高中數學精編資源3/3《復數的概念及其幾何意義》教學設計必備知識學科能力學科素養高考考向1.復數的概念學習理解能力觀察記憶概括理解說明論證應用實踐能力分析計算推測解釋簡單問題解決遷移創新能力綜合問題解決猜想探究發現創新數學抽象【考查內容】復數的幾何意義、兩個復數相等、共軛復數.【考查題型】選擇題、填空題2.兩個復數相等的充要條件邏輯推理3.復數的幾何意義數學運算直觀想象4.復數的模與共軛復數數學運算一、本節內容分析本節的主要內容是復數的概念、復數相等的充要條件及復數的幾何意義、復數的模、共軛復數等知識.通過解決負實數不能開平方以及平面內點和向量與復數的對應關系問題,感受引入復數的必要性,引出復數的幾何意義,體現幾何與代數知識相結合的思想.本節包含的核心知識和體現的核心素養如下:核心知識1.復數的概念2.兩個復數相等的充要條件3.復數的幾何意義4.復數的模與共軛復數數學抽象邏輯推理直觀想象數學運算核心素養二、學情整體分析學生在初中已學習了平面直角坐標系、絕對值及實系數的一元二次方程的求解,對實數范圍內沒有解的方程的求解問題,應屬于探討的新情境;本冊的第二章學習了平面向量的概念及表示,學生對于數與形也有了認識,所以本節知識難度不是很大;但是學生會對虛數單位理解不透,對新引入的數系不習慣,也會在復數幾何意義的理解上有困難.學情補充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學活動準備【任務專題設計】1.復數的概念2.兩個復數相等的充要條件3.復數的幾何意義4.復數的模與共軛復數【教學目標設計】1.在問題情境中了解實數系的擴充過程,掌握復數的基本概念、代數形式及實數、虛數、純虛數之間的關系.2.掌握復數相等的充要條件并能解決相應的數學問題.3.理解復數與坐標平面里的點及向量的對應關系,能利用平面向量解決復數的運算、性質以及應用問題.4.理解復數的模、共軛復數概念,能利用數形結合的思想解決復數模的問題.【教學策略設計】1.設計情境教學,引入未知問題.2.師生共同探究,歸納總結概念知識.3.利用直觀教學,滲透解決問題中的數形結合思想.4.利用典例教學,師生共同探討解決問題的思路.【教學方法建議】情境教學法、直觀教學法,還有__________________________________________【教學重點難點】重點1.復數概念的理解及復數的代數表示.2.復數的兩種幾何意義.難點1.復數引入的數系擴充過程及與平面向量的對應.2.復數相等的充要條件的理解和虛數、純虛數的判斷.【教學材料準備】1.常規材料:多媒體課件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教學活動設計教學導入師:同學們,我們知道數系擴充的脈絡是:自然數系→有理數系→實數系.【情景設置】探究復數范圍內的一元二次方程的解方程在實數范圍內是否有解？如何解決這個方程沒有實數解的矛盾？一元二次方程的判別式小于零該如何解？師:請學生獨立思考,這個方程在實數范圍內是否有解？【設計意圖】應用情境教學策略,提出疑問,激發學生興趣,體會數系擴充的必要性教學精講探究1復數的概念師:遇到新的數學問題,實數系已不能滿足解決問題的要求,數系需要擴充.需要引入什么樣的數才能實現數系的擴充呢？同學們,帶著疑問,感受一下數系擴充的必要性.【先學后教】學生帶著疑問閱讀教材、自主學習,教師再展示多媒體,講解復數的概念.【情景設置】探究復數的概念我們稱為虛數單位,;因而方程的根為;思考:1.方程的根如何表示?2.解方程:(1);(2).探究:是數學家歐拉(LeonhardEuler,1707-1783)最早引入的,它取自imaginary(想象的,假想的)一詞的詞頭..【學生思考,合作交流,教師總結虛數單位的性質】師:為了解決的一元二次方程的求解問題,需要將實數系進行擴充;依據數系的擴充原則,我們將i加入到實數系中,得到新數集.在新數集中,我們希望i和實數之間仍可以進行加法和乘法的運算,并滿足相應的運算律.師:數系擴充時,一般要遵循哪些原則？【學生思考,小組討論,總結,回答問題,教師補全】師:(1)增加新元素,新舊元素在一起構成新數集;(2)在新數集里,定義一些基本關系和運算,使原來的一些主要性質(如運算定律)依然適用;(3)舊元素作為新數集里的元素,原有的運算關系保持不變;(4)新的數集能夠解決舊的數集不能解決的問題.【要點知識】數系的擴充原則依照以上設想,把實數與相乘,結果記作;把實數與相加,結果記作.注意到所有實數以及都可以寫成的形式,從而這些數都在擴充后的新數集中.式子中,當時,可表示實數;當,當時,表示形如的數;當時,表示形如的數.【概括理解能力】明確數系擴充的必要性,總結數系擴充原則,為學習理解復數的概念等知識做鋪墊,提升概括理解能力【教師引導學生利用數學抽象概括思想完成從數系擴充原則到復數概念的概括】【要點知識】復數的概念我們把形如的數叫做復數,其中叫做虛數單位.全體復數構成的集合叫做復數集.師：下面是復數的代數形式【要點知識】復數的代數形式復數通常用小寫字母表示,即,這一表示形式叫做復數的代數形式.對于復數,以后不作特殊說明,都有,其中叫做復數的實部,叫做復數的虛部.注意:(1);(2)虛部不含有.【概括理解能力】以教師設疑發問,學生回答的形式,師生共同探討得出復數的概念,培養學生的概括理解能力和邏輯推理核心素養師:請同學們討論:(1)當時;(2)當時;(3)當時;(4)當時的復數的代數形式.【學生獨立思考,教師總結虛數、純虛數概念,學生舉出虛數、純虛數的例子】師:處于復數.當且僅當時,它是實數;當且僅當時,它是實數0;當時,它叫做虛數;當且時,它叫做純虛數.師:請同學思考,實數集與復數集的包含關系？【學生思考、交流、討論,教師給予肯定或補充】【深度學習】學生通過自主學習、交流討論、教師引導總結等環節學習數集擴充知識,加深對復數概念及表示形式的理解【要點知識】數集間的關系實數集是復數集的真子集,即.復數可以分類如下:復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系如圖所示.師:下面我們看一道例題.【典型例題】例1當實數取什么值時,復數是下列數?(1)實數;(2)虛數;(3)純虛數.【深度學習】例1是一道復習鞏固復數概念的題目,首先學生要在變化中認識復數代數形式的結構,正確判斷復數的實部、虛部,然后依據復數是實數、虛數、純虛數的條件,列方程(或不等式)求出相應的的取值.【教師分析解題思路,學生獨立解題】師:因為所以都是實數.由復數是實數、虛數和純虛數的條件可以確定的取值.生解:當即時,復數是實數.(2)當即時,復數是虛數.(3)當且即時,復數是純虛數.探究2兩個復數相等的充要條件師:請同學們思考下面的問題.【情景設置】探究兩個復數相等的充要條件兩個實數可以比較大小,復數集中不全是實數的兩個數能否比較大小?問題:i和0是否可以比較大小?探討:若,則,即,不成立.若,則,即,不成立.即i和0不能比較大小.【師生探討后總結:虛數不能比較大小,只有相等和不相等之分】【設情境巧激趣】提問設疑,探討舊數系中元素和新數系中新增元素的關系,激發學生探討兩個復數相等的充要條件的興趣.【要點知識】兩個復數相等的充要條件在復數集中任取兩個數,我們規定:相等的充要條件是且,即當且僅當兩個復數的實部與實部相等、虛部與虛部相等時,兩個復數才相等.特別地:.【師生共同討論:應用復數相等的充要條件時需要注意什么?共同總結:先將復數化為的形式,即分離實部和虛部】師:下面做一道練習題.【鞏固練習】復數相等的應用若,求實數,的值.【學生獨立思考,自主完成,教師總結】師:復數相等的充要條件提供了將復數問題化歸為實數問題來解決的途徑,化虛為實是解決復數問題的一條主線.【分析計算能力】依據兩個復數相等的等價條件,列出含有待定系數的方程組,培養學生分析計算的能力探究3復數的幾何意義1.幾何意義(一)(用復平面內的點表示復數)師:實數與數軸上的點有什么關系？生:一一對應關系.師:數系擴充到復數,復數可以與點有對應關系嗎？請同學們閱讀教材P70~71,回答問題.生:復數的實部和虛部構成有序實數對,對應著復平面內的一點.【猜想探索能力】引導學生自己探索“化虛為實”的解決問題途徑,提升猜想探究能力【歸納總結】復數與復平面內點的關系1.復數與實數之間的對應關系復數點2.復平面及結構規定:建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面,復平面內軸叫做實軸,軸叫做虛軸.(如圖所示)3.復數與復平面內的點的關系復數.【教師強調:(1)復數的實質是有序實數對;(2)虛軸上的單位長度是1,而不是i.師生共同交流討論總結:在復平面內,實軸上的點表示實數,虛軸上的點表示純虛數】【整體設計分步落實】類比實數與數軸上的點的對應關系,探究復數與實數之間的對應關系,再通過學生自主學習和交流探討掌握復數的兩種幾何意義的統一性2.幾何意義(二)(用平面向量表示復數)師:由平面向量的知識,我們知道,每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示,而有序實數對與復數又是一一對應的,所以復數與平面向量也應有對應的關系.【要點知識】用平面向量表示復數如圖,設復平面內的點表示復數.連接,則向量由點唯一確定;反過來,點(相對于原點來說)也可以由向量唯一確定,即復數.為了方便,常把復數說成點或向量,并且規定:相等的向量表示同一個復數.【推測解釋能力】引導學生以平面向量的知識為載體,推測復數與平面向量的對應關系,提升推測解釋能力【引導學生思考總結:復數的兩種幾何意義使我們在討論復數的運算、性質和應用時,可以在復平面內綜合使用坐標法和向量方法,體現了解決數學問題的數形結合思想】師:復數與復平面內的點及平面向量構成一一對應的閉環.探究4復數的模與共軛復數師:依據復數的幾何意義及平面向量模的概念,我們可以定義復數的模.復數模的幾何意義是什么？【學生閱讀教材P1,自學復數的模的定義,舉出復數實例并畫圖,對應找出幾何意義】【要點知識】復數模的幾何意義1.向量的模叫做復數的模或絕對值,記作或.如果,那么是一個實數,它的模等于(就是的絕對值).由模的定義可知,.2.復數模的幾何意義是復數所對應的點到原點的距離.特別地,當且僅當時,.【設情境巧激趣】讓學生舉出復數實例,如:,找出對應點及對應平面向量,并求解向量的模長師:學習了復數模的相關概念,我們解決下面的例題吧.【典型例題】復數的模例2設復數.(1)在復平面內畫出復數對應的點和向量;(2)求復數的模,并比較它們的模的大小.【師生互動,教師板書,并進行總結】師解:(1)復數,對應的點分別為,,對應的向量分別為.(2),.師:通過觀察圖象,點和有怎樣的關系?生:點和關于軸對稱.師(強調):(1)計算復數的模時,應先找出復數的實部和虛部,再利用復數模的公式進行計算.(2)兩個虛數不能比較大小,它們的模可以比較大小.【觀察記憶能力】通過例2,既復習鞏固了復數的兩種幾何意義以及模的計算和大小比較,同時也為引入共軛復數進行鋪墊,提供具體實例的支撐,鍛煉了學生的觀察記憶能力,提升了直觀想象、邏輯推理核心素養【教師引導學生對比復數的模和實數絕對值的概念,師生共同總結:復數的模的幾何意義是實數的絕對值概念的擴充,因此有,并且實數的絕對值具有的某些性質可以推廣到復數的模】【情景設置】數學轉化思想.【深度學習】引導學生根據對稱性推測、分析虛部互為相反數的兩個復數的模長的關系.【學生交流討論復數和實部、虛部的特點,所對應的兩點的幾何特征,教師多媒體展示共軛復數】【要點知識】共軛復數1.概念:一般地,當兩個復數的實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數叫做互為共軛復數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數.2.表示:復數的共軛復數可用來表示,即復數的共軛復數是.3.幾何意義:互為共軛的兩個復數在復平面內所對應的點關于實軸對稱(如圖).特別地,實數和它的共軛復數在復平面內所對應的點重合,且在實軸上.4.性質:;且為純虛數.【讓學生舉出復數實例,找其共軛復數、幾何意義,驗證共軛復數的性質】【意義學習】引導學生根據復數的幾何意義自主學習復數的模和共軛復數,同時培養學生的概括總結、分析計算能力師:下面我們再看一道例題,進一步鞏固復數的模.【典型例題】求復數的模例3設,在復平面內對應的點為,那么滿足下列條件的點的集合是什么圖形?(1);(2).【學生思考、討論,教師講解】【典例解析】求復數的模解:(1)由得,向量的模等于1,所以滿足條件的點的集合是以原點為圓心,以1為半徑的圓.(2)不等式可化為不等式不等式的解集是圓的內部所有的點組成的集合,不等式的解集是圓外部所有的點組成的集合,這兩個集合的交集,就是上述不等式組的解集,也就是滿足條件的點的集合.容易看出,所求的集合是以原點為圓心,以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環,但不包括圓環的邊界,如圖.【以學定教】通過例3的講解,學生進一步復習鞏固了模的概念,又通過直觀想象明確復數可以用來描述一些常見的幾何圖形如:圓形區域和環形區域等,拓展了學生對復數的認識和解題思路師:通過這節課的學習,你學到了哪些新知識？【教師引導,學生回答,師生合作,共同總結本節知識點】【課堂小結】復數的概念1.復數的概念形如的數叫做復數,復數通常用字母表示.全體復數構成的集合叫做復數集,一般用大寫字母表示.其中,分別叫做復數的實部與虛部.2.復數相等的充要條件如果兩個復數的實部和虛部分別相等,那么我們就說這兩個復數相等.如果,那么且.特別地,.3.復數的幾何意義復數.復數.4.復數的模向量的模叫做復數的模(或絕對值),記作或.由模的定義可知.當時,復數表示實數,此時.5.共軛復數當兩個復數實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數叫做互為共軛復數,虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做互為共軛虛數.復數的共軛復數用表示,即如果,那么.在復平面內,如果用點表示,用點表示,則,點和點關于實軸對稱.【設計意圖】通過梳理本節的知識,形成知識架構,使學生進一步理解,同時強化推測解釋能力、在理解的過程中進行分析計算和解決問題,提升邏輯推理、數學運算核心素養教學評價兩個復數相等的充要條件、復數的幾何意義是本節重點內容,也是高考考點,需加強解題能力訓