二維隨機變量的條件分布——將條件概率的概念推廣到隨機變量設(shè)已知二維離散型隨機變量(X,Y)的概率分布若則稱為在X=xi

的條件下，Y的條件分布律二維離散型隨機變量的條件分布律

若則稱為在Y=yj

的條件下，X的條件分布律類似于乘法公式類似于全概率公式例1把三個球等可能地放入編號為1，2，3的三個盒子中，每盒容納的球數(shù)無限.記X

為落入1號盒的球數(shù)，Y

為落入2號盒的球數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律與邊沿分布律；

P(X=i|Y=0

)與P(Y=j|X=2

);聯(lián)合分布律的求法：由乘法公式在§3.1已計算過由問題的意義可知

X0123

Y01另一方面，若已知聯(lián)合分布律，則可由它求出條件分布律.假設(shè)已知本例的聯(lián)合分布律如下表所示求條件分布律即對矩形框中的數(shù)據(jù)進行運算XYpij01230123000000pi?1p?j例2一射手進行獨立射擊,已知每次他擊中目標的概率為p(0<p<1),射擊一直進行到擊中兩次目標為止.令X

表示他首次擊中目標所進行射擊的次數(shù),Y

表示他總共進行射擊的次數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律、條件分布律和邊沿分布律.解——第n次擊中目標，前

n–1次恰有一次擊中目標故聯(lián)合分布律為邊沿分布律為條件分布律為對每個n,對每個m,設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),聯(lián)合概率密度為f(x,y)X的邊沿分布函數(shù)為FX

(x),邊沿概率密度為fX(x)Y的邊沿分布函數(shù)為FY

(y),邊沿概率密度為fY(y)

二維連續(xù)型隨機變量的條件分布函數(shù)和條件概率密度函數(shù)xy-

yy

y設(shè)xy-

yy定義對于二維連續(xù)型隨機變量(X,Y),如果存在極限則稱此極限為在條件Y=y的條件下X的條件分布函數(shù).相應(yīng)的,在條件X=x的條件下Y的條件分布函數(shù)定義為(在極限存在的條件下):記為:注若f(x,y)在點(x,y)連續(xù)，fY(y)在點y處連續(xù)且fY(y)>0,則為Y=y

的條件下X

的條件分布函數(shù).稱為Y=y

的條件下X

的條件概率密度函數(shù)，記作類似地,若f(x,y)在點(x,y)連續(xù)，fX(x)在點x處連續(xù)且fX(x)>0,則稱為X=x

的條件下Y

的條件概率密度函數(shù)，記作為X=x

的條件下Y

的條件分布函數(shù).注意：對于每一fY(y)>0的y處，只要符合定義的條件，都能定義相應(yīng)的函數(shù).是y的函數(shù),x

是常數(shù),對于每一fX(x)>0的x處，只要符合定義的條件，都能定義相應(yīng)的函數(shù).是x的函數(shù),y

是常數(shù),類似于乘法公式：類似于全概率公式類似于Bayes公式例3已知(X,Y)服從圓域x2+y2

r2

上的均勻分布,求r解

x-r=同理，邊沿分布不是均勻分布！當–r<y<r

時，

y—這里y

是常數(shù)，當Y=y時，當–r<x<r

時，—這里x

是常數(shù)，當X=x時，

x例4已知求解同理，例5設(shè)求解y=x11y=x11當0<y<1時，y當0<x<1時，y=x11x例6已知求解y=x11當fX(x)>0時，即