高二數學選擇性必修第三冊第六章6.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理導學案（第2課時）編輯人王華茹一、學習目標1．進一步理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別.2．會正確應用這兩個計數原理計數.3．通過對計數原理的應用練習，養成數學抽象、數學建模等核心素養.課前預習自主梳理（研讀課本，完成課前檢查和抽測內容）1.兩個計數原理的聯系與區別(1)聯系:分類加法計數原理和分步乘法計數原理都是解決計數問題最基本、最重要的方法.(2)區別：分類加法計數原理分步乘法計數原理區別一完成一件事共有類辦法,關鍵詞是“分類”完成一件事共有個步驟,關鍵詞是“分步”區別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、互斥的，且每種方法得到的都是最后結果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯的、獨立的,“關聯”確保不遺漏,“獨立”確保不重復2．常見類型的計數原理問題（1）選（抽）取與分配問題當涉及對象數目不大時，一般用枚舉法、樹形圖法、框圖法或圖表法；當涉及對象數目很大時，一般按以下方法思考：①若抽取是有順序的，則按分步乘法計數原理進行.②若是按對象特征抽取的，則按分類加法計數原理進行.③間接法：先去掉限制條件，計算所有的抽取方法數，再減去所有不符合條件的抽取方法數.（2）組數問題明確特殊位置或特殊數字，是采用“分類”還是“分步”的關鍵.①一般按特殊位置由誰占領分類，分類中再按特殊位置（或特殊元素）優先策略分步完成；②若直接分類較多，則可采用間接法求解.（3）種植與涂色問題①涂色問題一般是綜合利用兩個計數原理求解，有幾常用方法：方法一：按區域的不同，以區域為主分步計數，用分步乘法計數原理分析.方法二：以顏色為主分類討論，適用于“區域、點、線段”等問題，用分類加法計數原理分析.方法三：將空間問題平面化，轉化成平面區域的涂色問題.②種植問題按種植的順序分步進行，用分步乘法計數原理計數，或按種植品種恰當選取情況分類，用分類加法計數原理計數.三、活動探究知識運用（自主學習、合作交流、聚焦展示環節）探究一:選（抽）取與分配問題例1.要從甲、乙、丙幅不同的畫中選出幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成．【解析】從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據分步乘法計數原理，不同掛法的種數為．這6種掛法如圖6.12所示．探究二：組數問題例2.從，，，，五個數字中選出個數字組成一個三位數．(1)可以組成多少個三位數？(2)可以組成多少個無重復數字的三位數？(3)可以組成多少個無重復數字的三位偶數？【解析】（1）三位數的首位不能為0，但可以有重復數字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，根據分步乘法計數原理共有4×5×5=100（個）．（2）三位數的首位不能為0，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二位可以排0，除首位排的數字共有4種方法，第三位除前兩位排的數字共有3種方法，因此，根據分步乘法計數原理共有4×4×3=48（個）．（3）偶數末位數字可取0，2，4，因此，可以分兩類：一類是末位數字是0，則有4×3=12（種）排法；一類是末位數字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3=18（種）排法．因此有12+18=30（種）排法．即可以排成30個無重復數字的三位偶數.探究三：種植與涂色問題例3.如圖,現要給圖中所示五個區域進行著色,要求相鄰區域不得使用同一顏色,現有種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有多少種?【解析】先安排區域1,2,3,然后安排區域4,再安排區域5,按區域4和區域2的顏色相同或不相同分類,所以不同的著色方法有4×3×2×(1×2+1×1)=72(種).四、當堂檢測（自主探究）1.高二某班級名同學要參加足球、籃球、乒乓球比賽，每人限報一項，其中甲同學不能報名足球，乙、丙、丁三位同學所報項目都不相同，則不同的報名種數有（）A．B．C．D．【解析】由甲同學不能報名足球，可得甲有2種報名方式，乙、丙、丁三位同學所報項目都不相同，可得乙有3種報名方式，丙有2種報名方式，丁只有1種報名方式，共分步計數原理可得共有2×3×2×1=12種．故選：B．2.一個口袋內裝有個小球，另一個口袋內裝有個小球，所有這些小球的顏色互不相同．從兩個袋子中分別取個球，共有多少種不同的取法?【答案】【解析】分兩步進行：第一個口袋內取一個球有5種取法，另一個口袋內取一個球有6種取法；∴從兩個口袋內分別取1個小球，共有：種取法．五、課時作業1．由，，，，組成的無重復數字的五位偶數共有（）A．個B．個C．個D．個【解析】若五位數的個位數是0，則有n1若五位數的個位數是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3種情形，中間的三個位置有3×2×1=6種情形，依據分步計數原理，可得n2由分類計數原理可得所有無重復五位偶數的個數為n=n故選：A．2．小張計劃從倉庫里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡蘿卜這種種子中選出種分別種植在四塊不同的空地上（一塊空地只能種植一種作物），如果小張已決定在第一塊空地上種茄子或辣椒，則不同的種植方案共有種.【解析】當第一塊地種茄子時,有種不同的種法;當第一塊地種辣椒時，有種不同的種法，，故共有種不同的種植方案.3.口袋中裝有個白球和個紅球，每個球編有不同的號碼，現從中取出個球．(1)正好是白球、紅球各一個的取法有多少種?(2)正好是兩個白球的取法有多少種?(3)至少有一個白球的取法有多少種?(4)兩球的顏色相同的取法有多少種?【解析】（1）“一件事情”是“取出一個白球一個紅球”．可分2步解決，第1步取一個白球，有8種取法；第2步取一個紅球，有10種取法．由分步乘法計數原理，共有(種)不同取法．（2）“一件事情”是“取出兩個白球”可分為2步解決，先從8個白球中取一個，有8種取法；再從余下的7個白球中取一個，有7種取法，但先取1號球后取2號球與先取2號球后取1號球結果是相同的，故共有(種)不同的取法．（3）“一件事情”是“取出一個白球一個紅球或者取出兩個白球”．可分