2023年高考數學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合4={幻上=，一2人+%+3},3={x|log2^>l}則全集U=R則下列結論正確的是（）

A.AB=AB.A<JB=BC.（6/B=0D.

2.“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發展我國與沿線國家經濟合作關系，

共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019

年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統計圖，下列描述第族的是（）

c=ane-iaae--"tsn?E一道口地調

A.這五年，出口總飆之和比進口總辨之和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

3.如圖，設尸為AA3C內一點，且=則AA3P與八鉆C的面積之比為

34

I

B.

3

2]_

D.

36

4.已知雙曲線C：「一與=1（a＞0力＞0）的左右焦點分別為6，F,,P為雙曲線。上一點，。為雙曲線C漸近

ab-

線上一點，P,。均位于第一象限，且2QP=P%，?。尸2=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.V3-1B.V3+1C.V13+2D.V13-2

22

5.若雙曲線E：__21=1（。＞0/＞0）的一個焦點為尸（3,0）,過P點的直線/與雙曲線E交于A、B兩點,

/b2

且AB的中點為尸（一3,-6）,則E的方程為（）

A.《上=1B.片一片=1C.二一片=1D.片一￡=1

54456336

6.正項等比數列｛4｝中的％、%039是函數/（x）=gr-4x2+6x—3的極值點，則log6生020=（）

A.-1B.1C.y/2D.2

7.過雙曲線二-二=1（。＞0,。＞0）的左焦點作傾斜角為30。的直線/,若/與）’軸的交點坐標為（0力），則該雙曲

Q-b~

線的標準方程可能為（）

22222

A.——y2=1B.——_y2=1C.——y2=1D.--^―=1

234-32

8.設a，b，c是非零向量.若卜憐Y=；（a+/?＞c，則（）

A.&-（〃+d）=（）B.a-（b-c）=0C.（?+/?）?（?=（）D.（^d-h）-c=0

9.設左＞1,則關于的方程（1一攵）￥+;/=42一]所表示的曲線是（）

A.長軸在）'軸上的橢圓B.長軸在x軸上的橢圓

C.實軸在y軸上的雙曲線D.實軸在X軸上的雙曲線

10.已知向量4=（見1）,Z?=（3，加一2）,則加=3是a/妨的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

11.高斯是德國著名的數學家,近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號,用其名字命名的“高斯函數”為:設xwR,

用國表示不超過X的最大整數，則y=[可稱為高斯函數，例如：[-0.5]=-1,[1.5]=1,已知函數

/(x)=4.一32+4<0<x<2),則函數>=［/(切的值域為()

A.--B.1-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2}

12.設y=/(x)是定義域為R的偶函數，且在［0,+8)單調遞增，a=log020.3,Z7=log20.3,則()

A.f(a+b)>f(ab)>f(.Q)B.f(a+b)>f(0)>f(ab)

C.f(ab)>f(a+b)>f(0)D.J\ab)》于⑼)于(a+b)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設a為銳角，若cos(a+￥)=^^,貝Usin2a的值為.

64

14.如圖梯形ABC。為直角梯形，ABrAD,CDrAD,圖中陰影部分為曲線y=/與直線x=x+2圍成的平面圖形,

向直角梯形ABCO內投入一質點，質點落入陰影部分的概率是

15.若函數/(x)=(x-a)(x+3)為偶函數，貝U/(2)=.

16.邊長為2的菱形ABC。中,AC與BO交于點。,后是線段8的中點,AE的延長線與8相交于點匕若

NBAD=60°,Jil!|BEEF=?

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數g(x)=e*—(a—1)1—反一l(a,Z,eR),其中e為自然對數的底數.

(1)若函數/(x)=g'(x)在區間［0,1］上是單調函數，試求。的取值范圍；

(2)若函數g(x)在區間［0,1］上恰有3個零點，且g(D=0,求。的取值范圍.

18.(12分)每年3月20日是國際幸福日，某電視臺隨機調查某一社區人們的幸福度.現從該社區群中隨機抽取18名,

用“10分制”記錄了他們的幸福度指數，結果見如圖所示莖葉圖，其中以小數點前的一位數字為莖，小數點后的一位數字為

葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸福”.

0

7

(I)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；

(II)以這18人的樣本數據來估計整個社區的總體數據，若從該社區(人數很多)任選3人，記X表示抽到“很幸福”的人數,

求X的分布列及E(X).

19.(12分)已知橢圓C:二+:=1缶＞。＞0)的離心率為也，且過點A(0』).

ab2

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)點尸是橢圓上異于短軸端點A,5的任意一點，過點尸作PQJ-y軸于。，線段尸。的中點為M直線AM與直

線丁=-1交于點N,O為線段8N的中點，設0為坐標原點，試判斷以。。為直徑的圓與點M的位置關系.

-121「1(T

20.(12分)已知矩陣知=,MN=.

21J[_01

(1)求矩陣N；

(2)求矩陣N的特征值.

21.(12分)在直角坐標系xOy中，長為3的線段的兩端點4B分別在x軸、y軸上滑動，點P為線段上的點，

且滿足|4尸1=2|2?|.記點2的軌跡為曲線后.

(1)求曲線上的方程；

(2)若點M、N為曲線E上的兩個動點，記OMON=m，判斷是否存在常數，"使得點。到直線MN的距離為定

值？若存在，求出常數加的值和這個定值；若不存在，請說明理由.

cosBcosCsinA

22.(10分)已知在AABC中，角A,B,C的對邊分別為b,c,且「一+----二廠.八.

bcV3sinC

(1)求。的值;

（2）若cos8+J5sin8=2,求AABC面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

化簡集合A,根據對數函數的性質，化簡集合3,按照集合交集、并集、補集定義，逐項判斷，即可求出結論.

【詳解】

由一212+工+320,(2x-3)(%+1)40,

3,故在A=(—8,一l)u俘+8),

則4=-1,-

由log2》>］知，8=(2,+8),因此AB=0,

3

AuB=-1,-u(2,+a>),(2A)c3=(2,+oo),

(2,+oo)c(-oo,-l)ul-,+ooj,

故選:D

【點睛】

本題考查集合運算以及集合間的關系，求解不等式是解題的關鍵，屬于基礎題.

2、D

【解析】

根據統計圖中數據的含義進行判斷即可.

【詳解】

對A項，由統計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確;

對B項，由統計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；

對C項，由統計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；

對D項，由統計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；

故選：D

【點睛】

本題主要考查了根據條形統計圖和折線統計圖解決實際問題，屬于基礎題.

3、A

【解析】

作PD//AC交A3于點。，根據向量比例，利用三角形面積公式，得出Sga與S,MBC的比例，再由與SA”/,的

比例，可得到結果.

【詳解】

如圖，作PD//AC交A3于點

則AP=AO+￡）P，由題意，AD^^-AB,DP^^-AC,且264。2+/048=180，

34

所以%郎=；|AO||OP|sinNAOP=；xg|A8|x；|AC|sinNC48qSMBc

又AO=〈AB,所以，SMPB=3SMDP=NS^BC，即沁=；，

34^^ABC-

所以本題答案為A.

【點睛】

本題考查三角函數與向量的結合，三角形面積公式，屬基礎題，作出合適的輔助線是本題的關鍵.

4、D

【解析】

22

由雙曲線的方程二=1的左右焦點分別為￡,鳥，。為雙曲線C上的一點，。為雙曲線C的漸近線上的一點,

Q-

且RQ都位于第一象限，且2QP=P尸2，。4。/2=0，

可知P為QK的三等分點，且Q"，Q6，

點。在直線法一股'=0上，并且|00=c,則Q3,份，K（c,O）,

設P（xi,%）,則2（xi-a,yl-b）=（c-xl,-yl）,

曲由2a+c2b2tz+c2b

解得玉=-=W，即DPZ（-y-，可），

代入雙曲線的方程可得Q"+c>一j_=],解得e=￡=/一2,故選D.

4a24a

點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質，離心率的求法，考查了轉化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重

要的幾何性質，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出a，c,代入公式e=￡；②只需要

根據一個條件得到關于〃力,c的齊次式，轉化為a,c的齊次式，然后轉化為關于e的方程（不等式），解方程（不等式）,

即可得e(。的取值范圍).

5、D

【解析】

求出直線/的斜率和方程，代入雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結合焦點的坐標，可得的方程組,

求得。,人的值，即可得到答案.

【詳解】

由題意，直線/的斜率為&=Apr=答=1,

可得直線/的方程為y=x-3,

22

把直線/的方程代入雙曲線5—1=1,可得(〃—。2?2+6/%—94—/人2=0,

a"b~

6

設A8,x),B(x2,y2),則xi+x2=”,,

a-b

由AB的中點為P(-3,-6),可得乎二=—6,解答從=2/,

a-b~

又由"+/?2=c?=9，即/+2/=9，解得。=6力=遙，

22

所以雙曲線的標準方程為L一匕=1.

36

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的標準方程的求解，其中解答中屬于運用雙曲線的焦點和聯立方程組，合理利用根與系數的關

系和中點坐標公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

6、B

【解析】

根據可導函數在極值點處的導數值為0,得出4a4039=6,再由等比數列的性質可得.

【詳解】

解：依題意%、。39是函數/(力=；%3—4/+6X—3的極值點，也就是r(x)=f-8x+6=0的兩個根

404039=6

又｛%｝是正項等比數列，所以％020=\la\^4039=屈

???端甸20=1咻m=1.

故選：B

【點睛】

本題主要考查了等比數列下標和性質以應用，屬于中檔題.

7、A

【解析】

直線/的方程為y=#（x+c），令X=0,得y=1?c，得到”,〃的關系，結合選項求解即可

【詳解】

直線/的方程為丫=/（％+°），令x=0,得y=^c.因為乎c=。，所以”=c2—〃=382一"=2",只有選

項A滿足條件.

故選：A

【點睛】

本題考查直線與雙曲線的位置關系以及雙曲線的標準方程，考查運算求解能力.

8、D

【解析】

試題分析：由題意得：若a.c=O-c，貝U（a-〃）1=0；若“.0=一力.（:，則由。q=憐式=g可知，

ac=bc=。,故（。一/?）N=0也成立，故選D.

考點：平面向量數量積.

【思路點睛】幾何圖形中向量的數量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、

數量積及平面幾何知識，又能考查學生的數形結合能力及轉化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常

用方法是：①利用已知條件，結合平面幾何知識及向量數量積的基本概念直接求解（較易）；②將條件通過向量的線性

運算進行轉化，再利用①求解（較難）；③建系，借助向量的坐標運算，此法對解含垂直關系的問題往往有很好效果.

9、C

【解析】

22

根據條件，方程（l-Z）f+尸=公-1.即/-----—=1,結合雙曲線的標準方程的特征判斷曲線的類型.

'7k2-lk+l

【詳解】

解：,:k>l,：A+k>0,*2-1>0,

22

方程(1一%)/+、2=Z2一],即戚《一占=1,表示實軸在y軸上的雙曲線，

故選C.

【點睛】

22

本題考查雙曲線的標準方程的特征，依據條件把已知的曲線方程化為，-----匚=1是關鍵.

k2-\Z+1

10、A

【解析】

向量：=(機,1),)=(3,機-2)，a〃b，則3=M根一2),即加2一2〃?一3=0，%=3或者-1,判斷出即可.

【詳解】

解：向量.=(/〃,1),/?=(3,m—2')>

allb>則3=加叱—2),即M—2?i—3=0，

根=3或者-1,

所以/”=3是加=3或者m=-1的充分不必要條件，

故選：A.

【點睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標表示，屬于基礎題.

11、B

【解析】

利用換元法化簡/(X)解析式為二次函數的形式，根據二次函數的性質求得/(X)的取值范圍，由此求得〉=[/(x)]的

值域.

【詳解】

4”12

因為‘(?=40_32+4(0<X<2),所以，=^-3.2'+4=5(2')~-3-2'+4,令2—(1</<4),則

113

20

/(r)=-r-3r+4(l<r<4),函數的對稱軸方程為z=3,所以/⑺而口=/(3)=—/?max=/(D=-，所以

「13、

/U)e-,-1,所以丁=[/(切的值域為｛T0」｝.

故選：B

【點睛】

本小題考查函數的定義域與值域等基礎知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉化與化歸思想,

換元思想，分類討論和應用意識.

12、C

【解析】

根據偶函數的性質，比較明即可.

【詳解】

解：|a+W=|log0,20.3+log20.3|=M|+詈

1g0.21g2

lg0.3xlgjlg0.3xlg|

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\=|log020.3xlog20.3|=

-lgO.3xlgO.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

-lg0.3x(—lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg—

003

Ig5xlg2

顯然Iggclgg,所以|。+可＜|明

y=/（x）是定義域為R的偶函數，且在［0,+8）單調遞增,

所以/（燦）＞/（。+。）＞/（0）

故選：C

【點睛】

本題考查對數的運算及偶函數的性質，是基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

it3+3+

J.J、---------

8

【解析】

：a為銳角，cos(a+—)=—>/?sin(a+—)=>

6464

sin(2a+—)=2sin(a+—)cos(a+—)=-^,cos(2a+—)=2cos2(a+—)-1=--,

3664364

77+36

故sin2a=sin[(2a+-)--]=sin(2a+—)cos--cos(2a+—)sin—=—x—+—x—=

33333342428

3

14、

5

【解析】

聯立直線與拋物線方程求出交點坐標，再利用定積分求出陰影部分的面積，利用梯形的面積公式求出最后根

據幾何概型的概率公式計算可得；

【詳解】

V—x2fx=2[x=—1

解：聯立)解得，或，，即8(2,4),C(-l,l),￡>(-1,0),A(2,0),

y=x+2[y=4[y=i

=2223]]5

陰影|[(x+2)-x^<i￥=-x+2X--X|^=—,SAfiCD=(l+4)x3x-=—

—I

9

.p=S陰影=2=3

"SABCD~15-5

2

3

故答案為：—

【點睛】

本題考查幾何概型的概率公式的應用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積，屬于中檔題.

15、-5

【解析】

二次函數為偶函數說明一次項系數為0,求得參數。，將x=2代入表達式即可求解

【詳解】

由/,。)=/+(3-。?-3。為偶函數，知其一次項的系數為0,所以3—a=0,a=3,所以/(x)=f-9,

/(2)=22-9=-5

故答案為：-5

【點睛】

本題考查由奇偶性求解參數，求函數值，屬于基礎題

【解析】

取基向量AQ，AB，然后根據三點共線以及向量加減法運算法則將8E，律表示為基向量后再相乘可得.

【詳解】

設AF-AAD4-(1—A,)AC9又AE——AD+—AO=—A。+—AC,

且存在實數/使得

AAD4-(1-A)AC=-tAD+LAC,

24

l-2=-r

4

/.AF=-AD+-AC

339

/.EF=AF-AE=-AD-^—AC,

612

BE.EF=(AE-AB).EF=(AD+DE-AB).EF=(4。+：DB—AB)￡AD+卷AC)

=(AD+-AB--AJD-AB).(-AD-F—AC)

44612

3311

=(-AD——AB).(-A。+—AB)

44412

32I2I

=—AD——AB——AB.AD

16168

=—3x4)1x4)—1xc2xc2x—1

161682

j_

-4

故答案為：

4

【點睛】

本題考查了平面向量數量積的性質及其運算，屬中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)°o,—u—+1,+ooJ；(2)(e—1,2).

【解析】

(1)求出g'(x)=/(x),再求/”(x)NO,XG［0,1］恒成立，以及尸(x)40,XG［0,l］恒成立時,“的取值范圍；

(2)由已知g(l)=g(O)=O,g(x)在區間(0,1)內恰有一個零點，轉化為/(x)=g'(x)在區間(0,1)內恰有兩個零點,

由(1)的結論對。分類討論，根據)(x)單調性，結合零點存在性定理，即可求出結論.

【詳解】

(1)由題意得/(x)=e"-2(。一1)》一/?,則/'(X)=e'-2(“一1),

當函數fW在區間［0,1］上單調遞增時，

f'(x)=ex-2(a—1)..0在區間［0,1］上恒成立.

.\2(a-l)?(e').=1(其中xe［0,l］),解得知

當函數f(x)在區間［0,1］上單調遞減時，

f(x)=e*-2(a-1)?0在區間［0,1］上恒成立，

=e(其中xe［0,l］),解得4.F+1.

\/max2

綜上所述，實數”的取值范圍是1-00,gU］+1，+=°)

(2)=ex-2(a-l)x-h-f(x).

由g(0)=g⑴=0,知g(x)在區間(0,1)內恰有一個零點,

設該零點為七,則g(x)在區間(0,小)內不單調.

...)(X)在區間((),七)內存在零點七，

同理/*)在區間(％』)內存在零點x2.

.../(X)在區間(0,1)內恰有兩個零點.

由(1)易知，當4,g時，/(x)在區間(0/)上單調遞增，

故在區間(()/)內至多有一個零點，不合題意.

當a.S+1時，/*）在區間［0,1］上單調遞減，

2

故/（X）在區間（（）/）內至多有一個零點，不合題意,

2<a<S+1.令/'(x)=0,得x=ln(2a-2)G(0,1),

22

函數/（x）在區間（0』n（2a—2）］上單凋遞減,

在區間（ln（2a—2）,1）上單調遞增.

記fW的兩個零點為司,馬（王<々）,

:.x{G(0,ln(2(2-2)],x2￡(ln(2a-2),1),必有f(0)=l-b>0,/(l)=e-2〃+2-/?>0.

由g(l)=。，得a+/?=e.

IS=&+1-(Q+0)=&+l-e<0

又f（0）-u—c+\>0,f（1）=2-a〉0,

?.e—l<a<2.

綜上所述，實數a的取值范圍為（e-1,2）.

【點睛】

本題考查導數的綜合應用，涉及到函數的單調性、零點問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數學計算能力，屬于較

難題.

199

18、（I）麗.（II）見解析.

【解析】

（1）18人中很幸福的有12人，可以先計算其逆事件，即3人都認為不很幸福的概率，再用1減去3人都認為不很幸福

的概率即可；（II）根據題意，隨機變量X列出分布列，根據公式求出期望即可.

【詳解】

（I）設事件A=｛抽出的3人至少有1人是“很幸福”的｝,則無表示3人都認為不很幸福

=1￡=1H

P(A)=1—P(Z)

%204204

(II)根據題意，隨機變量xX的可能的取值為0,1,2,3

J1[2門2

P(X=0)=C；-=一;尸(X=l)=C；x—x-=—；

'7\3)27'739

P(X=2)=C/xf|Tx|=l,唳=3)=錯[吟

JyJyJy乙/

所以隨機變量X的分布列為:

X0123

1248

P

779927

c1,2c4c8C

=0x--Fix—+2x—+3x——=2

279927

【點睛】

本題考查了離散型隨機變量的概率分布列，數學期望的求解，概率分布中的二項分布問題，屬于常規題型.

19、(1)—+y2=[(2)點M在以8為直徑的圓上

4

【解析】

(D根據題意列出關于“，b,。的方程組，解出“，b,。的值，即可得到橢圓C的標準方程；

(2)設點尸(X。，%),則時(￡,%),求出直線AM的方程，進而求出點N的坐標，再利用中點坐標公式得到點0

的坐標，下面結合點P在橢圓C上證出揄.而=(),所以點M在以8為直徑的圓上.

【詳解】

b=\

a=2

(1)由題意可知，，,解得＜b=1,

a2

2一八2,二c=V3

2

二橢圓C的標準方程為：—+/=1.

4

(2)設點P(x(),%),則M(，，%),

y0-\2(yu-l)

，直線AM的斜率為&_0-X。，

2

???直線AM的方程為：y=二生Qx+1,

x()

令y=T得，》=丹，

|一%

.??點N的坐標為(產，-D,

.??點。的坐標為(Jr，-1),

“一打)

22

血血=多為)吟-^?%+。=子+%2-++%，

又點P(Xo，%)在橢圓C上,

2

+y（/=],=4-4y（：,

—f4(1—v2)

OM3M=1-=”+%=1-(1+%)+%=0,

4(1-%)

.?■點M在以O￡＞為直徑的圓上.

【點睛】

本題主要考查了橢圓方程，考查了中點坐標公式，以及平面向量的基本知識，屬于中檔題.

2

3

20、⑴心2j（2）4=；,4=7.

_3-3.

【解析】

/、「Q〃

(1)由題意，可得N=,,利用矩陣的知識求解即可.

ca

(2)矩陣N的特征多項式為/(/)=(/+；)令/(2)=0,求出矩陣N的特征值.

【詳解】

b']F12aba+2cb+2d10

(1)設矩陣N=,,則MN=一

a2led2a-he2b+d__01

a+2c=1

b+2d=0EH1,22

所以解得。二一二，b=—

2a+c=03393

2〃+d=l

」1

33

所以矩陣'=2;；

_3-3.

⑵矩陣N的特征多項式為/(/)=卜+；j,

令/(2)=0,解得/1]=；,辦=一1,

即矩陣N的兩個特征值為4=g，4=T.

【點睛】

本題考查矩陣的知識點，屬于常考題.

21、(1)乙+/=1(2)存在；常數加=(),定值2

45

【解析】

(1)設出P,A,8的坐標，利用AP=2PB以及|AB|=3,求得曲線E的方程.

(2)當直線MN的斜率存在時，設出直線MN的方程，求得。到直線MN的距離”.聯立直線MN的方程和曲線E的

方程，寫出根與系數關系，結合OM-ON=”以及〃為定值，求得〃?的值.當直線MN的斜率不存在時，驗證乩加.

由此得到存在常數機=0,且定值"=冬叵.

5

【詳解】

⑴解析:⑴設尸(x,y),A(%0),

由題可得AP=2PB

x=