上課2025/1/281微積分--無窮大量與無窮小量0<|x－x0|<δ時,X>0,n>N正整數N,時,|un-A|<e=Ae>0,時,|f(x)

-A|<e=Ae>0,|x|>XX>0,x<－XX>0,x>Xd>0,時,|f(x)

-A|<e=Ae>0,時,|f(x)

-A|<e=Ae>0,|f(x)

-A|<e=Ae>0,0<x0－x<δ時,d>0,|f(x)

-A|<e=Ae>0,0<x－x0<δ時,d>0,|f(x)

-A|<e=Ae>0,2025/1/28微積分--無窮大量與無窮小量絕對值無限增大的變量稱為無窮大(量).一、無窮大量1.定義:記作:分析定義:0<|x－x0|<δ時,d>0,有|f(x)|

>MM>0,|x|>X

時,X>0,有|f(x)|

>MM>0,2.3無窮大量與無窮小量f(x)在X上無界★比較:2025/1/283微積分--無窮大量與無窮小量2025/1/285微積分--無窮大量與無窮小量2.正無窮大、負無窮大:注：正(負)無窮大不可籠統地寫作無窮大;例:2025/1/286微積分--無窮大量與無窮小量——圖示：2025/1/287微積分--無窮大量與無窮小量1.定義:極限為零的變量稱為無窮小(量).記作:二、無窮小量分析定義:0<|x－x0|<δ時,d>0,有|f(x)

|<e=0e>0,X>0,時,有|f(x)

|<e=0e>0,|x|>X2025/1/288微積分--無窮大量與無窮小量例如,注意1.無窮小量是變量,不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小量的唯一的數；3.單說變量是無窮小量是無意義的，要指明自變量的變化過程。ex當

時是無窮小量;lnx當

時是無窮小量.x→-∞x→12025/1/289微積分--無窮大量與無窮小量2.變量極限與無窮小量的關系:證僅對x→x0的情形證明。|f(x)-A|<e,0<|x-x0|<d時,|α(x)|<e0<|x-x0|<d時,即|f(x)-A|<e,定理2025/1/2810微積分--無窮大量與無窮小量3.無窮小的運算性質:(1)有限個無窮小量的代數和仍為無窮小量.證注意

無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.<e當|x|>X1時,有|α|<

,當|x|>X2時,有|β|<

.2025/1/2811微積分--無窮大量與無窮小量★(3)無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量.證(2)有限個無窮小的乘積仍為無窮小量.0<|x－x0|<d2時,|α(x)|<e.推論常數與無窮小的乘積是無窮小.例如:<ef(x)在x0的某空心鄰域內有界,即2025/1/2812微積分--無窮大量與無窮小量(4)無窮小量除以極限不為零的變量，其商仍為無窮小量.證設A>0.？<?>?>0結論？思考!2025/1/2813微積分--無窮大量與無窮小量4.無窮小量階的比較例如,極限不同,反映了它們趨近于零的“快慢”程度不同.兩個無窮小量的和、差、積仍為無窮小量。商呢?=0=－3=1無窮小量的商未必是無窮小量。

2025/1/2814微積分--無窮大量與無窮小量定義:例注：常數零是比任何其它無窮小量更高階的無窮小量。

(后面我們會利用等價無窮小量簡化某些極限的計算)

2025/1/2815微積分--無窮大量與無窮小量定理在同一過程中,無窮大量的倒數為無窮小量;恒不為零的無窮小量的倒數為無窮大量.證三、無窮大量與無窮小量之間的關系意義:關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.2025/1/2816微積分--無窮大量與無窮小量當

時是無窮大量;當

時是無窮小量.當

時是無窮大量;當

時是無窮小量.x→1或x→2－x→－∞x→－∞x→+∞練習:★無窮大:ln(2－x)——記作lnt——為無窮小t＝2－x

→1無窮小:ln(2－x)——記作lnt——為無窮大t＝2－x→+∞∴x→－∞或x→2－∴x→1或t＝2－x→0＋2025/1/2817微積分--無窮大量與無窮小量試說出下列極限的數學定義：P677(6)2025/1/2818微積分--無窮大量與無窮小量解答1.不能保證.例2.未必．例不存在且不為無窮大思考題:2.任何兩個無窮小量都可以比較階的高低嗎？故當x→0時,無窮小與x不可以比較階的高低2025/1/2819微積分--無窮大量與無窮小量小結1.主要內容:三個定義;兩個定理;四個性質;一個推論.2.幾點注意:無窮小量與無窮大量是相對于過程而言的.(1)無窮小(大)量是變量,不能與很小(大)的數混淆,零是唯一的無窮小的數；(2)無窮多個無窮小的代數和(乘積)未必是無窮小;(3)無界變量未必是無窮大量.3.無窮小量的比較:反映了同一過程中,兩個無窮小量趨于零的速度快慢.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.