山東省濟南實驗中學2023-2024學年八年級上學期開學數學試卷

一.選擇題(共10小題，4*10=40分)

1.如圖，數字代表所在正方形的面積，則A所代表的正方形的面積為()

【答案】C

【解析】

【分析】由勾股定理即可求出答案.

【詳解】解：由勾股定理可知：=36+64=100,

故選：C.

【點睛】本題考查了以直角三角形三邊為邊長的圖形面積，熟練掌握勾股定理的運算法則是解題的關鍵.

2.如圖，平面直角坐標系中點尸的坐標是()

4---------11

I

I

h_____________________

-2Ox

A.(2,1)B.(—2,1)C,(1,—2)D.(-2,-1)

【答案】B

【解析】

【分析】根據點的坐標的定義判斷即可.

【詳解】解：由圖可得，點P的橫坐標是-2,縱坐標是1,故點尸的坐標為(-2,1).

故選：B.

【點睛】本題考查了點的坐標，掌握點的坐標的定義是解答本題的關鍵.

3.下列各組數分別為一個三角形三邊的長，其中能構成直角三角形的一組是()

A.2,3,4B.6,8,10C.5,12,14D.1,1,2

【答案】B

【解析】

【分析】先求出較小兩邊的平方和，再求出最長邊的平方，判斷是否相等即可.

【詳解】解：A.：22+32盧12,.?.以2,3,4為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

8.?..62+82=102,.?.以6,8,10為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；

C.：52+122次142,；.5,12,14為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

D?.T2+i2￥22,.?.以1,1,2為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理逆定理的內容是解題關鍵，注意：如果一個三角

形的兩邊6的平方和等于第三邊的平方，即片+從=02,那么這個三角形是直角三角形.

4.下列說法正確的個數為（）

①有理數與無理數的差都是有理數；

②無限小數都是無理數；

③無理數都是無限小數；

④兩個無理數的和不一定是無理數；

⑤無理數分為正無理數、零、負無理數.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了有理數、無理數的概念和性質，熟練掌握有理數、無理數的概念和性質是解題的關

鍵.

根據有理數、無理數的概念和性質進行分析，判斷每個說法的正確性即可.

【詳解】解：①有理數與無理數的差不一定是有理數，例如：1-0,故該項不正確；

②無限小數不都是無理數，無限循環小數是有理數，故該項不正確；

③無理數都是無限小數，故該項正確；

④兩個無理數的和不一定是無理數，例如、后+卜君）=0是有理數，故該項正確；

⑤無理數分為正無理數、零、負無理數，0不是無理數，故該項不正確；

故正確的個數有2個；

故選：A

5.下列說法中，正確的是（）

A.0.09的平方根是0.3B.=+2

C.0的立方根是0D.1的立方根是±1

【答案】C

【解析】

【分析】根據平方根的意義、立方根的意義，可得答案.

【詳解】解：A、因為(±0.3)2=0.09,所以0。9的平方根是±o.3,原選項錯誤，此項不符合題意；

B、74=2.原選項錯誤，故此項不符合題意；

C、。的立方根是0,原選項正確，故符合題意；

。、1的立方根是1,原選項錯誤，故不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了平方根和立方根的意義，熟知平方根的意義、立方根的意義是解題關鍵.

6.若中，AB=c,AC=b,BC=a,下列不能判定為直角三角形的是()

A.a-3",b—A2,c=5~B.a:Z?:c=5:12:13C.(c+Z?)(c—&)=ci~D./>+/3=/C

【答案】A

【解析】

【分析】根據勾股定理的逆定理可以判斷選項A、8、C、是否符合題意，根據三角形內角和定理可以判

斷選項。是否符合題意，本題得以解決.

【詳解】解：A、?=32，b=42,c=52,則02+。2#02,故金。不是直角三角形，選項A符合題

忌；

B、當a:Z?:c=5:12:13時，設a=5x,b=12x,c=13x,則/十廿=(5尤y+(i2x『=c?,故AABC

是直角三角形，選項8不符合題意；

C、由(。+3(。-勿=/整理得：a2+b2^c2^故是直角三角形，選項C不符合題意；

D、由NA+N5=NC,可知NC=90°,故44BC是直角三角形，選項。不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，解題的關鍵是會用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀.

7.在平面直角坐標系中，點A的坐標是(3a—5,a+1).若點A到無軸的距離與到y軸的距離相等，貝Ua

的值為()

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查了點到坐標軸的距離，根據點到y軸的距離為橫坐標的絕對值，點到x軸的距離為縱

坐標的絕對值建立方程|3a-5|=|。+1],解方程即可得到答案.

【詳解】解：：點A(3a-5,a+1)至Ux軸的距離與至Uy軸的距離相等,

|3tz-5|=|tz+1|,

3a—5=。+1或3a—5=,

解得a=3或a=1,

故選D.

8.如圖，正方體的棱長為4cm,A是正方體的一個頂點，從點A爬到點B的最短路徑是()

A.9B.3a+6C.2MD.12

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了最短路徑問題，勾股定理，二次根式的化簡，解題的關鍵是將正方體的左側面與前面展

開，構成一個長方形，用勾股定理求出距離即可.

【詳解】如圖，

9.如圖，將邊長為8cm的正方形紙片A3CD折疊，使點。落在邊的中點E處，折痕為MN,則線段

CN的長是(

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了勾股定理和折疊的性質，先根據題意得到3C=CD=8cm,NC=90°,則由

線段中點的定義得到CE=4cm,由折疊的性質可得EN=DN,設EN=DN=xcm,則

GV=(8-x)cm,在RtZkCEN中，由勾股定理建立方程尤2=42+(8-尤)，解方程即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，BC=CD=8cm,NC=90°,

:點E是的中點，

/.CE=—BC=4cm,

2

由折疊的性質可得EN=DN,

設EN=DN=xcm,則。V=CD-DA^=(8-x)cm,

在RtZXCEN中，由勾股定理得KN?=CE2+CN\

x2=42+(8-%)2,

解得x=5,

8—x=3,

CN=3cm,

故選A.

10.設耳=1+產+中,$2=1+-yH—5,$3=1-1—-H,…，S〃_l+2+<2,則

223233242n(n+1)

-----J§24的值為()

624后24575

AC.—D.-----

2552524

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了數字規律，求算術平方根，分別求出拇、厄、&，找到規律再計算即可.

,11c19■+L1+-

【詳解】S]=1+-+—=2+-=-=

I22244(1/6=222

。11111149⑺2」

$2=1+中+?=1+丁丁石卜危飛

623

111111169/13丫r^_131_11

3242916144(⑵，121234

——12

11n(n+l)+l,1,11

Sn=1+—+-------r=—~，JS”=1+(,1、=1+--------yr

n(n+1)[n(n+l)J小+1)nn+1

」+1+」+1+-J"

12232425

11111

=24+--------1--------------H,??H-----------

122324J

624

~^5'

故選：A.

二.填空題（共6小題，4*6=24分）

11.一個直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,則這個三角形第三邊的長為

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理，掌握直角三角形兩邊直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題關鍵.根據勾股

定理求解即可.

【詳解】解：由勾股定理得：第三邊的長為J32+4?=5,

故答案為：5.

12.若圖中所有的四邊形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面積為9cm2,則

圖中所有的正方形的面積之和為—cm2.

【答案】27

【解析】

【分析】根據正方形的面積公式，運用勾股定理可以得出：A、E、C、。的面積之和等于正方形2和3的面

積之和，而正方形2和3的面積之和等于正方形1的面積，利用等量代換即可得出結果.

【詳解】解：如圖所示，

根據勾股定理可知,

S2+S3=Sx,

SC+SD=S3,

SA+Sf=S2,

Sc+SD+SA+sE=S],

則S]+S,+S3+Sc+sD+sA+sE

=3S]

=3x9

=27(cm2)

故答案為：27.

【點睛】本題主要考查的是勾股定理，解題關鍵是注意運用勾股定理和正方形的面積公式證明結論.

13.已知a、6滿足Ja-2+|/+3|=0,則(a+b)2021的值為.

【答案】-1

【解析】

【分析】要使＞/^+b+3|=0,只有當J口=0和弧+3|=0時成立.即此時a—2=0,6+3=0,解

出a和6,代入(a+6)2必中求出結果即可.

【詳解】由題意可知a—2=0,b+3=0,

a=2,b——3.

：.3+6)2021=(2—3嚴21=-L

故答案為：-1.

【點睛】本題考查非負數的性質，幾個非負數的和為0時，那么這幾個非負數都為0.

14.已知產點坐標為(4-a,3a+9),且點P在x軸上，則點尸的坐標是.

【答案】(7,0)

【解析】

【分析】根據x軸上點縱坐標為0列方程求出。，再求解即可.

【詳解】；尸點坐標為(4-a,3a+9),且點P在x軸上，

3a+9=0,

解得a=—3,

4—a=4—(—3)=7,

所以，點尸坐標為(7,0).

故答案為:(7,0).

【點睛】本題考查了點的坐標，熟記x軸上點的縱坐標為。是解題的關鍵.

15.如圖，實數-石，加，機在數軸上所對應的點分別為A,B,C,點B關于原點。的對稱點為

D.若小為整數，則優的值為.

DCAO「

【答案】-3

【解析】

【分析】本題考查了數軸上點的特征，涉及到相反數的性質、對無理數進行估值、確定不等式組的整數解

等問題.先求出。點表示的數，再得到，”的取值范圍，最后在范圍內找整數解即可.

【詳解】解：：點2關于原點。的對稱點為。，點B表示的數為

...點。表示的數為-JF，

點表示-百，C點位于A、D兩點之間，

/.-A/15<m<Y，

,：m整數,

m=—3；

故答案為：-3.

16.如圖，放△ABC中，ZBAC=9Q°,分別以△ABC三條邊為直角邊作三個等腰直角三角形:

△ABD、△ACE、ABCF,若圖中陰影部分的面積亂=6.5,$2=3.5,$3=5.5,貝。8=.

BC

【答案】2.5

【解析】

【分析】DE分別交BF、CF于點、G、點、H；設AB=B￡)=a,AC=CE=b,BC=CF=c,

SS

SAABC=m,S&ACH=〃，由/+〃=°2，可得S^D+AACE=ABCF，由此構建關系式，通過計算即

可得到答案.

【詳解】如圖，OE分別交BF、CF于點G、點H

；AABD、AACE,△BCP均是等腰直角三角形

：.AB=BD,AC=CE,BC=CF,

設A8=8￡)=a,AC=CE=b,BC=CF=c,SAABC=m,S^ACH-n

a2+b2—c2

,^AABD=S]+根,^AACE="+S4,S&BCF=S?+S3+"Z+”

S[+m+n+S4-Sr,+S3+m+n

S4=S,+邑—S]=3.5+5.5—6.5=2.5

故答案為：2.5.

【點睛】本題考查了等腰三角形、直角三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形、勾股定理的性

質，從而完成求解.

三.解答題（4小題，共計36分）

17.計算：

(1)A/45+V18-^/8+>/i25;

V27+V2xV6+V20-5^1；

(3)

(4)A/16+|V3-1|+V27.

【答案】(1)875+72;

(2)1；(3)56+6;

(4)6+73.

【解析】

【分析】（1）先化簡二次根式，再合并即可得解；

（2）根據二次根式乘除法法則計算即可；

（3）先化簡二次根式及計算二次根式的乘法，再合并即可得解;

（4）先化簡二次根式及求立方根和絕對值，再合并即可得解.

【小問1詳解】

解：而+M-氓+

=3A/5+3A/2-2A/2+5^

=875+72;

【小問2詳解】

解:得?后

=1;

【小問3詳解】

解:727+72x76+V20-5^1

=36+26+2百-百

=5石+如；

【小問4詳解】

解：A/16+|A/3-1|+^27-

=4+癢1+3

【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算、二次根式的乘除、絕對值、立方根等知識，關鍵是熟練運

用法則進行計算.

18.如圖，一高層住宅發生火災，消防車立即趕到距大廈9米處（車尾AE到大廈墻面），升起云梯A3到火

災窗口，已知云梯長15米，云梯底部距地面3米，問:發生火災的住戶窗口距離地面的高度BD是多少？

DE

【答案】15米

【解析】

【分析】根據A5和AC的長度，構造直角三角形，根據勾股定理就可求出直角邊的長.

【詳解】解：過點A作AC人①），垂足為C,如圖所示：

B

由題意可知：AE=CD=3米，AC=9米，AB=15米;

在RtZXABC中，根據勾股定理，得AC?+,

BPBC2+92=152，

BC2=152-92=144,

:.BC=12(:米)，

:.BD=BC+CD=n+3=15(米).

答:發生火災的住戶窗口距離地面的高度為15米.

【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，熟練記憶勾股定理公式是解題關鍵.

19.已知:4(0,1),3(2,0),C(4,3)

(2)設點P在y軸上，且△A3。與AABC的面積相等，求點尸的坐標.

【答案】(1)4(2)(0,5)或(0,—3)

【解析】

【分析】(1)過點C作軸，垂足為E,尤軸，垂足為尸，根據AABC的面積等于長方形的面

積減去三個直角三角形的面積進行計算即可得到答案；

=

(2)當點2在y軸正半軸時,S-BP=SAOBP-S-OB，當點尸在了軸負半軸時,/\ABP^AOBP+^AAOB,

分別建立方程進行計算即可得到答案.

【小問1詳解】

解：過點C作軸，垂足E,軸，垂足為F

……"……

O_BFx

則四邊形EOPC是長方形，EO=CF=3,OF=EC=4,03=2,BF=2,AE=2,A（9=1

：

.SaEOFC=EO.FO=n,SAAEC=^AE.EC=4,1^AOB=^O-OB=1,SABFC=^BF-FC=3,

??^/XABC~S^EOFC~S4AEC—$4AOB—^BFC~4;

【小問2詳解】

解：設尸（0,加），

當點尸在y軸正半軸時，如下圖所示，

八〉

P-

……X…一、

0Bx

則SAABP=SAOBP-S“o8=2—1=m~l,

,*e\ABC-4,

m-1=4,

m=5,

PQ5）；

當點尸在y軸負半軸時，如下圖所示，

ABC=4,