第四章三角形第20講圖形的相似與位似TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用比例的性質求解??題型02黃金分割??題型03由平行線分線段成比例判斷式子正誤??題型04平行線分線段成比例??題型05平行線分線段成比例—A型??題型06由平行線分線段成比例—X型??題型07平行線分線段成比例與三角形中位線綜合??題型08平行線分線段成比例常的輔助線—平行線??題型09平行線分線段成比例常的輔助線—垂線??題型10位似圖形的識別??題型11求兩個位似圖形的相似比??題型12求位似圖形的對應坐標??題型13已知位似圖形的相似比求線段長度??題型14求位似圖形的周長??題型15求位似圖形的面積??題型16在坐標系中畫位似中心??題型17在坐標系中畫位似圖形??題型01利用比例的性質求解1．（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a=3b B．a+b=5 C．a+ba=52．（2023·安徽亳州·模擬預測）如圖，點P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項．如果AB=2，那么AP=．3．（2022·江蘇淮安·一模）在比例尺為1：40000的南京交通旅游圖上，玄武湖隧道約長7cm，它的實際長度約為km4．（2024·安徽蕪湖·一模）已知四個數a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值為（

）A．2 B．3 C．43 D．5．（2024·福建南平·一模）如圖，線段AB上的點C滿足關系式：AC2=BC·AB，且AB=2，則ACA．5?1或3?5 B．5?12 C．??題型02黃金分割1．（2024·天津和平·一模）如圖，在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為2m，設雕像下部BC高xmA．雕像的上部高度AC與下部高度BC的關系為：AC:BC=BC:2B．依題意可以列方程xC．依題意可以列方程xD．雕塑下部高度為52．（2024·寧夏吳忠·一模）如圖，在正五邊形AFGBE中，連接它們的對角線，其中點C是對角線AB與對角線EG的交點，已知點C為BD的黃金分割點，BE=2，則CD的長度為（

）A．3+5 B．3?5 C．?1+53．（2024廣東模擬預測）如果一個等腰三角形的頂角為36°，那么可求其底邊與腰之比等于5?12，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，△ABC看作第一個黃金三角形；作∠ABC的平分線BD，交AC于點D，△BCD看作第二個黃金三角形；作∠BCD的平分線CE，交BD于點E，△CDE看作第三個黃金三角形……以此類推，第2024個黃金三角形的腰長是（A．5?122023 B．5?122024??題型03由平行線分線段成比例判斷式子正誤1．（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、AC、BC邊上，連接DE、EF，若DE∥BC,EF∥AB，則下列結論錯誤的是（

）A．AEEC=BFFC B．ADBF=2．（23-24九年級上·湖南長沙·期末）如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、A．ACCE=BDBF B．ACAE=4．（2024深圳市模擬）如圖，在△ABC中，EG∥BD，FG∥A．ABAE=AGAD B．AEBE=5．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在三角形ABC中，D、F是AB邊上的點，E是AC邊上的點，DE∥BC，EF∥DC，則下列式子中不正確的是（

）A．AFAD=AEAC B．ADAB=??題型04平行線分線段成比例1．（2023·江蘇南京·三模）如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果ABBC=2

2．（2024·遼寧·二模）如圖，AD∥BE∥CF，若AB=4,BC=8,DE=3，則DF的長是（

）A．1.5 B．6 C．9 D．123．（2024寧波市模擬）如圖，已知l1∥l2∥l3，它們依次交直線l4、l5于點A、B、C

A．2 B．4 C．245 D．??題型05平行線分線段成比例—A型1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，帶有刻度的直尺結合數軸作圖，已知圖中的虛線相互平行，若點A在數軸上表示的數是?2，則點B在數軸上表示的數是．2．（2020·北京·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=133．（2024浙江部分城市模擬）如圖，點D，E，F分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，M是DF的中點，連結CM并延長交AB于點N，則A．15 B．29 C．164．（2023·安徽·中考真題）如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，EF⊥AB于點F，連接DE并延長，交邊BC于點M，交邊AB的延長線于點G．若AF=2，FB=1，則MG=（

）

A．23 B．352 C．55．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線CD，交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD于點E．

(1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度數．(2)若OB=2,BD=1，求CE的長．

??題型06由平行線分線段成比例—X型1．（2024·山西朔州·三模）如圖，在?ABCD中，點E為AB的中點，點F為AD上一點，EF與AC相交于點H．若FH=3，EH=6，AH=4，則CH的長為．2．（2020·山東菏澤·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，點P在對角線BD上，且BP=BA，連接AP并延長，交DC的延長線于點Q，連接BQ，則BQ的長為．3．（2023·吉林長春·三模）【閱讀理解】構造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點，E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，則易證E是線段

【經驗運用】請運用上述閱讀材料中所積累的經驗和方法解決下列問題．

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE=CF，連接EF交AC于點G．求證：①G是EF的中點；②CG與BE之間的數量關系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2BC，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE=2CF，連接EF交AC于點G．探究BE和CG之間的數量關系是：____________________________；

4．（2023邵陽市模擬）如圖，在△ABC中，BC=4，D為AC延長線上一點，AC=3CD，∠CBD=∠A，過D作DH∥AB，交BC的延長線于點

(1)試說明：△HCD∽△HDB．(2)求DH的長．??題型07平行線分線段成比例與三角形中位線綜合1．（2024·江西吉安·二模）如圖，“趙爽弦圖”是一個由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正方形，若E是AF的中點，AD=5，連接BF并延長交CD于點M，則DM的長為（

）A．34 B．1 C．54 2（2024·四川內江·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，對角線AC、BD相交于點O，M為AO的中點，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF=∠MFE，則AD的值為（

）A．4 B．33 C．323．（2024·遼寧大連·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，點D是BC邊上一點，且BD=3CD，連接AD，并取AD的中點E，連接BE并延長，交AC于點F，則EF的長為．4．（2024羅湖區模擬）已知正方形ABCD的邊長為a，延長BC到點E，使CE=BC，取CD的中點F，連接DE、BF，DE與BF的延長線相交于點G，則BG的長為（）

A．53a B．253a ??題型08平行線分線段成比例常用的輔助線—平行線1．（2023南充高級中學二模）如圖，AD是△ABC的中線，點E在AC上，BE交AD于點F．若AD=3AF，則AEAC=2．（2024·天津和平·三模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E為AB的中點，連接CE，

（Ⅰ）△ACE的面積為；（Ⅱ）若點F為OD的中點，連接EF交OA于點G，OG=1，則線段CE的長為．3．（2024·四川成都·一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，延長AB至D，使得AB：BD=m：n，連接CD，E是BC邊上的中點，連接AE，并延長AE交CD與點F，連接FB

??題型09平行線分線段成比例常用的輔助線—垂線1．（2024南山區模擬）如圖，在四邊形ACBD中，對角線AB、CD相交于點O，∠ACB=90°，BD=CD且sin∠DBC=35，若∠DAB=2∠ABC，則AD

2．（2023·廣東深圳·一模）五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行橫線上標以不同時值的音符及其他記號來記載音樂．如圖，A，B，C為直線l與五線譜的橫線相交的三個點，則ABBC的值是3．（2023·天津南開·一模）如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點，過B作BG⊥AE于G，延長BG至點F使∠CFB=45°，延長FC、AE交于點M，連接BM，若C為FM中點，BM=10，則FG的長為．4．（2024·江蘇南通·一模）如圖，直線AB交雙曲線y=kx于A，B兩點，交x軸于點C，且AB=3BC，連接OA．若S△OAC??題型10位似圖形的識別1．（2024·山西大同·一模）下列選項中的兩個相似圖形，不是位似圖形的是（

）A． B． C．D．2．（2024·寧夏銀川·一模）大約在兩千四百年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗，并在《墨經》中做了記載，如圖，在實驗中，物和像屬于以下哪種變換（

）A．平移變換 B．對稱變換 C．旋轉變換 D．位似變換3．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似問題時，嘉嘉和淇淇兩同學的觀點如下：嘉嘉：將邊長為1的正方形按圖1的方式向外擴張，得到新正方形，它們的對應邊間距為1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似；淇淇：將邊長為1的正方形按圖2的方式向外擴張，得到新正方形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似．對于兩人的觀點，下列說法正確的是（

）

A．兩人都對 B．兩人都不對 C．嘉嘉對，淇淇不對 D．嘉嘉不對，淇淇對4．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖，在5×5網格圖中，每個小正方形的邊長均為1，三角形①、②均為格點三角形，則下列關于三角形①、②的說法正確的是（A．一定不相似，周長比為1:2 B．一定位似，位似比為1:2C．一定相似，面積比為1:4 D．一定相似，相似比為1:4??題型11求兩個位似圖形的相似比1．（2024·重慶渝中·二模）如圖，△ABC與△DEF關于點O位似，位似比為3:4，已知AC=3，則DF的長等（）

A．3 B．163 C．283 2．（2024北京大學附屬中學零模）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個國家曾發行過紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標記出圖1中大門的門框并畫出相關的幾何圖形（圖2），我們發現設計師巧妙地使用了數學元素（忽略誤差），圖2中的四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'

A．四邊形ABCD與四邊形A'BB．四邊形ABCD與四邊形A'BC．四邊形ABCD與四邊形A'BD．四邊形ABCD與四邊形A'B3．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，△ABC與△DEF是位似三角形，點O為位似中心．OA=AD，則△ABC與△DEF的位似比為（

）A．1:1 B．2:3 C．1:2 D．1:34．（2024·四川成都·三模）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，已知OA:AD=1:2，則AC:DF=．??題型12求位似圖形的對應坐標1．（2023·浙江嘉興·中考真題）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A1,2,B2,1,C3,2，現以原點O為位似中心，在第一象限內作與△ABC

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,42．（2020·浙江舟山·中考真題）如圖，在直角坐標系中，△OAB的頂點為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點O為位似中心，在第三象限內作與△OAB的位似比為13的位似圖形△OCD，則點C

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣43，﹣1） C．（﹣1，﹣43）3．（2023巴中區二模）在平面直角坐標系中，已知點A-4,2，B-6,-4，以原點O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點B的對應點BA．-3,-2 B．-3,-2或3,2 C．-12,-8 D．-12,-8或12,8??題型13已知位似圖形的相似比求線段長度1．（2024寶豐區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心，若A點坐標為1，2，C點坐標為2，4，A．2 B．4 C．25 D．2．（2023·黑龍江綏化·一模）在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心，在第一象限內，按照位似比2:3，將△OAB放大得到△OCD，且A點坐標為2，3，B點坐標為3，3，則線段??題型14求位似圖形的周長1．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，△ABC和△A1B1C1是以點P為位似中心的位似圖形，若AP=1A．8 B．12 C．18 D．242．（2024·重慶開州·模擬預測）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點O，若OD:OA=2:3，則△DEF與△ABC的周長之比為（

）．A．2:3 B．4:9 C．9:4 D．3:23．（2024·廣東·模擬預測）《墨子·天志》記載：“輪匠執其規、矩，以度天下之方圓．”知圓度方，感悟數學之美．如圖，以正方形ABCD的對角線交點為位似中心，作它的位似圖形A'B'C'D'，若四邊形A

??題型15求位似圖形的面積1．（2023·四川資陽·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC與△DEF是以原點O為位似中心的位似圖形，且OF=3OC，則△ABC與△DEF的面積之比是．2．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，OB=2BE．若△ABC的面積為4，則△DEF的面積是．3．（2023·遼寧沈陽·二模）在平面直角坐標系中，點O，A，B的坐標分別為0,0，3,0，2,?3，△A'B'O與△ABO關于點O位似，A'與A，B'與B是對應頂點，且△A'4．（2023·重慶九龍坡·二模）如圖，△ABC與△A'B'C'位似，位似中心為O．△ABC與△A'BA．6 B．12 C．18 D．205．（2024·四川成都·二模）如圖，△A'B'C'是△ABC以點O為位似中心經過位似變換得到的，若A．3:5 B．4:9 C．4:25 D．9:25??題型16在坐標系中畫位似中心1．（2022·河北邯鄲·三模）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，且頂點都在格點上，則位似中心的坐標是（）A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）2．（2023·山東濟南·一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'關于點3．（2021·安徽蕪湖·一模）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點坐標分別為O0,0，A2,1，(1)以原點O為位似中心，在y軸的右側畫出△OAB的一個位似△OA1B1，使它與(2)畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的△O(3)判斷△OA1B1和△O??題型17在坐標系中畫位似圖形1．（2023·廣東深圳·一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC各頂點的坐標分別是A(4,8),B(4,4),C(10,4)，△A1B1C1與△ABC關于原點O位似，A,B,C的對應點分別為(1)△A1B1C(2)請畫出△A(3)BC邊上有一點M(a,b)，在B1C1邊上與點M(4)△A1B2．（2022·廣東廣州·二模）已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A0,3、B3,4、(1)△ABC的面積是____________；(2)以點B為位似中心，在網格內畫出△A1BC1，使△3．（2020·安徽合肥·三模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A?2,?2，B?5,?4，(1)請在平面直角坐標系中畫出△ABC關于x軸對稱的△A(2)以點O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍，得到△A2B(3)①點B1的坐標為．②求△1．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長為5的正方形ABCD，E，F，G，H分別為各邊中點，連接AG，BH，CE，DF，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形MNPQ的面積為（

）A．1 B．2 C．5 D．102．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函數y=kxk≠0的圖象經過點A、B及AC的中點M，BC∥x軸，AB與y軸交于點N．則ANA．13 B．14 C．153．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為4．（2024·甘肅蘭州·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：點P是圖形W外一點，點Q在PO的延長線上，使得POQO=12，如果點Q在圖形W上，則稱點P是圖形W的“延長2分點”，例如：如圖1，A(2,4),B(2,2),P?1,?32是線段AB外一點，Q2,3在PO的延長線上，且POQO(1)如圖1，已知圖形W1：線段AB，A2,4，B2,2，在P(2)如圖2，已知圖形W2：線段BC，B2,2，C5,2，若直線MN:y=?x+b上存在點P是圖形W(3)如圖3，已知圖形W3：以Tt,1為圓心，半徑為1的⊙T，若以D?1,?2，E?1,1，F2,1為頂點的等腰直角三角形DEF上存在點P1．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點．按下列要求作圖：①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段BO于點D，交BC于點E；②以點O為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段OA于點F；③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G，點G與點C在直線AB同側；④作直線OG，交AC于點M．下列結論不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=2．（2024·山東·中考真題）如圖，點E為?ABCD的對角線AC上一點，AC=5，CE=1，連接DE并延長至點F，使得EF=DE，連接BF，則BF為（

）A．52 B．3 C．723．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形1．以A為端點畫一條射線；2．用圓規在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；3．過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N，M、N就是線段AB的三等分點．

這一畫圖過程體現的數學依據是（

）A．兩直線平行，同位角相等B．兩條平行線之間的距離處處相等C．垂直于同一條直線的兩條直線平行D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例4．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點，作直線PQ交AB，AC于點D，E，連接CD．下列說法錯誤的是（

A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CD=C．DE=12BC5．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，

A．165 B．167 C．26．（2023·四川遂寧·中考真題）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點△ABC、△DEF成位似關系，則位似中心的坐標為（

A．(?1,0) B．(0,0) C．(0,1) 7．（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規律．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5?18．（2024·四川成都·中考真題）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，則xy的值為9．（2023·浙江溫州·中考真題）圖1是4×4方格繪成的七巧板圖案，每個小方格的邊長為2，現將它剪拼成一個“房子”造型(如圖2)，過左側的三個端點作圓，并在圓內右側部分留出矩形CDEF作為題字區域(點A，E，D，B在圓上，點C，F在AB上)，形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為．若點A，N，M在同一直線上，AB∥PN，DE=6EF，則題字區域的面積為

10．（2023·湖南益陽·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=4，以A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于12DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF，交DE于點M，過點M作MN∥AB交BC于點N．則

11．（2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為BD的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．

（1）若∠A=30°,AB=6，則BD的長是（結果保留π）；（2）若CFAF=1312．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別是O0，0，A1，0，B2，3，C

13．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△AB'C'的相似比為1∶2，點A是位似中心，已知點A(2,0)，點C(a,b)，∠C=90°．則點C'的坐標為

14．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在梯形ABCD中，AD∥BC，點E在邊AB上，且AE=1(1)如圖1所示，點F在邊CD上，且DF=13CD，聯結EF(2)已知AD=AE=1；①如圖2所示，聯結DE，如果△ADE外接圓的心恰好落在∠B的平分線上，求△ADE的外接圓的半徑長；②如圖3所示，如果點M在邊BC上，聯結EM、DM、EC，DM與EC交于N，如果BC=4，且CD2=DM?DN，∠DMC=∠CEM15（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P為邊AB上的動點．連接PC，將PC繞點P逆時針旋轉60°得到PE，過點E作EF∥AB，EF交直線AD于點F．連接PF、DE，分別取PF、DE的中點M、N，連接MN，交AD(1)若點P與點B重合，則線段MN的長度為______．(2)隨著點P的運動，MN與AQ的長度是否發生變化？若不變，求出MN與AQ的長度；若改變，請說明理由．16．（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉璧，玉環為我國的傳統玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調之環．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示，以考古發現看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關系．(1)若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內孔．17．（2023·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=?x+5與y軸交于點A，與反比例函數y=kx的圖象的一個交點為B(a,4)，過點B作AB的垂線

(1)求點A的坐標及反比例函數的表達式；(2)若點C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點C的坐標；(3)P是直線l上一點，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點D，E恰好都落在反比例函數圖象上，求點P的坐標及m的值．

第四章三角形第20講圖形的相似與位似TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用比例的性質求解??題型02黃金分割??題型03由平行線分線段成比例判斷式子正誤??題型04平行線分線段成比例??題型05平行線分線段成比例—A型??題型06由平行線分線段成比例—X型??題型07平行線分線段成比例與三角形中位線綜合??題型08平行線分線段成比例常的輔助線—平行線??題型09平行線分線段成比例常的輔助線—垂線??題型10位似圖形的識別??題型11求兩個位似圖形的相似比??題型12求位似圖形的對應坐標??題型13已知位似圖形的相似比求線段長度??題型14求位似圖形的周長??題型15求位似圖形的面積??題型16在坐標系中畫位似中心??題型17在坐標系中畫位似圖形??題型01利用比例的性質求解1．（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正確的是（）A．2a=3b B．a+b=5 C．a+ba=5【答案】C【分析】根據比例的性質進行判斷即可．【詳解】解：A、由a:b=2:3，得3a=2b，故本選項錯誤，不符合題意；B、當a=4，b=6時，a:b=2:3，但是a+b=10，故本選項錯誤，不符合題意；C、由a:b=2:3，得a+baD、當a=4，b=6時，a:b=2:3，但是a+3b+2故選：C．【點睛】本題考查了比例的性質及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩外項的積等于兩內項的積，比較簡單．2．（2023·安徽亳州·模擬預測）如圖，點P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項．如果AB=2，那么AP=．【答案】3?5/【分析】根據黃金分割的定義結合已知條件得BP=5【詳解】解：∵點P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項，∴BP∴根據黃金分割的定義可得出：BP=5∴AP=AB?BP=2?5故答案為：3?5【點睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割．3．（2022·江蘇淮安·一模）在比例尺為1：40000的南京交通旅游圖上，玄武湖隧道約長7cm，它的實際長度約為km【答案】2.8【分析】根據旅游圖上的距離與實際距離的比就是比例尺，列出比例式求解即可．【詳解】解：設它的實際長度是xcm，根據題意得：7：x=1：40000，解得：x=280000，280000cm故它的實際長度約為2.8km故答案為：2.8．【點睛】本題主要考查了比例尺的定義，實際就是比例的問題，解題的關鍵是由題意列出比例式求解．4．（2024·安徽蕪湖·一模）已知四個數a，b，c，d成比例，且a=3，b=2，c=4，那么d的值為（

）A．2 B．3 C．43 D．【答案】D【分析】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，利用成比例線段的定義得到a:b=c:【詳解】解：根據題意得a:即3：解得d=8故選：D．5．（2024·福建南平·一模）如圖，線段AB上的點C滿足關系式：AC2=BC·AB，且AB=2，則ACA．5?1或3?5 B．5?12 C．【答案】C【分析】本題主要考查黃金分割，設AC=x，則BC=AB?AC=2?x，x2=22?x【詳解】解：設AC=x，則BC=AB?AC=2?x，∵AC∴x2整理得，x2解得，x=5?1或∴AC=5故選：C．??題型02黃金分割1．（2024·天津和平·一模）如圖，在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為2m，設雕像下部BC高xA．雕像的上部高度AC與下部高度BC的關系為：AC:BC=BC:2B．依題意可以列方程xC．依題意可以列方程xD．雕塑下部高度為5【答案】B【分析】本題考查了黃金分割，一元二次方程的應用，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．根據黃金分割的定義進行計算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：由題意得：AC:BC=BC:AB，∵AB=2，∴AC:BC=BC:2，∵BC=xm，∴AC=AB?BC=(2?x)m∴(2?x):x=x:2，∴x整理得：x2解得：x=5?1或∴BC=(5∴雕塑下部高度為(5故A、C、D都正確，B不正確，故選：B2．（2024·寧夏吳忠·一模）如圖，在正五邊形AFGBE中，連接它們的對角線，其中點C是對角線AB與對角線EG的交點，已知點C為BD的黃金分割點，BE=2，則CD的長度為（

）A．3+5 B．3?5 C．?1+5【答案】B【分析】本題主要考查了正多邊形的相關性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握黃金分割點的計算方法是解決本題的關鍵．根據點C為線段BD的黃金分割點，設CD=x,則BC=BD?CD=2?x，得到x2?x=2?x2，解得【詳解】解：∵五邊形AFGBE為正五邊形∴AE=BE=2，∠AEB=∠EBG=180°×5?25∴∠EAB=∠EBA=36°，∠BEG=∠BGE=180°?108°∴∠DEC=108°?36°?36°=36°，∴∠BDE=180°?∠BED?∠EBD=72°∴∠ECD=180°?∠DEC?∠BDE=72°∴BE=BD=2,∵點C為線段BD的黃金分割點，設CD=x,則BC=BD?CD=2?x∴x化簡得，x2∴x=3±5∵CD<2∴CD=3?故選：B．3．（2024廣東模擬預測）如果一個等腰三角形的頂角為36°，那么可求其底邊與腰之比等于5?12，我們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，△ABC看作第一個黃金三角形；作∠ABC的平分線BD，交AC于點D，△BCD看作第二個黃金三角形；作∠BCD的平分線CE，交BD于點E，△CDE看作第三個黃金三角形……以此類推，第2024個黃金三角形的腰長是（A．5?122023 B．5?122024【答案】A【分析】本題考查了黃金三角形，規律型等知識；由黃金三角形的定義得BC=5?12AB=5?12，同理求出CD=5?122，DE=5?123，可得第1個黃金三角形的腰長為AB=AC=1，第2個黃金三角形的腰長是5?1【詳解】解：∵△ABC是第1個黃金三角形，第1個黃金三角形的腰長為AB=AC=1，∴BCAB∴BC=5∵△BCD是第2個黃金三角形，∴CDBC=5?12，∴CD=5∵△CDE是第3個黃金三角形，∴DECD=5?12，∴DE=5∴第4個黃金三角形的腰長是5?1…∴第n個黃金三角形的腰長是5?1∴第2024個黃金三角形的腰長是5?1故選：A．??題型03由平行線分線段成比例判斷式子正誤1．（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、AC、BC邊上，連接DE、EF，若DE∥BC,EF∥AB，則下列結論錯誤的是（

）A．AEEC=BFFC B．ADBF=【答案】C【分析】利用平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質對每個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、EF∥AB，∴AEECB、∵DE∥BC，∴ADAB∵DE∥BC,EF∥AB，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴DE=BF，∴ADAB∴ADBFC、∵EF∥AB，∴EFAB∵CF與DE的大小關系不能確定，∴EFABD、∵EF∥AB，∴CEEA∴CECF故選：C【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質，正確應用平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．2．（23-24九年級上·湖南長沙·期末）如圖，直線a∥b∥c，分別交直線m、n于點A、C、E、B、D、A．ACCE=BDBF B．ACAE=【答案】D【分析】本題考查平行線分線段成比例：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【詳解】∵a∥∴ACCE=BDDF，∴選項A、B、C錯誤，不符合題意；D正確，符合題意；故選：D．4．（2024深圳市模擬）如圖，在△ABC中，EG∥BD，FG∥A．ABAE=AGAD B．AEBE=【答案】B【分析】根據平行線分線段成比例定理及相似三角形對應邊成比例逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：∵EG∥∴由平行線分線段成比例定理可知ABAE∵EG∥BD，∴由平行線分線段成比例定理可知AEBE=AG∵FG∥∴由平行線分線段成比例定理可知DFCF∵EG∥BD，∴△AEG∽∴FGAC=故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質，掌握平行線性質，結合已知圖形，準確得到線段成比例是解決問題的關鍵．5．（2024·廣東廣州·二模）如圖，在三角形ABC中，D、F是AB邊上的點，E是AC邊上的點，DE∥BC，EF∥DC，則下列式子中不正確的是（

）A．AFAD=AEAC B．ADAB=【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例，通過證明△ADC∽【詳解】解：∵EF∥DC，∴△ADC∽∴AFAD=AE∵DE∥BC，∴ADAB∴ADAB∴AD故只有C選項不正確故選：C．??題型04平行線分線段成比例1．（2023·江蘇南京·三模）如圖，已知直線AD∥BE∥CF，如果ABBC=2

【答案】6【分析】由平行線所截線段對應成比例可知ABBC=DE【詳解】解：∵AD∥∴ABBC∵DE=4，∴EF=6，故答案為：6．【點睛】本題主要考查平行線所截線段對應成比例，熟練掌握比例線段的計算是解決本題的關鍵．2．（2024·遼寧·二模）如圖，AD∥BE∥CF，若AB=4,BC=8,DE=3，則DF的長是（

）A．1.5 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】直接根據平行線分線段成比例定理作答即可．本題考查的是平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．【詳解】解：∵AD∥BE∥CF，∴ABBC∵AB=4，BC=8，DE=3，∴48∴EF=6，∴DF=DE+EF=3+6=9，故選：C．3．（2024寧波市模擬）如圖，已知l1∥l2∥l3，它們依次交直線l4、l5于點A、B、C

A．2 B．4 C．245 D．【答案】C【分析】由平行線分線段成比例定理即可求解．【詳解】解：∵DE:DF=3:5，∴EF:DF=2:5．∵l1∴BCAC∴BC12∴BC=24故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握這一定理是關鍵，注意定理中要求線段是對應的．??題型05平行線分線段成比例—A型1．（2024·廣東廣州·一模）如圖，帶有刻度的直尺結合數軸作圖，已知圖中的虛線相互平行，若點A在數軸上表示的數是?2，則點B在數軸上表示的數是．【答案】4【分析】本題考查的是數軸，熟練掌握兩點間的距離公式和平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．根據題意，設點B在數軸上表示的數為x，再根據平行線分線段成比例定理，可得8?xx?(?2)=5?3【詳解】解：由圖可知，A點在直尺的0刻度上，點B在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的數為8，圖中的虛線相互平行，∵點A在數軸上表示的數是?2，設點B在數軸上表示的數為x，∴8?xx?(?2)=5?3解得：x=4，即點B在數軸上表示的數為4，故答案為：4．2．（2020·北京·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=13【答案】（1）見解析；（2）2．【分析】（1）連接OD，根據CD是⊙O的切線，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根據OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根據OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可證明；（2）設半徑為r，根據在Rt△OCD中，sinC=13，可得OD=r，OC=3r，AC=2r，由AB為⊙O的直徑，得出∠ADB=90°，再根據推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行線分線段成比例定理可得OE【詳解】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）設半徑為r，在Rt△OCD中，sinC=∴ODOC∴OD=r，OC=3r，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴OEBD∴OE=4，∵OFBD∴OF=6，∴EF=OF?OE=2．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數，切線的性質，直徑所對的圓周角是90°，靈活運用知識點是解題關鍵．3．（2024浙江部分城市模擬）如圖，點D，E，F分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，M是DF的中點，連結CM并延長交AB于點N，則A．15 B．29 C．16【答案】D【分析】本題考查的是平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質；先證明△GFM∽NDM結合中點的含義可得GM=MN，再證明CGGN【詳解】解：如圖，記EF與CN的交點為G，∵EF∥AB，∴△GFM∽NDM，∴GMMN∵點M是DF的中點，即DM=FM，∴GM=MN，∵DE∥BC，∴CEAE∵EF∥AB，∴CGGN∴CG=3GN=3GM+MN∴MNCM故選D4．（2023·安徽·中考真題）如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，EF⊥AB于點F，連接DE并延長，交邊BC于點M，交邊AB的延長線于點G．若AF=2，FB=1，則MG=（

）

A．23 B．352 C．5【答案】B【分析】根據平行線分線段成比例得出DEEM=AFFB=2，根據△ADE∽△CME，得出ADCM=DEEM=2，則CM=1【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AF=2，FB=1，∴AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3，AD∥CB，∵EF⊥AB，∴AD∴DEEM=AF∴ADCM則CM=1∴MB=3?CM=3∵BC∥∴△GMB∽△GDA，∴BG∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線CD，交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD于點E．

(1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度數．(2)若OB=2,BD=1，求CE的長．【答案】(1)115°(2)CE=【分析】（1）根據三角形的外角的性質，∠ACD=∠AEC+∠EAC即可求解．（2）根據CD是⊙O的切線，可得∠OCD=90°，在Rt△OCD中，勾股定理求得CD=5，根據OC∥AE，可得【詳解】（1）解：∵AE⊥CD于點E，∴∠AEC=90°，∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°．

（2）∵CD是⊙O的切線，OC是⊙O的半徑，∴∠OCD=90°．在Rt△OCD∵OC=OB=2,OD=OB+BD=3，∴CD=O∵∠OCD=∠AEC=90°，∴OC∥AE∴CDCE=OD∴CE=2【點睛】本題考查了三角形外角的性質，切線的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識是解題的關鍵??題型06由平行線分線段成比例—X型1．（2024·山西朔州·三模）如圖，在?ABCD中，點E為AB的中點，點F為AD上一點，EF與AC相交于點H．若FH=3，EH=6，AH=4，則CH的長為．【答案】20【分析】延長FE交CB的延長線于點G．證明△AFE≌△BGEAAS，得出EF=EG，求出EG=9，根據平行線分線段成比例定理，得出AH【詳解】如圖，延長FE交CB的延長線于點G．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥∴∠EAF=∠EBG，∠AFE=∠G．∵點E為邊AB的中點，∴AE=BE．在△AFE和△BGE中，∠EAF=∠EBG∠AFE=∠G∴△AFE≌△BGEAAS∴EF=EG．∵FH=3，EH=6，∴EF=EH+FH=9．∴EG=9，∴GH=EG+EH=9+6=15．∵AD∥∴AHCH=解得CH=20．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，三角形全等的判定和性質，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是作出輔助線，證明△AFE≌△BGE．2．（2020·山東菏澤·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，點P在對角線BD上，且BP=BA，連接AP并延長，交DC的延長線于點Q，連接BQ，則BQ的長為．【答案】3【分析】由矩形的性質求得BD，進而求得PD，再由AB∥CD得BPPD=ABDQ=【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，AB=5，AD=12，∴∠BAD=∠BCD=90o，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，∴BD=AB2∴PD=8，∵AB∥DQ，∴BPPD=解得：CQ=3，在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，BQ=B故答案為：3【點睛】本題考查了矩形的性質、平行線分線段成比例定理、勾股定理，熟練掌握矩形的性質，會利用平行線成比例定理列相關比例式是解答的關鍵．3．（2023·吉林長春·三模）【閱讀理解】構造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點問題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點，E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F，則易證E是線段

【經驗運用】請運用上述閱讀材料中所積累的經驗和方法解決下列問題．

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE=CF，連接EF交AC于點G．求證：①G是EF的中點；②CG與BE之間的數量關系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=2BC，點E在AB上，點F在BC的延長線上，且滿足AE=2CF，連接EF交AC于點G．探究BE和CG之間的數量關系是：____________________________；【答案】（1）①見解析②BE=（2）BE=【分析】（1）①過點E作EI∥BC交AC于點I，證明△EIG≌△FCG(ASA②由等腰直角三角形的性質得出AI=2AE，由平行線得出AIAE=IC（2）作EI∥BC交AC于點I，由三角函數證出AE=2IE，得出IE=CF，證△EIG≌△FCG(ASA)，得出EG=FG，IG=CG，設IE=a，則AE=2a，求出AEAI【詳解】解：證明：①過點E作EI∥BC交AC于點

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠AEI=∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∴∠AIE=∠BAC=45°，∴AE=EI，∵AE=CF，∴CF=EI，∵EI∥∴∠EIG=∠FCG，∠IEG=∠CFG，在△EIG和△FCG中，∠EIG=∠FCGEI=CF∴△EIG≌△FCG(ASA∴EG=FG，∴G是EF的中點；②在Rt△AEI中，∠AEI=90°，AE=EI∴△AEI是等腰直角三角形，∴AI=2∴AIAE∵EI∥∴AIAE∴IC=2∵△EIG≌△FCG，∴IG=CG=1∴CG=1即CG=2（2）解：BE和CG之間的數量關系為：BE=4

過點E作EI∥BC交AC于點∵四邊形ABCD是矩形，∴∠AEI=∠ABC=90°，AB∥CD，在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC=∠AEI=90°，∴tan∴AE=2IE，∵AE=2CF，∴IE=CF，∵EI∥∴∠EIG=∠FCG，∠IEG=∠CFG，在△EIG和△FCG中，∠EIG=∠FCGEI=CF∴△EIG≌△FCG(ASA∴EG=FG，IG=CG，設IE=a，則AE=2a，在Rt△AEI中，∠AEI=90°∴AI=IE2即AEAI∵EI∥∴ICEB∴IC=5∵IG=CG=1∴CG=5∴BE=4【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、矩形的性質、勾股定理、三角函數、全等三角形的判定與性質、平行線的性質、相似三角形的判定與性質等知識；作輔助線構建全等三角形與相似三角形是解題的關鍵．4．（2023邵陽市模擬）如圖，在△ABC中，BC=4，D為AC延長線上一點，AC=3CD，∠CBD=∠A，過D作DH∥AB，交BC的延長線于點

(1)試說明：△HCD∽△HDB．(2)求DH的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）由DH∥AB，可得∠A=∠HDC，再由∠CBD=∠A，可得（2）根據DH∥AB，AC=3CD，對應線段成比例可得CH=43，再由（1）可知【詳解】（1）解：∵DH∥∴∠A=∠HDC，∵∠CBD=∠A，∴∠HDC=∠CBD，又∵∠H=∠H，∴△HCD∽△HDB；（2）解：∵DH∥∴CDAC∵AC=3CD，∴13∴CH=4∴BH=BC+CH=4+4由（1）知ΔHCD∽∴DHBH∴DH16∴DH=64∴DH=8答：DH的長度為83【點睛】本題考查平行線的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．??題型07平行線分線段成比例與三角形中位線綜合1．（2024·江西吉安·二模）如圖，“趙爽弦圖”是一個由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接成的大正方形，若E是AF的中點，AD=5，連接BF并延長交CD于點M，則DM的長為（

）A．34 B．1 C．54 【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，根據題意找出角度、線段之間的數量關系是解題關鍵．延長AF交CD于點K，由題意可知，四個直角三角形全等，四邊形ABCD、EFGH是正方形，根據平行線分線段成比例定理，得出DK=52，再證明△BEF≌△DGCSAS，結合平行線的性質和對頂角，得出∠MFK=∠MKF，∠FDM=∠DFM【詳解】解：如圖，延長AF交CD于點K，由題意可知，四個直角三角形全等，四邊形ABCD、EFGH是正方形，∴AD=BC=CD=5，AE=DF=CG，BE=DG=AF，EF=FG，∵E是AF的中點，∴AE=EF=1∴CG=EF=DF=1∵AK∥∴DF∴DK=5在△BEF和△DGC中，BE=DG∠BEF=∠DGC=90°∴△BEF≌△DGCSAS∴∠DCG=∠BFE=MFK，∠EBF=∠GDC，∵AK∥CH，∴∠DKF=∠DCG，∠EBF=∠BFG=∠DFM∴∠MFK=∠MKF，∠FDM=∠DFM，∴FM=MK，DM=FM，∴DM=MK=1故選：C2（2024·四川內江·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，對角線AC、BD相交于點O，M為AO的中點，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF=∠MFE，則AD的值為（

）A．4 B．33 C．32【答案】B【分析】由三角形中位線定理可得AB=2ME，OD=2MF，可得AB=OD，由矩形的性質可得OD=OA=OB=AB，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，∵M為AO的中點，ME∥AB，∴OEBE=OM∴ME是△ABO的中位線，MF是△AOD的中位線，∴AB=2ME，OD=2MF，∵∠MEF=∠MFE，∴ME=MF，∴AB=OD=3，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO=OC=OB=OD=3，∴BD=6，∴AD=B故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理，平行線分線段成比例定理的應用等知識，證明AO=OC=OB=OD=3是解題的關鍵．3．（2024·遼寧大連·模擬預測）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，點D是BC邊上一點，且BD=3CD，連接AD，并取AD的中點E，連接BE并延長，交AC于點F，則EF的長為．【答案】58【分析】過點D作DG∥BF，交AC于點G，根據平行線分線段成比例定理可得CDBD=CGFG=13，AEED=AFFG=1，設CG=x，FG=3x，根據AC=4列方程可得【詳解】解：∵E是AD的中點，∴AE=ED，如圖，過點D作DG∥BF，交AC于點G，∴CDBD=CG設CG=x，FG=3x，則AF=3x，∵AC=4，∴3x+3x+x=4，∴x=4∴AF=3x=12由勾股定理得：BF=A∵DG∥BF，∴△CDG∽△CBF，∴CDBC∴DG=1∵AE=ED，AF=FG，∴EF是△ADG的中位線，∴EF=1故答案為：5814【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線定理，三角形相似的性質和判定，勾股定理，解題的關鍵是添加常用輔助線，用轉化的思想思考問題．4．（2024羅湖區模擬）已知正方形ABCD的邊長為a，延長BC到點E，使CE=BC，取CD的中點F，連接DE、BF，DE與BF的延長線相交于點G，則BG的長為（）

A．53a B．253a 【答案】B【分析】過點C作CP∥BG，交DE于點P，連接BD，根據平行線等分線段定理的推論證得DG=GP=PE，在Rt△BCD中，根據勾股定理可求出BD，DE，再在Rt【詳解】解：過點C作CP∥BG，交DE于點P，連接∵BC=CE，∴GPPE∴GP=PE，∵點F是CD的中點，CP∥∴DGGP∴DG=GP，∴DG=GP=PE，∵正方形ABCD的邊長為a，CE=BC，∴CE=BC=CD=a，∠BCD=∠DCE=90°，∴BD=BDE=C∠BDC=∠CDE=45°，∴DG=13DE=∴BG=B故選：B．

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正方形的性質，等邊對等角，勾股定理，中點的定義等知識．通過作輔助線并根據平行線等分線段定理證明DG=GP=PE是解題關鍵．??題型08平行線分線段成比例常用的輔助線—平行線1．（2023南充高級中學二模）如圖，AD是△ABC的中線，點E在AC上，BE交AD于點F．若AD=3AF，則AEAC=【答案】15【分析】如圖，作輔助線，由DG∥BE得到AFFD=AE【詳解】解：如圖，過點D作DG∥BE，交AC于點∵AD=3AF，∴AFFD∵DG∥∴AFFD=AE∴EG=2AE，∵AD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴EG=CG，∴CG=EG=2AE，∴AC=AE+EG+CG=5AE，∴AEAC故答案為：15【點睛】本題考查平行線分線段成比例，解題的關鍵是正確作出輔助線．2．（2024·天津和平·三模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E為AB的中點，連接CE，

（Ⅰ）△ACE的面積為；（Ⅱ）若點F為OD的中點，連接EF交OA于點G，OG=1，則線段CE的長為．【答案】123【分析】（1）根據三角形中線求面積即可；（2）過點E作EM⊥AO于點M，由菱形的性質，EM是△ABO的中位線，得EM=12OB，因此OF=EM，推出△EMG≌△FOG，得到MG=OG=1，從而求出OA的長，得到AC的長，求出CM的長，由三角形面積公式求出OB長，得到EM【詳解】解：（1）∵E為AB的中點，∴AE=EB，∴S（2）如圖，過點E作EM⊥AO于點M，

∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∴EM∥∴AM∵AE=EB，∴AM=OM，∴EM為△ABO的中位線，∴EM=1∵DF=FO=1∴EM=FO，∵∠FGO=∠EGM，∠OFE=∠MEF，∴△EMG≌△FOGAAS∴MG=OG=1，∴OM=2，∴OA=4，∴AC=2OA=8，∴S∴OB=6，∴EM=1∵CM=CO+OM=4+2=6，∴CE=C【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，三角形中線求面積，平行線分線段成比例，勾股定理等知識，關鍵是過點E作EM⊥AO于點M，證明△EMG≌△FOG，求出OA的長．3．（2024·四川成都·一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC，延長AB至D，使得AB：BD=m：n，連接CD，E是BC邊上的中點，連接AE，并延長AE交CD與點F，連接FB

【答案】m：m+n【分析】本題主要考查的是平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質等知識點，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．如圖：過點B作BH∥AF交CD于H，根據平行線分線段成比例定理得到DHHF=BD【詳解】解：過點B作BH∥AF交CD于∴△BDH∽△ADF∴DHHF

∵AB=AC，E是BC邊上的中點，∴AE⊥BC，∴AF是線段BC的垂直平分線，∴BF=CF，∵EF∥BH∴△CEF∽△CBH,∴CFCH∴CF=12HF∴CF：∴BF：故答案為：m：??題型09平行線分線段成比例常用的輔助線—垂線1．（2024南山區模擬）如圖，在四邊形ACBD中，對角線AB、CD相交于點O，∠ACB=90°，BD=CD且sin∠DBC=35，若∠DAB=2∠ABC，則AD

【答案】1【分析】本題考查求線段長，涉及互余、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、三角形全等判定與性質、平行線分線段成比例、中點的定義等知識，過D作DE⊥BC于E，交AB于F，如圖所示，設∠ABC=α，∠ABD=β，由直角三角形兩銳角互余、等腰三角形性質，在△DAO和△BCO構成的8字形中，由三角形內角和定理可知∠ADO=β，從而由三角形全等判定得到△DAC≌△BFDASA，進而BF=AD，最后由平行線分線段成比例確定F【詳解】解：過D作DE⊥BC于E，交AB于F，如圖所示：

設∠ABC=α，∠ABD=β，∴∠DAB=2∠ABC=2α，∠DBC=α+β，∠BDF+α+β∵BD=CD，DE⊥BC，∴∠DCB=∠DBC=α+β，CE=BE，在△DAO和△BCO中，由三角形內角和定理可知∠ADO+2α=α+β+α，即∵∠ACB=90°，∴∠ACO+α+β∴∠ACD=∠FDB，在△DAC和△BFD中，∠ACD=∠FDB∴△DAC≌∴BF=AD，∵AC⊥CB，∴AC∥DE，則BECE=BF∴F是AB的中點，∴AD故答案為：122．（2023·廣東深圳·一模）五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行橫線上標以不同時值的音符及其他記號來記載音樂．如圖，A，B，C為直線l與五線譜的橫線相交的三個點，則ABBC的值是【答案】2【分析】過點A作AD⊥a于D，交b于E，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【詳解】過點A作AD⊥a于D，交b于E，∵a∥b，∴ABBC故答案為：2．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．3．（2023·天津南開·一模）如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點，過B作BG⊥AE于G，延長BG至點F使∠CFB=45°，延長FC、AE交于點M，連接BM，若C為FM中點，BM=10，則FG的長為．【答案】4【分析】過C點作CH⊥BF于H點，證明△AGB≌△BHC，得出BG=CH，證明CH=12GM【詳解】解：過C點作CH⊥BF于H點，如圖所示：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB=∠BHC=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°，∴∠BAG=∠FBE，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，∴△AGB≌∴BG=CH，∵C為FM的中點，∴CF=1∵CH⊥GF，AG⊥BF，∴CH∥∴CHGM∴CH=1∴BG=1∵BM=10，∠BGM=90°，∴BG∴BG解得：BG=25∴GM=45∵∠FGM=90°，∠GFM=45°，∴∠GMF=90°?45°=45°，∴∠GFM=∠GMF，∴FG=GM=45故答案為：45【點睛】本題主要考查的是全等三角形的判定及性質、等腰三角形的判定及性質和正方形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，證明△AGB≌4．（2024·江蘇南通·一模）如圖，直線AB交雙曲線y=kx于A，B兩點，交x軸于點C，且AB=3BC，連接OA．若S△OAC【答案】3【分析】作AD⊥x軸于D,BE⊥x軸于E,則BE∥AD,得到BEAD=BCAC=14，利用反比例函數系數k的幾何意義得到S△OAD=S△OBE=12k,【詳解】連接OB,作AD⊥x軸于D,BE⊥x軸于E,則BE∥AD,∴設A點坐標為ka∵AB=3BC，∴AC=4BC，ABAC∴BE∴B點坐標為4ka∵S∴S∵S∴12AD+BE∴1解得k=3，故答案為:3．【點睛】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了平行線分線段成比例定理，反比例函數系數k的幾何意義，反比例圖象上點的坐標特征,由S△OAB=S??題型10位似圖形的識別1．（2024·山西大同·一模）下列選項中的兩個相似圖形，不是位似圖形的是（

）A． B． C．D．【答案】C【分析】本題考查的是位似變換，掌握兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關鍵．根據位似圖形的定義解答即可．【詳解】解：根據位似圖圖形的定義可知選項A、B、D中的兩個圖形都是位似圖形，C中的兩個圖形不是位似圖形，故選：C．2．（2024·寧夏銀川·一模）大約在兩千四百年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗，并在《墨經》中做了記載，如圖，在實驗中，物和像屬于以下哪種變換（

）A．平移變換 B．對稱變換 C．旋轉變換 D．位似變換【答案】D【分析】本題考查了位似變換，熟練掌握位似變換的特征是解題的關鍵．根據位似變換的特征作答即可．【詳解】解：由題意知，物和像屬于位似變換，故選：D．3．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似問題時，嘉嘉和淇淇兩同學的觀點如下：嘉嘉：將邊長為1的正方形按圖1的方式向外擴張，得到新正方形，它們的對應邊間距為1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似；淇淇：將邊長為1的正方形按圖2的方式向外擴張，得到新正方形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似．對于兩人的觀點，下列說法正確的是（

）

A．兩人都對 B．兩人都不對 C．嘉嘉對，淇淇不對 D．嘉嘉不對，淇淇對【答案】A【分析】根據相似與位似的定義進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，嘉嘉向外擴張得到的新的正方形的邊長為3，且仍為正方形，故新正方形與原正方形相似，同時也位似，位似中心為正方形對角線的交點．淇淇向外擴張得到的新的正方形的邊長為2+1故新正方形與原正方形相似，同時也位似，位似中心為正方形對角線的交點．故兩人說法正確，故選：A．【點睛】本題考查了相似與位似．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．4．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖，在5×5網格圖中，每個小正方形的邊長均為1，三角形①、②均為格點三角形，則下列關于三角形①、②的說法正確的是（A．一定不相似，周長比為1:2 B．一定位似，位似比為1:2C．一定相似，面積比為1:4 D．一定相似，相似比為1:4【答案】C【分析】本題考查的是位似變換，根據勾股定理求出兩個三角形的各邊長，根據相似三角形的判定定理、性質定理以及位似圖形的概念判斷即可．掌握位似圖形的概念、相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】解：由勾股定理得：三角形①的三邊長分別為2、5、5，三角形②的三邊長分別為22、25、∴三角形①與三角形②相似，且相似比為1:2，∴三角形①與三角形②的面積比為1:4，∵三角形①與三角形②的對應邊不平行也不在同一條直線上，∴三角形①與三角形②不位似，故選：C．??題型11求兩個位似圖形的相似比1．（2024·重慶渝中·二模）如圖，△ABC與△DEF關于點O位似，位似比為3:4，已知AC=3，則DF的長等（）

A．3 B．163 C．283 【答案】D【分析】本題主要考查位似的定義．解題的關鍵是掌握位似圖形是相似圖形的特殊形式，位似比等于相似比的特點．位似圖形就是特殊的相似圖形位似比等于相似比．利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵△ABC與△DEF關于點O位似，位似比為3:4，∴AC:DF=3:4，∵AC=3，∴3:DF=3:4，則DF=4．故選：D．2．（2024北京大學附屬中學零模）2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個國家曾發行過紫禁城元素的郵品．圖1所示的摩納哥發行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和大門內的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標記出圖1中大門的門框并畫出相關的幾何圖形（圖2），我們發現設計師巧妙地使用了數學元素（忽略誤差），圖2中的四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'

A．四邊形ABCD與四邊形A'BB．四邊形ABCD與四邊形A'BC．四邊形ABCD與四邊形A'BD．四邊形ABCD與四邊形A'B【答案】D【分析】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．兩個位似圖形必須是相似形；對應點的連線都經過同一點，對應邊平行或共線．先利用位似的性質得到A'【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'∴OA∴A'∴四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'故選：D．3．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，△ABC與△DEF是位似三角形，點O為位似中心．OA=AD，則△ABC與△DEF的位似比為（

）A．1:1 B．2:3 C．1:2 D．1:3【答案】C【分析】本題考查求位似圖形的相似比，根據已知得到OA:OD=1:2即可求解．【詳解】解：∵OA=AD，∴OA:OD=1:2，∵△ABC與△DEF是位似三角形，∴△ABC與△DEF的位似比為1:2，故選：C．4．（2024·四川成都·三模）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，已知OA:AD=1:2，則AC:DF=．【答案】1:3/1【分析】本題考查位似圖形的性質，根據相似比等于位似比，即可得出結果．【詳解】解：∵OA:AD=1:2，∴OA:OD=1:3，∵△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，∴AC:DF=OA:OD=1:3；故答案為：1:3．??題型12求位似圖形的對應坐標1．（2023·浙江嘉興·中考真題）如圖，在直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A1,2,B2,1,C3,2，現以原點O為位似中心，在第一象限內作與△ABC

A．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,4【答案】C【分析】直接根據位似圖形的性質即可得．【詳解】解：∵△ABC的位似比為2的位似圖形是△A'B∴C'2×3,2×2故選：C．【點睛】本題考查了坐標與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質是解題關鍵．2．（2020·浙江舟山·中考真題）如圖，在直角坐標系中，△OAB的頂點為O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以點O為位似中心，在第三象限內作與△OAB的位似比為13的位似圖形△OCD，則點C

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣43，﹣1） C．（﹣1，﹣43）【答案】B【分析】根據關于以原點為位似中心的對應點的坐標的關系，把A點的橫縱坐標都乘以?1【詳解】解：∵以點O為位似中心，位似比為13而A（4，3），∴A點的對應點C的坐標為（?4故選：B．【點睛】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．3．（2023巴中區二模）在平面直角坐標系中，已知點A-4,2，B-6,-4，以原點O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點B的對應點BA．-3,-2 B．-3,-2或3,2 C．-12,-8 D．-12,-8或12,8【答案】D【分析】根據位似的性質，將點B的坐標乘以2或-2即可求解．【詳解】解：∵已知點A-