專題04函數奇偶性'單調性'周期性'對稱性歸類

更盤點?置擊看考

石錄

題型一：奇偶性基礎..............................................................................1

題型二：單調性基礎..............................................................................3

題型三：周期性基礎..............................................................................4

題型四：中心與軸對稱應用：左右平移..............................................................5

題型五：中心與軸對稱應用：伸縮變換型............................................................6

題型六：中心與軸對稱應用：軸對稱型..............................................................6

題型七：中心與軸對稱應用：斜直線對稱............................................................7

題型八：中心與軸對稱應用：中心對稱..............................................................8

題型九：中心與軸應用：類比“正余弦”求和........................................................9

題型十：中心與軸應用：“隱對稱點”.............................................................10

題型十一：雙函數型中心、軸互相“傳遞”.........................................................10

題型十二：函數型不等式：“優函數”型...........................................................11

題型十三：類周期型函數.........................................................................12

題型十四：“放大鏡”函數類周期性質.............................................................13

^突圍?錯;住蝗分

題型二廠^偶性基礎

指I點I迷I津

判定函數的奇偶性的常見方法：

(1)定義法：確定函數的奇偶性時，必須先判定函數定義域是否關于原點對稱，再化簡解析式驗證

/(f)=±〃力貨等價形式±“X)=0是否成立；

(2)圖象法：若函數的圖象關于原點對稱，可得函數為奇函數；若函數的圖象關于y軸對稱，可得函數為

偶函數；

(3)性質法：設了(力心(”的定義域分別為外2,那么它們的公共定義域上.常見的函數奇偶性經驗結論

(在定義域內):

1.加減型：

奇+奇一＞奇

偶+偶一＞偶

奇-奇—奇

偶-偶一偶

奇+偶-＞非

奇-偶一非

2.乘除型(乘除經驗結論一致)

奇X+奇一＞偶

偶X+偶T偶

奇X+偶T奇

奇X+偶X+奇一＞=偶

簡單記為：乘除偶函數不改變奇偶性，奇函數改變

3.上下平移型：

奇+c—＞非

偶+c—＞偶

4.復合函數：

若為奇函數，g(x)為奇函數，則/這⑼為奇函數

若f(x)為奇函數，g(x)為偶函數，則〃g(x)］為偶函數

1.(2023?全國?高三專題練習)若〃x),g(x),力(x)分別是定義在R上的偶函數、奇函數、偶函數，則下

列函數不是偶函數的是()

A.y=f(g(x))h(x)B.y=f(g(x))+h(x)

C.y=f(h(x))g(x)D.y=〃x)|g(x)|/7(x)

2.(2023?全國?高三專題練習)函數/(x)的定義域為R,y=/(x)+2e，是偶函數，y=/(x)_3e*是奇函數，貝”(無)

的最小值為()

A.eB.75C.20D.2A/5

3.(2023春?湖北武漢?高三武漢市開發區一中校考階段練習)已知〃x),g(x)是定義域為R的函數，且/'(X)

：2+X+2,若對任意的1＜占＜尤z＜2,都有ga)-g')＞-3

是奇函數，g(無)是偶函數，滿足〃x)+g(尤)=忒

再-x2

成立，則實數。的取值范圍是()

-CO,一；U[0,+co)3

A.B.——,+oo

4

一1,+oo)

C.D.-川

2'一旦

4.（2023?吉林延邊?高三延邊二中校考開學考試）函數〃x)=R的奇函數，是常數.不等式

/（h3*）+/（3<9=2）<0對任意xeR恒成立,求實數上的取值范圍為

A.左<20-1B.-2血-1（左<2&-1

C.k<-\D.-1<^<2A/2-1

5.（2023秋?山西?高三校聯考期中）已知函數/（*）=（尤+"-2乂為奇函數，則的值是（）

A.0B.-12C.12D.10

6.（2024年高考天津卷）下列函數是偶函數的是（)

2

ex-x2cosx+xsinx+4x

A.B.yC.y=■D.y=---n----

x2+lx+1,即

題型二:單調性基礎

指I點I迷I津

單調性的運算關系：

①一般認為，一七）和六均與函數的單調性相反；

J\x）

②同區間，T+T=J_，1+[=」_,LE_,J—T=J_；

單調性的定義的騫杯形式：餒尤1，x2^[a,b],麗么有:

增函數；

X1~X2

2旦減函數

X\—X2

（3）復合函數單調性結論:同增異減.

1.（21-22高三?全國?課后作業）如果函數/（x）在[o,句上是增函數，那么對于任意的M,X20。,b]（xi^x2）,

下列結論中不正確的是（）

〃%)一/伍)>0

A.

B.(X1—X2)\f(Xl)—f(X2)]>0

C.若M<X2,則/(a)</(x])</(X2)</(b)

再-x2

D.尤2)>°

2.（23-24高三?福建廈門?模擬）已知定義在R上的奇函數/（尤）滿足①/（2）=0；②％,々￡（。，+°°），且不。馬，

尤2）一%了（網）>0,則

的解集為（）

x2一芯X

A.(-S,-2)U(2,+8)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-s,-2)U(0,2)D.(一2,0九(2收)

3.（22-23高一上?重慶沙坪壩?期末）已知y=〃x+l）為偶函數，若對任意。/e[l,+s）,（awb）,總有

力?。）+妙5）<4（。）+"僅）成立，則不等式〃2X）<〃4）的解集為（）

B.(-2,2)

]_2

D.

4.(22-23高三?浙江?模擬)設/(丈)，g(x)都是。上的單調函數，有如下四個命題，正確的是()

①若單調遞增，g(x)單調遞增，則/(x)-g。)單調遞增；

②若/⑺單調遞增，g(x)單調遞減，則/。)-g(x)單調遞增；

③若Ax)單調遞減，g(x)單調遞增，則Ax)-g(x)單調遞減；

④若了。)單調遞減，g(x)單調遞減，則/(x)-g(x)單調遞減.

A.①③B.①④C.②③D.②④

5.(23-24高三?河北邢臺?階段練習)已知定義在(0,+動上的函數〃尤)滿足〃2)=4,對任意的不，2?0,小),

且玉片馬，玉*2[/(%)+"X2)]<*：/(*2)+石〃王)恒成立，則不等式〃尤一3)>2x—6的解集為()

A.(3,7)B.(9,5)C.(5,+00)D.(3,5)

題型三：周期性基礎

指I點I迷I津

周期性

①若加+a)=/(x—力可㈤周期為T=a+b.

②常見的周期函數有：

/x+a)=—/x)或/x+a)=f,丁，或/x+a)=一,那么函數/(x)是周期函數，其中一個周期均為T=2a

1.(22-23高三?重慶沙坪壩?模擬)函數“X)的定義域為R,且/="0)20.若對任意實數x,V都

有/(x)+/(y)=2/(寧則“2020)=()

A.0B.-1

C.0D.1

2.(2023高三?全國?專題練習)定義在R上的非常數函數滿足：/'(10+x)為偶函數，且“5'(5+x),則

/(x)一定是()

A.是偶函數，也是周期函數

B.是偶函數，但不是周期函數

C.是奇函數，也是周期函數

D.是奇函數，但不是周期函數

3.(23-24高三?湖南衡陽?階段練習)已知函數/(x)滿足/■⑴=1,對任意實數x,y都有

2023

成立，則2〃冽)=()

m=\

A.-2B.-1C.2D.1

1+小-2)

4.(22-23高三安徽?階段練習)己知〃x)是定義在R上的函數，〃x)=且〃2)=2+6，則

1-小-2)

“2022)=()

A.2-上B.73-2C.2+A/3D.-2—\]3

5.(21-22高三?貴州六盤水?)函數〃”的定義域為尺，若/(x+2)=霽[且/(5)=-2,則”1103)=()

A.2B.-2C.-3D.3

題型四：中心與軸對稱應用：左右平移

指I點I迷I津

圖形變換時，對稱軸和堆成中心也跟著平移

(1)平移變換：上加下減，左加右減

(2)對稱變換

關于無軸對稱

①y=/U)，=一版);

關于y軸對稱

②y=f(x)fy=?—x)；

關于原點對稱

③尸危)

關于y=%對稱

@y=ax(〃>0且中1)y=logR〃>0且存1).

保留%軸上方圖象

@y=Ax)將%軸下方圖象翻折上去-y=l心)I.

自&、保留y軸右邊圖象，并作其

⑥,寸%)一百許麗丁)川工

1.(2023?四川南充?闿中中學校考模擬預測)設函數無)的定義域為R,7(犬+1)-3為奇函數，/(x+2)為

2023

偶函數，當日《1,2]時,f(x)=ax、b,若+則廣)

2

37112

A.B.C.D.

12123

2..(2023?全國?高三專題練習)已知〃無)-1為R上的奇函數，/(X+2)為R上的偶函數，且當XE[0,2]時,

2

/(x)=x+l,若〃=/("),&=f(log2ll),c=/(2"),則〃，4c的大小關系為()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

3

3.(2023?貴州畢節,統考模擬預測)已知函數/(x)的定義域為R,/(x+3)為偶函數，/仃了+彳)為奇函數,

貝U()

A./(-|)=0B./(-1)=0C./(3)=0D./(6)=。

4.(2023?陜西?統考二模)已知Ax)是定義在R上的奇函數，若/[x+j為偶函數且〃1)=3,則”2022)+

7(2023)=()

A.3B.-5C.-3D.6

5.（2022秋?河南?高三校聯考階段練習）已知函數〃x）的定義域為R,若〃1-力為奇函數，〃％-1）為偶

函數.設〃-2）=1,貝ljf（2）=（）

A.-1B.0C.1D.2

題型五：中心與軸對稱應用：伸縮變換型

指I點I迷I津

帶系數：系數不為1,類比正弦余弦的帶系數形式，提系數平移

平移變換：左右或者上下

/■（0x+e）n/（0（x+a）+o）左加右減

1.（2023?寧夏吳忠?統考模擬預測）已知f（x）是定義域為R的函數，f（x-2）為奇函數，/（2x-l）為偶函數，

則有①“力為奇函數，②關于產-1對稱，③關于點（-L0）對稱，④〃-2）=0,則上述推斷

正確的是（）

A.②③B.①④C.②③④D.①②④

2.（2022秋?河北?高三校聯考階段練習）設函數/（X）的定義域為R,且+2）是奇函數，/（3x+l）是偶

函數，則一定有（）

A./（4）=0B."-1）=0

C."3）=0D."5）=0

3.（2023春四川瀘州?高三四川省瀘縣第一中學校考階段練習）已知定義域為R的函數滿足/'（3x+l）是

奇函數，了（2彳-1）是偶函數，則下列結論錯誤的是（）

A./（尤）的圖象關于直線云=-1對稱B."尤）的圖象關于點（L0）對稱

C.，（-3）=1D./⑺的一個周期為8

4.（2023秋?湖北恩施?高三校聯考模擬）已知函數〃尤）及其導函數尸（%）的定義域都為R,且“3-2力為偶

函數，/（x+2）為奇函數，則下列說法正確的是（）

A.f[|]=0B./■'（2）=0

C./（2023）+/（2022）=0D./（2023）+/（2022）=0

5.（2022秋?湖北襄陽?高三襄陽五中校考階段練習）已知及其導函數r（力的定義域均為R,若“1-2力

8

為奇函數，〃2x—1）為偶函數.設了'（0）=1,則工（（2左）=（）

k=\

A.-1B.0C.1D.2

題型六：中心與軸對稱應用：軸對稱型

指I點I迷I津

和定為軸

1、f(a+x)=f(a-x)，則對稱軸x二a

2、f(a+x)=f(b-x)，則對稱軸x二竺^

2

3、f(x)=f(2a-x),則對稱軸x二a

Y—2

1.(2023上?山東濟寧?高三統考期中)已知函數/尤)=(x+“)log,^—關于直線x=b對稱，則2。+2"=_____

4-x

2.(2023上?福建龍巖?高三上杭一中校考階段練習)已知定義在R上的函數y=滿足f(2+x)=f(2-x),

若方程/(x)=0有且僅有三個根，且x=0為其一個根，則其它兩根為.

3.(2023下?黑龍江七臺河?高二勃利縣高級中學校考期中)己知函數Ax)滿足/(尤)=/(兀-彳)，且當

時，f(x)=x+sinx,設。=/⑴力=/(2),c=/(3),則a,0,c的大小關系是.

4.(廣東省七校聯合體2020-2021學年高二下學期2月聯考數學試題)若函數=Y-。同+華+。有且

只有一個零點，又點P(3a,l)在動直線〃口-1)+7今-1)=0上的投影為點M,若點N(3,3),那么|跖V|的最小

值為.

5(四川省成都外國語學校、成都實驗外國語學校聯合考試2021屆高三第一學期11月月考).已知

/(x)=￡±￡l+cosx(xeK),Vxe[l,4],f(mr-lnx-2)?2f(2)-f(2+lnx-mr),則實數m的取值范圍

是(J

1〃21+1幾2]「11ln2~|「1〃21ln2"l「Il+ln2

A.—,---B.-,l+—C.+—D.---

題型七：中心與軸對稱應用：斜直線對稱

指I點I迷I津

軸變換，又叫直線鏡面變換：

X—>V

y=f(*)=丫=*對稱=<

'"yfx

-引申：y=x+b(必須斜率是k=l,就是直線反解)對稱nJ-泗

yfx+b

1.(2023上?遼寧大連?高三大連八中校考階段練習)已知函數y=/(x)的圖像與函數g(x)=(；)'的圖像關于

直線y=X對稱，則函數y=/（2x-/）的單調遞增區間是.

2.（2023?高三單元測試）函數y=/（x）與y=g（x）的圖象關于直線y=X對稱,/⑺=，-2x+2（xV0）,則

g（5）=--------

3.（2022下?遼寧?高二瓦房店市高級中學校聯考模擬）已知函數/（3x+l）是定義在R上的奇函數，函數

的圖象與函數g（x）的圖象關于直線丁=尤對稱，則g（"+g（-x）=.

4.（2023上?上海閔行?高三校聯考期中）設曲線C與函數f（x）=哼/①<xv力的圖像關于直線y=對稱,

設曲線C仍然是某函數的圖像，則實數f的取值范圍是.

5.（2022?湖南永州?統考三模）已知直線/：y=3x+2,函數〃x）=lnx-flx+；,若，（無）存在切線與/關于直線

y=x對稱，則。=.

題型八：中心與軸對稱應用：中心對稱

"旨I點I迷I津

中心對稱：

（1）若函數”無）滿足了（a+x）+/（o—x）=2〃，則〃尤）的一個對稱中心為

（2）若函數/（x）滿足/（2a-x）+y（x）=2Z7,則/（x）的一個對稱中心為

（3）若函數/（x）滿足〃2a+x）+〃r）=2b,則〃x）的一個對稱中心為（〃力）.

i函數變換，又叫原點變換：

y=f（X）=>原點對稱=<Xf*

;引申：關于點（a,b）對稱，貝2-x

y2b-y

；海元智,荻三一百一2022-2商”孽一岸'（三'4-殍羸三茨麗富豪厚一潑版丁巨瓦T函數

/（X）=ln（Vx2+l—尤）+3-3,，不等式/W?+4）+f（x2+5）?0對xeR恒成立，則?的取值范圍為（）

A.[-2,+oo）B.（-co,-2]C.-p+oo^D.

2.（四川省達州市大竹縣大竹中學2020-2021學年高一下學期5月月考數學試題）已知函數

/（無）=log2（"77+小一^7+2,xeR,若三公0,g使關于。的不等式

/（2sine-cos6）+/（4-2sine-2cos6-M）<2成立，則實數加的范圍為.

0帖ax1+a+]n(y/x2+l+x]什\息一法斗，息i后.浦卜＜1入了新加估

3.函數"x)=______\/14,右/(%)最大值為M,最小值為N,^e[l,3],則M+N的取值

X?+1a

范圍是.

4.(廣東省深圳市人大附中學深圳學校2022-2023學年高三數學試題)已知函數/(%)(%￡&滿足

r?1io

/(-x)=2-/(x),若函數j=--與y=/(無)圖像的交點為(和%),(々,％),…,則2(玉+-%)=

Xi=\

5.(江蘇省南京師范大學附屬中學2022-2023學年高三模擬檢測2數學試題)已知函數/(x)=f—言+i,若

存在me(l,4)使得不等式/(4-“a)+/(加+3時＞2成立，則實數”的取值范圍是.

題型九：中心與軸應用：類比“正余弦”求和

指I點I迷I津

類比正弦：

①兩中心(a,o)，3,o),g=k-6|

③一個中心(”,0),一■條軸x=6,1=,-4

1.(2022?廣東惠州?模擬)已知〃x)是定義在R上的奇函數，且小-力寸荷，若/⑴=3,則/(1)+/(2)+

/(3)+...+/(2018)=()

A.-3B.0C.3D.2018

2.(2022?廣西南寧?一模)定義在R上的偶函數/(x)滿足：對任意的實數x都有=/(x+1),且/(-I)=2,

f(2)=-l.則/⑴+/(2)+/(3)+…+”2017)的值為()

A.2017B.1010C.1008D.2

3.(2023?山東?一模)己知了(無)是定義在R上的奇函數，且/(尤+D為偶函數，若/(-I)=2,則

/(l)+/(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.4B.2C.0D.-2

4.(22-23高三上?湖南永州?階段練習)己知定義在R上的奇函數滿足/(尤+D+A3-尤)=0,若/⑴=2,

則/(1)+/(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.-2B.0C.2D.2020

5.(2023?廣東梅州?三模)已知函數〃尤)是定義在R上的奇函數，為偶函數，且〃-1)=1,貝I]

小。)|+|〃-9)|+…+|〃0)|+|〃1)|+…+|〃9)|+|〃10)卜()

A.10B.20C.15D.5

題型十：中心與軸應用：“隱對稱點”

指I點I迷I津

兩圖象上有對稱點轉化為方程有根的問題求解，然后再根據兩函數的特征選擇用導數的幾何意義求解,

具有綜合性，難度較大.

1.（21-22高三?云南紅河?模擬）對于函數y=〃尤），若存在%,使得/（%）=--（-%），則稱點（%,/（%））與

f尤22xX<0

點（_%"（_尤。））是函數y=F（x）的一對"隱對稱點"，若函數〃無）='c,存在"隱對稱點"，則實數

[mx+2,x>0

機的取值范圍是（）

A.12-2A/^,0）B.（-co,2-C.oo,2+2A/2JD.值,2+2行]

2.（2022廣西柳州?一模）已知函數〃x）=lnx+/與8（力=*_"的圖像上存在關于了軸對稱的對稱點，則

實數。的取值范圍是（）

A.a<—B.a>—C.a<eD.a>e

3.（2022遼寧沈陽?模擬預測）函數/（x）=S與g（x）=f-l的圖象上存在關于x軸的對稱點，則實數。的取

值范圍為（）（。為自然對數的底）

A.a<0B.a<1C.a<\D.c?>1

4.（2023?河北衡水?一模）若函數y=/（x）圖象上存在兩個點A,B關于原點對稱，則對稱點（4為為函數

y=/（x）的"攣生點對"，且點（AB）對（8,A）與可看作同一個“攣生點對”.若函數

[2,x<0一

/（x）=3cc、八恰好有兩個"攣生點對"，則實數。的值為

[一+6x--9x+2-a,x>Q

A.0B.2C.4D.6

5.（22-23高三下?上海寶山?期中）若存在/wR與正數根，使尸Q-相）=尸《+附成立，則稱"函數/（無）在x=r

處存在距離為2租的對稱點”.設/（%）=二±4（x>0）,若對于任意此（后,6），總存在正數加，使得“函

X

數/（元）在x=/處存在距離為2%的對稱點”，則實數彳的取值范圍是…

A.（0,2]B.（1,2]C.[1,2]D.[1,4]

題型十一：雙函數型中心'軸互相“傳遞”

指I點I迷I津

雙函數性質：

1.雙函數各自對應的對稱中心和對稱軸等性質

2.雙函數之間存在著互相轉化或者互相表示的函數等量關系

傳遹中心，對稱粘，與周期

若函數〃尤)關于x=。軸對稱，關于(瓦0)中心對稱,則函數的周期為4,一耳,

若函數/>(X)關于x=。軸對稱，關于x=b軸對稱，則函數/■(%)的周期為

若函數f(x)關于(。,0)中心對稱，關于0,0)中心對稱，則函數“X)的周期為21a-瓦

1.(22-23高三上?江西?階段練習)已知函數/'(x),g(x)的定義域均為R,且滿足

60

/'(x)-g(2-x)=4,g(x)+〃x-4)=6,g(3-x)+g(x+l)=0,貝0/(")=()

0=1

A.-3180B.795C.1590D.-1590

2.(23-24高三上?遼寧?階段練習)已知函數/(力，g(x)的定義域均為R,>/(x)+g(2-x)=6,

18

g(x)-/(x-4)=4,若g(x)的圖像關于x=2對稱，g⑵=3,則￡/億)=()

k=\

A.14B.16C.18D.20

3.(2023?遼寧?模擬預測)已知函數〃x),g(x)的定義域均為R,〃x+l)是奇函數，且/(I-x)+g(x)=2,

/(x)+g(x-3)=2,則下列結論正確的是.(只填序號)

2020

①“X)為偶函數；②g(x)為奇函數；③X〃k)=40；④㈤=40.

k=lk=\

4.(2023?河南?模擬預測)已知"%)為定義在R上的奇函數，g(x)是3(%)的導函數,/(l)=h

g(2-x)+g(x)=0,則以下命題：①g(x)是偶函數；②g(l)=0;③"力的圖象的一條對稱軸是x=2；

2022

④￡/(i)=l,其中正確的序號是.

Z=1

5.(2023?四川南充?二模)設定義在R上的函數和g(x).若〃尤)一g(4—龍)=2,g(x)=f(x-2)-2,且

〃x+2)為奇函數，?/(l)+/(2)+/(3)+-+/(2023)=.

題型十二：函數型不等式：“優函數”型

指I點I迷I津

有/(x+y)((或>)/(x)+/(y)或者y(x)〈(或/(x)+/(t),則稱/⑶為優函數。

類似這類函數不等式，可以借助“類周期”思維進行放縮。

1.(2024年高考1卷)已知函數為f(X)的定義域為R,/(%)>+/(X—2),且當1<3時/(%)=X,

則下列結論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

2.(2021?四川德陽?一模)已知函數/(無:，若VxeR,fix2-3x\-f(.-x)+f(x-a)>f(x),則實

71+%

數。的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.(-l,+oo)C.(-oo,l)D.(-oo,-l)

3.(2020高三?全國?專題練習)已知〃尤)是定義在R上的函數，/(1)=1,且對任意xeR都有：

〃x+5)2〃x)+5與〃x+l)V〃x)+l成立，若g(x)=/(x)+l—x,則g(2017)=.

4.(22-23高二上?上海浦東新?開學考試)設f(x)是定義在Z上的函數，且對于任意的整數"，滿足

/(n+4)-/(n)<2(n+l),/(?+12)-/(?)>6(n+5),/(-l)=-505,貝ij7僅期)的值為.________.

289

5.(22-23高三?北京順義?模擬)如果函數滿足對任意s,法(0,一)，有〃s+r)</(s)+/⑺，則稱/(無)

為優函數.給出下列四個結論：

①g(x)=ln(l+x)(x>0)為優函數；

②若為優函數，則/(2023)<2023八1)；

③若“X)為優函數，則在(0,y)上單調遞增；

④若尸(無)=△。在(0,+8)上單調遞減，則/(x)為優函數.

X

其中，所有正確結論的序號是.

題型十三：類周期型函數

/(x),|x|<8

(2023?上海,統考模擬預測)〃尤)在上非嚴格遞增，滿足〃x+l)=〃x)+l,g(x)=

1.R>8'

若存在符合上述要求的函數及實數%,滿足g(%+4)=g(/)+l,則。的取值范圍是

2.(2021下?天津武清?高二天津市武清區楊村第一中學校考期末)已知函數/(x)=Jl-ST/'O&xv?

〔/(x-2),x>2

若對于正數廄(〃eN*),直線y=%/與函數/(x)的圖像恰好有2〃+1個不同的交點，則

女:+左;+???+左;=.

3.己知f(x)=[(1)+a(X-0,且方程/(x)=x恰有兩解.則實數a的取值范圍是____

f(x-1),%>0,

,,、無。一1<無41,、

4.(2023上?四川資陽?高三統考模擬)已知函數/(尤)=｛，/?。，函數〃元)在x=x°處的切線為/,