第05講指數函數與對數函數的關系課程標準學習目標1．知道對數函數ylogax與指數函數yax互為反函數(a＞0且a≠1)2．能利用反函數與原函數圖像、單調性等性質的關系解決相關的問題．1．了解反函數的概念，知道指數函數和對數函數互為反函數，了解它們的圖像間的對稱關系．2．利用圖像比較指數函數、對數函數增長的差異．3．利用指數、對數函數的圖像性質解決一些簡單問題．知識點01反函數的概念一般地，如果在函數yf(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應，那么x是y的函數，這個函數稱為yf(x)的反函數．此時，稱yf(x)存在反函數．而且，如果函數的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數yf(x)的反函數的表達式，可以通過對調yf(x)中的x與y，然后從xf(y)中求出y得到．【即學即練1】（24-25高一上·上海·課堂例題）下列函數沒有反函數的是（）①；②；③；④A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④知識點02反函數的性質一般地，函數yf(x)的反函數記作yf－1(x)．則(1)yf(x)的定義域與yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域與yf－1(x)的定義域相同．(2)yf(x)與yf－1(x)的圖像關于直線yx對稱．(3)單調函數的反函數一定存在，且互為反函數的兩個函數的單調性相同．【即學即練2】函數ylog3x的定義域為(0，＋∞)，則其反函數的值域是()A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)知識點03求反函數的步驟(1)求值域：由函數yf(x)求y的范圍．(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根據條件中x的范圍決定取舍，只取一個．(3)得反函數：將x，y互換得yf－1(x)，注意定義域得反函數．提醒：求反函數時，若原函數yf(x)的定義域有限制條件，其反函數的定義域只能是根據原函數的值域來求．【即學即練3】函數yx＋3的反函數為__________．知識點04指數函數與對數函數的關系(1)指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數．(2)指數函數yax與對數函數ylogax的圖像關于直線yx對稱．【即學即練4】已知a>0，且a≠1，則函數yax與ylogax的圖像只能是()ABCD題型01反函數存在的條件【典例01】判斷下列函數是否有反函數．(1)f(x)eq\f(x＋1,x－1)；(2)g(x)x2－2x.【變式1】下列各圖象表示的函數中，存在反函數的只能是（）A．B．C．D．【變式2】若函數在上存在反函數，則實數a的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式3】設是定義在上的奇函數，當時，，若存在反函數，則的取值范圍是．【變式4】判斷下列函數是否存在反函數．(1)yeq\f(1,x＋1)－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．題型02求反函數的解析式【典例2】（23-24高一上·廣東茂名·期末）若指數函數經過點，則它的反函數的解析式為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數y的反函數是（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）若函數y=fx的反函數為，則y=fx的解析式為【變式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函數與互為反函數，則.【變式4】（23-24高一上·上海·期末）函數的反函數為.題型03反函數過定點問題【典例3】（23-24高一上·遼寧·期末）函數（且）的反函數過定點．【變式1】（22-23高三上·遼寧撫順·開學考試）已知函數的圖象過點，其反函數的圖象過點，則的表達式是.【變式2】已知函數y=fx存在反函數y=f【變式3】已知函數f?1x為函數fx的反函數，且函數fx?1題型04根據反函數求參數【典例4】（24-25高一上·上海·隨堂練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么a、b的值分別是、．【變式1】在同一平面直角坐標系中，函數f(x)的圖象與y=ex的圖象關于直線A．?e B．?1e C．e 【變式2】已知函數的圖象關于直線對稱，則實數m的值為題型05反函數的定義域問題【典例5】（24-25高一上·全國·課前預習）函數的反函數的定義域為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習）函數，的反函數的定義域是（

）．A． B．C． D．【變式2】函數的反函數的定義域為．【變式3】函數與函數互為反函數，若且，則函數的定義域為（）A．B．RC．D．【變式4】（多選）已知函數和，以下結論正確的有（）A．它們互為反函數B．它們的定義域與值域正好互換C．它們的單調性相反D．它們的圖像關于直線對稱題型06反函數的圖像【典例6】（2023·遼寧·高一校聯考期末）如圖，已知函數，則它的反函數的大致圖像是（）A．B．C．D．【變式1】（2023·高一課時練習）函數的圖像經過第二、第三象限，則的圖像經過（）A．第一、第二象限；B．第二、第三象限；C．第三、第四象限；D．第一、第四象限．【變式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數與函數的圖象關于直線對稱，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【變式3】（23-24高二上·天津和平·階段練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，題型07單調性問題【典例7】（23-24高一上·遼寧丹東·期末）已知函數與的圖象關于直線對稱，且，則函數的單調遞減區間是（

）A． B．C． D．【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則函數的單調遞增區間為（

）A． B． C． D．【變式2】若函數，函數與函數圖象關于對稱，則的單調減區間是（

）A． B．C． D．題型08反函數與零點問題【典例8】（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知方程與的根分別為，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高一上·北京·階段練習）若是函數的零點，是函數的零點，則的值為（

）A．1 B．2023 C． D．4046【變式2】（23-24高一上·廣東·階段練習）若，分別是方程，的根，則（

）A． B．2023 C． D．4046【變式3】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型09指數函數與對數函數的綜合應用【典例9】已知f(x)eq\f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)0．(1)求a的值，并判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函數；(3)對任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2eq\f(1＋x,k)．【變式1】已知指數函數的反函數為．(1)求函數的解析式；(2)已知函數，求不等式的解集．【變式2】設函數（其中a>0且）．(1)求函數的解析式；(2)設函數，，如果當時，恒不成立，求a的取值范圍．【變式3】已知，(1)求的反函數；(2)已知，若，使得，求的最大值．一、單選題1．下列命題組真命題的個數為（

）①存在反函數的函數一定是單調函數②偶函數存在反函數③奇函數必存在反函數A．0 B．1 C．2 D．32．函數是與函數的圖象（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線對稱3．若函數是函數（且）的反函數，且，則（

）A． B． C． D．4．已知函數的反函數為，則的圖像為（

）A． B．C． D．5．已知函數過點，若的反函數為，則的值域為（

）A． B． C． D．6．函數的反函數的解析表達式為（

）A． B． C． D．7．若函數的反函數為，則必有（

）A．，為任意實數； B．，為任意實數；C．，； D．，或，為任意實數．8．已知函數的反函數圖像的對稱中心是，則實數的值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設且，函數，下列說法正確的是（

）A．與在各自的定義域內有相同的單調性B．與兩者的圖象關于直線對稱C．與兩者都既不是奇函數，又不是偶函數D．與有相同的定義域和值域10．設分別是方程與的實數解，則（

）A． B． C． D．11．已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，令，則關于函數說法正確的是（

）A．函數的圖象關于原點對稱 B．函數的圖象關于軸對稱C．函數的最小值為 D．函數在上為減函數三、填空題12．已知函數是函數的反函數，則過定點.13．已知函數，，則.14．定義在上的函數不存在反函數，則實數的取值范圍是.四、解答題15．函數與互為反函數，若（x<0）．求函數的解析式，定義域，值域．16．已知(1)求，并指出其在定義域內的單調性，無需寫出證明過程；(2)已知為的反函數，解不等式．17．已知(1)求的反函數；(2)若，求a的值.(3)如何作出滿足（2）中條件的的圖像18．我們知道與（且）互為反函數，它們具有以下性質：①圖象關于直線對稱；②的定義域是的值域，的值域是的定義域，反之亦然；③若點在函數的圖象上，則點一定在函數的圖象上.(1)若函數與互為反函數，求實數a，b的值；(2)運用（1）題中得到的函數，若對，使得不成立，求實數a的取值范圍.19．已知函數，且y=fx的反函數為y=gx(1)求的值；(2)若函數，問：?x是否存在零點，若存在，請求出零點及相應實數的取值范圍：若不存在，請說明理由第05講指數函數與對數函數的關系課程標準學習目標1．知道對數函數ylogax與指數函數yax互為反函數(a＞0且a≠1)2．能利用反函數與原函數圖像、單調性等性質的關系解決相關的問題．1．了解反函數的概念，知道指數函數和對數函數互為反函數，了解它們的圖像間的對稱關系．2．利用圖像比較指數函數、對數函數增長的差異．3．利用指數、對數函數的圖像性質解決一些簡單問題．知識點01反函數的概念一般地，如果在函數yf(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應，那么x是y的函數，這個函數稱為yf(x)的反函數．此時，稱yf(x)存在反函數．而且，如果函數的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數yf(x)的反函數的表達式，可以通過對調yf(x)中的x與y，然后從xf(y)中求出y得到．【即學即練1】（24-25高一上·上海·課堂例題）下列函數沒有反函數的是（）①；②；③；④A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】C【分析】根據與之間是否一一對應逐個分析判斷即可.【詳解】對于①，當時，，所以沒有反函數；對于②，當時，，所以沒有反函數；對于③，與一一對應，所以有反函數；對于④，當時，或，所以沒有反函數．知識點02反函數的性質一般地，函數yf(x)的反函數記作yf－1(x)．則(1)yf(x)的定義域與yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域與yf－1(x)的定義域相同．(2)yf(x)與yf－1(x)的圖像關于直線yx對稱．(3)單調函數的反函數一定存在，且互為反函數的兩個函數的單調性相同．【即學即練2】函數ylog3x的定義域為(0，＋∞)，則其反函數的值域是()A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)【答案】A【詳解】由原函數與反函數間的關系知，反函數的值域為原函數的定義域，故選A．知識點03求反函數的步驟(1)求值域：由函數yf(x)求y的范圍．(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根據條件中x的范圍決定取舍，只取一個．(3)得反函數：將x，y互換得yf－1(x)，注意定義域得反函數．提醒：求反函數時，若原函數yf(x)的定義域有限制條件，其反函數的定義域只能是根據原函數的值域來求．【即學即練3】函數yx＋3的反函數為__________．【答案】yx－3(x∈R)【詳解】由yx＋3，得xy－3，x，y互換得yx－3，所以原函數的反函數為yx－3(x∈R)．知識點04指數函數與對數函數的關系(1)指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數．(2)指數函數yax與對數函數ylogax的圖像關于直線yx對稱．【即學即練4】已知a>0，且a≠1，則函數yax與ylogax的圖像只能是()ABCD【答案】A【詳解】因為a>1時，是減函數，恒過(0,1)點，ylogax為增函數，恒過(1,0)點，故選A．題型01反函數存在的條件【典例01】判斷下列函數是否有反函數．(1)f(x)eq\f(x＋1,x－1)；(2)g(x)x2－2x.【分析】由反函數的定義判斷，當函數沒有反函數時，可取值說明．【詳解】(1)令yf(x)，因為yeq\f(x＋1,x－1)1＋eq\f(2,x－1)，是由反比例函數yeq\f(2,x)向右平移一個單位，向上平移一個單位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是減函數，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x與之對應，所以f(x)存在反函數．(2)令g(x)3，即x2－2x－30，解得x－1或x3，即對應的x不唯一，因此g(x)的反函數不存在．【變式1】下列各圖象表示的函數中，存在反函數的只能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據反函數的定義，存在反函數的函數應滿足一個y至多對應一個x.對于A，當y為正數時，一個y對應兩個x，不滿足反函數的定義，A錯；對于B，當y為正數時，一個y對應兩個x，不滿足反函數的定義，B錯；對于C，當y為正數時，一個y對應兩個x，不滿足反函數的定義，C錯；對于D，滿足反函數的定義，D對.【變式2】若函數在上存在反函數，則實數a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若函數在上存在反函數，則函數在上單調即可，又因為函數在上遞減，在上遞增，所以，所以..【變式3】設是定義在上的奇函數，當時，，若存在反函數，則的取值范圍是．【答案】或.【解析】當時，，，是定義在上的奇函數，所以，即時，，所以，若存在反函數，則在每段單調且各段值域無重合，當，，；所以或所以或.【變式4】判斷下列函數是否存在反函數．(1)yeq\f(1,x＋1)－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．【解析】(1)yeq\f(1,x＋1)－2是由函數yeq\f(1,x)向左平移1個單位，向下平移2個單位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是減函數，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x值與之對應，所以函數存在反函數．(2)y－2x2＋4x－2(x－1)2＋2，對稱軸為x1，在(1，＋∞)上是減函數，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x值與之對應，所以函數存在反函數．題型02求反函數的解析式【典例2】（23-24高一上·廣東茂名·期末）若指數函數經過點，則它的反函數的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指數函數的定義，結合反函數的概念即可求解.【詳解】設指數函數且，點在的圖象上，所以，解得.所以，故反函數.【變式1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數y的反函數是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據反函數定義求解即可.【詳解】解：∵y，∴，∴，即，∴，將x，y調換可得，，故函數y的反函數是．．【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）若函數y=fx的反函數為，則y=fx的解析式為【答案】【分析】根據反函數的定義求解即可.【詳解】由，得，將互換得，，且函數的值域為R，因此，函數，故答案為：．【變式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函數與互為反函數，則.【答案】9【分析】由指數函數與對數函數互為反函數可得答案.【詳解】由對數函數的反函數為相應的指數函數可得，故.故答案為：9.【變式4】（23-24高一上·上海·期末）函數的反函數為.【答案】【分析】利用反函數的定義求解即可.【詳解】因為的反函數為，所以，則.故答案為：.題型03反函數過定點問題【典例3】（23-24高一上·遼寧·期末）函數（且）的反函數過定點．【答案】2,1【分析】根據指數函數的性質及反函數的性質計算得到.【詳解】對于函數（且），令，即，所以，即函數（且）恒過點，所以函數（且）的反函數恒過點.故答案為：【變式1】（22-23高三上·遼寧撫順·開學考試）已知函數的圖象過點，其反函數的圖象過點，則的表達式是.【答案】.【分析】利用互為反函數的兩函數圖象對稱性可得函數也過，代入點的坐標待定系數可得.【詳解】由函數的圖象與其反函數的圖象關于對稱，又其反函數的圖象過點，則函數的圖象過點.則，解得.又函數的圖象過點，則，解得.故.故答案為：.【變式2】已知函數y=fx存在反函數y=f【答案】?1,?1【分析】由已知可得f(1)=?1，再由反函數的性質可得f?1?1【詳解】因為函數y=fx+2的圖像經過點（1，1），所以所以由反函數的性質可得f?1?1=1，所以f?1?1?2=?1【變式3】已知函數f?1x為函數fx的反函數，且函數fx?1【答案】1,0【分析】先求出函數fx的的圖象經過點的坐標，再由函數f?1x與函數f【詳解】因為函數fx?1的圖象經過點1,1，所以函數fx的的圖象經過點0,1，因為函數f?1x與函數fx的圖象關于y=題型04根據反函數求參數【典例4】（24-25高一上·上海·隨堂練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么a、b的值分別是、．【答案】－9【分析】根據反函數的定義即可求解.【詳解】因為直線與直線關于直線對稱，所以函數與互為反函數，又的反函數為，所以，．故答案為：；.【變式1】在同一平面直角坐標系中，函數f(x)的圖象與y=ex的圖象關于直線A．?e B．?1e C．e 【答案】A【分析】由題得f(x)=ln【詳解】解：因為函數f(x)的圖象與y=ex的圖象關于直線y=【變式2】已知函數的圖象關于直線對稱，則實數m的值為【答案】1【解析】由得，即，即的反函數為，因為函數的圖象關于直線對稱，故與為同一函數，故.題型05反函數的定義域問題【典例5】（24-25高一上·全國·課前預習）函數的反函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算函數的值域，可求出原函數的反函數的定義域.【詳解】由對數函數的性質可得：函數的值域為，則反函數的定義域為..【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習）函數，的反函數的定義域是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據反函數的定義域就是原函數的值域求解即可.【詳解】因為函數在單調遞增，所以，即，因為反函數的定義域是原函數的值域，所以反函數的定義域為，．【變式2】函數的反函數的定義域為．【答案】【解析】∵，∴，∴函數的值域為．∵的定義域即函數的值域∴的定義域為．【變式3】函數與函數互為反函數，若且，則函數的定義域為（）A．B．RC．D．【答案】D【解析】∵當時，，∴函數，的值域為，又與互為反函數互為反函數，故的定義域為..【變式4】（多選）已知函數和，以下結論正確的有（）A．它們互為反函數B．它們的定義域與值域正好互換C．它們的單調性相反D．它們的圖像關于直線對稱【答案】ABD【解析】A選項，注意到，則其與函數互為反函數，故A正確；B選項，函數定義域為，值域為R.函數定義域為R，值域為.故B正確；C選項，當時，兩函數均在定義域內單調遞減.當時，兩函數均在定義域內單調遞增.故C錯誤；D選項，兩函數互為反函數，則函數圖像關于直線對稱，故D正確.BD.題型06反函數的圖像【典例6】（2023·遼寧·高一校聯考期末）如圖，已知函數，則它的反函數的大致圖像是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意得，函數的反函數是，這是一個在上的單調遞增函數，且，所以只有選項C的圖像符合..【變式1】（2023·高一課時練習）函數的圖像經過第二、第三象限，則的圖像經過（）A．第一、第二象限；B．第二、第三象限；C．第三、第四象限；D．第一、第四象限．【答案】D【解析】∵的圖像與的圖像關于直線對稱，若函數的圖像經過第二象限，即的圖像上的任意點滿足，則關于直線的對稱點在第四象限，且在的圖像上，∴的圖像經過第四象限；同理可得：若函數的圖像經過第三象限，則的圖像經過第三象限；故的圖像經過第三、第四象限..【變式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數與函數的圖象關于直線對稱，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由題意首先得，根據它的定義域、單調性以及它所過定點即可得解.【詳解】由題意函數與函數互為反函數，所以，解得，它在定義域內單調遞增，且過定點，對比選項可知A符合題意..【變式3】（23-24高二上·天津和平·階段練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】利用反函數的性質直接求解即可.【詳解】因為直線與直線關于直線對稱，顯然，所以函數與函數互為反函數，又因為的反函數為，所以，即，題型07單調性問題【典例7】（23-24高一上·遼寧丹東·期末）已知函數與的圖象關于直線對稱，且，則函數的單調遞減區間是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用反函數知識求出，結合復合函數的單調性可判斷出的單調遞減區間.【詳解】因為函數與的圖象關于直線對稱，所以，因為，所以，解得：.所以，由，可得的定義域為，令，則在單調遞減，而在定義域單調遞增，由復合函數的單調性可知:在單調遞減..【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則函數的單調遞增區間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，函數與互為反函數，求得，然后根據復合函數單調性的性質得出答案.【詳解】由題意，函數與互為反函數，則，所以，由，解得或，即函數的定義域為或，令，當時，單調遞減；當時，單調遞增，又在上單調遞增，所以的單調遞增區間為..【變式2】若函數，函數與函數圖象關于對稱，則的單調減區間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用反函數的性質及復合函數單調性的性質求解即可.【詳解】∵函數與的圖象關于直線對稱，∴函數是的反函數，則，∴，由，解得，所以的定義域為，令，，在上單調遞增，在上單調遞減，又在上單調遞減，∴的單調減區間為..題型08反函數與零點問題【典例8】（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知方程與的根分別為，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對于A，用函數圖象的對稱性來判斷；對于B，利用零點存在定理來判斷；對于C，直接計算可得答案；對于D，作差判斷大小．【詳解】對于A、C，方程與的根分別為，，即與的交點橫坐標為，與的交點橫坐標為，由題知，，與的圖象關于對稱，都與相交，可得點與點,關于對稱，所以，即，故A，C正確；設，顯然函數在R上單調遞增，又，對于B，由零點存在定理可知，根據對稱性可得，B正確；對于D，由B選項知，，，則，所以，D錯誤，．【變式1】（23-24高一上·北京·階段練習）若是函數的零點，是函數的零點，則的值為（

）A．1 B．2023 C． D．4046【答案】C【分析】利用指數函數與對數函數互為反函數，其圖象關于對稱，結合反比例函數的圖象也關于對稱，從而數形結合即可得解.【詳解】因為是函數的一個零點，是函數的一個零點，所以，，即，，設函數與的交點為，則Ax1,y1，，設函數與的交點為，則Bx2,y2，，因為函數與函數互為反函數，所以它們的圖象關于對稱，而的圖象也關于對稱，所以點關于對稱，即，所以由得，即..【變式2】（23-24高一上·廣東·階段練習）若，分別是方程，的根，則（

）A． B．2023 C． D．4046【答案】A【分析】由于的圖像與圖像關于直線對稱，而直線也關于直線對稱，利用對稱性，結合數形結合，再利用中點坐標公式可求出的值.【詳解】由題意可得是函數的圖像與直線交點的橫坐標，是函數圖像與直線交點的橫坐標，因為的圖像與圖像關于直線對稱，而直線也關于直線對稱，所以線段的中點就是直線與的交點，由，得，即線段的中點為，所以.【變式3】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作出函數和的圖象以及直線的圖象，利用反函數的性質即可判斷【詳解】作出函數和的圖象以及直線的圖象，如圖，

由函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，由題意知，也即,由于函數和互為反函數，二者圖像關于直線對稱，而為和的圖象與直線的交點,故關于對稱，故..題型09指數函數與對數函數的綜合應用【典例9】已知f(x)eq\f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)0．(1)求a的值，并判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函數；(3)對任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2eq\f(1＋x,k)．【分析】(1)判斷奇偶性?奇偶性定義．(2)求反函數?反解，改寫，標注定義域．(3)對數不等式?構建不等式組?解不等式組?得出解集．【詳解】(1)由f(0)0，得a1，所以f(x)eq\f(2x－1,2x＋1)．因為f(x)＋f(－x)eq\f(2x－1,2x＋1)＋eq\f(2－x－1,2－x＋1)eq\f(2x－1,2x＋1)＋eq\f(1－2x,1＋2x)0，所以f(－x)－f(x)，即f(x)為奇函數．(2)因為f(x)yeq\f(2x－1,2x＋1)1－eq\f(2,2x＋1)，所以2xeq\f(1＋y,1－y)(－1<y<1)，所以f－1(x)log2eq\f(1＋x,1－x)(－1<x<1)．(3)因為f－1(x)>log2eq\f(1＋x,k)，即log2eq\f(1＋x,1－x)>log2eq\f(1＋x,k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)>\f(1＋x,k)，,－1<x<1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1－k，,－1<x<1，))所以當0<k<2時，原不等式的解集為{x|1－k<x<1}；當k≥2時，原不等式的解集為{x|－1<x<1}．【變式1】已知指數函數的反函數為．(1)求函數的解析式；(2)已知函數，求不等式的解集．【答案】(1)f(2)【分析】（1）根據指數函數的定義可得，再根據指數函數的反函數是對數函數分析可解；（2）根據奇偶性的定義以及復合函數單調性判斷的奇偶性和單調性，進而解不等式.【詳解】（1）若為指數函數，則，且，解得，即，所以指數函數的反函數為fx=（2）因為，可知的定義域為R，且，可知為定義在R上的偶函數，又因為在上單調遞增，且y=fx在定義域內單調遞增，所以在上單調遞增，且在內單調遞減，對于不等式，可得，整理得，解得，所以等式的解集為.【變式2】設函數（其中a>0且）．(1)求函數的解析式；(2)設函數，，如果當時，恒不成立，求a的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據求反函數的基本方法求出反函數即可；（2）先求出?x的解析式，依題意，可得，根據，可轉化為二次函數的恒不成立問題，即可求出a的取值范圍．【詳解】（1），．（2），，依題意，，即．由，得，解得，即，設，其對稱軸，所以函數在單調遞增．由，解得，又，所以a的取值范圍是.【變式3】已知，(1)求的反函數；(2)已知，若，使得，求的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）易得，從而根據其單調性求得值域，然后再利用反函數的定義求解；（2）易得，由，得到其定義域為，由在上單調遞增，其中．根據，由得到求解.【詳解】（1）解：，則其在上單調遞增，其值域為．在中互換得，整理得，，即反函數，定義域為．（2）依題意，其中，解得，即的定義域為，則在上單調遞增，其中．，，．，當且僅當，即時取得，此時不成立，的最大值為．一、單選題1．下列命題組真命題的個數為（

）①存在反函數的函數一定是單調函數②偶函數存在反函數③奇函數必存在反函數A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】取特例結合反函數定義和性質判斷即可.【詳解】對①，取函數，顯然存在反函數，但不單調，①錯誤；對②，取偶函數函數，則，顯然函數不存在反函數，②錯誤；對③，取奇函數函數，當時有和與之對應，即從到的映射不滿足函數定義，故奇函數沒有反函數，③錯誤.2．函數是與函數的圖象（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線對稱【答案】A【分析】根據指數函數與對數函數的關系判斷可得出結論.【詳解】函數是與函數的圖象關于直線對稱..3．若函數是函數（且）的反函數，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得出，結合可得出的值，進而可求得函數的解析式.【詳解】由于函數是函數（且）的反函數，則，則，解得，因此，..4．已知函數的反函數為，則的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】先求出函數的反函數，進而得到，再利用單調性排除部分選項，再利用特殊值法求解.【詳解】因為函數的反函數為，所以，是R上的減函數，排除AB，又當時，，排除D,.5．已知函數過點，若的反函數為，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把點代入，求得解析式，可得反函數解析式，由，得的定義域為，可求值域.【詳解】函數過點，則，解得，∴，的反函數為，得，由，∴的定義域為，當，有，則的值域為.6．函數的反函數的解析表達式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將中的互換位置，再化簡得到.【詳解】令，化簡得：，即.7．若函數的反函數為，則必有（

）A．，為任意實數； B．，為任意實數；C．，； D．，或，為任意實數．【答案】A【分析】根據題意結合反函數的概念運算求解.【詳解】由，解得，故函數的反函數為，由題意可得：，解得或，故A錯誤，B、C不一定不成立，D正確..8．已知函數的反函數圖像的對稱中心是，則實數的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可根據反函數性質得出函數的對稱中心是，然后通過即可得出結果.【詳解】因為函數的反函數圖像的對稱中心是，所以函數的對稱中心是，則，即，解得，.二、多選題9．設且，函數，下列說法正確的是（

）A．與在各自的定義域內有相同的單調性B．與兩者的圖象關于直線對稱C．與兩者都既不是奇函數，又不是偶函數D．與有相同的定義域和值域【答案】ABC【分析】根據指對數的關系及指對數函數的性質判斷各項正誤.【詳解】由指對數關系知：互為反函數，即關于直線對稱，B對；由于相同，則在各自定義域上單調性相同，且都是非奇非偶函數，A、C對；由定義域為R，值域為，定義域為，值域為R，所以與的定義域和值域都不同，D錯.BC10．設分別是方程與的實數解，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用反函數性質結合圖像求解即可.【詳解】方程與分別變形為：因為和互為反函數，且關于對稱，所以，故CD正確，畫出和，的圖像，易知A正確；又因為，結合圖像，易知，故B錯誤.CD11．已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，令，則關于函數說法正確的是（

）A．函數的圖象關于原點對稱 B．函數的圖象關于軸對稱C．函數的最小值為 D．函數在上為減函數【答案】CC【分析】求出的解析式后可研究函數的奇偶性、單調性和最值等性質，從而可得正確的選項.【詳解】因為函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，所以，則，，，則函數為偶函數，圖象關于軸對稱，所以B正確，A錯誤；函數在上單調遞減，在上單調遞增，根據復合函數的單調性可得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以C正確，D錯誤.C.三、填空題12．已知函數是函數的反函數，則過定點.【答案】1,0【分析】首先求出原函數過定點坐標，再根據反函數的性質得解【詳解】函數是函數的反函數，又函數過定點所以函數過定點1,0.故答案為：1,013．已知函數，，則.【答案】3【分析】求反函數的值的問題，只需利用原函數與反函數的內在聯系，使原函數的函數值取反函數的自變量的值，在原函數的定義域內求得自變量的值即反函數的對應函數值.【詳解】根據原函數與其反函數的關系，要求的值，只需使函數()的函數值取，即，解得，因，故，即得：故答案為：.14．