

直于水平底面點。到A之間的滑道呈拋物線型，已知AC=3m,BC=4m,且點B處于跳臺滑道

的最低處，在圖2中建立適當的平面直角坐標系，求滑道所在拋物線的函數表達式.

任務二：確定運動員達到最高點的位置

(2)如圖3,某運動員從點A滑出后的路徑滿足以下條件：

①運動員滑出路徑與。、A之間的拋物線好年用回，

②該運動員在底面上方豎直距離9.75m處達到最高點P

③落點。在底面BC下方豎直距離2.25m.

在同一平面直角坐標系中，求運動員到達最高處時與點A的水平距離.

任務三：確定拍攝俯角a

(3)高速攝像機能高度還原運動員的精彩瞬間，如圖4,有一臺攝像機M進行跟蹤拍攝：

①它與點2位于同一高度，且與點8距離25.5m；

②運動過程需在攝像頭視角范圍內才能記錄，記攝像頭的俯角為1；

③在平面直角坐標系中，設射線肱V的解析式為y=Ax+b(左/0),其比例系數上和俯角a的函數關系如

圖5所示.

若要求運動員的落點。必須在攝像機M的視角范圍內，則俯角1至少多少度(精確到個位)？

度

3s

17.（2024?廣東深圳?南山區三模）【問題背景】

水火箭是一種基于水和壓縮空氣的簡易火箭，通常由塑膠汽水瓶作為火箭的箭身，并把水當作噴射劑.圖

1是某學校興趣小組制做出的一款簡易彈射水火箭.

圖I圖2

【實驗操作】

為驗證水火箭的一些性能，興趣小組同學通過測試收集了水火箭相對于出發點的水平距離X（單位：m）

與飛行時間/（單位：s）的數據，并確定了函數表達式為：x=3t.同時也收集了飛行高度J（單位：m）

任務1：求丁關于/的函數表達式.

【反思優化】

圖2是興趣小組同學在室內操場的水平地面上設置一個高度可以變化的發射平臺（距離地面的高度為PQ）,

當彈射高度變化時，水火箭飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段A5為水火箭回收區域，已知

AP=42m，AB=(180-24)m.

任務2：探究飛行距離，當水火箭落地（高度為0m）時，求水火箭飛行的水平距離.

任務3：當水火箭落到A5內（包括端點A,B）,求發射臺高度的取值范圍.

18.（2024?廣東深圳?南山區二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數丁=-必+法+。的圖象與軸交

于A,B點、,與y軸交于點。（0,3）,點B的坐標為（3,0）,點尸是拋物線上一個動點.

（1）求二次函數解析式；

（2）若P點在第一象限運動，當尸運動到什么位置時，△5PC的面積最大？請求出點尸的坐標和△3PC

面積的最大值；

（3）連接尸。，PC,并把△POC沿CO翻折，那么是否存在點P,使四邊形POPC為菱形；若不存在,

請說明理由.

噴出的水柱最外層的形狀為拋物線.以水平E處，正上方有一樹枝葉孔旋轉

方向為無軸，點。為原點建立平面直角坐標式噴灑水柱外端剛好碰到樹葉F

系，點A（噴水口）在y軸上，x軸上的點。的最低處.

為水柱的最外落水點.

丙小組在甲小組基礎上，測量得噴水口中心。到水柱的最外落水點。距離為半徑，

建立C。半徑為的扇形平面圖（圖3）.

問題解決

丁小組測量得噴頭的高=2米，噴水口中心點。

3

到水柱的最外落水點D水平距離為8米，經過點

獲取數據

任務

用

1

解決問題求出水柱所在拋物線的函數解析式.

13

丁小組測樹葉尸距水平地面最低高度=^米，點

獲取數據

任務產在拋物線上且離水噴頭水平距離較遠，E在OD上，

2ODVEF.

解決問題求OE的長.

丁小組觀察自動旋轉式灑水噴頭可順、逆時針往返噴

任務灑，可平面旋轉角度不超過240。，求：

推理計算

3①這個噴頭最多可灑水多少平方米？

②在①條件下，此時DD的長.

20.（2024?廣東深圳?紅嶺中學模擬）已知拋物線丁=%2+2尤-3.

（1）求拋物線的頂點坐標；

（2）將該拋物線向右平移機（機＞0）個單位長度，平移后所得新拋物線經過坐標原點，求機的值.

專題16解答壓軸函數綜合題

一、解答題

1.（2024.廣東深圳?統考中考真題）為了測量拋物線的開口大小，某數學興趣小組將兩把含有刻度的直尺

垂直放置，并分別以水平放置的直尺和豎直放置的直尺為無，y軸建立如圖所示平面直角坐標系，該數學小

組選擇不同位置測量數據如下表所示，設5。的讀數為無，CD讀數為》拋物線的頂點為C.

并求出y與尤的關系式;

（2）如圖3所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x-/z）2+Z的頂點為C,該數學興趣小組用水平

和豎直直尺測量其水平跨度為A3,豎直跨度為CD,且=CD=n,為了求出該拋物線的開口大

小，該數學興趣小組有如下兩種方案，請選擇其中一種方案，并完善過程：

方案一：將二次函數,平移，使得頂點C與原點O重合，此時拋物線解析式為y=.

①此時點B'的坐標為

②將點3'坐標代入＞中，解得；（用含〃的式子表示）

方案二：設C點坐標為他㈤

①此時點B的坐標為；

②將點8坐標代入y=a（x—〃了+女中解得。=；（用含加，”的式子表示）

（3）【應用】如圖4,已知平面直角坐標系xQy中有A,8兩點，AB=4,且AB〃x軸，二次函數

。1：%=2（%+/7）2+左和。2：%=。（％+力）2+匕都經過48兩點，且Ci和。2的頂點尸，。距線段A5的

距離之和為10,若AB〃x軸且AB=4,求。的值.

【答案】（1）圖見解析，=-x2；

74

（1、4〃（1、4〃

（2）方案一：@-m,n；②一■；方案二：0h+-m,k+n；②一■；

【2）m2I2）m2

（3）。的值為J或一彳.

22

【解析】

【分析】（1）描點，連線，再利用待定系數法求解即可；

（2）根據圖形寫出點3,或點B的坐標，再代入求解即可；

（3）先求得4（—萬一2,8+左），B（-h+2,S+n）,G頂點坐標為P（—〃，k）,再求得G頂點距線段AB

的距離為|（8+左）-左|=8,得到的頂點距線段A3的距離為10-8=2,得到的頂點坐標為

0（-410+左）或0（-人,6+左），再分類求解即可.

【小問1詳解】

解：描點，連線，函數圖象如圖所示，

設拋物線的解析式為y^ax2+bx+c,

c=0

由題意得＜4〃+2b+c=1,

16a+4b+c=4

Cl———

4

解得］b=0,

c=0

與x的關系式為y=-；

【小問2詳解】

解：方案一：①=CD=n,

：.D'B'=-m,

2

此時點5'的坐標為Qm,〃］；

故答案：

解得a——-,

故答案為：一Y；

方案二：①：C點坐標為伍,女），AB=m,CD=n,

DB=—m,

此時點5的坐標為1/z+g加，左+〃

故答案h+—2m.k+nJ-

②由題意得k+n=ah+—m—h+k,

2

解得a——-,

m

4-n

故答案為：一Y;

m

【小問3詳解】

解：根據題意和。2的對稱軸為左=—“，

則A（—〃—2,8+左），B（-/z+2,8+M）,C的頂點坐標為P（—〃，k）,

：.C,頂點距線段AB的距離為|（8+左）_引=8,

/.C2的頂點距線段AB的距離為10—8=2,

C2的頂點坐標為。（—始0+左）或。（—"6+左），

當。2的頂點坐標為0（—陽。+左）時，y2=a（x+hf+10+k,

將A（—/z—2,8+左）代入得4。+10+左=8+左，解得a=——；

當G的頂點坐標為。（一〃，6+左）時，%+6+左，

將4（—力一2,8+左）代入得4。+6+左=8+左，解得a=g；

綜上，。的值為;或—.

【點睛】本題主要考查二次函數的綜合應用，拋物線的平移等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關

鍵.

2.（2023?廣東深圳?統考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現使得人

們可以吃到反季節蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，

這樣就形成了一個溫室空間.如圖，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構成，其

中A5=3m,BC=4m,取中點O,過點。作線段的垂直平分線OE交拋物線于點E,

若以。點為原點，所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標系.

請回答下列問題：

（1）如圖，拋物線的頂點后（0,4）,求拋物線的解析式;

（2）如圖，為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置LFGT,SMNR,若

FL=NR=0.75m,求兩個正方形裝置的間距GM的長；

（3）如圖，在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到C點，此時大棚截面的陰影為3K,求BK的長.

(2)0.5m

【解析】

【分析】（1）根據頂點坐標，設函數解析式為丁=。必+4,求出A點坐標，待定系數法求出函數解析式

即可；

(2)求出y=3.75時對應的自變量的值，得到FN的長，再減去兩個正方形的邊長即可得解；

(3)求出直線AC的解析式，進而設出過點K的光線解析式為y=-1x+〃?，利用光線與拋物線相切，求

4

出加的值，進而求出K點坐標，即可得出3K的長.

【小問1詳解】

解：：拋物線AED的頂點￡(0,4),

設拋物線的解析式為y=ax2+4,

?..四邊形ABC。為矩形，OE為的中垂線，

AD=BC=4m,OB=2m,

*.*AB=3m,

點A(-2,3),代入y=ax2+4,得：

3=4Q+4,

.1

ci——,

4

1,

.??拋物線的解析式為y=-7V+4；

【小問2詳解】

?..四邊形LFGT,四邊形SMM?均正方形，FL=NR=Q75m,

：.MG=FN=FL=NR^0J5m,

延長“交于點延長RN交BC于點、J,則四邊形FH/N,四邊形A3EH均為矩形，

FH=AB=3m,FN=HJ,

：.HL=HF+FL=3J5m,

1,1,

???y=——X2+4,當y=3.75時，3.75=——x2+4,解得：=±l,

-4-4x

.?.〃(-1,0)，J(1,0),

FN=HJ=2m,

:.GM=FN—FG—MN=Q5m；

【小問3詳解】

,??50=4111,OE垂直平分BC,

OB=OC-2m,

.-.B（-2,0）,C（2,0）,

設直線AC的解析式為y=kx+b,

2k+b=0

貝U：\,解得:

-2k+b=3

b=-

2

.33

..y——xH—,

42

???太陽光為平行光,

3

設過點K平行于AC的光線的解析式為y=--x+m,

4

3

由題意，得：丁=-二力+根與拋物線相切，

4

12,

y=——x+4

4

聯立《3，整理得：X2—3x+4m—16=0，

y=—x+m

4

73

則：A=(-3)2-4(4m-16)=0,解得:m=一

16

37373

=——x-\----當y=o時,x=一

??y41612

vB(-2,0),

???BK2+"m

1212

【點睛】本題考查二次函數的實際應用.讀懂題意，正確的求出二次函數解析式，利用數形結合的思想,

進行求解，是解題的關鍵.

3.(2022.廣東深圳?統考中考真題)一個玻璃球體近似半圓O,A3為直徑，半圓。上點C處有個吊燈

EF//AB,。0,45,￡尸的中點為。,。4=4.

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在03上，0M=1.6,。尸=0.8,求。長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，H為切點、,M為OB上一點,為入射光線，NH為反射光線，

3

ZOHM=ZOHN=45°,tanZCOH=—，求ON的長度.

4

(3)如圖③，M是線段。3上的動點，為入射光線，/網如=50。,冽為反射光線交圓。于點乂

在M從。運動到B的過程中，求N點的運動路徑長.

【答案】(1)2(2)0N=—

7

“16

(3)4+—兀

9

【解析】

【分析】(1)由。尸=0.8,=1.6,DF//05,可得出止為7coM的中位線，可得出。為CO中點，

即可得出CD的長度；