第1講隨機抽樣1．全面調查與抽樣調查(1)對eq\x(\s\up1(01))每一個調查對象都進行調查的方法，稱為全面調查，又稱普查．(2)在一個調查中，我們把調查對象的全體稱為eq\x(\s\up1(02))總體，組成總體的每一個調查對象稱為eq\x(\s\up1(03))個體.(3)根據一定的目的，從總體中抽取eq\x(\s\up1(04))一部分個體進行調查，并以此為依據對總體的情況作出估計和推斷的調查方法，稱為抽樣調查．(4)把從總體中抽取的那部分個體稱為eq\x(\s\up1(05))樣本.(5)樣本中包含的個體數稱為eq\x(\s\up1(06))樣本量.(6)調查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數據，簡稱樣本數據．2．簡單隨機抽樣(1)放回簡單隨機抽樣一般地，設一個總體含有N(N為正整數)個個體，從中逐個抽取n(1≤n<N)個個體作為樣本，如果抽取是eq\x(\s\up1(07))放回的，且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的概率eq\x(\s\up1(08))都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣．(2)不放回簡單隨機抽樣如果抽取是eq\x(\s\up1(09))不放回的，且每次抽取時總體內未進入樣本的各個個體被抽到的概率eq\x(\s\up1(10))都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣．(3)簡單隨機抽樣放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統稱為簡單隨機抽樣．(4)簡單隨機樣本通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本．(5)簡單隨機抽樣的常用方法實現簡單隨機抽樣的方法有很多，eq\x(\s\up1(11))抽簽法和eq\x(\s\up1(12))隨機數法是比較常用的兩種方法．3．總體平均數與樣本平均數(1)總體平均數①一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱eq\x\to(Y)＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\x(\s\up1(13))eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))Yi為總體均值，又稱總體平均數．②如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數fi(i＝1,2，…，k)，則總體均值還可以寫成加權平均數的形式eq\x\to(Y)＝eq\x(\s\up1(14))eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fiYi.(2)樣本平均數如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\x(\s\up1(15))eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi為樣本均值，又稱樣本平均數．4．分層隨機抽樣(1)定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個eq\x(\s\up1(16))子總體，每個個體eq\x(\s\up1(17))屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為eq\x(\s\up1(18))層.(2)比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小eq\x(\s\up1(19))成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．5．分層隨機抽樣的平均數計算(1)如果總體分為兩層，兩層包含的個體數分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的總體平均數分別為eq\x\to(X)，eq\x\to(Y)，兩層的樣本平均數分別為eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，總體平均數為eq\x\to(W)，樣本平均數為eq\o(w,\s\up6(－)).則eq\x\to(W)＝eq\x(\s\up1(20))eq\f(\o(∑,\s\up6(M),\s\do4(i＝1))Xi＋\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))Yi,M＋N)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\x(\s\up1(21))eq\f(\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi＋\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi,m＋n).(2)在比例分配的分層隨機抽樣中，可以直接用樣本平均數eq\o(w,\s\up6(－))估計總體平均數eq\x\to(W).1．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率是相同的．2．分層隨機抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數為該層的個體數乘以抽樣比．1．某班有男生36人，女生18人，用分層隨機抽樣的方法從該班全體學生中抽取一個容量為9的樣本，則抽取的女生人數為()A．6 B．4C．3 D．2答案C解析抽取的女生人數為eq\f(9,36＋18)×18＝3，故選C.2．為了了解全年級240名學生的身高情況，從中抽取40名學生進行測量，下列說法正確的是()A．總體是240B．個體是每一個學生C．樣本量是40名學生D．樣本量為40答案D解析研究此類問題首先要弄清楚所要調查的對象是什么．本題調查的對象是“學生的身高”這一項指標，故A，B不正確；而樣本量是數量，故C不正確，D正確．3．某電視臺在因特網上就觀眾對其某一節目的喜愛程度進行調查，參加調查的一共有20000人，其中各種態度對應的人數如下表所示：最喜愛喜愛一般不喜歡4800720064001600電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽選100人進行更為詳細的調查，為此要進行分層隨機抽樣，那么每類人中應抽選的人數分別為()A．25,25,25,25 B．48,72,64,16C．20,40,30,10 D．24,36,32,8答案D解析因為抽樣比為eq\f(100,20000)＝eq\f(1,200)，所以每類人中應抽選的人數分別為4800×eq\f(1,200)＝24,7200×eq\f(1,200)＝36,6400×eq\f(1,200)＝32,1600×eq\f(1,200)＝8.故選D.4．為抽查汽車排放尾氣的合格率，某環保局在一路口隨機抽查，這種抽查是()A．簡單隨機抽樣 B．抽簽法C．隨機數法 D．以上都不對答案D解析由于不知道總體的情況(包括總體個數)，因此不屬于簡單隨機抽樣．故選D.5．某校高三年級物化生組合只有2個班，且每班50人，在一次數學測試中，從兩個班各抽取了20名學生的數學成績進行分析，統計得在該次測試中，兩班中各抽取的20名學生的平均成績分別為110分和106分，則該組合學生的平均成績約為________分．答案108解析樣本中40名學生的平均成績為eq\f(20,40)×110＋eq\f(20,40)×106＝108分，所以估計該組合學生的平均成績約為108分．6．假設要考察某公司生產的狂犬疫苗的劑量是否達標，現用隨機數法從500支疫苗中抽取50支進行檢驗，利用隨機數表抽取樣本時，先將500支疫苗按000,001，…，499進行編號，若從隨機數表第7行第8列的數開始向右讀，則抽取的第3支疫苗的編號為________.(下面摘取了隨機數表的第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954答案068解析由題意，得從隨機數表第7行第8列的數開始向右讀，符合條件的前三個編號依次是331,455,068，故抽取的第3支疫苗的編號是068.考向一簡單隨機抽樣例1(1)(多選)下列抽取樣本的方式，不是簡單隨機抽樣的是()A．從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本B．盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質量檢驗C．從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢查D．某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽答案ACD解析A不是簡單隨機抽樣．因為被抽取樣本的總體的個體數是無限的，而不是有限的；B是簡單隨機抽樣；C不是簡單隨機抽樣．因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取；D不是簡單隨機抽樣．因為指定個子最高的5名同學是56名同學中特指的，不具有隨機性，不是等可能的抽樣．故選ACD.(2)(2021·安陽一模)嫦娥五號的成功發射，實現了中國航天史上的五個“首次”，某中學為此舉行了“講好航天故事”演講比賽．若將報名的30位同學編號為01,02，…，30，利用下面的隨機數表來決定他們的出場順序，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，重復的跳過，則選出來的第7個個體的編號為()4567321212310201045215200112512932049234493582003623486969387481A．12 B．20C．29 D．23答案C解析依次從數表中讀出的有效編號(重復的跳過)為12,02,01,04,15,20,29，得到選出來的第7個個體的編號為29.故選C.(1)簡單隨機抽樣需滿足：①被抽取的樣本總體的個體數有限；②逐個抽取；③是等可能抽取．(2)抽簽法與隨機數法的適用情況①抽簽法適用于總體中個數較少的情況，隨機數法適用于總體中個數較多的情況．②一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.1.某中學開學后從高一年級的學生中隨機抽取90名學生進行家庭情況調查，經過一段時間后再次從這個年級隨機抽取100名學生進行學情調查，發現有20名同學上次被抽到過，估計這個學校高一年級的學生人數為()A．180 B．400C．450 D．2000答案C解析設這個學校高一年級的學生人數約為x，則eq\f(90,x)＝eq\f(20,100)，∴x＝450.故選C.2．齊魯風采“七樂彩”的中獎號碼是從分別標有1,2，…，30的三十個小球中逐個不放回地搖出7個小球來按規則確定中獎情況，這種從30個號碼中選7個號碼的抽樣方法是________.答案抽簽法解析三十個小球相當于號簽，攪拌均勻后逐個不放回地抽取，這是典型的抽簽法．考向二分層隨機抽樣例2(1)某學校高一年級1802人，高二年級1600人，高三年級1499人，現采用分層隨機抽樣的方法從中抽取98名學生參加全國中學生禁毒知識競賽，則在高一、高二、高三三個年級中抽取的人數分別為()A．35,33,30 B．36,32,30C．36,33,29 D．35,32,31答案B解析先將每個年級的人數湊整，得高一1800人，高二1600人，高三1500人，則三個年級的人數所占比例分別為eq\f(18,49)，eq\f(16,49)，eq\f(15,49)，因此，各年級抽取人數分別為98×eq\f(18,49)＝36,98×eq\f(16,49)＝32,98×eq\f(15,49)＝30，故選B.(2)(2021·德州二模)2021年我國推進新冠疫苗全人群免費接種，某小區年齡分布如下圖所示，現用分層隨機抽樣的方法從該小區所有人中抽取60人進行抗體檢測，則從40歲至50歲之間的人群中抽取的人數為()A．18 B．24C．5 D．9答案A解析由條形統計圖的數據，根據分層隨機抽樣的定義可以知道，若抽取60人，則從40歲至50歲之間的人群中抽取的人數為60×eq\f(300,200＋400＋300＋100)＝18.故選A.比例分配的分層隨機抽樣的步驟(1)將總體按一定標準分層．(2)計算各層的個體數與總體數的比，按各層個體數占總體數的比確定各層應抽取的樣本量．(3)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣)．3.如下餅圖，某學校共有教師120人，從中選出一個30人的樣本，其中被選出的青年女教師的人數為()A．12 B．6C．4 D．3答案D解析青年教師的人數為120×(1－30%－40%)＝36，所以青年女教師有36－24＝12人，故青年女教師被選出的人數為12×eq\f(30,120)＝3.故選D.4.(多選)港珠澳大橋是中國境內一座連接中國香港、廣東珠海和中國澳門的橋隧工程，因其超大的建筑規模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術聞名世界，為內地前往香港的游客提供了便捷的交通途徑，某旅行社分年齡統計了大橋落地以后，由港珠澳大橋實現內地前往香港的老中青旅客的比例為5∶2∶3，現使用分層隨機抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取n名，若青年旅客抽到60人，則()A．老年旅客抽到100人B．中年旅客抽到20人C．n＝200D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人數之和超過200答案AC解析由題意知，由港珠澳大橋實現內地前往香港的老中青旅客的比例為5∶2∶3，現使用分層隨機抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取n名，若青年旅客抽到60人，則eq\f(60,n)＝eq\f(3,5＋2＋3)，解得n＝200人，則老年旅客抽到60×eq\f(5,3)＝100人，中年旅客抽到40人．故選AC.考向三樣本平均數的求法例3(1)某工廠抽取50個機械零件檢驗其直徑大小，得到如下數據：直徑(單位：cm)121314頻數12344估計這50個零件的直徑大約為________cm.答案12.84解析eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(12×12＋13×34＋14×4,50)＝12.84cm.(2)在調查某中學的學生身高時，利用分層隨機抽樣的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值為170cm，女生身高的平均值為165cm，估計該中學所有學生的平均身高是________cm(結果精確到0.1)．答案167.9解析eq\f(20×170＋15×165,20＋15)＝eq\f(5875,35)≈167.9.即該中學所有學生的平均身高約為167.9cm.在分層隨機抽樣中，如果層數分為兩層，第一層的樣本量為m，平均值為x；第二層的樣本量為n，平均值為y，則樣本的平均值為eq\f(mx＋ny,m＋n).5.將一個總體分為A，B，C三層，其個體數之比為5∶3∶2.若用分層隨機抽樣的方法抽取容量為100的樣本，則應從C中抽取________個個體；若A，B，C三層的樣本的平均數分別為15,30,20，則樣本的平均數為________.答案2020.5解析∵A，B，C三層個體數之比為5∶3∶2，又有總體中每個個體被抽到的概率相等，∴分層隨機抽樣應從C中抽取100×eq\f(2,5＋3＋2)＝20個個體．樣本的平均數為eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5.一、單項選擇題1．某政府機關在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關對政府機構改革的意見，要從中抽取20人，用下列哪種方法最合適()A．抽簽法 B．隨機數法C．簡單隨機抽樣法 D．分層隨機抽樣法答案D解析總體由差異明顯的三部分構成，應選用分層隨機抽樣法．2．在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統計分析，在這個問題中，5000名居民的閱讀時間的全體是()A．總體B．個體C．樣本量D．從總體中抽取的一個樣本答案A解析根據題意，結合總體、樣本、個體、樣本量的定義可知，5000名居民的閱讀時間的全體是總體．3．某校有甲、乙兩個數學建模興趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．現分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則這兩個數學建模興趣班所有同學的平均成績是()A．85分 B．85.5分C．86分 D．86.5分答案A解析由題意可知，兩個數學建模興趣班所有同學的平均成績為eq\f(40×90＋50×81,90)＝85(分)．故選A.4．有一批計算機，其編號分別為001,002,003，…，112，為了調查計算機的質量問題，打算抽取4臺入樣．現在利用隨機數表法抽樣，在下面隨機數表中選第1行第6個數“0”作為開始，向右讀，那么抽取的第4臺計算機的編號為()537970762694292743995519810685019264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814A.072 B．021C．077 D．058答案B解析依次可得到需要的編號是076,068,072,021，故抽取的第4臺計算機的編號為021.5．某工廠生產甲、乙、丙三種型號的產品，產品數量之比為3∶5∶7，現用分層隨機抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲種產品有18件，則樣本量n＝()A．54 B．90C．45 D．126答案B解析依題意得eq\f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即樣本量為90.6．利用簡單隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本．若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為eq\f(1,3)，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,14) D．eq\f(10,27)答案C解析根據題意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故每個個體被抽到的概率為eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).7．蘇州市6月1日起正式實施的《生活垃圾分類管理條例》將城市生活垃圾分為“可回收物”“有害垃圾”“廚余垃圾”和“其他垃圾”四大類．某社區為了分析不同年齡段的人群對垃圾分類知識的了解情況，對轄區內的居民進行分層隨機抽樣調查．已知該社區的青年人、中年人和老年人分別有800人、900人、700人，若在老年人中的抽樣人數是35，則在青年人中的抽樣人數是()A．20 B．40C．60 D．80答案B解析由題可知抽取的比例為k＝eq\f(35,700)＝eq\f(1,20)，故青年人應該抽取的人數為N＝800×eq\f(1,20)＝40.故選B.8．某高中的三個興趣小組的人數分布如下表(每名同學只參加一個小組)：象棋組圍棋組橋牌組高一9060x高二302040現要對這三個小組的活動效果進行抽樣調查，從參加這三個興趣小組的學生中按小組采用分層隨機抽樣的方法抽取60人，已知圍棋組被抽出16人，則x的值為()A．30 B．60C．80 D．100答案B解析由題意，知eq\f(16,60＋20)＝eq\f(60,240＋x)，解得x＝60，故選B.二、多項選擇題9．某學校有體育特長生25人，美術特長生35人，音樂特長生40人，用分層隨機抽樣的方法從中抽取40人，則()A．抽取的體育特長生為10人B．抽取的美術特長生為15人C．抽取的音長特長生為16人D．抽取的體育特長生和美術特長生共25人答案AC解析抽取的體育特長生、美術特長生、音樂特長生分別為eq\f(25,25＋35＋40)×40＝10(人)，eq\f(35,25＋35＋40)×40＝14(人)，eq\f(40,25＋35＋40)×40＝16(人)．故選AC.10．某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1200輛，6000輛和2000輛．為檢驗該公司的產品質量，公司質監部門要抽取46輛進行檢驗，則下列說法正確的是()A．應采用分層隨機抽樣法抽取B．應采用抽簽法抽取C．三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛D．這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的答案ACD解析由于總體按型號分為三個子總體，所以應采用分層隨機抽樣法抽取，A正確；因為總體量較大，故不宜采用抽簽法，所以B錯誤；設三種型號的轎車依次抽取x輛、y輛、z輛，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,1200)＝\f(y,6000)＝\f(z,2000)，,x＋y＋z＝46，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30，,z＝10，))所以三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；由分層隨機抽樣的意義可知D正確．11．(2021·衡水一中模擬)某校為更好地支持學生個性發展，開設了學科拓展類、創新素質類、興趣愛好類三種類型的校本課程，每位同學從中選擇一門課程學習．現對該校6000名學生的選課情況進行了統計，如圖1，并用分層隨機抽樣的方法從中抽取2%的學生對所選課程進行了滿意率調查，如圖2.則下列說法正確的是()A．抽取的樣本容量為120B．該校學生中對興趣愛好類課程滿意的人數約為1050C．若抽取的學生中對創新素質類課程滿意的人數為36，則a＝70D．該校學生中選擇學科拓展類課程的人數為1500答案ABD解析抽取的樣本容量為6000×2%＝120，故A正確；該校學生中對興趣愛好類課程滿意的人數約為6000×35%×50%＝1050，故B正確；根據題意，創新素質類課程的滿意率為eq\f(36,6000×40%×2%)＝75%，a＝75，故C錯誤；該校學生中選擇學科拓展類課程的人數為6000×25%＝1500，故D正確．故選ABD.12．(2021·常州期末)已知某地區有小學生120000人，初中生75000人，高中生55000人，當地教育部門為了了解本地區中小學生的近視率，按小學生、初中生、高中生進行分層隨機抽樣，抽取一個容量為2000的樣本，得到小學生、初中生、高中生的近視率分別為30%,70%,80%.下列說法中正確的有()A．從高中生中抽取了440人B．每名學生被抽到的概率為eq\f(1,125)C．估計該地區中小學生總體的平均近視率為60%D．估計高中學生的近視人數約為44000答案ABD解析由題意，得抽樣比為eq\f(2000,120000＋75000＋55000)＝eq\f(1,125)，B正確；從高中生中抽取了55000×eq\f(1,125)＝440人，A正確；高中生近視人數約為55000×80%＝44000，D正確；學生總人數為250000，小學生占比eq\f(120000,250000)＝eq\f(12,25)，同理，初中生、高中生分別占比eq\f(3,10)，eq\f(11,50)，在容量為2000的樣本中，小學生、初中生和高中生分別抽取960人、600人和440人，則近視人數為960×30%＋600×70%＋440×80%＝1060，所以估計該地