排列、組合與二項式定理

一、選擇題

1.二項式（x2+2］的展開式中的常數項為（）

A.480B.240C.120D.15

2.一個三位自然數百位，十位，個位上的數字依次為。，瓦c,當且僅當a>b，b<c時稱為

“凹數”（如213,3如等），若a/ce{1,2,3,4},且。,瓦?；ゲ幌嗤?，則這個三位數為“凹數”

的概率為（）

A」15B.—C.-17D.—

624324

3.在（3-《）5的展開式中，含義的項的系數為（）

A.15B.-15C.270D.-270

4.在（2x-if的展開式中，4的系數為（）

A.-80B.-40C.40D.80

5.在（x+l）（x+2）（x+〃zXx+〃）的展開式中，含丁的項的系數是7,則加+〃=（）

A.lB.2C.3D.4

6.11+4）1+”7展開式中/項的系數為（）

A.42B.35C.7D.1

7.在高考的任一考場中，都安排6行5列共30名考生，考號機選，考場使用A卷和

3卷兩種答卷以防作弊，且每名考生拿到A卷和3卷都是均等的，且相鄰考生答卷不

相同，甲乙兩名同學在同一考場，已知甲乙同列的情況下，則他們都拿到A卷的概率

（）

1323

A.-B.—C.-D.-

51055

8.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行數學建模比賽，決出了第1名到第5名的名次

（無并列情況）.甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺

憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個回答解題思路，5名同

學可能的名次排列情況種數為（）

A.44B.46C.48D.54

二、多項選擇題

9.某學校高一年級數學課外活動小組中有男生7人，女生3人，則下列說法正確的是（）

A.從中選2人,1人做正組長,1人做副組長，共有100種不同的選法

B.從中選2人參加數學競賽，其中男、女生各1人，共有21種不同的選法

C.從中選1人參加數學競賽，共有10種不同的選法

D.若報名參加學校的足球隊、羽毛球隊，每人限報其中的1個隊，共有100種不同的報名

方法

10.某人設計一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊

長為2個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向

行走的單位，如果擲出的點數為中=1,2,…,6）,則棋子就按逆時針方向行走，個單

位，一直循環下去.某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點A處，則（）

A.三次骰子后所走的步數可以是12

B.三次骰子的點數之和只可能有兩種結果

C.三次骰子的點數之和超過10的走法有6種

D.回到點A處的所有不同走法共有27種

11.若則x的值可能為（）

A.3B.4C.5D.6

三、填空題

12.卜+W］的展開式中的常數項為.

13.二項式［盯一回j的展開式中的常數項為..

14.在（ax-4^展開式中爐的系數為—270,則a的值為.

四、解答題

15.已知6件不同的產品中有2件次品，4件正品，現對這6件產品一一進行測試，直

至確定出所有次品則測試終止.(以下請用數字表示結果)

(1)若恰在第2次測試時，找到第一件次品，且第4次測試時，才找到最后一件次

品，則共有多少種不同的測試情況？

(2)若至多測試4次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試情況？

16.75600有多少個正約數？有多少個正奇約數？

17.現有9件產品，其中4件一等品,3件二等品,2件三等品，從中抽取3件產品.

(1)試問共有多少種不同的抽法？

(2)抽出的3件產品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少種？

(3)抽出的3件產品中至少有1件二等品的抽法共有多少種？

18.某次介紹會需要安排6個產品的介紹順序，其中3個產品來自A公司,2個產品來自

3公司,1個產品來自C公司.

(1)求3公司的2個產品的介紹順序相鄰的方案數；

(2)求同一個公司產品的介紹順序不相鄰,C公司的產品既不是第一個介紹,也不是最后一

個介紹的方案數.

19.一個口袋內有4個不同的紅球，6個不同的白球，

(1)從中任取4個球，紅球的個數不比白球少的取法有多少種？

(2)若取一個紅球記，取一個白球記，從中任取5個球，使總分不少于的取法有多少

種？

參考答案

1.答案：B

解析：因為=*4=15x16=240.故選B.

2.答案：C

解析：試題解題思路：由于a,Z?,ce{l,2,3,4卜且仇c互不相同,故可得4x3x2=24個三

位數.若》=1,則“凹數”有：213,214,312,314,412,413共6個;若b=2,則“凹數”有：

324,423共2個.所以這個三位數為“凹數”的概率為有P=§=■1.

243

3.答案：A

5r

解析：設二項展開式的第廠+1項為：7；+1=C；x3-（-^）\

由立=2r=4-

2

所以含好的項的系數為：Cjx35-4=15.

故選：A.

4.答案：A

解析：由二項式（2x-仔的通項為C；（2x）'j（-iy可得，

當5—左=4,即左=1時，展開式中含有一項，

此時C；（2x）4（-1?=-16C*x4=-80x4,

因此一的系數為—80.

故選：A.

5.答案：D

解析：由題意可知展開式中含丁的項：/+2/+如3+依3=a+2+加+〃）/=7f

二加+〃=4，

故選:D.

6.答案：A

解析：（1+4的展開式通項為&=C；./（廠=0,1,2,...,7），

因為］+:}1+“7=(1+%)7+獷3(1+力7,

在廠=0,1,2,…,7)中，令\=3,可得J項的系數為C：=35;

在/G4=&〃-3億=0,1,2一.,7)中，令左—3=3，得左=6，可得/項的系數為

C；=7.

所以，11+(}1+力7展開式中/項的系數為35+7=42.

故選：A.

7.答案：A

解析：由于甲乙同列，則甲乙的座位選擇有A：=30種，若甲乙拿到A卷時，甲乙的座

位選擇有A；=6種，故概率為9=上

305

故選：A

8.答案：B

解析：解法一：多重限制的排列問題：

甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是最后一名，即甲的限制最多，故以

甲為優先元素分類計數，

甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：

①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有A；種排法，則有

lx3xA；=18;

②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有A；種排法，則有

2xlxA；=12;

③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排

法，余下2人有A；種排法，則有2x2x2xA：=16;

綜上，該5名同學可能的名次排情況種數為..種.

解法二：間接法：

甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有A；種排法，

共有3x3xA；=3x3x3x2x1=54種不同的情況；

但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余

下2人有A；種排法，故共有2x2xA；=2x2x2xl=8種不同的情況；

從而該5名同學可能的名次排情況種數為54-8=46種.

故選：B.

9.答案：BC

解析：對于A,選1人做正組長,1人做副組長需要分兩步，

先選正組長有10種選法，再選副組長有9種選法，則共有10x9=90種不同的選法，故A

錯誤；

對于B,從中選2人參加數學競賽，其中男、女生各1人,則共有7x3=21種不同的選法，

故B正確；

對于C選1人參加數學競賽,既可以選男生，也可以選女生,則共有7+3=10種不同的選

法，故C正確；

對于D,每人報名都有2種選擇，共有10人,則共有2"=1024種不同的報名方法，故D錯

誤.

故選：BC.

10.答案：BCD

解析：A、B：由題意知正方形ABCD（邊長為2個單位）的周長是8,拋擲三次骰子

后棋子恰好又回到點A處的表示三次骰子的點數之和是8,16,故A錯誤，B正確；

C、D：列舉出在點數中三個數字能夠使得和為8,16的125,134,116,224,233,

466,556,

共有7種組合，前2種組合125,134,每種情況可以排列出A；=6種結果，共有

2A；=2x6=12種結果；，116,224,233,466,556各有3種結果，共有5x3=15種

結果，其中點數之和超過10的走法為466,556,共有3x2=6種，故C正確；根據分

類計數原理知共有12+15=27種結果，故D正確；

故選：BCD.

11.答案：BD

解析：由C賓T=C鎮,知2x—l=x+3或2x—l+x+3=20,所以尤=4或x=6,

故選：BD.

12.答案：252

解析：［x+W］的展開式的通項公式=cn*"，

當8—4r=0即r=2時，T.=x32=x9=252

3&2x1

故,+W］的展開式中的常數項為252.

故答案為：252

13.答案：280

故答案為：280.

14.答案：-3

5-1

解析：因為展開式的通項為C；(內廣=(-1)=5fC；.J2,=O』,2,3,4,5,

令5-1『=2,解得廠=2，

33

因為一的系數為(—I)?aCj=10?=-270,解得a=-3.

故答案為:―3.

15.答案：(1)24

(2)114

解析：(1)需測試4次，按順序可看作為4個位置，

兩件次品置于第二，四位，有放法數A；=2；

其余二個位置放二個正品，有放法數A：=12

由乘法原理方法數為：2x12=24種不同的測試情況；

(2)至多4次可分為恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，

恰好2次，即前2次測試都是次品，方法數為A；=2；

恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法數為C；A；C；=16；

恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法數為C；A；A；=72；

也可以是前四次全是正品，方法數為A：=24,

故共有2+16+72+24=114種不同的測試情況.

16.答案：有120個正約數，24個正奇約數.

解析：因為75600=24x33x52x7,

所以75600的每個約數都可以寫成2,RR"的形式，其中0WzW4,0<j<3,

0<k<2,0</<1,且3k,/eN,

所以75600的正約數的個數為5x4x3x2=120個；

75600的正奇約數的個數為4x3x2=24個.

17.答案：(1)84

(2)24

⑶64

解析：⑴從9件產品中抽取3件產品共有C；=84種；

⑵從9件產品中抽取3件產品，其中一等品、二等品、三等品各1件有C；C；C；=24種；

(3)“抽出的3件產品中至少有1件二等品”的對立事件是“抽取的3件產品沒有一件二等

品”，

因此抽出的3件產品中至少有1件二等品共有C；-C：=64種.

18.答案：(1)240

⑵96

解析：(1)將3公司的2個產品的介紹順序捆綁在一起，

與其他4個產品進行全排列，共有=2x5x4x3x2x1=240^,