1.2利用二分法求方程的近似解課時目標1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能依據(jù)具體的函數(shù)，借助于學(xué)習(xí)工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一種常用方法，體會“逐步靠近”的思想．1．二分法的概念每次取區(qū)間的中點，將區(qū)間__________，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法．由函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，可用二分法來求________________________________________________________________________．2．用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟(給定精確度ε)(1)確定區(qū)間[a，b]，使____________．(2)求區(qū)間(a，b)的中點，x1＝__________.(3)計算f(x1)．①若f(x1)＝0，則________________；②若f(a)·f(x1)<0，則令b＝x1(此時零點x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，則令a＝x1(此時零點x0∈(x1，b))．(4)連續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間[an，bn]，函數(shù)的零點總位于區(qū)間[an，bn]上，當an和bn依據(jù)給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)y＝f(x)的近似零點，計算終止．這時函數(shù)y＝f(x)的近似零點滿足給定的精確度．一、選擇題1．用“二分法”可求近似解，對于精確度ε說法正確的是()A．ε越大，零點的精確度越高B．ε越大，零點的精確度越低C．重復(fù)計算次數(shù)就是εD．重復(fù)計算次數(shù)與ε無關(guān)2．下列圖像與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點的是()3．對于函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)用二分法的求解過程如下：f(2007)<0，f(2008)<0，f(2009)>0，則下列敘述正確的是()A．函數(shù)f(x)在(2007,2008)內(nèi)不存在零點B．函數(shù)f(x)在(2008,2009)內(nèi)不存在零點C．函數(shù)f(x)在(2008,2009)內(nèi)存在零點，并且僅有一個D．函數(shù)f(x)在(2007,2008)內(nèi)可能存在零點4．設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能確定5．利用計算器，列出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程2x＝x2的一個根位于下列哪個區(qū)間內(nèi)()A．(0.6,1.0)B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2)D．(2.6,3.0)6．已知x0是函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一個零點．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0題號123456答案二、填空題7．若函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不間斷的，依據(jù)下面的表格，可以斷定f(x)的零點所在的區(qū)間為________．(只填序號)①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞)．x123456f(x)136.12315.542－3.93010.678－50.667－305.6788.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實根，取區(qū)間中點為x0＝2.5，那么下一個有根的區(qū)間是________．9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解時，經(jīng)計算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一個近似解為____________(精確度為0.1)．三、解答題10．確定函數(shù)f(x)＝x＋x－4的零點所在的區(qū)間．11．證明方程6－3x＝2x在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一一個實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解．(精確度0.1)力氣提升12．下列是關(guān)于函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]的說法：①若x0∈[a，b]且滿足f(x0)＝0，則(x0,0)是f(x)的一個零點；②若x0是f(x)在[a，b]上的零點，則可用二分法求x0的近似值；③函數(shù)f(x)的零點是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不愿定是函數(shù)f(x)的零點；④用二分法求方程的根時，得到的都是近似值．那么以上敘述中，正確的個數(shù)為()A．0B．1C．313．在26枚嶄新的金幣中，混入了一枚外表與它們完全相同的假幣(重量稍輕)，現(xiàn)在只有一臺天平，請問：你最多稱幾次就可以發(fā)覺這枚假幣？1．能使用二分法求方程近似解的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用．2．二分法實質(zhì)是一種靠近思想的應(yīng)用．區(qū)間長度為1時，使用“二分法”n次后，精確度為eq\f(1,2n).3．求函數(shù)零點的近似值時，所要求的精確度不同，得到的結(jié)果也不相同．精確度為ε，是指在計算過程中得到某個區(qū)間(a，b)后，若其長度小于ε，即認為已達到所要求的精確度，可停止計算，否則應(yīng)連續(xù)計算，直到|a－b|<ε為止．1．2利用二分法求方程的近似解學(xué)問梳理1．一分為二方程的近似解2.(1)f(a)·f(b)<0(2)eq\f(a＋b,2)(3)①x1就是函數(shù)的零點作業(yè)設(shè)計1．B[依“二分法”的具體步驟可知，ε越大，零點的精確度越低．]2．A[由選項A中的圖像可知，不存在一個區(qū)間(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A選項中的零點不是變號零點，不符合二分法的定義．]3．D4．B[∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝eq\f(1＋1.5,2)＝1.25，且f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，則方程的根落在區(qū)間(1.25,1.5)內(nèi)．]5．C[設(shè)f(x)＝2x－x2，依據(jù)列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一個根在區(qū)間(1.8,2.2)內(nèi)．]6．B[∵f(x)＝2x－eq\f(1,x－1)，f(x)由兩部分組成，2x在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，－eq\f(1,x－1)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．∵x1<x0，∴f(x1)<f(x0)＝0，又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]7．③④⑤8．[2,2.5)解析令f(x)＝x3－2x－5，則f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一個有根的區(qū)間為[2,2.5)．9．0.75或0.6875解析由于|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以0.75或0.6875都可作為方程的近似解．10．解(答案不唯一)設(shè)y1＝x，y2＝4－x，則f(x)的零點個數(shù)即y1與y2的交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖像，如圖．由圖知，y1與y2在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個交點，當x＝4時，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，當x＝8時，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，∴在(4,8)內(nèi)兩曲線又有一個交點．故函數(shù)f(x)的兩零點所在的區(qū)間為(0,1)，(4,8)．11．證明設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝2x＋3x－6在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一的零點，則方程6－3x＝2x在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一一個實數(shù)解．設(shè)該解為x0，則x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.1875，f(1.1875)≈－0.16<0，f(1.1875)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴1.1875可作為這個方程的實數(shù)解．12．A[∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一個零點，而不是(x0,0)，∴①錯誤；②∵