高中2021級高考模擬考試數學試卷（理工農醫類）說明：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1—2頁，第Ⅱ卷3—4頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效．考試結束后，將答題卡交回．2．本試卷滿分150分，120分鐘完卷．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解不含參的一元二次不等式求出全集U，再結合補集與交集的概念求答案即可.【詳解】由可得，所以，又因為，所以，所以，故選：C.2.若，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】分析：由公式可得結果.詳解：故選B.點睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎題.3.的展開式中，常數項為（）A.60 B. C.120 D.【答案】A【解析】【分析】先求出展開式的通項，令即得解.【詳解】的展開式的通項為令，解得，所以的展開式中的常數項為.故選：A4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.2π B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直觀圖是圓柱的上半部分被斜切去掉一半剩下的部分，利用割補法結合體積公式求解.【詳解】該幾何體的直觀圖是圓柱的上半部分被斜切去掉一半剩下的部分，則該幾何體的體積.故選：C5.已知過坐標原點O作的兩條切線，切點為A、B，則四邊形的面積為（）A.1 B.3 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出⊙C圓心坐標，半徑，，求出和，求出四邊形的面積.【詳解】由題意得⊙C圓心為，半徑，，則，則四邊形的面積.故選：B.6.甲乙等6名數學競賽國家集訓隊隊員站成一排合影，若甲乙兩名同學中間恰有1人，則不同的站法數為（）A.144 B.192 C.360 D.480【答案】B【解析】【分析】分2步進行分析：①其他4人中，選出1人，安排在甲乙之間；②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，由分步計數原理計算即可．【詳解】根據題意，分2步進行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲乙之間，有種情況；②將3人看成一個整體，與其余3人全排列，有種排法；則有種不同的站法．故選：B7.把函數圖象上所有點先向左平移個單位長度，再將所得曲線圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數的平移變換和伸縮變換即可求解.【詳解】函數圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數的圖象；再將所得曲線圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象.故選：D.8.若復數z滿足(其中是虛數單位，)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由復數的運算結合模長公式求出，再由充分必要條件定義判斷.【詳解】由得，，解得或.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B9.在△ABC中，點D在邊BC上，且E為AD的中點，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由及向量的加減運算即可解．【詳解】如圖所示：因為，所以，得，得，得，故選：C10.已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點為A，過A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點，若則E的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.[3，2]【答案】A【解析】【分析】首先求出，再結合題干中的條件可知，通過解不等式可得的取值范圍，結合雙曲線的離心率公式可得答案.【詳解】由題意得，漸近線,將代入得坐標為,所以,因為軸，所以,由已知可得,兩邊同時除以得,所以，即，解得,所以，而雙曲線的離心率，故選：A.11.已知函數的定義域為，且，則（）A.0 B.1 C.2024 D.2025【答案】D【解析】【分析】利用賦值法，先令求出，再令x=0，結合方程組法可求解析式，則答案可得.【詳解】令可得，所以，再令x=0可得，即①，將上式中的全部換成可得②，聯立①②可得,所以，故選：D12.圓錐的表面積為，其內切球的表面積為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】選擇（角）與內切球半徑為變量，可表示出圓錐底面半徑和母線，由圓錐和球的表面積公式可得，再由換元，轉化為求解二次函數值域，進而得的取值范圍.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐內切球半徑為，如圖作出圓錐的軸截面，其中設為外接圓圓心，為切點，為圓錐母線，連接.設，，.，，，又，，，，則圓錐表面積，圓錐內切球表面積，所求比值為，令，則，則，且當時，取得最大值，故，即的取值范圍是.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：求解立體幾何中的最值問題一般方法有兩類，一是設變量（可以是坐標，也可以是關鍵線段或關鍵角）將動態問題轉化為代數問題，利用代數方法求目標函數的最值；二是幾何法，利用圖形的幾何性質，將空間問題平面化，將三維問題轉化為二維問題來研究，以平面幾何中的公理、定義、定理為依據，以幾何直觀為主要手段直接推理出最值狀態何時取到，再加以求解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據要求作答．二、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在答題卡上．13.若、滿足約束條件，則的最大值是________．【答案】【解析】【分析】根據約束條件作出可行域，化目標函數為直線的斜截式，利用數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數即可求解.【詳解】由約束條件作出可行域如圖所示由，得，所以直線表示直線的斜率為，在軸上的截距為，作出直線，然后把直線向可行域平移，結合圖象可知當直線經過時，直線在軸上的截距最大，此時最大，由，解得，所以，所以當時，.故答案為：.14.已知函數是奇函數，則______．【答案】##【解析】【分析】利用奇函數的定義及指數的運算性質即可求解.【詳解】由，得，解得，所以的定義域為，因為，所以，因為函數是奇函數，所以，解得.故答案為：.15.如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，若為棱的中點，則直線與直線所成的角為_________．【答案】##【解析】【分析】利用三角形的中位線定理及平行四邊形的性質，結合異面直線所成角的定義及勾股定理和逆定理即可求解.【詳解】設分別為棱的中點，連接，,如圖所示，因為分別為棱的中點，所以,又因為為棱的中點，，為棱的中點，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以,所以為直線與直線所成的角（或其補角）.設正三棱柱的棱長為，則，，，,所以，即,所以，故直線與直線所成的角為.故答案為：.16.已知直線與橢圓交于P、Q兩點，直線l與x軸、y軸分別交于點M、N，若點M、N恰好是線段PQ的兩個三等分點，則______【答案】【解析】【分析】將直線與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，求出中點坐標及弦長PQ，由題意知MN的坐標及中點與PQ的中點相同求出的值，再由M，N三等分線段PQ，則，求出結果.【詳解】設，聯立直線與橢圓的方程整理得：，Δ=64解得，，所以中點，由題意得，點M，N三等分線段PQ，所以MN的中點也為H，所以，由題意，所以可得：；所以弦長，由題意得，由題意，所以，代入可得，所以：，故答案為：.三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.我市某旅行社對旅游市場進行調研，以更好的對產品進行優化，他們將所有國內旅行團產數學高考品分為北方旅行團和南方旅行團兩類，公司市場調研人員統計了2023年1月到5月參加該旅行社所有國內旅行團人數，其中，參加該旅行社南方旅行團的游客人數，數據如下：月份x12345南方旅行團人數y1201051009085（1）請利用所給數據建立該旅行社參加南方旅行團人數y與月份x之間的線性回歸方程；（2）公司市場調研人員從這5個月內參加旅行社所有國內旅游團人員中隨機抽查了50人，研究參加旅行社兩類旅行團游客人數與性別的關系，并得到如下2×2列聯表：參加南方旅行團參加北方旅行團合計女性22830男性81220合計302050判斷是否有97.5%的把握認為選擇旅行團與性別有關？附注：參考數據：參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：P(K2≥k)0.1000.0250.0100.0050.001k2.7065.0246.6357.87910.828【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據公式求出的值，從而得出所求方程；（2）計算卡方，與臨界值比較即可得出結論.【小問1詳解】由表中數據可得，..所求的回歸直線方程為.【小問2詳解】零假設選擇旅行團與性別無關，由題表中的數據，得根據小概率的獨立性檢驗,我們推斷不成立，即有的把握認為選擇旅行團與性別有關.18.已知等差數列的前項和為，且（1）求數列的通項公式；（2）設求數列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等差數列的通項公式以及前n項和公式構成方程組即可求得的通項公式；（2）將原式變形為，再利用裂項相消法即可求得答案.【小問1詳解】設等差數列的首項為，公差為．因為，，所以，化簡得，所以，所以數列的通項公式為；【小問2詳解】，整理得，所以，整理得.19.如圖，在四棱錐中，，E為AD的中點，．（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）1【解析】【分析】(1)連接BD，先證，，由線面垂直判定定理得平面，最后根據面面垂直判定定理可得平面平面；(2)利用空間向量研究線面角,先根據條件建立空間直角坐標系,設列各點坐標,利用方程組求平面一個法向量,再利用向量數量積求直線方向向量與法向量夾角余弦值,最后根據線面角與向量夾角互余關系確定直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】證明：連接BD，由已知，，，即，且與是平面內的兩條相交直線，∴平面.又平面，所以，由于，E為AD的中點，且，所以四邊形為正方形，即，又可得為平行四邊形，所以，，平面，∴平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】∵平面，∴為二面角的平面角，從而.如圖所示，在平面內，作，以A為原點，分別以所在直線為軸，軸建立空間直角坐標系，設，則，∴，設平面的法向量，則，取，則，設直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.20.點M是直線x=-1上的動點，O為坐標原點，過點M作y軸的垂線l，過點O作直線OM的垂線交直線l于點P.（1）求點P的軌跡C的方程；（2）過曲線C上的一點P（異于原點O）作曲線C的切線交橢圓于A、B兩點，求面積的最大值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）設出點坐標，根據垂直關系寫出對應向量關系式，由此可得軌跡的方程；（2）設出直線的方程，根據直線與曲線相切得到關于的表達式，然后通過聯立方程結合韋達定理以及弦長公式表示出的面積，最后利用基本不等式求解出最大值.【小問1詳解】設Px,y，則，所以，因為，所以，所以P點到軌跡為；【小問2詳解】設Ax1,因為為曲線的切線，聯立可得，所以，由可得，所以，且Δ=6mn2所以，又因為原點O到AB的距離為，所以，當且僅當，即或時等號成立（此時滿足），綜上可知面積的最大值為3.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中求解三角形面積的常用方法：（1）利用弦長以及點到直線的距離公式，結合底高，表示出三角形的面積；（2）根據直線與圓錐曲線的交點，利用公共底或者公共高的情況，將三角形的面積表示為或；（3）借助三角形內切圓的半徑，將三角形面積表示為（r為內切圓半徑）.21.已知，函數，．（1）當時，判斷函數的零點個數；（2）求證：若函數有極大值點，則．【答案】（1）1（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）把代入，借助導數確定單調性，分析求解；（2）求導，分、和三種情況，利用導數求函數的極大值點，進而可得結果.【小問1詳解】若，則，可得，設，則，可知在上單調遞增，且，當時，，即；當時，，即；可知在上單調遞增，且，所以函數的零點個數為1.【小問2詳解】函數，其定義域為，則，由（1）可知上單調遞增，且，當時，；當時，；且，令，解得或，若，即，則對任意恒成立，可知在上單調遞增，函數無極值點，不符合題意；若，即，當時，；當時，；可知在上單調遞增，在上單調遞減，則是的極大值點，且，又因為，則，所以；若，即，當時，，當時，，可知上單調遞增，在單調遞減，則是的極大值點，可得；綜上所述，函數存在極大值點，且.【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構造新的函數；（3）利用導數研究的單調性或最值．（4）根據單調性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構造的新函數不能利用導數求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個函數的最值問題．請考生在22、23二題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目．如果多做，則按所做第一個題目計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．[選修4—4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系中，曲線的參數方程為(是參數)，是曲線上的點，所對應的參數分別為和；以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求點的直角坐標，并求出間的距離；（2）若點在曲線上，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（