重難點專項突破04二次函數綜合（5種題型）

?【題型細目表】

題型一：線段周長問題

題型二：面積問題

題型三：角度問題

題型四：特殊三角形問題

題型五：特殊四邊形問題

【考點剖析】

題型一：線段周長問題

一、填空題

L（2023?安徽阜陽?校聯考模擬預測）平面直角坐標系中，將拋物線y=平移得到拋物

線C,如圖所示，且拋物線C經過點A（-LO）和鞏0,3）,點尸是拋物線C上第一象限內一

動點，過點P作x軸的垂線，垂足為。則OQ+P。的最大值為.

【分析】求得拋物線C的解析式，設。（尤，0）,則P（x,-N+2X+3）,即可得出OQ+P0,

根據二次函數的性質即可求得.

【詳解】解：設平移后的解析式為y-N+fot+c,

團拋物線C經過點A（-1,0）和8（0,3）,

f-l-Z?+c=0\b=2

02，解得V

[c=3[c=3

回拋物線C的解析式為尸-N+2x+3,

設。（x,0）,則尸（羽-N+2x+3）,

團點尸是拋物線。上第一象限內一動點,

團OQ+PQ=x+(-x2+2x+3)

=-X2+3X+3

/3、221

二-(%-------)H--------

24

91

回。。+尸。的最大值為了

91

故答案為：—

4

【點睛】本題考查了二次函數的性質，平移，二次函數圖象與幾何變換，根據題意得出

OQ+PQ=-N+3X+3是解題的關鍵.

二、解答題

2.(2023春?安徽六安?九年級校考階段練習)如圖，二次函數y=f-4x+3與一次函數

y=-x+3的圖象交于A,8兩點，點A在y軸上，點8在x軸上，一次函數的圖象與二次

函數的對稱軸交于點P.

(1)點P的坐標為;

2

⑵點C是該二次函數圖象上A,B兩點之間的一動點，點C的坐標為(0n],t=PC,

求/關于”的函數表達式和/的最小值.

【答案】(1)(2,1)

(2)r=(〃-g[r的最小值為:

【分析】(1)先求得A、8兩點的坐標，再求得二次函數的對稱軸，即可求得點尸的坐

標；

(2)利用拋物線上點的坐標的意義以及勾股定理構造關于”的二次函數，利用二次函數的

性質求解即可.

【詳解】（1）解：把尤=0代入y=T+3,得y=3,即4（0,3）,

把，=0代入y=-尤+3,得一x+3=0,解得x=3,即川3,0）,

回二次函數解析式為y=Y-4x+3=（x-2）2-l,

團二次函數對稱軸為直線x=2,

把x=2代入y=—x+3,得；y=l,

回點P的坐標為（2,1）,

故答案為：（2,1）；

（2）解：0P（2,1）,C（mn）,

0r=PC2=（m-2）2+（M-l）2,

團點C在拋物線上，

回〃=（“7—2）~—1,

回（加一2）~=〃+1,

回t=（〃—1）2+〃+1=〃2—2〃+l+〃+l=[〃-g]+：,

回0<相<3,二次函數頂點坐標為（2,-1）,

0-1<?<3,

17

團當〃=彳時，/有最小值，最小值為二.

24

【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數與一次函數的交點、拋物線的頂點坐

標等知識點，熟練掌握相關函數的性質是解題的關鍵.

3.（2023?安徽合肥?合肥壽春中學校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線>=依

與拋物線>=湛+。交于4（8,6）、B兩點，點B的橫坐標為-2.

（1）求直線AB和拋物線的解析式；

（2）點尸是直線A3下方的拋物線上一動點（不與點A、6重合），過點尸作x軸的平行線,

與直線A3交于點C,連接尸O,設點尸的橫坐標為小.

①若點尸在無軸上方，當機為何值時，△POC是等腰三角形；

②若點尸在X軸下方，設△POC的周長為〃，求P關于加的函數關系式，當加為何值時,

△POC的周長最大，最大值是多少？

Q1

【答案】⑴丫=乙工，y=--2

(2)①當日=4+：M時,△POC是等腰三角形；②當機=2時，△尸OC的周長最大，最

大值為9

【分析】(1)利用待定系數法求解析式；

(2)①當△尸OC是等腰三角形時，判斷出只有OC=PC,設出點尸的坐標，用OC=PC

建立方程組求解即可；②先表示出PCOCOP,然后建立△POC的周長P關于加的函數

關系式，確定出最大值.

【詳解】⑴解:將點4(8,6)代入產得洋=6,

3

解得左

4

3

團直線的解析式為

4

當x=-2時，y=-x=-x(-2)=--

44''2f

"一2,一切

將點4(8,6),《一2,-，代入廣加+c,得

64〃+c=6

:3，

4。+c=——

I2

’1

解得I"W,

c=-2

回拋物線的解析式為y=1-2；

(2)①設尸(私〃),則12_2=〃，

8

團過點尸作x軸的平行線，與直線交于點C

0C||,

0PC=m——n,

3

當點尸在x軸上方時，m>0,NOCP是鈍角,

團OC<OP,PC<OP,

團△POC是等腰三角形，

BOC=CPf

團OC=—n,

3

45

0m—n=-n,

33

回根=3〃，

12c

0—m-2=n

8

(1)

回根=31—m2—21,

向4+4-10_tx4—4^/10,仝?土、

0m=----------或m=-----------(舍去)，

33

團當相叵時，△poc是等腰三角形；

3

②當點尸在X軸下方時,—2<根<4,

0n<0

[?]P(m,n),貝!!!現2一2二點

8

51―

^OC=--n9OP=^mEJYT=>+2,

3

41

^\PC=m——n,—m9-2=n,

38

⑦p=OP+PC+OC

12G4(1")

=—m+2+m——n+\-

83I

12

=-m+m-3n+2

8

12,Jl2J

-—m+m-3—m-2k2

818>

=--(m-2)+9,

團當機=2時，p最大，最大值為9,

團當機=2時，△POC的周長最大，最大值為9.

【點睛】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，平面內兩點之間的距離公式，

等腰三角形的性質，三角形的周長，極值的確定，解本題的關鍵是表示出尸COCOP的長

度.

4.(2023?安徽宿州?統考一模)如圖，拋物線>=內2+法-3(awO)與x軸交于

A(-l,0),3(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求。，6的值；

(2)點尸是第四象限內拋物線上一點，連接AC,過點尸作AC的平行線，交x軸于點。，交

,軸于點E,設點P的橫坐標為心

①若直線PE的解析式為>=丘+。化NO),試用含f的代數式表示。；

②若點O是線段PE的中點，試求點尸的坐標.

【答案】(1)。=1,b=-2

⑵①C=/+L3,②⑵-3)

【分析】(1)利用待定系數法求解即可；

(2)①先求出C(0,—3),進而求出直線AC的解析式是y=-3x-3.由PE〃AC,得到

k=-3,則直線PE的解析式為'=-3元+c.再由尸。，/一2人3),即可得至h=產+1-3；

②由①得直線PE的解析式為y=-3x+r+/_3.求出D—尸，°，網0,「+”3),

再根據O是線段PE的中點，得至1J/一2/一3+〃+/一3=0,解方程即可得到答案.

【詳解】(1)解：把A(-1,0),8(3,0)分另I」代入y=/+bx-3,得:

a-b-3=0

9。+3/?—3=0

a=l

解得

b=-2

.,.a=l,b=—2；

(2)解：①由(1)知拋物線的解析式為y=/-2x-3.

在y=d-2x-3中，令x=0,貝!Jy=-3.

0C（O,-3）；

設直線AC的解析式為y=s+〃，把A（T,O）,。（0,-3）分別代入丁=W+〃,

f-m+n=O

得一

n=-3

團直線AC的解析式是y=-3x-3.

^PE//AC,

回％=—3.

回直線PE的解析式為y=-3%+c.

團點P在拋物線-2x-3上，點P的橫坐標為t,

團點尸.,廣一2/-3）,則--2r—3=-3t+c.

0c=r2+t-3；

②由①知直線PE的解析式為y=-3x+t2+t-3.

在y=-3x+r+T中，令y=0,^x=

在y=—3x+/+f—3中，令尤=0,得y=〃+f—3.

0E（0,廣+r—3）,

回。是線段PE的中點，

團尸、E兩點的縱坐標互為相反數，

回產一2f—3+產+f-3=O*

02r-r-6=O,

3

解得r=2或（舍去），

2

回產一2/—3=—3,

回尸（2,-3）.

【點睛】本題主要考查了二次函數與一次函數綜合，待定系數法求函數解析式，靈活運用

所學知識是解題的關鍵.

5.（2023?安徽?校聯考一模）如圖，點A。,。）在尤軸上，點/0,3）在〉軸上，以AB為直角

邊作等腰直角；ABC,使NB4C=90。，AB^AC,且點C落在第一象限，二次函數

>=-尤2+云+。的圖象經過點8,C.

⑴試確定二次函數的表達式；

⑵己知點尸是拋物線？=-爐+云+。的對稱軸上的一動點，且PB=PC,求點P的坐標.

【答案】（i）y=-x2+,x+3

【分析】（1）先求出。4=1,。3=3,過點C作CD_Lx軸于點D,再證明△AOBZZ\CDA,

可得CD=Q4=1,AD=BO=3,從而得到點C坐標為（4,1）,再利用待定系數法解答，即

可求解.

（2）先求出該二次函數圖象的對稱軸為直線x=:,可設點尸坐標為再由

PB=PC,得到關于機的方程，即可求解.

【詳解】（1）解:回點4（1,0）,點8（0,3）,

團OA—1,OB=3,

過點。作軸于點。，

^\ZAOB=ZCDA=90°,

0ZBAC=90°

aZ(MB+ZZMC=90o,ZZMC+ZDC4=90°,

團NQ4B=NDC4,

團AB-CA，

0AOB^CZM(AAS),

團CD=OA=1fAD=BO=3,

團點C在第一象限，

回點c坐標為(4,1),

團二次函數y=-V+bx+c的圖象經過點B,C,

(c=3b=—

明KJ解得2,

i[c=3

7

團二次函數的表達式為y=--+寸+3；

(2)解：^\y=-x2+—x+3=-fx-—+—,

24；16

7

團該二次函數圖象的對稱軸為直線%=-,

4

設點尸坐標為(:3，

^PB=PC,

0PB2=PC',

回憶-o]+(m-3,/Z-4]+(k1)2,

3

解得〃?=于

回點尸坐標為.

【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題，涉及了全等三角形的判定和性質，求二次函

數的解析式等知識，利用數形結合思想解答是解題的關鍵.

6.（2023春?安徽蚌埠?九年級校聯考期中）己知二次函數丁=依2+法+?4<0）.

(1)若匕=2,c=3,且該二次函數的圖象過點(—2,-5),求。的值；

(2)如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，該二次函數的圖象與無軸相交于不同的兩點

A&,0),B(X2,0),其中花＜0＜尤2，|力＜聞，且該二次函數的圖象的頂點在矩形A3CD

的邊CO上，其對稱軸與x軸，AC分別交于點N,AC與y軸相交于點E,且滿足

tanZG4B=l.

①求關于X的一元二次方程欠2+bx+c=0根的判別式的值；

②若AE=EN,令T=4—2c,求T的最小值.

a

【答案】(l)a=—1

⑵①16；②-9

【分析】(1)由題意將(一2,—5)代入,=〃/+2%+3,從而求得結果;

(1)①根據題意，表示出AB和BC,根據tan/CA3=S，=l,得出

AB

4ac-b2yjb2-4ac

=1,從而求得結果;

4Qa

7

A77A(J

②根據。EMN,從而得出詬=而，從而求得。的值，進而得出,’的關系式’將

其代入7=二-2c,進一步求得結果.

a

【詳解】(1)解：團b=2,c=3,即：y=ax2+2x+3,

把(-2,-5)代入得：-5=4°-4+3,

解得：a=-l

(2)①由以？+灰+。=o得，%=-b+yJb2-4ac

2ala

「2-4ac

^AB=x-x=~------------

2la

b4ac-b2

回拋物線的頂點坐標為:

2a54a

回比="匕4

4。

0ZABC=9O°,

2

團tan/GW=^|=l'BP：+y/b-4ac

=1,

a

7

回J)？一4如。=4,即：b2-4ac=16,

團一元二次方程ox?+〃x+c=。根的判別式的值為16；

②由①知〃—4〃。=16,

衛正王=上，則以=_上

2a2a2a

hh

由題意可知對稱軸為：x=-—,OEMN,則。河=一2,

2a2a

AEAO

團---=----

ENOM

ArAn

RAE=EN,則把="=1,

ENOM

-Z?+4

E-=1，解得6=2,

b

2〃

3

022-4ac=16,貝!|c=—一,

a

>

0T=^?-2c^^7+-=f-+3|-9,

aaa\a)

團當工=一3時，罩小=-9.

a

【點睛】本題考查二次函數及其圖象性質，二次函數和一元二次方程之間的關系，平行線

分線段成比例定理，銳角三角函數定義等知識，解決問題的關鍵根據點的坐標表示出線

段.

7.(2023?安徽合肥?校考一模)已知拋物線與直線/：丫="+8相交于A、B兩點(點

A在點2的左側)，點M為線段AB下方拋物線上一動點，過點M作MG回，軸交A3于點

G.

⑴當ABI3X軸時，①求點A、8的坐標；②求的值;

CJA-GB

(2)當k=2時，的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；

CJA-CJB

【答案】⑴①A，20,8),8(2在81②1

(2)是定值，理由見解析

【分析】(1)①利用A3無軸，則y=8,將y=8代入拋物線的解析式求得x值，則點

A,8的橫坐標可求，縱坐標為8,結論可得；

②設分別用A,B,M,G的坐標表示出線段VG,GA,GB,代入運算即可

得出結論;

（2）將兩解析式聯立求得A,8的坐標，設病），則G（〃z,2m+8）,分別用A,B,

M,G的坐標表示出線段MG,GA,GB,代入運算即可得出結論.

【詳解】（1）解：①當A3x軸時，k=0,則y=8,

對于y=x=當y=8時，丁=8,

解得x=±20,

A（-2A/2,8）,8（2也8）.

②團點M為線段AB下方拋物線上一動點,

設則G（〃,8）,

:.GM=S-n1,GA=n+2垃,GB=2五-n，

MG8,

"GAGB卜+2@（2應甸?

（2）是定值.

皿=2,

回直線/：y=2x+8,

設M（相,〃/）,則G（m,2機+8）,

/.MG=2m+8-m2=一（〃?-4）（〃7+2）.

令％2=2X+8，解得玉=-2,無2=4,

回點A在點8的左側，點Af為線段A8下方拋物線上一動點,

.?.，（-2,4）,5（4,16）,-2<m<4,

GA=y/（m+2）2+（2m+4）2=yj5（m+2）2=灼m+2）,

GB=冽-4）2+（2"-8『='5=灼4一團，

.MG_一（加-4）（一+2）_1

GA-GBy/5（m+2）-A/5（4-m）5

回當上=2時，-^―的值為定值，這個定值為9.

【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，一次函數的性質，拋物線上點的坐標的特征，

一次函數圖象上點的坐標的特征，利用點的坐標表示出相應線段的長度是解題的關鍵.

8.（2023?安徽馬鞍山?校考一模）如圖，二次函數y=無+。的圖象與x軸交于8、C

兩點（點8在點C的左側），一次函數y=6+l的圖象經過點8和二次函數圖象上另一點

A.其中點A的坐標為（4,3）.

（1）求二次函數和一次函數的解析式；

(2)若拋物線上的點尸在第四象限內，過點尸作》軸的垂線P。，交直線A8于點。，求

線段尸。的最大值.

111Q

【答案】(1)y=-^2--x-3,y=i尤+1；(2)《

【分析】(1)先根據A點坐標求出一次函數的解析式，然后求出3點坐標，再根據A、B

的坐標即可求出拋物線的解析式;

(2)P(x,—x2--X—3貝！+然后可以得到PQ=(；x+D—弓爐―11—3)

119o

=--X2+X+4=-4(X-1)-+J,利用二次函數的性質求解即可.

22、'2

【詳解】解:(1)直線丫=阮+1經過A(4,3),

回3=4左+1

國直線的解析式為y龍+1,

又回直線y=gx+l與x軸交于B點、,

令y=0即O=Jx+l,解得x=-2

0B(-2,0)

拋物線y=法+c經過點A(4,3)、B(-2,0),則

3=—xl6+4Z?+c

2

0=—x4-2Z?+c

2

b=--

2

c=-3

團拋物線為y=

(2)設—31,貝UQ(xqX+l)

111119

P2=(_+l)-(-x2——x-3)=x2+x+4=_―(x-1)9+-

02x22222

回0<x<3

9

回當x=i時，尸。取得最大值5.

【點睛】本題主要考查了一次函數與二次函數的綜合，待定系數法求函數解析式，二次函

數的最值問題，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

9.(2023?安徽?九年級專題練習)己知如圖，二次函數y=o(x+3)(x-5)的圖象交無軸于

A,C兩點，交y軸于點8(0,-36),此拋物線的對稱軸交無軸于點。，點P為y軸上的一

⑵求+的最小值.

【答案】⑴]

(2)2g

【分析】⑴把點3(0,-3力)代入y="(x+3)(x—5),即可求解;

(2)連接A2,過點。作。H0A8于點X,交y軸于點P,先求出點A、C、。的坐標，可

得/。84=30°,2。48=60°,,從而得到尸。+工尸8的最小值為尸￡)+尸”=￡>〃的

22

長，求出即可求解.

(1)

解：把點B(0,-3A/3)代入y=a(x+3)(無一5)得：

-373=?(0+3)(0-5),

解得：a=;

5

(2)

解：連接A8,過點。作于點交y軸于點尸,

由(1)得：二次函數的解析式為y=q(尤+3)(x-5),

令y=0,則曰(X+3)(X-5)=0,

解得：無1=-3,%=5,

回點A(-3,0),C(5,0),

回拋物線的對稱軸為直線％=三吵=1,

2

團點。(1,0),

0AD=4,

回點2(0,-34)，

團OA=3,03=3^3,

⑦AB=S4+OB2=19+27=6,

^\AB=2OAf

甌AO5=90°,

團團O3A=30°,

團ZOAB=60°,PH=-PB,

2

團PD+g尸8的最小值為PD+PH=DH的長,

團OWU5,團043=60°,

回她。〃=30°,

2

0DH=2A/3,

回po+gps的最小值為26.

【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數解析式的確定、直角三角形的性質，垂

線段最短解決線段和的最小值問題.解題的關鍵是作輔助線，轉化PO+；尸3的最小值為

尸。+P4=Q”的長.

10.（2023?安徽合肥?統考二模）已知：拋物線y=/-2辦與x軸交于點A、3（點3在工軸

正半軸），頂點為C,且AS=4.

（1）求。的值；

⑵求一ABC的面積；

4

⑶若點尸為拋物線上一點，2加//^軸交直線'=-3%-4于點加，求尸”的最小值.

【答案】（1）。=2；

（2）ABC的面積為8；

20

⑶最小值為

【分析】（1）先求得拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，利用鉆=4,即可求解；

（2）由（1）得到拋物線的解析式，點A、3的坐標，對稱軸為x=2,求得頂點

C（2,-4）,利用三角形的面積公式即可求解；

（3）設療-4帆），求得利用兩點之間的距離公式求得

PM=^m-^，再利用二次函數的性質求解即可.

【詳解】（1）解：令，=。，貝鼠2-2依=0,即x（x—2。）=0,

解得芭=。，々=2a,

團AB=4,

團2〃-0=4,

團a=2；

（2）解：由（1）得，拋物線的解析式為y=%2—4%,點4（0,0）、5（4,0）,對稱軸為

2

團頂點C(2,—4),

團ABC的面積為:x4x卜4|=8；

(3)解：設尸(%m2-4m),

^\PM//y軸，

回力>為，

(418(4丫20

0PM=m2-4m———m—4=m2——m+4=m——H---，

I3J3I3；9

町>0,

回當機=1時，PM取得最小值，最小值為

Jy

【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用，考查了二次函數圖象和性質以及待定系數法求

函數的解析式以及平行的知識，解決(3)問需要求出尸M的長，利用二次函數的求解.

11.(2023?安徽蕪湖?一模)已知拋物線y=f-2〃優+川-2與直線x=-2交于點P.

⑴若拋物線經過2)時，求拋物線解析式；

⑵設尸點的縱坐標為先，當匕,取最小值時，拋物線上有兩點(孫匕)，(孫憶)，

<x2<-2,比較為與%的大小；

⑶若線段AB兩端點坐標分別是4(0,2),5(2,2),當拋物線與線段AB有公共點時，求出

m的取值范圍.

【答案】(i)y=#+2x-1

⑵X>%?

(3)—2<m<0§￡2<m<4

【分析】(1)將(-1,-2)代入解析式求解.

(2)將x=-2代入解析式求出點尸縱坐標，通過配方可得“取最小值時機的值，再將二

次函數解析式化為頂點式求解.

（3）分別將點A,B坐標代入解析式求解.

【詳解】（1）解：將（一1,一2）代入丁=爐_2蛆+機2_2得：-2=1+2加+/一2,

解得機=-1,

?.y=x2+2x-l；

（2）將x=—2代入y=x2-2mx+m2-2=m2+4m+2=（m+2）2-2,

.,.加=一2時，yp取最小值，

y-f+4%+2=（x+2）2—2,

時，y隨x增大而減小，

,xx<x2<-2,

?>?y>%；

（3）,y=x2—2mx+m2—2=（x—m）2—2,

二拋物線頂點坐標為（辦-2）,

二拋物線隨機值的變化而左右平移，

將（0,2）代入y=x2-2nvc+m2-2nr-2=2，

解得m=2或〃7=-2,

將（2,2）代入y-2mx+m2-2得2=4-4加+病一2,

解得加=0或〃z=4,

.?.-2?機<0時，拋物線對稱軸在點A左側，拋物線與線段A3有交點，

2W%W4時，拋物線對稱軸在點A右側，拋物線與線段A3有交點.

:.—2<m<0i^2<m<4.

【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系，掌

握二次函數與方程及不等式的關系.

12.（2023春?安徽宿州?九年級統考期中）如圖1,已知拋物線Ci：y=V+6x+c與直線

y=-|x+l交于版4）、N&，"J兩點（M在N的左側）.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線的上方的拋物線上有一點C,若以,陽=竽，求點C的坐標；

⑶如圖2,將拋物線C1平移后得到新的拋物線C2,Q的頂點為原點，尸為拋物線C2第一

3

象限內任意一點，直線y=-5尤+1與拋物線G交于A、B兩點,直線＞=3與y軸交于點

G,分別與直線加、PB交于E、B兩點.若EF=5GF,求點P的橫坐標.

【答案】⑴尸產7—2

(2)4~|望或(4,10)；

9

⑶尸點橫坐標為7.

4

【分析】(1)用待定系數法求函數的解析式即可;

(2)過點C作CG〃y軸交"N于點G,設C“，則+可得

以詡=31+，3H2+1|=竽，即可求出點C的坐標；

(3)先求平移后的函數解析式為y=x?,設尸卜，聯立方程組，分別求出

A(-2,4),再由待定系數法分別求出直線叢的解析式、直線PB的解析式，可

求石(泊,3)從而建立方程求解即可.

3

【詳解】(1)解：將M(私4)代入y=—]X+l,

3?

0——機+1=4,

2

解得m=-2,

0A1(-2,4),

將N1|，d代入y=-|x+l,

3”=一5

n=

24

代入y=Y+bx+c,

4-2Z?+c=4

93b5

—H-------FC=—

[424

b=-l

解得

c=-2

^\y=x2-x-2?

(2)解：過點。作CG〃y軸交跖V于點G,

圖1

設C,產―r—2),則G',—

31

回CG=/9—/—2d—t—1=t9H—t—3,

22

c1f21八(3、105

05ACW=-X^+-Z-3^2+-j=—

、9

角畢得，=4或/=一力，

3

團。點在直線y=--x+\上方，

3-

0/>一或，<—2，

2

回C1或(4,1。)；

(3)解：Ely=Y-x-2=(x-g],

回拋物線的頂點為

回C?的頂點為原點，

回拋物線向左平移/個單位，向上平移|■個單位,

回平移后的函數解析式為J=x2,

設尸(。產)(f>0),

y----3-%+],

聯立方程組2,

x=—

2

解得或,

1

團A(—2,4),

團直線＞=3與y軸交于點G,

團G(0,3),

設直線P4的解析式為y=履+"

tk+b=t2

回

-2k+b=4'

k=t—2

解得

b=2t

團直線F4的解析式為y=(f-2)x+2r,

同理可求直線PB的解析式為y,

3-2r

0￡

t-2

6+，3—2,6+2

回所=

2t+lt-22t+l

⑦EF=5GF,

團6+t3-2r_5(6+。

2t+1t—22t+1

9

解得"“

981]

團尸

4f16f

9

"點橫坐標為“

【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，用待定系數

法求函數的解析式，拋物線平移的性質是解題的關鍵.

13.(2023?安徽淮北?淮北市第二中學校考二模)拋物線y=-無2+法+。與x軸交于點

A(1-A/6,0),B(l+^6,0),直線y=x-l與拋物線交于C,O兩點.

(1)求拋物線的解析式.

(2)在此拋物線的對稱軸上是否存在一點尸，使得4c的周長最小？若存在，請求出點尸

的坐標；若不存在，請說明理由.

⑶若點E為直線8上方的拋物線上的一個動點(不與點C,。重合)，將直線8上方的

拋物線部分關于直線8對稱形成愛心圖案，動點E關于直線CO對稱的點為F，求改'的

取值范圍.

【答案】⑴y=——+2%+5

(2)存在，尸理由見詳解

(3)0WEPV至也

4

【分析】⑴將4(1-遍，0),8(1+而0)代入拋物線＞=-*+云+c求解即可:

(2)連接BC,8C與對稱軸的交點即點尸，此時4c的周長最小；

(3)過點E作EGLx軸，進而得到/EGH=45。，由三角函數即可求解；

2

【詳解】(1)解：將A(1-而0),可1+而。)代入拋物線y=-x+bx+c^f

0=—^1—a\/6j+(1-+c仿=2

0=_(1+"『+(l+#)6+c牛哥［c=5

國拋物線的解析式為：》=一/+21+5.

y=x-lxi=-2,%=—3

(2)由解得:

y=—f+2x+5X?~3，=2

團。（一2,—3）,0（3,2）,

設的解析式為：丁二米+可左。0）,

將。(-2,-3),3(1+而0)代入y=得,

-3=-2k+b,=3-指

'C/7\7人解得：1「，

0=(1+，6/+6^=3-2V6

[Sy=(3-#)x+3-276,

2,

x==1,

拋物線的對稱軸為：~2x（-l）

當點尸在BC上時，APAC的周長最小，

團將x=l代入、=（3-布卜+3-2#中，

J=（3-5/6）-1+3-276=6-376,

0P（1,6-3A/6）.

（3）設點E（",-〃2+2〃+5）,

由C（-2,-3）,。（3,2）可求得C。的解析式為：y=x-l,

過點E作軸，

0G（n,n-1）,

將1=0代入丁=九一1得，尺（0，-1）,

將y=o代入y=xT得，T。，。），

團NORT=45。，

回石G_Lx軸，

⑦NEGH=45。,

FHEHV2

團sin"G"=—=-----------------------

EG—n+2〃+5—zz+12

SEH=^(-n2+n+6)=-^^n-^+^1,

當九=：時，即=空徨最大,

28

SEFJ.CD,

皿"呼

EIEB的取值范圍為：04EFV”也.

4

【點睛】本題主要考查二次函數與一次函數的綜合應用、三角函數的應用，掌握相關知識

并靈活應用是解題的關鍵.

題型二：面積問題

一、單選題

1.（2023?安徽合肥?校考模擬預測）如圖，垂直于x軸的直線AB分別與拋物線C|：y=Y

（x>0）和拋物線c,：y=—（x>0）交于A,B兩點，過點A作CD取軸分別與y軸和

一4

S

拋物線C2交于點C,D,過點B作EF取軸分別與y軸和拋物線C1交于點E,F,則瞪叱的

^^EAD

值為（）

A.—B.—C.-D.-

6446

【答案】D

2

【詳解】解：設點橫坐標為。，則點A縱坐標為〃，點8的縱坐標為幺,

4

應;〃了軸，

2

團點廠縱坐標為幺,

4

回點廠是拋物線丁二爐上的點,

團點廠橫坐標為％="=；〃，

CD//x軸用點。縱坐標為力,

回點。是拋物線y=二上的點，

4

團點D橫坐標為x==2a,

131

/.AD=a,BF=—a,CE=—a9,OE=—a9,

244

Q胡。-ADCE-0

24

故選：D.

2.（2023秋?安徽亳州,九年級統考期末）如圖，拋物線y=g/-2x+c與x軸交于點A,B

兩點，與y軸負半軸交于點C,其頂點為M,點。，E分別是AB,的中點，若江砂與

ACD的面積比為9010,則c的值為（）

5

C.——D.-3

2

【答案】C

sAD

【分析】由題意可得SDEB=:BD|%|，ADC=^'\yc\^由點。是AB的中點，_DEB

與，ACD的面積比為9回10,得到|人|="僅cl，由中點坐標公式得,

|%|="紅=：|%|，加=2"=9,M為頂點，求得點M的橫坐標，代入解析式，由

乙乙DD

縱坐標相等得到關于C的方程，解之即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，5DEB=^BD^yE\,StADC=^AD^yc\,

回點。是AB的中點，

團AD=DB,

國一DEB與ACD的面積比為9團10,

s530my9

raUDEB_Z,________）E_二

10

SADC^AD.\yc\光

回㈤=2川，

EIE是的中點，

團由中點坐標公式得，1%卜生受=;|九|,

當％=0時，y=—^-2x+c=c,

2

團為|=，

回加=2|%|=|c,

回加＜。，＞c=c＜°,

99

團％=/=不，

回M為頂點，

回如一五一;3=2,

乙X

2

將x=2代入y=；*2-2x+c得，

解得c=-|,

故選：C

【點睛】此題考查了二次函數的面積綜合題，求得加=，9先=（Q。是解題的關鍵.

二、解答題

3.（2023?安徽合肥?合肥一六八中學校考模擬預測）如圖，將邊長為2cm的正方形A3co

沿其對角線AC剪開，再把一ABC沿著AD方向平移，得到AB'C.設平移的距離為

x（cm）,兩個三角形重疊部分（陰影四邊形）的面積為S（cm2）

(1)當x=l時，求S的值.

(2)試寫出S與x間的函數關系式，并求S的最大值.

⑶是否存在x的值，使重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為1：血？如果存在，請求出此

時的平移距離x；如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)S=1

(2)S=-%2+2x,最大值為1

4

⑶x=l或x=§

【分析】(1)由正方形的性質得到ACD和A?C'都為直角邊為2的等腰直角三角形，從

而判定出也為等腰直角三角形，得到A'E=A4'=1,從而得到AO的長，由四邊形

的面積公式底乘以高的一半即可求出S；

(2)同理得到AE=A4'=龍，從而得到AD的長為2-x,由四邊形的面積公式底乘以高的

一半即可表示出S,根據二次函數的性質即可求解；

(3)由正方形的性質得到和/XAT)尸都為等腰直角三角形，根據直角邊方程為x和

2-x,分別表示出鄰邊AE和AN,進而表示出兩者之比等于己知的比值，列出關于x的

方程，求出方程的解即可得到無的值.

【詳解】⑴解：如圖所示，

由題意可知42D和一A'3'C'都為等腰直角三角形，且45=2,

:.ZA=45°,又由平移可知ZA4'E=90。，

二也為等腰直角三角形，x=l,

A'E=A4'=1,

又回AD=2—1=1,

S=AEA'O=1；

(2)由題意可知和AB'C都為等腰直角三角形，

:.ZA=45°,又由平移可知ZA4'E=90°,

，_A4Z也為等腰直角三角形，

A'E=AA=x,A!D=2-x

S=A'E-A'D=x（2-x）=-x2+2x=-（x-l）2+1,

當x=l時，S有最大值，其最大值為1；

（3）存在.理由如下：

由題意得到和尸都為等腰直角三角形，

AAr=x,AD=2—x,

A!E=x,AF=-s/2（2lx）,

:.x'.\[2（2-x）=1-.s[2或x:&（2-x）=0:1,

4

解得：x=l或x=§,

,4,

x=l或尤=g■時，

重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為1:忘.

【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，平移的性質，二次函數的性

質，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

4.（2023春?安徽黃山?九年級校聯考階段練習）已知關于尤的二次函數

y=（m-2）x2-x-m2+6m-l是常數）.

⑴若該二次函數的圖像經過點A（T2）,

①求機的值；②若該二次函數的圖像與x軸交于點8,C（點B在點C的左側），求

ABC的面積；

（2）若該二次函數的圖像與y軸交于點P,求點尸縱坐標的最大值；

【答案】⑴①"=5；②（

（2）2

【分析】（1）①直接利用待定系數法求解，再由二次函數的定義即可得出結果；

②先求出二次函數與x軸的交點，然后求面積即可；

（2）先確定縱坐標的解析式，然后化為頂點式即可求解.

【詳解】（1）解：①關于龍的二次函數^=（根-2）%2-%-川+6根-7的圖像經過點

.\（m-2）+l—m2+6m-7=2,

整理得加2-7m+10=0,

解得班=2,m2=5,

m-2^0,

mw2,

.\m=5；

②m=5,

二?該二次函數表達式為y=3/—2,

當y=0時,

即3f—%—2=0,

2

解得玉=1，%=—~，

點B在點。的左側，

二點B坐標為點C坐標為(1,0),

125

ABC的面積=^xx2=§；

(2)當x=0時，y=-m2+6m-l,

，點尸的縱