第11章解三角形章末題型歸納總結(jié)（基礎(chǔ)篇）【題型歸納目錄】題型一：應(yīng)用正弦、余弦定理解三角形題型二：判斷三角形的形狀題型三：正弦、余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用題型四：三角形多解問(wèn)題題型五：三角形范圍與最值問(wèn)題題型六：圖形類問(wèn)題題型七：角平分線問(wèn)題、中線問(wèn)題、高問(wèn)題題型八：三角形中的面積與周長(zhǎng)問(wèn)題

【思維導(dǎo)圖】

【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式；；．常見變形（1），，；（2），，；；；．（2）面積公式：（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R，r．）知識(shí)點(diǎn)2：相關(guān)應(yīng)用（1）正弦定理的應(yīng)用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對(duì)大角大角對(duì)大邊=3\*GB3③合分比：（2）內(nèi)角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)3：實(shí)際應(yīng)用1、仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．2、方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α（如圖②）．3、方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．（1）北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．（3）南偏西等其他方向角類似．4、坡角與坡度（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．解題方法總結(jié)1、方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解2、在解三角形題目中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．【典型例題】題型一：應(yīng)用正弦、余弦定理解三角形【典例11】在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（

）A．或 B．或3 C．或3 D．3 【答案】A【解析】由題意及正弦定理，得，解得.又，故，于是或，均符合題意.當(dāng)時(shí)，，由正弦定理，得，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是等腰三角形，.故選：A【典例12】在中，角所對(duì)三條邊為，已知，則角（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，且，所以.故選：B.【變式11】在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，，則角（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，則，所以，即，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，，則，所以；故選：B【變式12】在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴由余弦定理，則得，∴解得：，或（舍去），∴由正弦定理可得：．故選：B.【變式13】在中，若，則角（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理可知，可化為，又，則，即，再根據(jù)正弦定理可知，，又，即，則，又，所以.故選：D.題型二：判斷三角形的形狀【典例21】在中，已知，則的形狀一定為（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【解析】因?yàn)椋裕裕烧叶ɡ砜傻茫詾橹苯侨切?故選：C【典例22】在中，分別為角的對(duì)邊），則的形狀可能是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】因?yàn)椋裕矗矗烧叶ɡ砜傻茫裕茫谥校裕郑裕慈切螢橹苯侨切?故選：B.【變式21】在中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】因?yàn)樗裕淼茫吹男螤钍堑妊切?故選：A.【變式22】在中，若，則的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】因?yàn)椋剩淼玫剑剩驶颍椿颍实男螤顬榈妊蛑苯侨切危蔬x：D.【變式23】在中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】由，結(jié)合正弦定理可得：，，可得：，，則的形狀為等腰三角形．故選：A題型三：正弦、余弦定理在實(shí)際中的應(yīng)用【典例31】如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，某測(cè)量隊(duì)選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)量得，米，在點(diǎn)C，D處測(cè)得塔頂A的仰角分別為，，則塔高．【答案】15米【解析】由題意可得，則，因?yàn)椋裕谥校祝捎嘞叶ɡ砜傻茫矗砜傻茫傻没颍ㄉ幔蚀鸢笧椋?5米．【典例32】貴州中天201大廈是貴陽(yáng)標(biāo)志性建筑之一，又名為“蘆笙樓”．它是以貴州少數(shù)民族蘆笙為原型設(shè)計(jì)，外形造型看上去就像是用很多微型大樓“拼接”起來(lái)的一樣，而這一部分其實(shí)具有相當(dāng)先進(jìn)的建筑工藝，采用的是筒式懸掛結(jié)構(gòu)，目前是世界上最高的筒式懸掛建筑．某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量中天201大廈的高度，在與樓底位于同一水平面上的兩處進(jìn)行測(cè)量，已知在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋谔帨y(cè)得塔頂?shù)难鼋菫槊祝瑒t中天201大廈的高度為米．

【答案】【解析】設(shè)，在中，，則，在中，，則，在中，由余弦定理得，即，解得，所以中天201大廈的高度為米.故答案為：【變式31】如圖，一艘船向正北航行，航行速度為每小時(shí)海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上．1小時(shí)后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時(shí)與燈塔的距離為．【答案】海里【解析】依題意在中，，，，由正弦定理有，即，解得（海里）．故答案為：海里【變式32】如圖，為測(cè)量某塔的高度，在地面上選擇一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，在C處測(cè)得A處的無(wú)人機(jī)和塔頂M的仰角分別為30°，45°.無(wú)人機(jī)距地面的高度AB為45米，且在A處無(wú)人機(jī)測(cè)得點(diǎn)M的仰角為15°，點(diǎn)B，C，N在同一條直線上，則該塔的高度MN為米.

【答案】90【解析】中，，，則，由圖可知，，則，中，由正弦定理，得，中，（米），故答案為：90.【變式33】臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向北偏東30°方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東30千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間共有小時(shí).【答案】1.5【解析】解析：設(shè)t小時(shí)后，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到點(diǎn)C，如圖.由題意：，，，由余弦定理可得.若受到臺(tái)風(fēng)影響，則，即共影響1.5個(gè)小時(shí).故答案為：1.5.題型四：三角形多解問(wèn)題【典例41】在中，已知角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，，則滿足條件的三角形有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．無(wú)法確定【答案】B【解析】．滿足條件的三角形有2個(gè)．故選：B.【典例42】已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足下列條件的有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：已知兩邊及夾角，由三角形全等可知只有一解，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由正弦定理可得，所以無(wú)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由正弦定理可得，且，則，可知角B有兩解，所以有兩解，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：已知三邊，根據(jù)的取值要么無(wú)解，要么只有一解，不可能有兩解，故D錯(cuò)誤．故選：C．【變式41】在中，若，，，則三角形解的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．不確定【答案】C【解析】由題，所以，又，所以，所以且由正弦定理，所以由得或，故三角形解的個(gè)數(shù)為2.故選：C.【變式42】記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，若角有兩解，則的值可以是（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】角有兩解，即角有兩解，由正弦定理可知：，角要有兩解，則需滿足且，解得：.故選：C【變式43】在中，角的對(duì)邊分別為，已知.若有兩個(gè)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)有兩個(gè)解，即，所以，即的取值范圍為.故選：D題型五：三角形范圍與最值問(wèn)題【典例51】在中，，再?gòu)南旅鎯蓚€(gè)條件中，選出一個(gè)作為已知，解答下面問(wèn)題.條件①；條件②.(1)若，求的面積；(2)求的取值范圍.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）選條件①，，由正弦定理，，又，，

而，故；選條件②，，，即，，又，故.在中，當(dāng)，，時(shí)，由余弦定理得：，即，，所以.（2）解法一：由題設(shè)及小問(wèn)1可知：，，故由正弦定理，所以.得：，，所以

故，即.即的取值范圍為.解法二：由題設(shè)及小問(wèn)1可知：，，故由余弦定理得：，則，解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由三角形的穩(wěn)定性可知.所以，即的取值范圍為.【典例52】在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求的值；(2)求的取值范圍．【解析】（1）由及正弦定理得：．，可得：,，且是銳角三角形，，可得：．（2）,，．，,．．.【變式51】在中，角所對(duì)的邊分別為，，，已知(1)求A；(2)若，求面積的最大值．【解析】（1），由正弦定理得，其中，故，故，因?yàn)椋裕剩奢o助角公式得，即，因?yàn)椋裕裕獾茫唬?），，由余弦定理得，即，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，解得，僅當(dāng)時(shí)取等，故的面積，最大值為.【變式52】的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，求面積的最大值.【解析】（1）由已知，即，由正弦邊角關(guān)系得，所以，又，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故的面積的最大值為.【變式53】在中，設(shè)a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知向量，，且.(1)求角C的大小；(2)若，求面積的取值范圍.【解析】（1）由，，且，所以，由正弦定理得：，化為：，由余弦定理得：，，故.（2）由，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，綜上，.題型六：圖形類問(wèn)題【典例61】已知在三角形中，，，，且邊，上的中線，交于點(diǎn).(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值.【解析】（1）在中，根據(jù)余弦定理,即，得，所以的長(zhǎng)為；（2）在中，，，，所以，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，，，，所以【典例62】如圖,在中,的平分線交邊于點(diǎn),點(diǎn)在邊上,,,.

(1)求的大小;(2)若,求的面積.【解析】（1）因?yàn)槭堑慕瞧椒志€,所以,在中,根據(jù)余弦定理得,所以,則,因?yàn)?所以.（2）因?yàn)?所以,在中,由正弦定理得,在四邊形中,,所以,則.【變式61】如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，交于，.

(1)求的度數(shù)；(2)求的面積.【解析】（1）由已知得，，，所以是等腰三角形，，所以，所以.（2）由（1）知中，，，又，所以.【變式62】如圖，四邊形ABCD的內(nèi)角，，，，且．

(1)求角B；(2)若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，，求的值．【解析】（1）設(shè)，在中由余弦定理得，即①，又在中由余弦定理得，即②，因?yàn)椋瑒t，聯(lián)立①②可得（負(fù)值舍去），，因?yàn)椋裕?）在中，由正弦定理知，，所以，又，故，在直角三角形中，由勾股定理知，，此時(shí)．【變式63】在平面四邊形中，．(1)求；(2)求的面積．【解析】（1）因?yàn)闉橹苯侨切危裕谥校捎嘞叶ɡ恚茫裕?）由（1）知，，，所以，所以為直角三角形，且，所以，故．題型七：角平分線問(wèn)題、中線問(wèn)題、高問(wèn)題【典例71】設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知的周長(zhǎng)為．(1)求；(2)若的平分線交于點(diǎn)，且，求的邊上的高．【解析】（1）由題意可知，，由正弦定理可知，，即，整理得，．由余弦定理可知，．又，故．（2）由，得，所以，又，所以，由，且，得，解得或（舍去），所以．設(shè)的邊上的高為，則，解得．故的邊上的高為．【典例72】已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．(1)求角；(2)若，為邊邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積．【解析】（1）由，即，因?yàn)椋裕裕茫?）由為的平分線，得，因?yàn)椋裕矗儆捎嘞叶ɡ淼茫矗谟散佗冢茫裕咀兪?1】如圖，在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P．(1)求；(2)求∠MPN的余弦值．【解析】（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以,在中，，所以（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以,所以，，所以，又與的夾角相等，所以，所以的余弦值為.【變式72】已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，AC邊上的中線，求的面積S．【解析】（1），因?yàn)椋裕?）【變式73】在中，，．(1)求證：為等腰三角形；(2)再?gòu)臈l件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，求的值．條件①：；條件②：的面積為；條件③：邊上的高為3．【解析】（1）在中，，，設(shè)，根據(jù)余弦定理，得，整理得，因?yàn)椋獾茫ㄘ?fù)值已舍去），所以