2023-2024學年江西省贛州市南康區八年級（上）期末數學試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列交通標志中，是軸對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.用一根小木棒與兩根長分別為3cm，6cm的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以為(

)A.5cm B.3cm C.2cm D.1cm3.下列計算正確的是(

)A.(a-2)2=a2-4 B.a4.如圖，∠CAB=∠DBA，再添加一個條件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是(

)A.∠1=∠2

B.AD=BC

C.∠C=∠D

D.AC=BD5.如圖，△ABC中，AC邊的垂直平分線分別交AC，AB于點D，E，AD=3cm，△ABC的周長為18cm，則△BEC的周長為(

)A.8cm

B.10cm

C.12cm

D.15cm

6.如圖，已知∠A=n°，若P1點是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點，P2點是∠P1BC和外角∠P1CE的角平分線的交點，P3點是∠P2

A.n°4046 B.n°22023 C.n°二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.把mn3-4mn8.若分式|x|-1x+1的值為零，則x的值為______．9.若點A(a+1,1)與點B(2,b)關于x軸對稱，則a+b=______．10.如圖，AD是三角形ABC的對稱軸，點E、F是AD上的兩點，若BD=2，AD=3，則圖中陰影部分的面積是______．

11.如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，且CD=5，AD=13，直線EF是邊AC的垂直平分線，若點M在EF上運動，則△CDM周長的最小值為______．

12.在△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，將一塊足夠大的直角三角尺PMN(∠M=90°、∠MPN=30°)按如圖所示放置，頂點P在線段AB上滑動，三角尺的直角邊PM始終經過點C，并且與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點D.在點P的滑動過程中，若△PCD是等腰三角形，則夾角α的大小是______．

三、解答題：本題共11小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。13.(本小題5分)

(1)化簡：a2?(-a2)3÷(14.(本小題5分)

先化簡，再求值：2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2，其中a=115.(本小題5分)

如圖，點M，N是∠AOB內部兩點.尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法．

(1)作∠AOB的平分線；

(2)作MN的垂直平分線：

(3)在圖中標出點P，使PM=PN，且點P到OA，OB的距離相等．16.(本小題5分)

下面是證明定理“等腰三角形兩底角相等”的三種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．試證明等腰三角形兩底角相等．

已知：△ABC中，AB=AC．

求證：∠B=∠C．

方法一：

證明：如圖，取BC中點D，連接AD．

方法二：

證明：如圖，過A作BC垂線段，交BC于D．

方法三：

證明：如圖，作∠BAC的角平分線，交BC于點D．

17.(本小題5分)

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,1)，B(4,2)，C(2,3)．

(1)在圖中畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1；

(2)在圖中，若B2(-6,2)與點B關于一條直線成軸對稱，此時C點關于直線的對稱點C18.(本小題6分)

為培養大家的閱讀能力，我校初一年級購進《朝花夕拾》和《西游記》兩種書籍，花費分別是14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的訂購單價是《西游記》的訂購單價的1.4倍，并且訂購的《朝花夕拾》的數量比《西游記》的數量多300本．

(1)求我校初一年級訂購的兩種書籍的單價分別是多少元；

(2)我校初一年級某班計劃再訂購這兩種書籍共10本來備用，其中《朝花夕拾》訂購數量不低于3本，且兩種書總費用不超過124元，求這個班訂購這兩種書籍有多少種方案？按照這些方案訂購最低總費用為多少元？19.(本小題6分)

已知：如圖，∠BAC的角平分線與BC的垂直平分線DG交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．

(1)求證：BE=CF；

(2)若AB=8，AC=6，求BE的長．20.(本小題6分)

已知關于x的方程2x-1-mx(x-1)(x+2)=1x+2．

(1)已知m=4，求方程的解；21.(本小題8分)

如圖，將邊長為(a+b)的正方形剪出兩個邊長分別為a，b的正方形(陰影部分).觀察圖形，解答下列問題：

(1)根據題意，用兩種不同的方法表示陰影部分的面積，即用兩個不同的代數式表示陰影部分的面積．

方法1：______；

方法2：______；

(2)從中你得到什么等式？______；

(3)運用你發現的結論，解決下列問題：

①已知x+y=6，12xy=3，求x2+y2的值；

②已知22.(本小題8分)如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．

(1)求證：△ABC≌△ADE；(2)求∠FAE的度數；(3)求證：CD=2BF+DE．23.(本小題11分)

等腰RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點A、點B分別是y軸、x軸上兩個動點，直角邊AC交x軸于點D，斜邊BC交y軸于點E．

(1)如圖(1)，已知C點的橫坐標為-1，直接寫出點A的坐標；

(2)如圖(2)，當等腰Rt△ABC運動到使點D恰為AC中點時，連接DE，求證：∠ADB=∠CDE；

(3)如圖(3)，若點A在x軸上，且A(-4,0)，點B在y軸的正半軸上運動時，分別以OB、AB為直角邊在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，連結CD交y軸于點P，問當點B在y軸的正半軸上運動時，BP的長度是否變化？若變化請說明理由，若不變化，請求出BP的長度．

答案和解析1.D

2.A

3.D

4.B

5.C

6.B

7.mn(n+2)(n-2)

8.1

9.0

10.3

11.18

12.45°或90°或0°

13.解：(1)a2?(-a2)3÷(a3)2

=-a2?a614.解：2b2+(a+b)(a-b)-(a-b)2

=2b2+a2-b2-(a2-2ab+b15.解：(1)如圖，射線OC即為所求；

(2)如圖，EF即為所求；

(3)如圖，點P即為所求．

16.解：方法一，

證明：如圖，取BC中點D，連接AD，

則BD=CD，

在△ABD和ACD中，

?AB=ACAD=ADBD=CD，

∴△ABD≌△ACD(SSS)，

∴∠B=∠C；

方法二：

證明：如圖，過A作BC垂線段，交BC于D，

∴△ABD和ACD為直角三角形，

在Rt△ABD和RtACD中，

AB=ACAD=AD，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，

∴∠B=∠C；

方法三：

證明：如圖，作∠BAC的角平分線，交BC于點D．

∴∠BAD=∠CAD，

在△ABD和ACD中，

AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，

∴△ABD≌△ACD(SAS)，

∴∠B=∠C17.(-4,3)

解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求；

．

(2)∵B2(-6,2)與點B(4,2)關于一條直線成軸對稱，

∴對稱軸為直線x=-6+42=-1，

此時C(2,3)點關于直線的對稱點C2的坐標為(-4,3)，

故答案為：(-4,3)；

(3)△A1B1C1的面積為2×3-12×1×2-12×1×2-12×1×3=52．

18.解：(1)設我校初一年級訂購《西游記》的單價是x元，則訂購《朝花夕拾》的單價是1.4x元，

根據題意得：140001.4x-7000x=300，

解得：x=10，

經檢驗，x=10是所列方程的解，且符合題意，

∴1.4x=1.4×10=14．

答：我校初一年級訂購《西游記》的單價是10元，訂購《朝花夕拾》的單價是14元；

(2)設這個班訂購m本《朝花夕拾》，則訂購(10-m)本《西游記》，

根據題意得：m≥314m+10(10-m)≤124，

解得：3≤m≤6，

又∵m為正整數，

∴m可以為3，4，5，6，

∴這個班共有4種訂購方案，

方案1：訂購3本《朝花夕拾》，7本《西游記》，所需總費用為14×3+10×7=112(元)；

方案2：訂購4本《朝花夕拾》，6本《西游記》，所需總費用為14×4+10×6=116(元)；

方案3：訂購5本《朝花夕拾》，5本《西游記》，所需總費用為14×5+10×5=120(元19.(1)證明：連接CD，

∵D在BC的垂直平分線上，

∴BD=CD，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，

∴DE=DF，

∠BED=∠DCF=90°，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CDDE=DF，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，

∴BE=CF；

(2)解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=ADDE=DF，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，

∴AE=AF，

∴AB-BE=AC+CF，

∴BE+CF=AB-AC=8-6=2，

∵BE=CF，

∴BE=120.解：(1)把m=4代入方程2x-1-mx(x-1)(x+2)=1x+2得：2x-1-4x(x-1)(x+2)=1x+2，

方程兩邊都乘以(x-1)(x+2)得：2(x+2)-4x=x-1，

解方程得：x=53，

檢驗：當x=53時，(x-1)(x+2)≠0，

所以x=53是原方程的解，

即原方程的解是x=53；

(2)2x-1-mx(x-1)(x+2)=1x+2，

方程兩邊都乘以(x-1)(x+2)得：2(x+2)-mx=x-1①，

整理得：(1-m)x=-5②，

有三種情況：

第一情況：當x-1=0時，方程無解，即此時x=1，

把x=1代入①得：6-m=1-1，

解得：m=6；

第二種情況：當x+2=0時，方程無解，即此時x=-221.a2+b2

解：(1)方法1，陰影部分的面積是兩個正方形的面積和，即a2+b2，

方法2，從邊長為(a+b)的大正方形面積減去兩個長為a，寬為b的長方形面積，即(a+b)2-2ab，

故答案為：a2+b2；(a+b)2-2ab；

(2)在(1)兩種方法表示面積相等可得，a2+b2=(a+b)2-2ab，

故答案為：a2+b2=(a+b)2-2ab；

(3)①∵12xy=3，

∴xy=6，

又∵x+y=6，

∴x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×6=36-12=24；

②設a=2021-x，b=x-2024，則a2+b2=49，a+b=-3，

∴原式=-20，

答：(2021-x)(x-2024)的值為-20．

22.證明：(1)∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，

∴∠BAC=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，

∴△BAC≌△DAE(SAS)，

即△ABC≌△ADE；

(2)∵∠CAE=90°，AC=AE，

∴∠E=45°，

由(1)知△BAC≌△DAE，

∴∠BCA=∠E=45°，

∵AF⊥BC，

∴∠CFA=90°，

∴∠CAF=45°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；

(3)延長BF到G，使得FG=FB，

∵AF⊥BG，

∴∠AFG=∠AFB=90°，

在△AFB和△AFG中，

BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，

∴△AFB≌23.解：(1)A(0,1);

(2)如圖2，過點C作CG⊥AC交y軸于點G，

∵CG⊥AC

∴∠ACG=90°，

∴∠CAG+∠AGC=90°．

∵∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠AGC=∠ADO．

在△ACG和△BAD中，

∠ACG=∠BAD=90°∠AGC=∠BDAAC=BA

，

∴△ACG≌△BAD(AAS)．

∴CG=AD，

∠ADB=∠CGA，

∵D為AC中點，

∴AD=CD，

∴CG=CD(等量代換)，

∵AC=AB

，∠CAB=90°，

∴∠ACB=(180°-∠CAB)÷2=45°，

又∵∠ACG=90°

∠ACB=∠DCE=45°，

∴∠DCE=∠GCE=45°．

在△DCE和△GCE中，

CD=CG∠DCE=∠GCECE=CE

，

∴△DCE≌△GCE(SAS)．

∴∠CDE=∠CGE．

又∵?∠ADB