第01講條件概率與事件的獨立性課程標準學習目標1.了解條件概率的概念，掌握求條件概率的兩種方法，能利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題；2.結合古典概型，會利用乘法公式計算概率，結合古典概型，會利用全概率公式計算概率．了解貝葉斯公式；3.理解兩個事件相互獨立的概念，掌握相互獨立事件同時發生的概率乘法公式.1.掌握條件概率的意義并能利用條件概率公式處理實際問題；2.能從條件概率的定義推導乘法公式，會應用乘法公式計算概率，理解全概率公式，學會利用全概率公式與貝葉斯公式計算概率．3.會判斷事件的獨立性，并能利用公式求解實際問題.知識點01條件概率1.條件概率的定義（1）一般地，當事件B發生的概率大于0時(即P(B)>0)，已知事件B發生的條件下事件A發生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B).（2）條件概率的求法：（1）定義法：；（2）縮小樣本空間法：．2．條件概率的性質（1）任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P(B|A)≤1．（2）P(A|A)1.（3）如果B與C是兩個互斥事件，則P((B∪C)|A)P(B|A)＋P(C|A)．（4）設eq\o(B,\s\up6(－))與B互為對立事件，則P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)1－P(B|A).【即學即練1】1.（多選）下面幾種概率不是條件概率的是()A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下，乙投籃一次命中的概率C．有10件產品，其中3件次品，抽2件產品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率D．小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是eq\f(2,5)，則小明在一次上學途中遇到紅燈的概率2.若P(AB)eq\f(3,5)，P(A)eq\f(3,4)，則P(B|A)()A．eq\f(5,4)B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(3,4)知識點02乘法公式與全概率公式1．乘法公式(1)公式：P(BA)P(A)P(B|A)．(2)公式的推導依據：P(B|A)eq\f(PBA,PA)，即根據事件A發生的概率，以及已知事件A發生的條件下事件B發生的概率，可以求出A與B同時發生的概率．2．全概率公式(1)公式：P(B)P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．(2)公式的推導：一般地，如果樣本空間為Ω，而A，B為事件，則BA與Beq\x\to(A)是互斥的，且BBΩB(A＋)BA＋B，如圖所示，從而P(B)P(BA＋B)P(BA)＋P(B)．由乘法公式可得全概率公式P(B)P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．3．全概率公式的推廣若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．4．貝葉斯公式(選學)（1）定義：一般地，當且時，有（2）貝葉斯公式的推廣：若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且（3）利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計算，即；第二步：計算，可利用求解；第三步：代入求解．【即學即練2】1．已知P(B)eq\f(1,2)，P(A|B)eq\f(1,3)，則P(AB)()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(5,6)2．甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，其產量分別占總量的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%.從這批產品中任取一件，則它是次品的概率為()A．0.0123 B．0.0234C．0.0345 D．0.0456知識點03獨立性與條件概率的關系1、當P(B)＞0時，事件A與事件B相互獨立的充要條件是P(A|B)P(A)．這就是說，此時事件A發生的概率與已知事件B發生時事件A發生的概率相等．也就是事件B的發生，不會影響事件A發生的概率．2、判斷事件是否相互獨立的方法：（1）定義法：事件，相互獨立的充要條件是．（2）由事件本身的性質直接判斷兩個事件的發生是否相互影響．（3）條件概率法：當時，可用判斷．【即學即練3】(多選)下列說法正確有()A．對事件A和B，若P(B|A)P(B)，則事件A與B相互獨立B．若事件A，B相互獨立，則P(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(A,\s\up6(－)))×P(eq\o(B,\s\up6(－)))C．如果事件A與事件B相互獨立，則P(B|A)P(B)D．若事件A與B相互獨立，則B與eq\o(B,\s\up6(－))相互獨立題型01條件概率的計算角度1公式法【典例1】（23-24高二下·河南·月考）從裝有2個白球、3個紅球的箱子中無放回地隨機取兩次，每次取一個球，表示事件“兩次取出的球顏色相同”，表示事件“兩次取出的球中至少有1個是紅球”，則（

）A． B． C． D．【變式1】已知事件A，B，若，，則（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）現有4名男生，2名女生.從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）現有4名男生，2名女生.從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（

）A． B． C． D．角度1縮小樣本空間法【典例2】（23-24高二下·浙江·期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，現隨機選擇一個有三個孩子的家庭，且該家庭有女孩，則三個小孩都是女孩的概率為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高二下·北京·期中）投擲一枚質地均勻的骰子兩次，記，，則（

）A． B． C． D．【變式2】小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“4個人去的景點不完全相同”，事件B為“小趙獨自去一個景點”，則P(B|A)()A．eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(5,7) D．eq\f(6,7)【變式3】從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩個數，事件“有一個數是奇數”，“另一個數也是奇數”，則（

）A． B． C． D．題型02條件概率的性質及應用【典例3】在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．【變式1】已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·湖北武漢·二模）設，為任意兩個事件，且，，則下列選項必不成立的是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）（多選）設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則下列說法正確的是（

）．A． B．C． D．【變式4】A、B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則下列錯誤的是（

）A． B． C． D．題型03乘法公式的應用【典例4】（2025高二·全國·專題練習）一個不透明的箱子裝有若干個除顏色外完全相同的紅球和黃球．若第一次摸出紅球的概率為，在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出黃球的概率為，則第一次摸出紅球且第二次摸出黃球的概率為（）A． B． C． D．【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業）已知，且相互獨立，則（

）A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．無法求解【變式2】（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知在8個球中，有2個白球，6個紅球，每次任取一個球，取出后不再放回，則經過2次取球恰好將2個白球全部取出的概率為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·山東青島·期中）已知事件，若，，則（

）A． B． C． D．【變式4】（2024·安徽合肥·一模）核酸檢測是目前確認新型冠狀病毒感染最可靠的依據．經大量病例調查發現，試劑盒的質量、抽取標本的部位和取得的標本數量，對檢測結果的準確性有一定影響．已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標本檢出陽性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標本檢出陽性的概率為（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%題型04全概率公式的應用【典例5】現有甲、乙兩盒，甲盒中有3個紅球，2個白球，乙盒中有2個紅球，1個白球，先從甲盒中采用不放回抽樣取3個球放入乙盒，再從乙盒中取1個球，求取到的是紅球的概率．【變式1】（23-24高二下·廣東東莞·期中）袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中依次取兩球（不放回），則第二次取到的是黑球的概率為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高二下·江蘇淮安·月考）某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”.統計資料表明，這三類人在一年內發生事故的概率依次為0.05，0.15，0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占70%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內發生事故的概率是（

）A．0.155 B．0.175 C．0.01 D．0.096【變式3】（23-24高二下·北京順義·期中）從甲地到乙地共有、、三條路線可選擇，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，若李先生從這三條路線中等可能的任選一條開車自駕游，則堵車的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9【變式4】（23-24高二下·浙江麗水·期中）某學校有，兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計算王同學第2天去餐廳用餐的概率（

）A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.52題型05貝葉斯公式的應用【典例6】（2024·安徽·三模）托馬斯?貝葉斯在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.春夏換季是流行性感冒爆發期，已知三個地區分別有的人患了流感，且這三個地區的人口數之比是，現從這三個地區中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來自地區的概率是（

）A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52【變式1】某批產品來自，兩條生產線，生產線占，次品率為4%；生產線占，次品率為，現隨機抽取一件進行檢測，若抽到的是次品，則它來自生產線的概率是（

）A． B． C． D．【變式2】英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件A，B存在如下關系：.若某地區一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【變式3】三批同種規格的產品，第一批占25%，次品率為6%；第二批占30%，次品率為5%；第三批占45%，次品率為5%．將三批產品混合，從混合產品中任取一件．（1）求這件產品是次品的概率；（2）已知取到的是次品，求它取自第一批產品的概率．【變式4】設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．題型06相互獨立事件的判斷【典例7】（23-24高二上·廣東·月考）現有同副牌中的5張數字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張．甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”，則（

）A．乙與丙相互獨立 B．乙與丁相互獨立C．甲與丙相互獨立 D．甲與乙相互獨立【變式1】袋內有個白球和個黑球，從中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”記為，“第二次摸得黑球”記為，那么事件與，與間的關系是（

）A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立【變式2】)下列事件中，A，B是相互獨立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A“第一次為正面”，B“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A“第一次摸到白球”，B“第二次摸到白球”C．擲一枚骰子，A“出現點數為奇數”，B“出現點數為偶數”D．A“人能活到20歲”，B“人能活到70歲”【變式3】擲一枚質地均勻的骰子，記事件“出現的點數不超過3”，事件“出現的點數是3或6”．則事件A與B的關系為（

）A．事件A與B互斥 B．事件A與B對立 C．事件A與B獨立 D．事件A包含于B【變式4】在一次試驗中，隨機事件A，滿足，則（

）A．事件A，一定互斥 B．事件A，一定不互斥C．事件A，一定相互獨立 D．事件A，一定不相互獨立題型07相互獨立事件的概率問題【典例8】（23-24高二下·江蘇揚州·月考）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預賽、半決賽和決賽三個階段，只有預賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽．已知甲在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和．則甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙兩個氣象臺同時做天氣預報，如果它們預報準確的概率分別為0.8與0.7，且預報準確與否相互獨立，那么在一次預報中這兩個氣象臺恰有一個預報準確的概率是（

）A．0.06 B．0.38 C．0.580 D．0.94【變式2】（23-24高二下·安徽·月考）甲、乙兩人玩剪子包袱錘游戲，若每次出拳甲勝與乙勝的概率均為，且兩人約定連續3次平局時停止游戲，則第7次出拳后停止游戲的概率為（

）A． B． C． D．【變式4】甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，甲、乙兩人只有一人被選中的概率為eq\f(11,20)，甲、乙兩人都被選中的概率為eq\f(3,10)，丙被選中的概率為eq\f(1,3)，其中乙被選中的概率大于甲被選中的概率，且各自能否被選中互不影響．(1)求3人同時被選中的概率；(2)求恰好有2人被選中的概率；(3)求3人中至少有1人被選中的概率．【變式5】一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率；(2)第1次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率．題型08概率的綜合問題【典例9】（23-24高二下·江蘇常州·月考）現有編號為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3個盒子，Ⅰ號盒中有2個白球和3個黑球；Ⅱ號盒中有2個白球和2個黑球；Ⅲ盒中有3個白球和1個黑球．現從Ⅰ號盒中任取1個球放入Ⅱ號盒中，再從Ⅱ號盒中任取1個球放入Ⅲ號盒中，最后從Ⅲ號盒中任取1個球放回Ⅰ號盒中．(1)求3個盒子的球的組成都保持不變的概率；(2)問Ⅰ號盒中的球怎樣組成的可能性最大？【變式1】（23-24高二下·安徽·月考）通過調查，某市小學生、初中生、高中生的肥胖率分別為，，．已知該市小學生、初中生、高中生的人數之比為，若從該市中小學生中，隨機抽取1名學生．(1)求該學生為肥胖學生的概率；(2)在抽取的學生是肥胖學生的條件下，求該學生為高中生的概率．【變式2】（23-24高二下·江蘇常州·月考）學生甲想參加某高中校藍球投籃特長生考試，測試規則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進第一球，則直接進入下一輪，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則進入下一輪，否則不預錄取；③若他在三分線處投進第一球，則直接錄取，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則錄取，否則不預錄取.已知學生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為，假設學生甲每次投進與否互不影響.則學生甲共投籃三次就結束考試得概率為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·遼寧大連·期中）在某次美術專業測試中，若甲、乙、丙三人獲得優秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結果相互獨立，則測試結束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優秀等級的前提條件下，乙沒有達優秀等級的概率為（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高二下·重慶·月考）年級教師元旦晚會時，“玲兒姐”、“關關姐”和“頁樓哥”參加一項趣味問答活動．該活動共有兩個問題，如果參加者兩個問題都回答正確，則可得到一枝“黑玫瑰”獎品．已知在第一個問題中“玲兒姐”回答正確的概率為，“玲兒姐”和“關關姐”兩人都回答錯誤的概率為，“關關姐”和“頁樓哥”兩人都回答正確的概率為；在第二個問題中“玲兒姐”、“關關姐”和“頁樓哥”回答正確的概率依次為．且所有的問答中回答正確與否相互之間沒有任何影響．（1）在第一個問題中，分別求出“關關姐”和“頁樓哥”回答正確的概率；（2）分別求出“玲兒姐”、“關關姐”和“頁樓哥”獲得一枝“黑玫瑰”獎品的概率，并求三人最終一共獲得2枝“黑玫瑰”獎品的概率．一、單選題1．（24-25高二上·湖北·開學考試）擲兩枚質地均勻的骰子，設“第一枚出現小于4的點”，“第二枚出現大于3的點”，則與的關系為（

）A．互斥 B．互為對立 C．相互獨立 D．相等2．（23-24高二下·廣東湛江·期中）已知，，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·黑龍江大慶·階段練習）天氣預報表明在國慶假期甲地降雨概率是，乙地降雨概率是.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為（

）A．0.28 B．0.42 C．0.46 D．0.5804．（23-24高二下·云南保山·階段練習）已知隨機事件滿足，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·江蘇南通·期末）甲箱中有2個紅球和2個黑球，乙箱中有1個紅球和3個黑球．先從甲箱中等可能地取出2個球放入乙箱，再從乙箱中等可能地取出1個球，記事件“從甲箱中取出的球恰有個紅球”為，“從乙箱中取出的球是黑球”為，則（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·甘肅·期中）2020年1月，教有部出臺《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》（簡稱“強基計劃），明確從2020年起強基計劃取代原高校自主招生方式，如果甲?乙?兩人通過強基計劃的概率分別為，，那么甲?乙兩人中恰有1人通過的概率為（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）秋冬季節是某呼吸道疾病的高發期，為了解該疾病的發病情況，疾控部門對該地區居民進行普查化驗，化驗結果陽性率為，但統計分析結果顯示患病率為，醫學研究表明化驗結果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結果呈陽性的概率為，則該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為（

）A． B． C． D．8．（23-24高二下·福建泉州·期末）某學校有兩家餐廳，王同學第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知分別為隨機事件的對立事件，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則事件與事件相互獨立D．若，則10．（23-24高二下·陜西西安·期末）一個箱子中裝有大小?形狀均相同的8個小球，其中白球5個?黑球3個，現在兩次不放回的從箱子中取球，第一次先從箱子中隨機取出1個球，第二次再從箱子中隨機取出2個球，分別用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分別用，表示事件“第二次取出的兩球都為黑球”，“第二次取出的兩球為一個白球一個黑球”.則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．11．（23-24高二下·河北·階段練習）某校進行一項問卷調查，為了調動學生參與的積極性，凡參與者均有機會獲得獎品.學校設置了3個不同顏色的抽獎箱，每個箱子中的小球質地均勻，大小相同，其中紅色箱子放有2個紅球，2個黃球，2個綠球，黃色箱子放有2個黃球，1個綠球，綠色箱子放有1個黃球，2個綠球.參與者先從紅色箱子中隨機抽取1個小球，將其放入與小球顏色相同的箱子中，再從放入小球的箱子中隨機抽取1個小球，如此重復，抽取3個小球，抽獎結束.若抽取的3個小球顏色全不相同為一等獎，3個小球顏色全部相同為二等獎，其他情況沒有獎品.已知甲同學參與了問卷調查，則（

）A．甲第一次取到紅球的條件下，獲得一等獎的概率為B．甲第一次取到黃球的條件下，獲得二等獎的概率為C．甲獲獎的條件下，第一次取到綠球的概率為D．甲第一次取球取到紅球獲獎的概率最大三、填空題12．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，則的一個可能的值為．13．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習）某專業技術的考試共兩個單項考試，考生應依次參加兩個單項考試，前一項考試合格后才能報名參加后一項考試，考試不合格則需另行交費預約再次補考.據調查，這兩項考試的合格率依次為，，且各項考試是否通過互不影響，則一位考生通過這項專業技術考試至多需要補考一次的概率為.14．（24-25高二上·湖北十堰·階段練習）假定某工廠甲、乙、丙個車間生產同一種螺釘，產量依次占全廠的、、，如果各車間的次品率依次為、、.現在從待出廠產品中檢查出個次品，則它是由甲車間生產的概率是．四、解答題15．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）某校學生文藝部有男生4人，女生2人(1)若安排這6名同學站成一排照相，要求2名女生互不相鄰，這樣的排法有多少種？(2)若從中挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動，①求男生甲被選中的概率；②在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率．16．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）某快遞中轉站有甲、乙、丙三個快遞員，已知各快遞員運送量分別占該中轉站業務量的25%，35%，40%，據統計各業務員被客戶評為滿意的依次為5%，4%，2%．現從該中轉站隨機運送一件快遞．(1)求客戶滿意的概率；(2)若客戶滿意，則本次滿意是甲、乙、丙的概率分別是多少？17．（23-24高二下·江蘇常州·期中）甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和3個紅球.先隨機取一只袋，再從該袋中先后隨機取2個球.(1)求隨機取到的是甲袋且從中取出的兩球均為白球的概率；(2)求第一次取出的是白球的概率；(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；18．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）為了迎接學校百年華誕，學生們積極報名參加志愿者活動，為此學生會在報名的學生中組織了志愿者面試活動，面試有兩道題，兩道題都答對者才能成為志愿者．假設兩題作答相互獨立，現有甲、乙、丙三名學生報名并進入面試環節，他們答對第一題的概率分別是，答對第二題的概率分別是．(1)求甲同學能通過面試成為志愿者的概率；(2)求甲、乙兩位同學生中有且只有一位學生能通過面試成為志愿者的概率；(3)求甲、乙、丙三人中至少有一人通過面試成為志愿者的概率．19．（24-25高二上·吉林長春·期中）班級組織象棋比賽，共有16人報名，現將16名同學隨機分成4組且每組4人進行單循環比賽，規則如下：每場比賽獲勝的同學得3分，輸的同學不得分，平局的2名同學均得1分，三輪比賽結束后以總分排名，小組總分排名前兩位的同學獲獎．若出現總分相同的情況，則以抽簽的方式確定排名（抽簽的勝者排在負者前面），且抽簽時每人獲勝的概率均為．若甲、乙、丙、丁4位同學分到一組且賽程如下表．假設甲、乙、丙3名同學水平相當，彼此間勝、負、平的概率均為．丁同學與任意一名同學比賽時勝、負、平的概率分別為．每場比賽結果相互獨立．第一輪甲—乙丙—丁第二輪甲—丙乙—丁第三輪甲—丁乙—丙(1)求丁同學的總分為5分的概率；(2)已知三輪比賽中丁同學獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學是平局，求甲同學獲獎的概率.第01講條件概率與事件的獨立性課程標準學習目標1.了解條件概率的概念，掌握求條件概率的兩種方法，能利用條件概率公式解決一些簡單的實際問題；2.結合古典概型，會利用乘法公式計算概率，結合古典概型，會利用全概率公式計算概率．了解貝葉斯公式；3.理解兩個事件相互獨立的概念，掌握相互獨立事件同時發生的概率乘法公式.1.掌握條件概率的意義并能利用條件概率公式處理實際問題；2.能從條件概率的定義推導乘法公式，會應用乘法公式計算概率，理解全概率公式，學會利用全概率公式與貝葉斯公式計算概率．3.會判斷事件的獨立性，并能利用公式求解實際問題.知識點01條件概率1.條件概率的定義（1）一般地，當事件B發生的概率大于0時(即P(B)>0)，已知事件B發生的條件下事件A發生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B).（2）條件概率的求法：（1）定義法：；（2）縮小樣本空間法：．2．條件概率的性質（1）任何事件的條件概率都在0和1之間，即0≤P(B|A)≤1．（2）P(A|A)1.（3）如果B與C是兩個互斥事件，則P((B∪C)|A)P(B|A)＋P(C|A)．（4）設eq\o(B,\s\up6(－))與B互為對立事件，則P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)1－P(B|A).【即學即練1】1.（多選）下面幾種概率不是條件概率的是()A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下，乙投籃一次命中的概率C．有10件產品，其中3件次品，抽2件產品進行檢驗，恰好抽到一件次品的概率D．小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是eq\f(2,5)，則小明在一次上學途中遇到紅燈的概率【答案】ACD【解析】由條件概率的定義知B為條件概率．2.若P(AB)eq\f(3,5)，P(A)eq\f(3,4)，則P(B|A)()A．eq\f(5,4)B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(3,4)【答案】C【解析】由公式得P(B|A)eq\f(P（AB）,P（A）)eq\f(\f(3,5),\f(3,4))eq\f(4,5).知識點02乘法公式與全概率公式1．乘法公式(1)公式：P(BA)P(A)P(B|A)．(2)公式的推導依據：P(B|A)eq\f(PBA,PA)，即根據事件A發生的概率，以及已知事件A發生的條件下事件B發生的概率，可以求出A與B同時發生的概率．2．全概率公式(1)公式：P(B)P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．(2)公式的推導：一般地，如果樣本空間為Ω，而A，B為事件，則BA與Beq\x\to(A)是互斥的，且BBΩB(A＋)BA＋B，如圖所示，從而P(B)P(BA＋B)P(BA)＋P(B)．由乘法公式可得全概率公式P(B)P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．3．全概率公式的推廣若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．4．貝葉斯公式(選學)（1）定義：一般地，當且時，有（2）貝葉斯公式的推廣：若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且（3）利用貝葉斯公式求概率的步驟第一步：利用全概率公式計算，即；第二步：計算，可利用求解；第三步：代入求解．【即學即練2】1．已知P(B)eq\f(1,2)，P(A|B)eq\f(1,3)，則P(AB)()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(5,6)【答案】D【解析】由乘法公式得，P(AB)P(B)P(A|B)eq\f(1,2)×eq\f(1,3)eq\f(1,6).2．甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，其產量分別占總量的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%.從這批產品中任取一件，則它是次品的概率為()A．0.0123 B．0.0234C．0.0345 D．0.0456【答案】D【解析】本題為簡單的全概率公式的應用，從這批產品中任取一件，則它是次品的概率為0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.020.0345.知識點03獨立性與條件概率的關系1、當P(B)＞0時，事件A與事件B相互獨立的充要條件是P(A|B)P(A)．這就是說，此時事件A發生的概率與已知事件B發生時事件A發生的概率相等．也就是事件B的發生，不會影響事件A發生的概率．2、判斷事件是否相互獨立的方法：（1）定義法：事件，相互獨立的充要條件是．（2）由事件本身的性質直接判斷兩個事件的發生是否相互影響．（3）條件概率法：當時，可用判斷．【即學即練3】(多選)下列說法正確有()A．對事件A和B，若P(B|A)P(B)，則事件A與B相互獨立B．若事件A，B相互獨立，則P(eq\o(A,\s\up6(－))∩eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(A,\s\up6(－)))×P(eq\o(B,\s\up6(－)))C．如果事件A與事件B相互獨立，則P(B|A)P(B)D．若事件A與B相互獨立，則B與eq\o(B,\s\up6(－))相互獨立【答案】ABC【解析】若P(B|A)P(B)，則P(A∩B)P(A)·P(B)，故A，B相互獨立，所以A正確；若事件A，B相互獨立，則eq\o(A,\s\up6(－))，eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨立，故B正確；若事件A，B相互獨立，則A發生與否不影響B的發生，故C正確；B與eq\o(B,\s\up6(－))相互對立，不是相互獨立，故D錯誤．題型01條件概率的計算角度1公式法【典例1】（23-24高二下·河南·月考）從裝有2個白球、3個紅球的箱子中無放回地隨機取兩次，每次取一個球，表示事件“兩次取出的球顏色相同”，表示事件“兩次取出的球中至少有1個是紅球”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于我們不考慮兩次取球的順序，故可以視為從該箱子中一次性隨機取出兩個球.從而，，故..【變式1】已知事件A，B，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用條件概率公式計算即可求出.【詳解】因為,.所以..【變式2】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）現有4名男生，2名女生.從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記男生甲被選中為事件A，女生乙被選中為事件B，則，所以.【變式3】（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）現有4名男生，2名女生.從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記男生甲被選中為事件A，女生乙被選中為事件B，則，所以.角度1縮小樣本空間法【典例2】（23-24高二下·浙江·期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，現隨機選擇一個有三個孩子的家庭，且該家庭有女孩，則三個小孩都是女孩的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】用表示女孩，表示男孩，則樣本空間．分別設“選擇的家庭中有女孩”和“選擇的家庭中三個小孩都是女孩”為事件和事件，則，，所以．【變式1】（23-24高二下·北京·期中）投擲一枚質地均勻的骰子兩次，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記事件，包含的基本事件數是，，，共3個基本事件，事件，包含的基本事件數是，，共2個基本事件，所以．.【變式2】小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A為“4個人去的景點不完全相同”，事件B為“小趙獨自去一個景點”，則P(B|A)()A．eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(5,7) D．eq\f(6,7)【答案】A【解析】小趙獨自去一個景點，則有4個景點可選，其余3人只能在小趙剩下的3個景點中選擇，可能性為3×3×327種，所以小趙獨自去一個景點的可能性為4×27108種，因為4個人去的景點不完全相同的可能性44－4252種，所以P(B|A)eq\f(108,252)eq\f(3,7).【變式3】從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩個數，事件“有一個數是奇數”，“另一個數也是奇數”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件概率的定義，可分別求解,即可用條件概率的公式運用個數之比求解.【詳解】任取兩個數，則一奇一偶共有種取法，兩個都是奇數共有，所以事件包含所取兩個數要么為一奇一偶，要么為兩個奇數，故,則事件為所取兩個數均為奇數，故,故,題型02條件概率的性質及應用【典例3】在一個袋子中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．【解析】設“摸出第一個球為紅球”為事件A，“摸出第二個球為黃球”為事件B，“摸出第二個球為黑球”為事件C，則P(A)eq\f(1,10)，P(AB)eq\f(1×2,10×9)eq\f(1,45)，P(AC)eq\f(1×3,10×9)eq\f(1,30).所以P(B|A)eq\f(P（AB）,P（A）)eq\f(1,45)÷eq\f(1,10)eq\f(2,9)，P(C|A)eq\f(P（AC）,P（A）)eq\f(1,30)÷eq\f(1,10)eq\f(1,3).所以P((B∪C)|A)P(B|A)＋P(C|A)eq\f(2,9)＋eq\f(1,3)eq\f(5,9).所以所求的條件概率為eq\f(5,9).【變式1】已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，，由，是互斥事件知，，所以，．【變式2】（2024·湖北武漢·二模）設，為任意兩個事件，且，，則下列選項必不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，則，故，而，則，又，所以.【變式3】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）（多選）設，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則下列說法正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因為，，，且，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D錯誤.BC【變式4】A、B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則下列錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，又，，故C錯誤；，，，故A正確；，，故B正確；，故D正確..題型03乘法公式的應用【典例4】（2025高二·全國·專題練習）一個不透明的箱子裝有若干個除顏色外完全相同的紅球和黃球．若第一次摸出紅球的概率為，在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出黃球的概率為，則第一次摸出紅球且第二次摸出黃球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】記事件“第一次摸出紅球”，事件“第二次黃球”，由條件概率公式求解即可．【詳解】記事件“第一次摸出紅球”，事件“第二次黃球”，則，，由條件概率公式得，則,．【變式1】（24-25高二下·全國·課后作業）已知，且相互獨立，則（

）A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．無法求解【答案】A【分析】根據相互獨立事件的定義可得.【詳解】相互獨立，，．.【變式2】（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知在8個球中，有2個白球，6個紅球，每次任取一個球，取出后不再放回，則經過2次取球恰好將2個白球全部取出的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據條件概率公式進行計算.【詳解】設第一次取到白球為事件，則，設第二次取到白球為事件，則，所以.【變式3】（23-24高二下·山東青島·期中）已知事件，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用條件概率公式求解即可．【詳解】由題可知，，．【變式4】（2024·安徽合肥·一模）核酸檢測是目前確認新型冠狀病毒感染最可靠的依據．經大量病例調查發現，試劑盒的質量、抽取標本的部位和取得的標本數量，對檢測結果的準確性有一定影響．已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標本檢出陽性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標本檢出陽性的概率為（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%【答案】A【分析】根據條件概率的乘法公式即可求解.【詳解】記感染新冠病毒為事件,感染新冠病毒的條件下,標本為陽性為事件則,故某市民感染新冠病毒且標本檢出陽性的概率為，題型04全概率公式的應用【典例5】現有甲、乙兩盒，甲盒中有3個紅球，2個白球，乙盒中有2個紅球，1個白球，先從甲盒中采用不放回抽樣取3個球放入乙盒，再從乙盒中取1個球，求取到的是紅球的概率．【解析】設事件Bi表示“從甲盒中取3個球，其中有i個紅球(i1,2,3)”，A表示“從乙盒中取1個球是紅球”，則B1，B2，B3構成樣本空間的一個劃分．由古典概型概率公式得P(B1)eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))eq\f(3,10)，P(B2)eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))eq\f(3,5)，P(B3)eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))eq\f(1,10)，P(A|B1)eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))eq\f(1,2)，P(A|B2)eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,6))eq\f(2,3)，P(A|B3)eq\f(C\o\al(1,5),C\o\al(1,6))eq\f(5,6).由全概率公式得P(A)P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)eq\f(3,10)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,10)×eq\f(5,6)eq\f(19,30).即從乙盒中取1個球，取到的是紅球的概率為eq\f(19,30).【變式1】（23-24高二下·廣東東莞·期中）袋中裝有10個球，其中3個黑球、7個白球，從中依次取兩球（不放回），則第二次取到的是黑球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，于是，，則.【變式2】（23-24高二下·江蘇淮安·月考）某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”.統計資料表明，這三類人在一年內發生事故的概率依次為0.05，0.15，0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占70%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內發生事故的概率是（

）A．0.155 B．0.175 C．0.01 D．0.096【答案】C【解析】設事件表示被保險人是“謹慎的”，事件表示被保險人是“一般的”，事件表示被保險人是“冒失的”，則依題意可知：又設事件表示被保險人在一年內發生事故，則再由全概率公式得..【變式3】（23-24高二下·北京順義·期中）從甲地到乙地共有、、三條路線可選擇，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，若李先生從這三條路線中等可能的任選一條開車自駕游，則堵車的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9【答案】C【解析】依題意李先生從這三條路線中等可能的任選一條開車自駕游，即選擇、、路線的概率均為，又選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，選路線堵車的概率為，所以堵車的概率.【變式4】（23-24高二下·浙江麗水·期中）某學校有，兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.6；如果第1天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率為0.4．計算王同學第2天去餐廳用餐的概率（

）A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.52【答案】D【解析】設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，根據題意得，，，由全概率公式，得，因此，王同學第2天去餐廳用餐的概率為0.5..題型05貝葉斯公式的應用【典例6】（2024·安徽·三模）托馬斯?貝葉斯在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：，這個公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為的全概率.春夏換季是流行性感冒爆發期，已知三個地區分別有的人患了流感，且這三個地區的人口數之比是，現從這三個地區中任意選取1人，若選取的這人患了流感，則這人來自地區的概率是（

）A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52【答案】D【解析】記事件表示“這人患了流感”，事件分別表示“這人來自地區”，由題意可知：，，故..【變式1】某批產品來自，兩條生產線，生產線占，次品率為4%；生產線占，次品率為，現隨機抽取一件進行檢測，若抽到的是次品，則它來自生產線的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為抽到的次品可能來自于，兩條生產線，設“抽到的產品來自生產線”，“抽到的產品來自生產線”，“抽到的一件產品是次品”，則，由全概率公式得，所以它來自生產線的概率是.【變式2】英國數學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據貝葉斯統計理論，隨機事件A，B存在如下關系：.若某地區一種疾病的患病率是0.05，現有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現隨機抽取該地區的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設檢驗結果呈現陽性為事件，此人患病為事件，，，則.【變式3】三批同種規格的產品，第一批占25%，次品率為6%；第二批占30%，次品率為5%；第三批占45%，次品率為5%．將三批產品混合，從混合產品中任取一件．（1）求這件產品是次品的概率；（2）已知取到的是次品，求它取自第一批產品的概率．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設取到第批產品為事件，，取到次品為事件...【變式4】設某公路上經過的貨車與客車的數量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．【解析】設B{中途停車修理}，A1{經過的是貨車}，A2{經過的是客車}，則BA1B＋A2B.由于P(A1)eq\f(2,3)，P(A2)eq\f(1,3)，P(B|A1)0.02，P(B|A2)0.01，由貝葉斯公式得P(A1|B)eq\f(PA1PB|A1,P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1))P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B|A1))＋PA2PB|A2)eq\f(\f(2,3)×0.02,\f(2,3)×0.02＋\f(1,3)×0.01)0.80.即該汽車是貨車的概率為0.80.題型06相互獨立事件的判斷【典例7】（23-24高二上·廣東·月考）現有同副牌中的5張數字不同的撲克牌，其中紅桃1張、黑桃2張、梅花2張，從中任取一張，看后放回，再任取一張．甲表示事件“第一次取得黑桃撲克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花撲克牌”，丙表示事件“兩次取得相同花色的撲克牌”，丁表示事件“兩次取得不同花色的撲克牌”，則（

）A．乙與丙相互獨立 B．乙與丁相互獨立C．甲與丙相互獨立 D．甲與乙相互獨立【答案】A【解析】由題意得，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回地取撲克牌兩次的試驗的基本事件總數是，顯然事件丙與丁是對立事件，兩次取出的撲克牌花色相同包含的基本事件數為，則事件丙的概率，所以事件丁的概率，對于A中，事件乙與丙同時發生所包含的基本事件數為，其概率，所以乙與丙不相互獨立，所以A錯誤；對于B中，事件乙與丁同時發生所包含的基本事件數為，其概率，所以乙與丁不相互獨立，所以B錯誤；對于C中，事件甲與丙同時發生所包含的基本事件數為，其概率，所以甲與丙不相互獨立，所以C錯誤；對于D中，事件甲與乙同時發生所包含的基本事件數為，其概率，所以甲與乙相互獨立，D正確．．【變式1】袋內有個白球和個黑球，從中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”記為，“第二次摸得黑球”記為，那么事件與，與間的關系是（

）A．與，與均相互獨立 B．與相互獨立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨立【答案】A【分析】根據相互獨立和互斥的定義即可判斷，或者根據概率的乘法公式驗證也可判斷相互獨立.【詳解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的結果對第二次摸球的結果沒有影響，故與，與C均相互獨立．而與，與均能同時發生，從而不互斥．方法二：標記1，2，3表示3個白球，4，5表示2個黑球，全體樣本點為，用古典概型概率計算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以與相互獨立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以與相互獨立．故選:A．【變式2】)下列事件中，A，B是相互獨立事件的是()A．一枚硬幣擲兩次，A“第一次為正面”，B“第二次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A“第一次摸到白球”，B“第二次摸到白球”C．擲一枚骰子，A“出現點數為奇數”，B“出現點數為偶數”D．A“人能活到20歲”，B“人能活到70歲”【答案】A【解析】把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結果不受先后影響，故A項是相互獨立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨立；對于C，A，B應為互斥事件，不相互獨立；D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選A.【變式3】擲一枚質地均勻的骰子，記事件“出現的點數不超過3”，事件“出現的點數是3或6”．則事件A與B的關系為（

）A．事件A與B互斥 B．事件A與B對立 C．事件A與B獨立 D．事件A包含于B【答案】D【分析】根據互斥事件、對立事件、獨立事件的定義進行判斷即可.【詳解】由題意可知：，因為，所以事件事件A與B不可能是互斥和對立，因為，，所以有，因此事件A與B獨立，【變式4】在一次試驗中，隨機事件A，滿足，則（

）A．事件A，一定互斥 B．事件A，一定不互斥C．事件A，一定相互獨立 D．事件A，一定不相互獨立【答案】C【分析】根據確定，得到事件A，一定不互斥，而是否相互獨立不確定，故選出正確答案.【詳解】因為，所以，故事件A，一定不互斥，A錯誤，B正確；，則可能等于，也可能不等于，故是否相互獨立不確定，CD錯誤.題型07相互獨立事件的概率問題【典例8】（23-24高二下·江蘇揚州·月考）第33屆夏季奧林匹克運動會即將于2024年在巴黎舉辦，其中游泳比賽分為預賽、半決賽和決賽三個階段，只有預賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽．已知甲在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，乙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和，丙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和．則甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意可知，甲進入決賽的概率為，乙進入決賽的概率為，丙進入決賽的概率為，所以甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率：.【變式1】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙兩個氣象臺同時做天氣預報，如果它們預報準確的概率分別為0.8與0.7，且預報準確與否相互獨立，那么在一次預報中這兩個氣象臺恰有一個預報準確的概率是（

）A．0.06 B．0.38 C．0.580 D．0.94【答案】C【解析】由題可得一次預報中這兩個氣象臺恰有一個預報準確的概率是：，.【變式2】（23-24高二下·安徽·月考）甲、乙兩人玩剪子包袱錘游戲，若每次出拳甲勝與乙勝的概率均為，且兩人約定連續3次平局時停止游戲，則第7次出拳后停止游戲的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記第i次出拳是平局為事件，則，記第7次出拳后停止游戲為事件A，則，所以．．【變式4】甲、乙、丙3位大學生同時應聘某個用人單位的職位，甲、乙兩人只有一人被選中的概率為eq\f(11,20)，甲、乙兩人都被選中的概率為eq\f(3,10)，丙被選中的概率為eq\f(1,3)，其中乙被選中的概率大于甲被選中的概率，且各自能否被選中互不影響．(1)求3人同時被選中的概率；(2)求恰好有2人被選中的概率；(3)求3人中至少有1人被選中的概率．【解析】設甲、乙、丙能被選中的事件分別為A，B，C，則P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))eq\f(11,20)，P(A)P(B)eq\f(3,10)，且P(B)＞P(A)，∴P(A)eq\f(2,5)，P(B)eq\f(3,4)，P(C)eq\f(1,3).(1)3人同時被選中的概率P1P(A∩B∩C)P(A)P(B)P(C)eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)eq\f(1,10).(2)恰有2人被選中的概率P2P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)eq\f(23,80).(3)3人中至少有1人被選中的概率P31－P(∩∩)1－eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)eq\f(9,10).【變式5】一個袋子中有3個白球，2個紅球，每次從中任取2個球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率；(2)第1次取出的2個球1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率．【解析】記“第1次取出的2個球都是白球”的事件為A，“第2次取出的2個球都是紅球”的事件為B，“第1次取出的2個球中，1個是白球、1個是紅球”的事件為C，“第2次取出的兩個球都是白球”的事件為D，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C，D都是相互獨立事件．(1)P(A∩B)P(A)P(B)eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))×eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))eq\f(3,10)×eq\f(1,10)eq\f(3,100).故第1次取出的2個球都是白球，第2次取出的2個球都是紅球的概率是eq\f(3,100).(2)P(C∩D)P(C)P(D)eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))·eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))eq\f(6,10)·eq\f(3,10)eq\f(9,70).故第1次取出的2個球中，1個是白球、1個是紅球，第2次取出的2個球都是白球的概率是eq\f(9,70).題型08概率的綜合問題【典例9】（23-24高二下·江蘇常州·月考）現有編號為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3個盒子，Ⅰ號盒中有2個白球和3個黑球；Ⅱ號盒中有2個白球和2個黑球；Ⅲ盒中有3個白球和1個黑球．現從Ⅰ號盒中任取1個球放入Ⅱ號盒中，再從Ⅱ號盒中任取1個球放入Ⅲ號盒中，最后從Ⅲ號盒中任取1個球放回Ⅰ號盒中．(1)求3個盒子的球的組成都保持不變的概率；(2)問Ⅰ號盒中的球怎樣組成的可能性最大？【答案】(1)0.336；(2)保持不變可能最大【解析】（1）一次試驗后，Ⅰ號盒中的球有以下3種可能組成：不變（記為事件）；3白2黑（記為）；1白4黑（記為）.又設事件分別表示自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ號盒中取走的是白球，則3個盒中球都保持不變為事件，所以，（2），,,,,所以,,，所以，Ⅰ號盒中的球的組成保持不變的可能性最大.【變式1】（23-24高二下·安徽·月考）通過調查，某市小學生、初中生、高中生的肥胖率分別為，，．已知該市小學生、初中生、高中生的人數之比為，若從該市中小學生中，隨機抽取1名學生．(1)求該學生為肥胖學生的概率；(2)在抽取的學生是肥胖學生的條件下，求該學生為高中生的概率．【答案】(1)；(2)【解析】（1）記“任取1名中小學生是肥胖學生”，“學生為小學生”，“學生為初中生”，“學生為高中生”．則，且，，兩兩互斥，由題意得，，，，，，則，即隨機抽取1名學生，該學生為肥胖學生的概率為0.025．（2）“抽取的學生是肥胖學生且為高中生”，則，所以，即在抽取的學生是肥胖學生的條件下，該學生為高中生的概率為0.24.【變式2】（23-24高二下·江蘇常州·月考）學生甲想參加某高中校藍球投籃特長生考試，測試規則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機會，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進第一球，則直接進入下一輪，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則進入下一輪，否則不預錄取；③若他在三分線處投進第一球，則直接錄取，若第一次沒有投進可以進行第二次投籃，投進則錄取，否則不預錄取.已知學生甲在罰球線處投籃命中率為，在三分線處投籃命中率為，假設學生甲每次投進與否互不影響.則學生甲共投籃三次就結束考試得概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】記事件表示“甲在罰球線處投籃，第次投進”，事件表示“甲在三分線處投籃，第次投進，事件表示“甲共投籃三次就結束考試”.則，【變式3】（23-24高二下·遼寧大連·期中）在某次美術專業測試中，若甲、乙、丙三人獲得優秀等級的概率分別是0.6，0.8和0.5，且三人的測試結果相互獨立，則測試結束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優秀等級的前提條件下，乙沒有達優秀等級的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設甲、乙、丙三人獲得優秀等級分別為事件、、，則，且，，相互獨立，設甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達優秀等級為事件，則，設乙沒有達優秀等級為事件，則，所以..【變式4】（23-24高二下·重慶·月考）年級教師元旦晚會時，“玲兒姐”、“關關姐”和“頁樓哥”參加一項趣味問答活動．該活動共有兩個問題，如果參加者兩個問題都回答正確，則可得到一枝“黑玫瑰”獎品．已知在第一個問題中“玲兒姐”回答正確的概率為，“玲兒姐”和“關關姐”兩人都回答錯誤的概率為，“關關姐”和“頁樓哥”兩人都回答正確的概率為；在第二個問題中“玲兒姐”、“關關姐”和“頁樓哥”回答正確的概率依次為．且所有的問答中回答正確與否相互之間沒有任何影響．（1）在第一個問題中，分別求出“關關姐”和“頁樓哥”回答正確的概率；（2）分別求出“玲兒姐”、“關關姐”和“頁樓哥”獲得一枝“黑玫瑰”獎品的概率，并求三人最終一共獲得2枝“黑玫瑰”獎品的概率．【答案】（1）“關關姐”和“頁樓哥”回答正確的概率分別為；（2）“玲兒姐”、“關關姐”和“頁樓哥”獲得一枝“黑玫瑰”獎品的概率分別為三人最終一共獲得2枝“黑玫瑰”獎品的概率【解析】（1）記“玲兒姐回答正確第個問題”，“關關姐回答正確第個問題”，“頁樓哥回答正確第個問題”，.根據題意得，所以；，所以；故在第一個問題中，“關關姐”和“頁樓哥”回答正確的概率分別為和.（2）由題意知，“玲兒姐”獲得一枝“黑玫瑰”獎品的概率為；“關關姐”獲得一枝“黑玫瑰”獎品的概率為；“頁樓哥”獲得一枝“黑玫瑰”獎品的概率為；三人最終一共獲得2枝“黑玫瑰”獎品的概率為.所以“玲兒姐”、“關關姐”和“頁樓哥”獲得一枝“黑玫瑰”獎品的概率分別為；三人最終一共獲得2枝“黑玫瑰”獎品的概率為.一、單選題1．（24-25高二上·湖北·開學考試）擲兩枚質地均勻的骰子，設“第一枚出現小于4的點”，“第二枚出現大于3的點”，則與的關系為（

）A．互斥 B．互為對立 C．相互獨立 D．相等【答案】D【分析】根據獨立事件的概念進行判斷.【詳解】對于該試驗，第一枚骰子與第二枚骰子出現點數互不影響，故與相互獨立.2．（23-24高二下·廣東湛江·期中）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據條件概率的計算公式計算即可.【詳解】．．3．（24-25高二上·黑龍江大慶·階段練習）天氣預報表明在國慶假期甲地降雨概率是，乙地降雨概率是.假設在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為（

）A．0.28 B．0.42 C．0.46 D．0.580【答案】D【分析】根據相互獨立事件概率計算公式求得正確答案.【詳解】這兩地中恰有一個地方降雨的概率為.4．（23-24高二下·云南保山·階段練習）已知隨機事件滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件概率公式以及全概率公式，即可求解.【詳解】因為，所以.又.所以.又，所以..5．（23-24高二下·江蘇南通·期末）甲箱中有2個紅球和2個黑球，乙箱中有1個紅球和3個黑球．先從甲箱中等可能地取出2個球放入乙箱，再從乙箱中等可能地取出1個球，記事件“從甲箱中取出的球恰有個紅球”為，“從乙箱中取出的球是黑球”為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，先求出，，，判斷A，由條件概率公式和全概率公式依次判斷B、C、D選項即可.【詳解】根據題意，甲箱中有2個紅球和2個黑球，則，，，故A不正確；乙箱中有1個紅球和3個黑球，則，，，故B不正確；則有，故C正確；則，故D正確；6．（24-25高二上·甘肅·期中）2020年1月，教有部出臺《關于在部分高校開展基礎學科招生改革試點工作的意見》（簡稱“強基計劃），明確從2020年起強基計劃取代原高校自主招生方式，如果甲?乙?兩人通過強基計劃的概率分別為，，那么甲?乙兩人中恰有1人通過的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，甲乙兩人通過強基計劃是相互獨立的事件，可確定甲乙兩人中恰有一人通過的事件為甲通過乙不通過和甲不通過乙通過.【詳解】由題意，甲乙兩人通過強基計劃的事件是相互獨立的，那么甲乙兩人中恰有一人通過的概率為.7．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習）秋冬季節是某呼吸道疾病的高發期，為了解該疾病的發病情況，疾控部門對該地區居民進行普查化驗，化驗結果陽性率為，但統計分析結果顯示患病率為，醫學研究表明化驗結果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結果呈陽性的概率為，則該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，由全概率公式和條件概率公式計算即得.【詳解】設事件為“患有此病”，為“化驗結果呈陽性”，由題意，，則該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為.由全概率公式，，代入數值可得：解得：.8．（23-24高二下·福建泉州·期末）某學校有兩家餐廳，王同學第1天選擇餐廳就餐的概率是，若第1天選擇餐廳，則第2天選擇餐廳的概率為；若第1天選擇餐廳就餐，則第2天選擇餐廳的概率為；已知王同學第2天是去餐廳就餐，則第1天去餐廳就餐的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用互斥事件的概率加法公式、積事件的乘法公式進行計算求解.【詳解】設“王同學第i天去A餐廳就餐”，“王同學第i天去B餐廳就餐”，，依題意，，，，則，由有：，因為，所以，所以..二、多選題9．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知分別為隨機事件的對立事件，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則事件與事件相互獨立D．若，則【答案】CCD【分析】根據條件概率的計算公式進行計算，可判斷各選項的正確與否.【詳解】由條件概率的性質可知：，故A錯誤，B正確；對C：由，又，所以，又，所以.所以，所以，相互獨立，故C正確；對D：由，即，所以，相互獨立，所以，故D正確.CD【點睛】知識點點睛：判斷事件，相互獨立的常見方法有：（1）若，則，相互獨立；（2）若，或，則，相互獨立.10．（23-24高二下·陜西西安·期末）一個箱子中裝有大小?形狀均相同的8個小球，其中白球5個?黑球3個，現在兩次不放回的從箱子中取球，第一次先從箱子中隨機取出1個球，第二次再從箱子中隨機取出2個球，分別用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分別用，表示事件“第二次取出的兩球都為黑球”，“第二次取出的兩球為一個白球一個黑球”.則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據古典概率、條件概率等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題得，C選項正確.根據條件概率得：，A選項正確.，B選項錯誤.對于D，，故D正確.CD11．（23-24高二下·河北·階段練習）某校進行一項問卷調查，為了調動學生參與的積極性，凡參與者均有機會獲得獎品.學校設置了3個不同顏色的抽獎箱，每個箱子中的小球質地均勻，大小相同，其中紅色箱子放有2個紅球，2個黃球，2個綠球，黃色箱子放有2個黃球，1個綠球，綠色箱子放有1個黃球，2個綠球.參與者先從紅色箱子中隨機抽取1個小球，將其放入與小球顏色相同的箱子中，再從放入小球的箱子中隨機抽取1個小球，如此重復，抽取3個小球，抽獎結束.若抽取的3個小球顏色全不相同為一等獎，3個小球顏色全部相同為二等獎，其他情況沒有獎品.已知甲同學參與了問卷調查，則（

）A．甲第一次取到紅球的條件下，獲得一等獎的概率為B．甲第一次取到黃球的條件下，獲得二等獎的概率為C．甲獲獎的條件下，第一次取到綠球的概率為D．甲第一次取球取到紅球獲獎的概率最大【答案】ABC【分析】設分別表示第一次抽取到的是紅球，黃球，綠球，分別表示獲得一等獎，二等獎，根據事件的關系與條件概率公式逐項求解即可得結論.【詳解】設分別表示第一次抽取到的是紅球，黃球，綠球，分別表示獲得一等獎，二等獎，對于，所以A正確；對于，所以B正確；對于C，設甲獲獎為事件，甲獲得一等獎的概率為甲獲得二等獎的概率為，所以，甲第一次取到綠球且獲獎的概率為，所以甲獲獎的條件下，第一次取到綠球的概率為，故C正確；對于D，甲第一次取球取到紅球獲獎的概率為，甲第一次取球取到黃球獲獎的概率為，甲第一次取球取到綠球獲獎的概率為，則甲第一次取球取到綠球或者黃球獲獎的概率最大，故D錯誤.BC.三、填空題12．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）設A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，則的一個可能的值為．【答案】（答案不唯一，在內均可）【分析】根據隨機事件定義以及事件的基本關系，利用條件概率公式計算可得結果.【詳解】因為A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且，；當A，B互斥時，，當事件B包含事件A時，；所以可得，即，因此的一個可能的值為.故答案為：（答案不唯一，在內均可）13．（24-25高二上·廣東廣州·階段練習）某專業技術的考試共兩個單項考試，考生應依次參加兩個單項考試，前一項考試合格后才能報名參加后一項考試，考試不合格則需另行交費預約再次補考.據調查，這兩項考試的合格率依次為，，且各項考試是