最新人教版九年級數(shù)學(xué)上冊全冊教案(導(dǎo)學(xué)案教學(xué)設(shè)計(jì))(108頁)

二H章一元二次方程

第1課時(shí)21.1一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念.

教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程的概念；一般式ax?+bx+c=0(aWO)及其派生的概念；?應(yīng)用一元二次方程概念

解決一些簡單題目.

1.通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，?模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義.

2.一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念.

3.解決一些概念性的題目.

4.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

重難點(diǎn)關(guān)鍵

1.-重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，?再由一元一次方程的概念遷移到

一元二次方程的概念.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動(dòng)：列方程.

問題(1)古算趣題：“執(zhí)竿進(jìn)屋”

笨人執(zhí)竿要進(jìn)屋，無奈門框攔住竹，橫多四尺豎多二，沒法急得放聲哭。

有個(gè)鄰居聰明者，教他斜竿對兩角，笨伯依言試一試，不多不少剛抵足。

借問竿長多少數(shù)，誰人算出我佩服。

如果假設(shè)門的高為x?尺，?那么，?這個(gè)門的寬為?尺，長為?尺，

?根據(jù)題意，?得.

整理、化簡，得：.

二、探索新知

學(xué)生活動(dòng)：請口答下面問題.

(1)上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？

(2)按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？

(3)有等號嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？

老師點(diǎn)評：(1)都只含一個(gè)未知數(shù)x；(2)它們的最高次數(shù)都是2次的；(3)?都有等號，是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二

次)的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的-■元二次方程，?經(jīng)過整理，?都能化成如下形式ax'+bx+c=O(a￥O).這

種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax'+bx+c=O(aWO)后，其中ax,是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx

是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).

例1.將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)

系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(ar。).因此，方程3x(x-1)=5(x+2)必須運(yùn)用整

式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號、移項(xiàng)等.

解：略

注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號.

例2.(學(xué)生活動(dòng)：請二至三位同學(xué)上臺(tái)演練)將方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=?1化成一元二

次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng).

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(x+1)■(x-2)(x+2)=1化成ax、bx+c=O(a#0)的形

式.

解：略

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)1、2

補(bǔ)充練習(xí)：判斷下列方程是否為一元二次方程？

1

(l)3x+2=5y-3(2)x=4(3)3x2---0(4)x-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0

x

四、應(yīng)用拓展

例3.求證：關(guān)于x的方程(m'-8m+17)x'+2mx+l=0,不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17?WO即可.

證明：m"-8m+17=(m-4)2+1

,；(m-4)2》0

?.(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1^0

二不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

?練習(xí)：1.方程(2a—4)X2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此

方程為一元一次方程？

2.當(dāng)m為何值時(shí)，方程(m+Dx'4":271nx+5=0是關(guān)于的一元二次方程

五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評)

本節(jié)課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax、bx+c=O(a#0)?和二次項(xiàng)、二次

項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用.

六、布置作業(yè)

2

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1課時(shí)直接開平方法

教學(xué)內(nèi)容

運(yùn)用直接開平方法,即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程邛隹次"，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解一元二次方程"降次"一轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax'+c=O,根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到

解a(ex+f)2+c=O型的一元二次方程.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)運(yùn)用開平方法解形如(x+ni)2=n(n")的方程，領(lǐng)會(huì)降次T化的數(shù)學(xué)思想.

難點(diǎn):通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x+m)Jn(n20)的方

教學(xué)過程

一、教師導(dǎo)學(xué)

學(xué)生活動(dòng):請同學(xué)們完成下列各題

問題1.填空

(1)X2-8X+=(x-)2；

(2)9X2+12X+=(3x+)2；

(3)x2+px+=(x+y.

問題2.如圖，在NBC中,NB=90。,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)A以lcm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開

始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā),幾秒后SBQ的面

積等于8cm2?

老師點(diǎn)評:

PP

問題1：根據(jù)完全平方公式可得:⑴164；(2)42；⑶(萬7.

問題2：設(shè)x秒后APBQ的面積等于8cm2

則PB=x,BQ=2x

3

2

依題意，得：x.2x=8

X2=8

根據(jù)平方根的意義彳導(dǎo)x=/2/

2?

即XI=2V,X2=-2V

2

可以驗(yàn)證,2/和-2/都是方程x.2x=8的兩根，但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值.

所以2/秒后SBQ的面積等于8cm\

二、合作與探究

上面我們已經(jīng)講了x?=8,根據(jù)平方根的意義,直接開平方得x=±2/,如果x換元為2t+L即(2t+lf=8,

能否也用直接開平方的方法求解呢？

(學(xué)生分組討論)

老師點(diǎn)評:回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴膞,那么2t+l=/2/

2?

即2ti+l=2V,2t2+l=-2V

22

方程的兩根為t產(chǎn)產(chǎn)-,t2=-/-

［例1］解方程：x?+4x+4=l

分析彳艮清楚4+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2『=l.

解:由已知彳導(dǎo)：(x+2f=l

直接開平方彳導(dǎo)：x+2=±1

即Xi+2=l,Xz+2=-1

所以，方程的兩根XI=T,X2=-3

【例2］市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的lOn?提高到14.4m：求每年人均住房面積增長

率.

分析:設(shè)每年人均住房面積增長率為x.一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10(l+x)；二年后人均住

房面積就應(yīng)該是10(l+x)+10(l+x)x=10(l+x)2

解:設(shè)每年人均住房面積增長率為x,

4

則：10(l+xf=14.4

(1+X)2=1.44

直接開平方彳導(dǎo)l+x=J.2

即l+xi=l.2,1+X2=-1.2

所以,方程的兩根是x,=0.2=20%,X2=-2.2

因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此,Xz=-2.2應(yīng)舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.

(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問:解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？

共同特點(diǎn):把一個(gè)一元二次方程"降次"，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，即"降次轉(zhuǎn)化思想".

三、鞏固練習(xí)

教材P6練習(xí).

四、能力展示

某公司一月份營業(yè)額為2萬元,第一季度總營業(yè)額為6.62萬元,求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長

率是多少？

五、總結(jié)提升

本節(jié)課應(yīng)掌握：

由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p(p20),那么x=/亦轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如(mx+n)Jp(p20),

那么mx+n=±/，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的.

六、布置作業(yè)

教材Pg習(xí)題21.21、2.

第2課時(shí)配方法

教學(xué)內(nèi)容

通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程.

教學(xué)目標(biāo)

理解通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題.

通過復(fù)習(xí)可直接化成x'p(p20)或(mx+ny=p(p20)的一元二次方程的解和不能直接化成上面兩種形

式的解題步驟.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn):講清"直接降次有困難，如X2+6X-16=0的一元二次方程的解題步驟”.

難點(diǎn):不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的"化為"的轉(zhuǎn)化方法與技巧.

教學(xué)過程

一、教師導(dǎo)學(xué)

(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們解下列方程

(l)3x-l=5⑵4(x-iy-9=0

(3)4X2+16X+16=9

5

老師點(diǎn)評:上面的方程都能化成X12=p或(mx+n戶p(p")的形式，那么可得

xM或mx+n=±VP(P>O).

如：4X2+16X+16=(2X+4『

二、合作與探究

列出下面問題的方程并回答：

⑴列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？

(2)能否直接用上面三個(gè)方程的解法呢？

問題:如圖,在寬為20m,長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路,

余下的六個(gè)相同的部分作為耕地,要使得耕地的面積為500nf,道路的寬為多少？

解:設(shè)道路的寬為x,則可列方程：(20-x)(32-2x)=500整理得義-36*+70=0

⑴列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是:前三個(gè)左邊是含有x的完全平方

式而后一個(gè)不具有.

⑵不能.

既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程

【例1】解方程：X2-36X+70=0.

老師點(diǎn)評：X2-36X=-70,X2-36X+18J-70+324,(XT8)J254,

x-18=tV254,X1-18=V254pgX2-18=-V254,XIa34,X2*2.

可以驗(yàn)證X.34,XE2都是原方程的根，但x=34不合題意，所以道路的寬應(yīng)為2.

【例2】解下列關(guān)于x的方程

2X2-4X-1=0

22

解：x?-2x-=0x-2x=

13

22

X2-2X+1=+1(x-l)=

6

xT=±即x「l=兇_]=_

X1=1+,X2=1-

可以驗(yàn)證：X1=1+,X2=1-都是方程的根.

像上面的解題方法,通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.

三、鞏固練習(xí)

教材P9練習(xí)12.(1)、(2).

四、能力展示

如圖，在Rt^ACB中/C=9O,AC=8m,BC=6m,點(diǎn)P、Q同時(shí)由A,B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速

移動(dòng)，它們的速度都是lm/s,幾秒后MCQ的面積為RtMCB面積的一半.

五、總結(jié)提升

本節(jié)課應(yīng)掌握：

配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.

六、布置作業(yè)

教材％習(xí)題21.23.

21.2.2公式法

第1課時(shí)一元二次方程根的判別式

教學(xué)內(nèi)容

一元二次方程根的判別式，即△=b?-4ac.

教學(xué)目標(biāo)

1.熟練運(yùn)用判別式判斷一元二次方程根的情況；

2.會(huì)根據(jù)方程的根的情況確定方程中一個(gè)字母系數(shù)的取值范圍.

教學(xué)重難點(diǎn)

1.運(yùn)用判別式求出符合題意的字母的取值范圍；

2.運(yùn)用判別式判別一元二次方程根的情況.

教學(xué)過程

一、教師導(dǎo)學(xué)

對于一元二次方程ax2a紇O(aHO)的根的判別式，我們知道△=b?-4ac.當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不等的

實(shí)數(shù)根;△=()時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;△〈()時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根,此結(jié)論反之也成立.

如果說方程有實(shí)數(shù)根，切記此時(shí)bJ4ac20,切勿丟掉等號.

二、合作探究

了解了上述判別規(guī)律，我們來進(jìn)行以下探究：

探究一:不解一元二次方程，判斷根的情況

【例1】不解方程，判斷X2-2X+3=0的根的情況.

M：A=b2-4ac=4-4xlx3=-8<0,

二原方程無實(shí)數(shù)根.

說明:解此類題時(shí),一般先要把方程化為一般形式求出△，然后對△進(jìn)行計(jì)算，使△的符號明朗化,進(jìn)而說

明△的符號情況彳導(dǎo)出結(jié)論.

探究二:根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍

［例2］已知一元二次方程kx4(2k-l)x+k+2=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

解:a=k,b=2k-l,c=k+2,

△=b-4ac=(2k-1)2-4k(k+2)=-12k+1

1?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

12

.■.b2-4ac>0,gp-12k+l>0,k<

12

.".k<且kAO.

說明:當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)也含有待定的字母時(shí)，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0,還要注意題目中待定字母的取

值范圍.

探究三:證明字母系數(shù)方程有無實(shí)數(shù)根

【例3］求證方程x2-(m+2)x+2m-l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

證明:△=［-(m+2)「-4⑵nT)=m2-4m+8=(m-2)'+4

無論m取何值都有(m-2y+4>0,即△〉().

所以無論m取何值，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

說明:此類題目要先把方強(qiáng)化心蠅式，再計(jì)算出△，如果不能直接判斷△情況，就利有配方法把△配

成含有完全平方的形式，根據(jù)完全平方的非負(fù)性，判斷△的情況,從而證明出方程根的情況.

8

三、鞏固練習(xí)

2

3

1.不解方程，判別方程X2-4X+8=0的根的情況；

2.關(guān)于x的一元二次方程mx2-(3m-l)x+2m-l=0,其根的判別式為1,求m的值及該方程的根；

3.已知m為非負(fù)整數(shù),且關(guān)于x的方程(m-2)x2-(2m-3)x+m+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值

四、總結(jié)提升

本節(jié)課應(yīng)掌握：

一元二次方程根的判別式的定義及其運(yùn)用，為后面學(xué)習(xí)用公式法解一元二次方程打好基礎(chǔ).

五、布置作業(yè)

教材P”習(xí)題21.24、12、13

第2課時(shí)公式法

教學(xué)內(nèi)容

1.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一

元二次方程.

2.過程與方法:復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0(a，0)的求根公式

的推導(dǎo)公式，并應(yīng)用公式法解一元二次方程.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn):求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

難點(diǎn):一元二次方程求根公式法的推導(dǎo).

教學(xué)過程

一、教師導(dǎo)學(xué)

(學(xué)生活動(dòng))用配方法解下列方程

(1)6X2-7X+1=0(2)4X-3X=52

老師點(diǎn)評：(1)移項(xiàng)，得：6x、'-7x=T；

71

66

二次項(xiàng)系數(shù)化為L得：--x=-

7717

612612

配方得X?-x+()2=-+()2；

9

7

1225

(x-六144；

75

1212

x-

57

12127+5

X1=+=12=1；

71

12126

X2=-

⑵略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié),老師點(diǎn)評).

⑴移項(xiàng)；

⑵化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；

(4)原方程變形為(x+m)Jn的形式；

(5)如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無解.

二、合作與探究

如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a/0),你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根,

請同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題.

問題:已知ax2+bx+c=O(a0)Sb2-4ac>0,

試推導(dǎo)它的兩個(gè)根

-b+

Xi=2n,x2=2n

分析:因?yàn)榍懊嫦禂?shù)是具體數(shù)字方程已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)

上面的解題步驟就可以一直推下去.

解:移項(xiàng)，得:ax'bx=-c

bc

二次項(xiàng)系數(shù)化為L得x2+￡=1;

10

bbcb

配方彳導(dǎo)：x?+ax+(2aI=-a+(2a)2；

bh2-4ac

即(x+2a)J4a2;

.「b2-4ac20且4a2〉0；

h2-4ac

4-n2>0；

bJbXac

直接開平方彳導(dǎo):x+五、一"五一；

-匕士、b2-4ac

即x=2n；

-b+b2-4ac-b-h2-4ac

?________

.,.Xi=2n,x2=2a

由上可知,一元二次方程ax、bx+c=0(aH0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定,因此：

(1)解一元二次方程時(shí),可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當(dāng)bJ4ac2()時(shí)，將a、b、c代入式子

-b±lb2-4ac

x=五就得到方程的根.

⑵這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式.

⑶利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

⑷由求根公式可知,一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

【例】用公式法解下列方程.

(x-2)(3x-5)=l

分析:用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可.

解:將方程化為一般形式

3x-llx+9=0；

a=3,b=-ll,c=9；

b2-4ac=(-ll)2-4x3x9=13>0；

-(-11)土反11土反

.X=2X3=6；

11+1

.,.Xi戶2：

11

三、鞏固練習(xí)

教材人練習(xí)1.⑴、⑶、(5)

四、能力展示

某數(shù)學(xué)興趣小組對關(guān)于x的方程(m+l)xm、2+(m-2)x-l=0提出了下列問題.

⑴若使方程為一元二次方程,m是否存在?若存在，求出m并解此方程.

⑵若使方程為一元一次方程尸是否存在?若存在，請求出.

你能解決這個(gè)問題嗎？

五、總結(jié)提升

本節(jié)課應(yīng)掌握：

⑴求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；

(2)公式法的概念；

⑶應(yīng)用公式法解一元二次方程；

⑷初步了解一元二次方程根的情況.

六、布置作業(yè)

教材入習(xí)題21.25.

21.2.3因式分解法

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:學(xué)會(huì)用因式分解的方法解某些一元二次方程，因式分解的具體方法有提取公因式法、

平方差公式法、完全平方公式法等.

2.過程與方法:通過對因式分解法的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握一元二次方程的解法，更深理解"降次"的基本

思想.

教學(xué)重難點(diǎn)

熟練用因式分解的方法解有關(guān)的一元二次方程

教學(xué)過程

一、教師導(dǎo)學(xué)

問題:根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個(gè)物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過xs物體離地面的

高度(單位:m)為lOx-4.9x；你能根據(jù)此規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎?(精確到0.01s)?

二、合作與探究

上面的問題可設(shè)物體經(jīng)過xs落回地面，這時(shí)它離地面的高度為0,即lOx-4.9xJ0.除配方法或公式法

以外，今天我們選擇一種更簡單的方法解此方程.

分析:方程左邊因式分解彳導(dǎo)x(10-4.9x)=0.

于是得x=0或10-4.9x=0,

100

xi=O,x2=49~2.04.

即0s時(shí)物體被拋出,2.04s時(shí)落回地面.

可以發(fā)現(xiàn)，上述解法中，不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形

式,再使這兩個(gè)一次式分別等于。，從而實(shí)現(xiàn)降次,這種解法叫做因式分解法.

【例】解下列方程：(l)x(x-2)+x-2=0；

12

3

(2)5X2_2X_=X2_2X+

解⑴因式分解得(x-2)(x+l)=0；

.,.x-2=0或X+1=0；.'.XI=2,X2=-1

⑵移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)猾4x7=0；

因式分解彳導(dǎo)(2x+l)(2x-l)=0；

.1.2x+l=0或2xT=0；

22

.'-xi=-,x2=

三、鞏固練習(xí)

教材P”練習(xí)1、2.

四、能力展示

1.因式分解法解下列方程：

(l)x2+2x=-l；(2)(y-2)2=3(2-y).

2.已知(a2+b-『-3(a2+b-)-4=0,求a'+tr的值.

五、總結(jié)提升

本節(jié)課應(yīng)掌握:熟練用因式分解法解某些一元二次方程.

六、作業(yè)布置

教材％習(xí)題21.26

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)內(nèi)容

由一元二次方程的求根公式推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并用根與系數(shù)的關(guān)系求方程另一根

及字母系數(shù)的值及一些代數(shù)式的值等運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能:會(huì)用求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系，并利用它不解方程，解決一些與方程的根有關(guān)的

問題.

2.過程與方法:不解方程，直接用根與系數(shù)的關(guān)系求方程的另一根，及有關(guān)X-X。的對稱式的代數(shù)式的

值.

教學(xué)重難點(diǎn)

熟練用求根公式，不解方程而直接解決與方程的根有關(guān)的問題.

教學(xué)過程

一、教師導(dǎo)學(xué)

2

問題:方程X+X-6=0的兩個(gè)根.xi=_________,x2=_________,xi+x2=_________,X|.x2=_________.方程

x2+px+q=0(p2-4qN0)的兩個(gè)根Xi=,x2=,xi+x2=,xi-x2=

二、合作與探究

13

=J

由上面的問題可知fxi+x2-pfxi-x2-q>設(shè)方程ax'+bx+c=0(aW0zb-4ac>0),兩根為xi,xz,那么

XI+X2=,Xl.X2=.

22

?b+、h-4ac?b-、h-4ac》c

,

分析:TX尸亢一,X2=2a/..Xi+x2=-a/XiX2=a這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

［例1］若X“x，是方程x2-2x-l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，不解方程,求下列代數(shù)式的值：

(1)+⑵婢+理

(3)(XI-X2)(4)(XI+1)(X2+1)

分析利用根與系數(shù)的關(guān)系得：X,+X2=2,XM=T,再將所有式子用X,+X〃XM表示，再整體代入求解即可.

解:略.

1

【例2】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的兩實(shí)根為a￡且+=T,求m

的值

a+S

分析：+=方一,由根與系數(shù)關(guān)系代入求出m的值，但是m的值必須滿足一元二次方

程有兩實(shí)根，即滿足A=b2-4ac20.

解:m=3.

三、鞏固練習(xí)

1

2

1.已知方程2xJ-3x-2=0的兩根分別為Xi,X2,則Xi+xz+xiX2=_.

29

2.已知關(guān)于x的一元二次方程2x~-mx-2m+>0的兩根的平方和是A，求m的值

解:mi=T1(舍去),nh=3.

14

3.關(guān)于x的方程x?-2的一個(gè)根為V^+l,求方程的另一根，及m的值

解:另一根為了T,m=2.

四、能力展示

已知xix是關(guān)于x的方程x2+(2a-l)x+a2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且天+2)4+2)=11,求a的值.

解⑶=5(舍去),az=T.

五、總結(jié)提升

本節(jié)課應(yīng)掌握不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決關(guān)于XI+X2與X-有關(guān)代數(shù)式值的問題或求方程的

根或字母系數(shù)的值.

六、布置作業(yè)

教材咋練習(xí)

元二次方程的根教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)任務(wù)分析

1、了解一元二次方程根的概念，.

知識(shí)技能2、會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根及利用它們解

教決一些具體問題

學(xué)

學(xué)會(huì)由“一元一次”向“一元二次”的推進(jìn)，體驗(yàn)類比的數(shù)學(xué)

目數(shù)學(xué)思考

思想。

標(biāo)

解決問題會(huì)用估算解簡單一元二次方程，鍛煉學(xué)生估算能力。

情感態(tài)度增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情

重點(diǎn)判定一個(gè)數(shù)是否是一元二次方程的根。

難點(diǎn)通過觀察、估算求某些一元二次方程的解。

二、教學(xué)流程安排

活動(dòng)流程圖活動(dòng)內(nèi)容和目的

活動(dòng)1復(fù)從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好知識(shí)準(zhǔn)備。

習(xí)引入新課

活動(dòng)通過類比一元一次方程的解得出一元二次方程的解的概念。

2啟發(fā)探

究獲得新知

活動(dòng)鞏固對一元二次方程的根的概念的認(rèn)識(shí)，用估算解簡單方程

3運(yùn)用新

知體驗(yàn)成功

活動(dòng)4練習(xí)進(jìn)一步加深對一元二次方程的根的概念的理解。

15

鞏固

活動(dòng)5歸回顧梳理本節(jié)內(nèi)容，分層次布置作業(yè)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

納小結(jié)布置趣。

作業(yè)

三、教學(xué)過程諛出

問題與情境師生行為設(shè)計(jì)意圖

「活動(dòng)1」

1、解方程3x=2(x+5)此三題為口答

2、試說出什么是方程的解？教師提出的問題，由學(xué)題，復(fù)習(xí)一元一次

3、下列各數(shù)是方程之x+2)=2的生完成，通過師生共評，方程的解，旨在對

解的是()糾正出現(xiàn)的問題。比學(xué)習(xí)一元二次方

A、6B、2C、4D、0程的解，培養(yǎng)學(xué)生

繼續(xù)探究的興趣。

「活動(dòng)2]

問題學(xué)生自學(xué)課本P27-28

1、對于有關(guān)排球賽問題，我們得的內(nèi)容，針對教師提出學(xué)生通過自學(xué)

出方程x2-x=56的解是什么？怎的問題，學(xué)生思考并回經(jīng)歷思考、討論、

樣得出的？答。教師可適時(shí)評價(jià)，分析的過程，最終

在此基礎(chǔ)上師生共同得形成一元二次方程

2、什么叫一元二次方程的根？出：解的概念，學(xué)會(huì)由

1、一元二次方程的解叫“一元一次”向“一

3、除8和-7外，方程x2-x=56元二次”的推進(jìn)，

做一元二次方程的根.

還有沒有其他的根？體驗(yàn)類比的數(shù)學(xué)思

X?-x=56有兩個(gè)根，想。

4、符合實(shí)際意義的答案是什么？一個(gè)是8,另一個(gè)是一7,

為什么x=-7不符合題意？但-7不滿足題意；因此，

由實(shí)際問題列出方程并

5、怎樣嘗試求一元二次方程的解得的根，并不一定是

根？實(shí)際問題的根，還要考

慮這些根是否確實(shí)是實(shí)

6、完成課本P*的“思考”，體會(huì)際問題的解。

與嘗試求解的異同？2、正確理解方程解的意

義，讓學(xué)生知道嘗試求

7、一元二次方程的根有幾個(gè)呢？解也是一種方法，對于

舉例說明。第1個(gè)問題強(qiáng)調(diào)由實(shí)際

問題列出方程求解后，

要考慮這些解是否符合

實(shí)際意義。

「活動(dòng)3」

例1、下面哪些數(shù)是方程

2x2+10x+12=0的根？(1)學(xué)生先獨(dú)立完牢牢把握方程的根

~4,-3,-2,T,0,1,2,3,成，教師巡視。定義，對比一元一

(2)例3教師講解次方程的解的含

4.

示范。義。在例2中要學(xué)

16

例2、認(rèn)真觀察下列方程的結(jié)構(gòu)形要判定一個(gè)數(shù)是否會(huì)觀察，結(jié)合平方

式，試寫出下列方程的根，并說出是方程的根，只要把其根的意義。

你的理由。代入等式，使等式兩邊

(1)x-64=0(2)(x+3)相等即可。

要求出方程的根，就

(x-2)=0(3)(x-2)2=64是要求出滿足等式的

(4)x-2x+l=25數(shù)。

例3、若x=3是方程x2+kx=0的一

個(gè)根，試求常數(shù)k的值？

1'活動(dòng)4」

練習(xí)可讓學(xué)生板演，完成后通過練習(xí)加深學(xué)生

1、教材P28練習(xí)1、2題。對照一下，教師可作簡對一元二次方程解

2、如果2是方程ax2+4x-5=o的一單點(diǎn)評。的概念的理解與掌

個(gè)根，你能求出a的值嗎？握。

「活動(dòng)5」

1、小結(jié)：學(xué)生自己總結(jié)，不全面通過小結(jié)，學(xué)生把

本節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)？地由其他學(xué)生補(bǔ)充完所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步系

從中得到什么啟發(fā)？善，教師重點(diǎn)關(guān)注不同統(tǒng)化。

層次學(xué)生對本節(jié)知識(shí)的

2、布置作業(yè)理解、掌握程度。

⑴教材P2B習(xí)題第3、4題

(2)教材P29習(xí)題第9題學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)。

21.3實(shí)際問題與一元二次方程

第1課時(shí)傳播問題

教學(xué)目標(biāo)

i.會(huì)利用一元二次方程解決傳播問題.

2.培養(yǎng)分析問題解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn):利用一元二次方程解決傳播問題.

難點(diǎn):根據(jù)傳播問題列方程.

教學(xué)過程

一、教師導(dǎo)學(xué)

填空:

(1)有一人得了流感他把流感傳染給了10個(gè)人，共有人得流感;第一輪傳染后，所有得流感的

人每人又把流感傳染給了10個(gè)人，經(jīng)過兩輪傳染后，共有人得流感.

17

⑵有一人得了流感，他把流感傳染給了X個(gè)人，共有人得流感;第一輪傳染后，所有得流感的

人每人又把流感傳染給了X個(gè)人，經(jīng)過兩輪傳染后，共有人得流感.

((1)題答案為11,121,(2)題答案為l+x,l+x+x(x+l),先讓學(xué)生自己做,然后老師進(jìn)行講解)

二、合作與探究

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了上面的例題，本節(jié)課我們再來看下面的這個(gè)例題.

【例】有一人得了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有121人得了流感，每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人?

分析:設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人,那么第一輪后，共有(x+1)人得了流感;第二輪后，共有

[l+x+x(l+x)]人得了流感,根據(jù)題意可列出等量關(guān)系.

解:設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人,根據(jù)題意有：

l+x+x(l+x)=121,整理得:(l+x『=121,

解得XI=10,X2=-12

由于方程中x表示被傳染的人數(shù)，所以x=-12不符合題意,舍去.

即每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了10個(gè)人.

同學(xué)們可以想一下，如果按照這樣的傳染速度，第三輪后有多少人患了流感？

三、鞏固練習(xí)

⑴在王老師所教的班級中，每兩個(gè)學(xué)生都握手一次，全班學(xué)生一共握手780次,那么王老師所教的班

級共有多少名學(xué)生？

2

解：x(xT)=780,解得XI=40,X2=-39(舍去)

⑵過年了，同學(xué)互發(fā)短信拜年，共發(fā)送短信110條,則這個(gè)小組有多少個(gè)成員?(列出方程即可)

解：x(x-l)=110

四、能力展示

某種電腦病毒傳播非常快,如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染，求每輪感

染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦?若病毒得不到控制,3輪傳染后，有多少臺(tái)電腦被感染?5輪感染后

呢?n輪感染后呢？

五、總結(jié)提升

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用一元二次方程解決傳播問題，俗話說:T專十，十傳百.這T專十,十傳百是怎么

傳的?(指準(zhǔn)方程)用方程來表示就是(1+行=121.如果傳了三輪,就成了(1+x)'；如果傳了十輪，就成了(l+x)'°.

利用此知識(shí)點(diǎn)，我們可以求線段的條數(shù)、角的個(gè)數(shù)、三角形的個(gè)數(shù)及多邊形對角線的條數(shù)等.

六、布置作業(yè)

教材Pn習(xí)題21.31、4

第2課時(shí)平均變化率問題

教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)利用一元二次方程解決增長問題.

2.培養(yǎng)分析問題解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí).

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn):利用一元二次方程解決增長問題.

18

難點(diǎn):根據(jù)增長問題列方程.

教學(xué)過程

一、教師導(dǎo)學(xué)

填空：

⑴小王家2013年收入是5萬元,以后每年增長10%,則小王家2014年的收入是萬元,2015年

的收入是萬元；

⑵小王家2013年收入是5萬元,以后每年的增長率為x,則小王家2014年的收入是萬

元,2015年的收入是萬元.

(⑴題答案為5.5、6.05,⑵題答案為5(l+x),5(x+l)：先讓學(xué)生自己做，然后老師進(jìn)行講解，并寫出過

程)

二、合作與探究

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用一兀三迭方程解決傳播問題，什么是傳播問題?就是像"一傳十，十傳百”這樣

的問題.與傳播問題類似的還有一種問題,叫增長問題.下面我們就來看一個(gè)增長問題.

【例】小王家2013年的收入是5萬元,2015年的收入是6.05萬元，求小王家收入的年平均增長率.

分析：2013年的收入是5萬元，設(shè)平均增長率為x,則2014年的年收入為5+5x,2015年的年收入為

5+5x+(5+5x)x,根據(jù)題意可得出等量關(guān)系.

解:設(shè)小王家年收入年平均增長率為x,根據(jù)題意得

5(l+x)J6.05,

解得的=0.1兇=-2.2(舍去)

即小王家年收入增長率為10%.

三、鞏固練習(xí)

⑴某種商品原價(jià)50元，受金融危機(jī)影響,1月份降價(jià)10%,從2月份開始漲價(jià),3月份的售價(jià)為64.8元

求2、3月份價(jià)格的平均增長率.

解:設(shè)平均增長率為X.

50(1-10%)(1+X)2=64.8

解得xi=0.2=20%,X2=-2.2(舍去)

⑵新華商場銷售的冰箱每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元,市場調(diào)研表明:當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí),平均每天能售

出8臺(tái);而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí),平均每天就能多售出4臺(tái).商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天

達(dá)到5000元,那么冰箱的定價(jià)應(yīng)是多少？

解:設(shè)降價(jià)x元/臺(tái)，則

(400-x)(8+)=5000

XI=X2=150,.-.2900-150=2750(元/臺(tái))

或設(shè)定價(jià)為x元/臺(tái)，則

(x-2500)x(x4+8)=5000.

解得x=2750阮/臺(tái)).

19

四、總結(jié)提升

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用一元二次方程解決增長問題，增長問題在現(xiàn)在生活中很常見，它與傳播問題類

似，希望大家掌握解決這兩個(gè)問題的方法.

五、布置作業(yè)

教材P"習(xí)題21.32、7

第3課時(shí)圖形面積問題

教學(xué)內(nèi)容

根據(jù)面積與面積之間的關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決這類問題.

教學(xué)目標(biāo)

掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.

利用提問的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來引入新課,解決新課中的問題.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn):根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.

難點(diǎn):根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)過程

一、教師導(dǎo)學(xué)

(口述)1.直角三角形的面積公式是什么?一般三角形的面積公式是什么呢？

2.正方形的面積公式是什么呢?長方形的面積公式又是什么?梯形的面積公式是什么?菱形的面積公

式是什么?平行四邊形的面積公式是什么?圓的面積公式是什么？

(學(xué)生口答，老師點(diǎn)評)

二、合作與探究

現(xiàn)在，我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的面積公式來建立一些數(shù)學(xué)模型，解決一些實(shí)際問題.

學(xué)生活動(dòng)：

請同學(xué)們完成教材也探究3.

三、鞏固練習(xí)

有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺(tái)布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時(shí)，各邊

垂下的長度相同,求臺(tái)布的長和寬各是多少？

解:設(shè)各邊垂下x尺.

(6+2x)(3+2x)=2*6x3

-9+3717

x=,x>0..,.x=A",長為尺，寬為尺.

四、能力展示

如圖所示，在AABC中/B=9(hAB=6cm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng).

20

2

如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使S.pW=8cm.

五、總結(jié)提升

本節(jié)課應(yīng)掌握：

利用已學(xué)的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.

六、布置作業(yè)

教材P22習(xí)題21.35、6、10.

第二十二章二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

22.1.1二次函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

1.通過對實(shí)際問題情境的分析，讓學(xué)生經(jīng)歷二次函數(shù)概念的形成過程，學(xué)會(huì)用類比思想學(xué)習(xí)二次函數(shù)

知識(shí)

2.掌握二次函數(shù)的概念.

3.認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)來源于實(shí)際生活,感受到二次函數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn):二次函數(shù)的概念.

難點(diǎn):理解變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

教學(xué)過程與方法

知識(shí)點(diǎn):二次函數(shù)的概念

1.學(xué)生自主學(xué)習(xí)教材P￡P(guān)a,問題1、問題2（約5分鐘）

2.觀察思考與歸納（約5分鐘）

⑴觀察y=6x；d=n2-n、y=20（l+x）”這三個(gè)函數(shù),它們有什么共同點(diǎn)?

⑵你覺得這樣的函數(shù)可以叫做什么函數(shù)？

⑶在學(xué)生思考回答后，給出二次函數(shù)的定義:一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)a/0）的函數(shù)叫做

二次函數(shù).其中,x是自變量,a、b、c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

⑷師生一起討論二次函數(shù)有哪幾種特殊形式.

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3.鞏固強(qiáng)化與交流（約5分鐘）

⑴教材即練習(xí)第廣2題.

⑵出示例1：下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)?哪些不是?

①y=l-2x?

②、=(x-2)(x+3)-x'

③yHa'+Dx'+bx

@y=+-1

|X2-2X-3

⑤y=、

⑥y=（向42C-1

解:①③是二次函數(shù);其余都不是二次函數(shù).

4.合作與探究（約5分鐘）

⑴你對二次函數(shù)概念的理解有了哪些新的認(rèn)識(shí)？

⑵出示例2：已知函數(shù)y=（a+l）xa2+1+（a-2）x.

①當(dāng)a為何值時(shí),此函數(shù)為二次函數(shù)？

②當(dāng)a為何值時(shí),此函數(shù)為一次函數(shù)？

解:①a=l.②a=0或a=-l.

5.課堂小結(jié)（約5分鐘）

⑴到目前為止，我們學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)?這些函數(shù)之間有什么聯(lián)系？

⑵二次函數(shù)的一般表達(dá)式是怎樣的?對a、b、c有什么條