幾何-曲線型幾何-扇形-1星題

課程目標

知識點考試要求具體要求考察頻率

扇形B1.了解扇形的特征和有關概念少考

2.能夠通過圓的面積和周長公式推

導出扇形的面積和弧長公式

3.能夠運用公式計算扇形的弧長、

面積和周長

知識提要

扇形

?概念

圓上兩點之間的部分叫做弧。

扇形是指一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

其中，圓的半徑也稱為扇形的半徑，而兩條半徑所形成的夾角稱為扇形的圓心角。

?公式

扇形的弧長=而x2m'

■fln

扇形的面積=藐那「

其中，n表示圓心角的度數

注意：扇形的弧長不是周長，扇形的周長還需要加上兩條半徑。

精選例題

扇形

1.下圖中，兩個圓心角是90°的扇形蓋在大圓上，小圓蓋在兩個扇形上，它們的圓心都在同

一點.如果小圓、大圓、扇形的半徑比是1:3:4,那么陰影圖形面積占整個圖形面積

的%.

【答案】32

【分析】設大圓、小圓、扇形的半徑分別是人3r、4r.

整個商標的面積是

12122

^rc(4r)+尸(3丁)=12.5nr;

陰影部分的面積是

12122

^ir(3r)-2Tb=4irr,

所以，陰影圖形面積占整個商標圖形的面積的

4irr2

---------32%.

12.5-rrr

2.一個邊長為100厘米的正五邊形和五個扇形拼成如圖的“海螺”，那么這個圖形的周長是

.厘米（冗取3.14）.

【答案】2384

【分析】周長=500+|X2XTTX（100+200+300+400+500）=2384.

3.如圖，是一個由2個半圓、2個扇形、1個正方形組成的“心型”.已知半圓的直徑為10,

那么，“心型”的面積是.（注：TT取3.14）

【答案】257

【分析】圖中圖形面積等于一個正方形加上一個半徑為5的圓，再加上一個半徑為10的1

圓，所以面積為：

1

10xl0+nx5x5+-xnxl0xl0

4.分別以一個邊長為2厘米的等邊三角形的三個頂點為圓心，以2厘米為半徑畫弧，得到下

圖.那么，陰影圖形的周長是_______厘米.（TT取3.14）

【答案】12.56

【分析】圖形周長由6段弧組成，每段弧對應的圓心角為60°,所以圖形的周長等于一個圓

的周長.

2x3.14x2=12.56（厘米）.

5.如下圖所示，梯形ABC。中的兩個陰影部分的面積相等，DL：=1厘米，44=48=45°,

則CD=________厘米.（其中TT取3.14）

DC

4EB

【答案】0.57

【分析】由于兩個陰影部分面積相等，可知扇形面積為梯形面積的一半，又知道扇形面積為

目1X71X（172+心?）=I1T，所以梯形面積為TT中設⑺的長為X厘米，那么

（%+l+l+X）X14-2=2-

7T

求得C。的長為5-1=0.57（厘米）.

6.半徑為10、20、30的三個扇形如下圖放置，52是邑的倍.

【答案】5

【分析】三個扇形的半徑比為1:2:3,則面積比為1:4:9,所以答案為（9-4）+1=5倍.

7.如下圖所示，已知圓心是0,半徑r=9厘米，zl=z2=15°,那么陰影部分的面積是

.平方厘米.（TT=3.14）

【答案】42.39

【分析】因為圓的半徑都相等，于是04=08.在等腰三角形4。8中兩個底角都是15°

.又知道三角形內角之和是180°,所以，三角形40B的頂角乙4OB=180°-(15°+15°

)=150°.同理乙4OC=150",因此NBOC=360°-(150°+150°)=60".這就是說，陰

影部分扇形的面積是圓面積的6，即石xITx/=石x3.14X9=42.39(平方厘米).

1

8.如下圖所示，一個4圓中有一個正方形，陰影正方形的面積是16,那么圖中的扇形面積

是.(it取3)

【答案】30

【分析】給圖中標上字母，如下圖所示，由于陰影正方形的面積為16,則邊長為4,

OC=CH=ED=2,OD=2+4=6,根據勾股定理，可知扇形的半徑滿足：

222

r=2+6=40.

所以圖中扇形的面積為：

1

x40=30.

9.如下圖所示，ABC。是邊長為10厘米的正方形，且4B是半圓的直徑，則陰影部分的面積

是平方厘米.（it取3.14）

【答案】17.875

【分析】如下圖所示，連接DB,陰影部分的面積的2倍相當于$$\text｛正方形面積｝-\text｛三

角形$DOC$的面積｝-\text｛半圓面積｝,$$

(n取3.14)

.…11311

【答案】(1)5ir+10,12^u,7加+10,18/，3和+10,8肝;

(2)6厘米，18.28厘米.

【分析】(1)半圓的周長

2XTTX5+2+2x5=5n+10,

面積

21

ITx5'+2=12*

3

4圓的周長

31

2XTCX5X—+2x5=7^n+10,

面積

233

71X5X—=18-71；

44

"圓的周長

1201

2xnx5x+2x5=3RI+10,

3603

面積

211

71X5X—=8^71.

17

(2)由于：^rtr=18.84,所以r=6,則扇形的周長為：\[\dfrac{1}{6}\times2\times{\rm\pi)

\times6+2\times6=18.28{'text(厘米)}.\]

11.如圖所示，圖中是一個正六邊形，每個角上有一個半徑是10厘米的扇形，六扇形面積總和

是多少？（ir取3.14）

【答案】628平方厘米.

p2

【分析】扇形面積公式5扇=篆已知半徑和扇形弧的度數是120°,這樣就可求出扇形的

面積和為6x而xITx102=628（平方厘米）.

12.如下圖，直角三角形4BC的兩條直角邊分別為6和7,分別以8、C為圓心，2為半徑畫

圓，已知圖中陰影部分的面積是17,那么角4是多少度（兀=3）

【答案】乙4=60°.

1

【分析】SAABC=2X6X7=21,

三角形48c內兩扇形面積和為21-17=4,

根據扇形面積公式兩扇形面積和為——x11x22=4,

360

所以NB+NC=120°,N4=60°.

13.如下圖所示，為一個半圓和一個扇形，扇形的半徑是半圓的直徑，空白部分與陰影部分面

積哪個大？

【答案】一樣大.

【分析】記半圓的半徑為1,半圓的面積為〉，扇形的半徑為2,面積為m

空白與陰影的面積>：(n->)=1:1.一樣大.

14.下圖中五個相同的圓的圓心連線構成一個邊長為10厘米的正五邊形.求五邊形內陰影部分

【答案】117.75平方厘米

【分析】我們用兩條線將五邊形分成了三個三角形，如下圖所示，可以看出，這個五邊形的

五個角的度數和是180X3=540°,540+360=1.5倍，即陰影部分面積相當于1.5個半徑為

5的圓的面積，所以陰影部分的面積是irx52xl.5=117.75（平方厘米）.

15.如圖，在一個邊長為4的正方形內，以正方形的三條邊為直徑向內作三個半圓.求陰影部

分的面積.

【答案】8.

【分析】

陰影部分經過切割平移變成了一個面積為正方形一半的長方形，則陰影部分面積為

4x4+2=8.

16.如圖中扇形的半徑tM=0B=6厘米，乙4OB=45°,4;垂直。B于C,那么圖中陰影部

分的面積是多少平方厘米？（7173.14）

【答案】5.13平方厘米

【分析】陰影部分面積為：

4571711

--XTTX6Z--X6=-x3.14x36--x36=5.13（平方厘米）.

DOU4o4

17.如下圖所示，邊長為3的兩個正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC為邊向同側

作等邊三角形，分別以B、C為圓心，BK、CK為半徑畫弧.求陰影部分面積.（IT取3.14）

A

【答案】8.58

每塊陰影可以算成:圓減去中間空白部分，根據這個思路,

【分析】陰影部分的面積為:

|XTTX32X2-（|XTTX32X2-32X2^

=18-3-n

=8.58.

18.圖中正方形的邊長是4厘米，圓形的半徑是1厘米.當圓形繞正方形滾動一周又回到原來

位置時，掃過的面積有多大？（兀取3.14）

【答案】44.56平方厘米.

【分析】掃過的區域如圖中陰影所示，由兩類圖形組成：4個長為4厘米、寬為2厘米的長

方形，4塊半徑為2厘米、圓心角為90°的扇形（恰好拼成一個圓）.所以掃過的面積是

7

4x2x4+7rx2=44.56（平方厘米）.

19.如圖所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地.建筑物是一個邊長為10米的正

方形，繩長是20米，那么小狗的活動范圍能有多少平方米？（建筑外墻不可逾越，小狗身長

忽略不計，冗取3）

【答案】1050

371

【分析】狗的活動范圍如圖所示，分為4、B、。三部分，求面積得：,X7TX20+2X7TX

102=3507r=1050（平方米）.

20.如圖所示，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地.建筑物是一個邊長為2米的等

邊三角形，繩長是3米，那么小狗的活動范圍是多少？（建筑外墻不可逾越，小狗身長忽略不

計，兀取3）

【答案】24.5

【分析】首先畫出小狗活動的范圍，然后把活動范圍分成幾個扇形來求解，|^X7rx32+

2407

x7rx1=24.5.

21.如圖，求各圖形中陰影部分的面積.（圖中長度單位為厘米，71取3.14）

【答案】（1）4.5平方厘米；（2）1平方厘米.

【分析】（1）將右邊四分之一圓的陰影部分鏡像到左邊四分之一圓，陰影部分的面積為:

3x3+2=4.5（平方厘米）；

（2）將右圖的四分之一圓左移，則為一個正方形，面積為：’

1x1=1（平方厘米）.

22.如圖，BD=DC=DA=1.求陰影部分面積.

【答案】0.6775

【分析】方法一：x1?-(17+2+、x=0.6775；

方法二：(小x1/-1x1)+(了-彳x期)=0.6775.

23.如圖，正方形4BC。邊長分別為1厘米，依次以4B,C,D為圓心，以40,BE,CF,DG為半徑

畫出四個直角扇形，那么陰影部分的面積是多少？（兀取3.14）

E

【答案】23.55平方厘米.

【分析】陰影部分的面積是

21212121

3.14x1x-+3.14x2X-+3.14x3X-+3.14x4x-

4444

=23.55（平方厘米）.

24.如圖，長方形的長為6厘米，寬為2厘米，圓形的半徑是1厘米，當圓形繞長方形滾動一

周又回到原來位置時，掃過的面積有多大？（兀取3.14）

【答案】44.56平方厘米.

【分析】掃過的區域如圖所示，面積為

2X2X6+2X2X2+TTX22=44.56（平方厘米）.

25.圓的半徑是9cm,圓心角為120的扇形的周長和面積是多少？

【答案】周長：36.84cm；面積84.78cn?

【分析】圓心角120°的扇形，面積是圓的面積的三分之一，周長是圓周的三分之一加上兩

個半徑的長.

122

面積=§兀*9=84.78(cm)

1

周長=—X2TTX9+9X2=18.84+18=36.84(cm)

26.如圖，正方形邊長為2cm,扇形是以正方形頂點為圓心，以邊長為半徑的圓的四分之一，

求陰影部分面積.

【答案】4-TT

【分析】陰影面積等于正方形的面積減去扇形的面積

12

S=2x2--X7TX2=4-7T

27.如圖所示，陰影部分的面積是多少？（兀取3.14）

4

【答案】4.56

【分析】陰影面積為兩個半圓的面積之和減去直角三角形的面積，兩個半圓的面積之和為

12.56,直角三角形的面積是8,所以，陰影面積是4.56.

28.下圖中正方形4BCD及DCEG的面積均為64平方厘米，EFG則為一半圓，F是弧EFG的

中點.請問陰影部分的面積為多少平方厘米？（取n=3.14）

【答案】36.56

【分析】如下圖所示，正方形邊長為8厘米，連接GF,陰影部分面積=S44GF+%

弓形面積，所以陰影部分面積為

111

-X16X4+-X42X3.14--X4x4=36.56（平方厘米）.

L4L

ADG

29.如圖，三角形ABC為等邊三角形，邊長為2,。為BC邊中點，分別以B,C為圓心，1為

半徑作兩個扇形（即圖中陰影部分），那么陰影部分的面積是多少？（兀取3.14,結果保留2

位小數）

【答案】1.05

1

【分析】陰影部分是兩個60°的扇形，面積是3.14xl，7X&X2~1.05.

30.一只狗被拴在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長是4m,求狗所

能到的地方的總面積.（n取3.14）

3

【答案】43.96m2.

【分析】

如圖所示，狗活動的范圍是一個半徑4m,圓心角300°的扇形與兩個半徑1m,圓心角120°

的扇形之和.所以答案是

30021202/人

—XHX4+2X—xnxl=43.96（m）.

31.草場上有一個長20米、寬10米的關閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一

只羊（見下圖）.問：這只羊能夠活動的范圍有多大？（注：n取3.14）

【答案】2512m2

3

如圖所示，羊活動的范圍可以分為4B,C三部分，其中71是半徑30米的4個圓，B,C分

1

別是半徑為20米和10米的4個圓，所以羊活動的范圍是

232121

71X30X—4-TIX20X—4-1TX10X—

444

/23212

=71x30x-+20x-+10x-

\444/

=2512(m2).

32.下圖中，點P、Q、R是三個半徑都為7厘米的圓之圓心.請問圖中陰影部分的面積為多少

22

平方厘米？(取幾=萬)

【答案】77

11

【分析】通過割補可將一塊陰影變為石圓（見右圖），題中陰影部分面積為半圓面積即2x

尸22x7“2=77（平方厘米）.

33.（1）如圖1所示，有一個長是10、寬是6的長方形，那么兩個陰影部分的面積之差為多

少.（冗取3.14）

（2）如圖2所示，三角形4BC是直角三角形，長40厘米，以4B為直徑做半圓，陰影部分

①比陰影部分②的面積小28平方厘米.求AC的長度.（兀取3.14）

【答案】（1）18.5；（2）32.8

【分析】（1）大塊“陰影+空白”剛好構成直角扇形，小塊“陰影+空白”剛好構成長方形,

所以直角扇形與長方形的面積差即是兩塊陰影面積差4x兀x-60=18.5.

（2）“陰影①+空白”剛好構成半圓，“陰影②+空白”剛好構成直角三角形，半圓面積為:

X7X2（）2=628,所以，直角三角形面積為628+28=656,另一條直角邊4C=32.8.

34.如圖所示，扇形AOB的圓心角是90度，半徑是2,C是弧的中點.求兩個陰影部分的

面積差.（兀取3.14）

【答案】0

【分析】兩個陰影分別加上下部的空白部分可得到扇形和半圓，而扇形和半圓面積相等，所

以，面積之差是0.

35.如圖，4BCD是正方形，且凡4=4。=。岳=1,陰影部分的面積是多少？（兀取3.14）

BC

【答案】0.6075

【分析】連接BD,將最左邊的弓形補過來.陰影部分的面積就是平行四邊形BDEC的面積

?45

減去扇形的面積，S陰影=1x1-3.14x1x而=0.6075.

36.（1）如左圖所示，三角形ABC是等腰直角三角形，以ZC為直徑畫半圓，以為半徑畫

扇形.已知ZC=8C=10,那么陰影部分的面積是多少？（兀取3.14）

（2）如右圖所示，由一個長方形與兩個直角扇形構成，其中陰影部分的面積是多少？（〃取

3.14）

【答案】（1）28.5；（2）12.765

1Q1