重慶市兩江育才中學2025屆高考適應性練習（一）數學試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某校8位學生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分，則以該8位學生這兩次的月考成績各自組成

樣本，則這兩個樣本不變的數字特征是（）

A.方差B.中位數C.眾數D.平均數

2.設aeR,b>0,則“3。>23”是“心感”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.等差數列{?！皚中，4+%=10，%=7,則數列{4}前6項和S6為（）

A.18B.24C.36D.72

4.設全集U=R,集合A={x|d—3x—4>0},則gA=（）

A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x|-4<x<l}

5.已知集合/={（乂丁）|%+,<4,尤、yeN*},則集合M的非空子集個數是（）

A.2B.3C.7D.8

6.已知三棱柱

ABC-AgG的6個頂點都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB±AC,明=12,則球。的半徑為（）

A.B.2^/10C.yD.3M

QI。

7.已知a=ln正，b=e-，c=-^-,則a,b,c的大小關系為（）

8

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

8.將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法

共有（）

A.14種B.15種C.16種D.18種

9.圓錐底面半徑為高為2,SA是一條母線，P點是底面圓周上一點，則P點到SA所在直線的距離的最大值是

275述

A.亍B.亍C.3D.4

x+2y-2>0

10.已知實數X,y滿足約束條件x—2y+220,則％2+y2的取值范圍是（）

x<2

D.[1,8]

11.在AABC中，a,b,C分別為角A,B,C的對邊，若AABC的面為S,且4Gs=(a+〃y—c?,則sinC+?

V6+V2

44

12.已知加為一條直線，。，分為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.韭m//a,a〃0,則加〃/?B.若則加_L/?

C.弟m"a,a：§,則根_L/?D.若m1a,a〃B,則根_L/?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設a、/?為互不重合的平面，m,〃是互不重合的直線，給出下列四個命題:

①若根〃%則帆〃“；

②若機ua,jica,m//fl,n//貝!|a〃人

③若a〃人mc.a,nu/J,則機〃〃；

④若aJ_6，aC\fl=m,nua,mA.n,貝（）〃_L/；

其中正確命題的序號為.

14.已知〃x）=e'+*是偶函數，則〃尤）的最小值為.

15.已知向量a=（cos5°,sin5°）,b=（cos650,sin65°）,貝!J2a+\=.

16.棱長為。的正四面體ABC。與正三棱錐E-BCD的底面重合，若由它們構成的多面體ABCDE的頂點均在一球的

球面上，則正三棱錐E-5CD的內切球半徑為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知AB是圓。：必+/=4的直徑，動圓"過4,3兩點，且與直線y+2=0相切.

（1）若直線的方程為x-y=0,求的方程；

（2）在y軸上是否存在一個定點尸，使得以為直徑的圓恰好與X軸相切？若存在，求出點尸的坐標；若不存在,

請說明理由.

18.（12分）△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知ccoyB—Z?si〃C=O,cosA—cos2A.

⑴求C；

(2)若。=2,求，的面積S?Bc

19.（12分）如圖，在四棱錐尸—A3CD中，平面A3CD,AD±AB,AB//CD,AB=AD=AP=~CD=2,

2

E為PC的中點.

(1)求證：跖1平面PC。；

(2)求二面角A—9一。的余弦值.

20.(12分)如圖，在四棱錐尸—A3CD中，底面是邊長為2的菱形，ZBAD=^°,PB=PD=41-

(2)設H在AC上，AH=-AC,若PH=^,求PH與平面MC所成角的正弦值.

33

21.(12分)在AABC中，角A氏C的對邊分別為“,仇c,且滿足csinA=asin[C+]

(I)求角。的大??；

(II)若△ABC的面積為3后，a—b=T,求。和cos(2A—C)的值.

22.(10分)已知函數/(x)=me*-2x-m.

(1)當m=1時，求曲線y=/(x)在點(0"(0))處的切線方程;

(2)若/(x)>0在(0,+8)上恒成立，求，〃的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數、眾數和平均數都發生了改變.

【詳解】

由題可知，中位數和眾數、平均數都有變化.

本次和上次的月考成績相比，成績和平均數都增加了50,所以(龍"-I)?沒有改變，

1__

2

根據方差公式S-=-[(x1-x)+..-+(/-x)2]可知方差不變.

8

故選：A

本題主要考查樣本的數字特征，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

2.A

【解析】

根據對數的運算分別從充分性和必要性去證明即可.

【詳解】

若3">2匕，b>0,則a>log326,可得a>log3b；

若心噫人,可得3">b，無法得到3a>26,

所以"3">2b”是“a>log36”的充分而不必要條件.

所以本題答案為A.

本題考查充要條件的定義，判斷充要條件的方法是：

①若。=4為真命題且40〃為假命題，則命題「是命題4的充分不必要條件；

②若。為假命題且qn。為真命題，則命題P是命題q的必要不充分條件；

③若為真命題且qnp為真命題，則命題「是命題4的充要條件；

④若。=4為假命題且為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.

⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系.

3.C

【解析】

由等差數列的性質可得％=5,根據等差數列的前〃項和公式S6=x6=幺產x6可得結果.

【詳解】

:等差數列{4}中，4+%=10，，2%=1。，即%=5,

5+7

.0q+4表%+44A公m

■■S.=—------x6=-------x6=-------x6=36,

6222

故選C.

本題主要考查了等差數列的性質以及等差數列的前九項和公式的應用，屬于基礎題.

4.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A，由此求得gA

【詳解】

由x2-3X-4=(%-4)(%+1)>0,解得或x>4.

因為A={x[x<-1或x>4},所以a4={》|—lWx<4}.

故選：C

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補集的概念和運算，屬于基礎題.

5.C

【解析】

先確定集合〃中元素，可得非空子集個數.

【詳解】

由題意“={(1,1),(1,2),(2,1)},共3個元素，其子集個數為23=8,非空子集有7個.

故選：C.

本題考查集合的概念，考查子集的概念，含有九個元素的集合其子集個數為2”，非空子集有2"個.

6.C

【解析】

因為直三棱柱中，48=3,AC=4,AAi=12,ABLAC,所以8C=5,且8C為過底面ABC的截面圓的直徑.取中

點。，則。。，底面ABC,則。在側面BCGBi內，矩形BCCiBi的對角線長即為球直徑，所以2R=岳格7=13,

BP7?=—

2

7.D

【解析】

構造函數〃x)=生±利用導數求得了(%)的單調區間，由此判斷出a也c的大小關系.

X

【詳解】

依題意，得a=in^=也，b=eT=^f,c=迎上=..令/(*)=叱，所以.(乃=上段.所以函數7'(x)

3e88xx

在(0,e)上單調遞增，在(e,+co)上單調遞減.所以"(x)]1mx=/(e)=」="且/(3)>/(8),即a>c,所以3>a>c.

e

故選：D.

本小題主要考查利用導數求函數的單調區間，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查對數式比較大小，屬于中檔題.

8.D

【解析】

采取分類計數和分步計數相結合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個相同顏色

的排在一起

【詳解】

首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.

情況1：黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白''或"白黑白黑白黑”)，此時將紅球插入6個球組成的7個空中

即可，因此共有2x7=14種；

情況2：黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑

黑白”)，此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中，共4種.

綜上所述，共有14+4=18種.

故選：D

本題考查排列組合公式的具體應用，插空法的應用，屬于基礎題

9.C

【解析】

分析：作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉化求解P的位置，推出結果即可.

詳解：圓錐底面半徑為高為2,S4是一條母線，P點是底面圓周上一點，P在底面的射影為。；S4=JE=3,

OA>SO,過S4的軸截面如圖：

ZASQ>90°,過。作QTLS4于T，則QT<QS,在底面圓周，選擇尸，使得NFS4=90°,則尸到S4的距離的

最大值為3,故選：C

點睛：本題考查空間點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力，解題的關鍵是作出軸截面圖形，屬中檔題.

10.B

【解析】

畫出可行域，根據可行域上的點到原點距離，求得％2+y2的取值范圍.

【詳解】

由約束條件作出可行域是由A(2,0),B(O,1)，C(2,2)三點所圍成的三角形及其內部，如圖中陰影部分，而f+y2可

理解為可行域內的點到原點距離的平方，顯然原點到AB所在的直線x+2y-2=0的距離是可行域內的點到原點距離

的最小值，此時J+y=由/加叫=3,點。到原點的距離是可行域內的點到原點距離的最大值，此時

(ABJ5

必+丁2=22+22=8.所以％2+、2的取值范圍是.

故選：B

本小題考查線性規劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數形結合思想，應用意識.

11.D

【解析】

根據三角形的面積公式以及余弦定理進行化簡求出C的值，然后利用兩角和差的正弦公式進行求解即可.

【詳解】

解：由46s=(a+〃)2—

得4^/3x—cibsinC=a~+Z?~—c2+2ab,

2

,Q2+Z72—c?=2QZ?COSC,

2\/3absinC=2abcosC+lab，

即A/3sinC-cosC=1

即2sin1c7

=1,

則sin]C—高￡

2

*.*0vCv萬，

兀廠兀、兀

——<C——<——

666

則s“C+g=sin（二+q=sin-s工+cos，/=@x變+\變=?叵

I4jU4）343422224

故選D.

本題主要考查解三角形的應用，結合三角形的面積公式以及余弦定理求出C的值以及利用兩角和差的正弦公式進行計

算是解決本題的關鍵.

12.D

【解析】

A.若加//%￡///?,則加//分或mu/7,故A錯誤;

8.若々_1_/7,〃2_1。，則m//，或故B錯誤；

C.若mlla,a1/3,則〃z//，或mu/7,或，九與￡相交;

D.若m則加_!_，，正確.

故選D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.④

【解析】

根據直線和平面，平面和平面的位置關系依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

對于①，當相〃”時，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出力〃a,①錯誤；

對于②，當加ua,nua,且機〃￡,〃〃/時，由兩平面平行的判定定理，不能得出?！ā?②錯誤；

對于③，當a〃6，且加ua,時，由兩平面平行的性質定理，不能得出相〃〃，③錯誤；

對于④，當a_L￡,且an￡=〃z,wua,機_1_〃時，由兩平面垂直的性質定理，能夠得出④正確;

綜上知，正確命題的序號是④.

故答案為：④.

本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關系，意在考查學生的空間想象能力和推斷能力.

14.2

【解析】

由偶函數性質可得/⑴=/（T），解得a=—L再結合基本不等式即可求解

【詳解】

令/。）=/（一1）得a=—1,所以U（x）=eX+er>2，e*-eT=2,當且僅當x=0時取等號.

故答案為：2

考查函數的奇偶性、基本不等式，屬于基礎題

15.布

【解析】

求出問,然后由模的平方轉化為向量的平方，利用數量積的運算計算.

【詳解】

由題意得￡2=03525。+511125。=1，，=142=（：05265。+5111265。=1，慟=1.

—*—*]/-?—?\2——?——2|

a-b=cos5°cos650+sin5°sin65°=cos60°=—,:.\2a+b\=4。+4〃心+Z?=4+4x—+1=7,

2I,2

|2a+&|=V7.

故答案為：幣.

本題考查求向量的模，掌握數量積的定義與運算律是解題基礎.本題關鍵是用數量積的定義把模的運算轉化為數量積

的運算.

3A/2-A/6

16.---------a

12

【解析】

由棱長為。的正四面體ABCD求出外接球的半徑，進而求出正三棱錐石-5CD的高及側棱長，可得正三棱錐

E—BCD的三條側棱兩兩相互垂直，進而求出體積與表面積，設內切圓的半徑，由等體積V=gs表面積?/?’,求出內

切圓的半徑.

【詳解】

由題意可知：

多面體ABCDE的外接球即正四面體ABCD的外接球

作/場，面5CD交于尸，連接CF,如圖

則CE=2.走。=走。，且AE為外接球的直徑，可得

323

AF=7AC2-CF2=J?—(gay=^。，

cBCa

2r---------------a

設三角形BCD的外接圓的半徑為廠，則sin60°解得廠=[1

設外接球的半徑為R,則R?=，+(AF—A)?可得24尸?尺=產+4/2,

即2.幽■.R=<+魚，解得R=^a，

3394

設正三棱錐E—BCD的高為h,

因為AE=2R=，所以丸=EF=2R-AF='

所以BE=CE=DE=JEF?+CF?=J-a+-a^—a,

V632

而BD=BC=CD-a,

所以正三棱錐石-BCD的三條側棱兩兩相互垂直,

設內切球的半徑為R',VE_BDC=15甌口,EF=§，(SE_BC?)表面積,R,

即L3/?近a=L三立標出,解得：R=3寸一#&.

3463412

372-76

故答案為:------------a-

12

本題考查多面體與球的內切和外接問題，考查轉化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意借助

幾何體的直觀圖進行分析.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)/+/=4或(％+4y+(y—4)2=36.⑵存在，P(O,1)；

【解析】

(1)根據動圓M過A，B兩點，可得圓心”在AB的垂直平分線上，由直線AB的方程為x-y=O,可知"在直

線丁=一x上；設M(—a,a),由動圓“與直線y+2=0相切可得動圓"的半徑為r=|a+2]；又由|A?=2,

=及垂徑定理即可確定。的值，進而確定圓"的方程.

(2)方法一：設〃(羽y),可得圓的半徑為r=1+2],根據礪上近，可得方程為V+y2+4=(y+2)2并化簡

可得M的軌跡方程為必=4%設P(0,y0)，M(%，X)，可得MP的中點進而由兩點間距離公式

表示出半徑，表示出。'到x軸的距離，代入化簡即可求得先的值，進而確定所過定點的坐標；方法二：同上可得"的

軌跡方程為好=4＞，由拋物線定義可求得|MF|=%+1,表示出線段板的中點。'的坐標，根據。'到x軸的距離可

得等量關系，進而確定所過定點的坐標.

【詳解】

(1)因為0M過點A,B,所以圓心"在AB的垂直平分線上.

由已知的方程為％-y=O,且A，3關于于坐標原點。對稱，

所以"在直線丁=一x上，故可設a,a).

因為0M與直線y+2=0相切，所以0M的半徑為廠=卜+2|.

由己知得|人。卜2,又麗_L近，

故可得2a2+4=+2)2,解得。=0或a=4.

故G)Af的半徑廠=2或丁=6,

所以的方程為V+丁=4或(x+4)2+(y—4)2=36.

(2)法一：設M(羽y),由已知得OM的半徑為r=|y+2],|49|=2.

由于麗，正，故可得/+/+4=(y+2)2,化簡得”的軌跡方程為必=今.

設P（0,%）,則得x；=4y-MP的中點

則以聞產為直徑的圓的半徑為：

~^\MP\=gJ%；+（%-Vo）?=~Jy；+y；+町-2%%,

。'到x軸的距離為七&=g|M+%|,

令37。；+寸+4%-2yoy1+%|‘①

化簡得為必=%，即（%—1）%=0，

故當先=1時，①式恒成立.

所以存在定點P（0,l），使得以MP為直徑的圓與工軸相切.

法二：設M（羽y）,由已知得OM的半徑為r=|y+2|,30=2.

由于詬，血，故可得/+/+4=3+2）2,化簡得M的軌跡方程為必=4%

設"（七,%）,因為拋物線好=4＞的焦點b坐標為（0,1）,

點M在拋物線上，所以|"耳=乂+1,

線段VF的中點O'的坐標為住,""J，

則。'到x軸的距離為近里，

2

而空=千岫，

故以W為徑的圓與x軸切，

所以當點P與產重合時，符合題意，

所以存在定點P（0,l）,使得以MP為直徑的圓與工軸相切.

本題考查了圓的標準方程求法，動點軌跡方程的求法，拋物線定義及定點問題的解法綜合應用，屬于難題.

is.⑴m⑵三

123

【解析】

（1）由已知利用正弦定理，同角三角函數基本關系式可求均個=1,結合范圍5G（0,?）,可求3=（,由已知利用二

倍角的余弦函數公式可得2cos2A-cosA-1=0,結合范圍A?o,?)，可求A,根據三角形的內角和定理即可解得C

的值.

(2)由(1)及正弦定理可得b的值，根據兩角和的正弦函數公式可求si〃C的值，進而根據三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

(1)由已知可得ccosB=bsinC,

Z?c

又由正弦定理-----二-----，可得ccosB=,即勿幾5=1,

sinBsinC

1.,cosA-cos2A=2COS2A—1,即2cos2A—cosA—1=0，

又A?0,%）,

??.cosA=——,或1（舍去），可得A=2，

23

71

C=7T—A—B=—.

12

（2）：A=g,B=ga=2,

9V2

X

,.Tmabr/日7a?si〃B?2y/6

「?由正弦定理——7二-----，可得b=———=—金=一二,

sinAsinBsinA，33

~2

A/3A/2

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-------X--------

22（4

:.SABc==absinC=Lx2義巫義班出3-73

△ABC22343

本題主要考查了正弦定理，同角三角函數基本關系式，二倍角的余弦函數公式，三角形的內角和定理，兩角和的正弦

函數公式，三角形的面積公式等知識在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.

19.(1)見解析；(2)-且

3

【解析】

(1)取PD的中點產，連接AF,EF，根據中位線的方法證明四邊形4炳是平行四邊形.再證明A/，？D與CD，A產

從而證明"，平面PCD,從而得到跖1平面尸C。即可.

（2）以所在的直線為蒼y衣軸建立空間直角坐標系，再求得平面cm的法向量與平面APB的法向量進而

求得二面角A-PB-C的余弦值即可.

【詳解】

（1）證明：如圖，取尸。的中點尸，連接AQEF.

又E為PC的中點，則"是APCD的中位線.所以跖//CD且

2

又AB//CD且A3=工CD,所以跖//A3且所=A5.所以四邊形ABEF是平行四邊形.

2

所以BE/MF.因為AZ）=AP,尸為P￡）的中點，所以AF_LPD

因為4￡>，45,48//8,所以45，8.因為出，平面4^。￡）,所以24,8.

又AT>cA4=A,所以CD，平面R4D.所以CDAF.

又PDcCD=D,所以”，平面PCD.又5E//A產，所以BE1平面PCD.

（2）易知A。,AB,AP兩兩互相垂直，所以分別以AD,AB,AP所在的直線為羽％z軸建立如圖所示的空間直角坐標

系：

因為AB=A。=AP=工CD=2,所以點4(0,0,0),6(0,2,0),P(0,0,2),C(2,4,0).

2

則而=(0,2,-2),AP=(0,0,2),BC=(2,2,0).設平面CPB的法向量為n=(尤,y,z),

pbP5=(x,y,z)?(0,2,-2)=2y—2z=。jz=y,

由＜__.，得＜,

n-BC-(x,y,z)?(2,2,0)=2x+2y=0[x=-y

令y=i,得平面CPB的一個法向量為3=(-1,1,1)；顯然平面APB的一個法向量為而=(1,0,0)；

設二面角4一依一C的大小為。,則c°s*京==-

故二面角A-PB-C的余弦值是-且

3

本題主要考查了線面垂直的證明以及建立空間直角坐標系求解二面角的問題，需要用到線線垂直與線面垂直的轉換以及

法向量的求法等.屬于中檔題.

20.(1)見解析；(2)亞

3

【解析】

(1)記AC「pO=。，連結尸O,推導出HDLPO,班>，平面？AC,由此能證明平面/平面A3CD；(2)

推導出PHLAC,平面ABCD,連結HB，由題意得”為的重心，BCLBH,從而平面跳出_1平

面尸5C,進而是？H與平面尸5c所成角，由此能求出7W與平面尸5C所成角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：記ACn8D=。，

連結PO,AFBD中，OB=OD,PB=PD，.\BD±PO,

-.-BD±AC,4Cp|PO=。，..BD，平面PAC,

Q3￡>u平面ABCD,二平面K4C_L平面ABCD.

71I—

(2)APOB中,ZPOB=-,OB=1,PB=6，；.PO=1，

2

;AO=6OH=2,

3

.-.PH2=(^)2=|,.-.PH2=PO2+OH2,

:.PHLAC,..PH，平面ABC。，._LBC,

連結HB,由題意得"為AABD的重心，

ITTC

ZHBO=-,NHBC=—,..3C_L平面

62

???平面PHB，平面PBC,：.H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH與平面PBC所成角,

.?.RtAPHB中，PH瀉，PB=&，：.BH昔,

:.s"BPH=%=更」=近

BP3723

PH與平面PBC所成角的正弦值為逅

3

B

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線線、線面、面面的位置關系等基礎知識，考查運算求

解能力，是中檔題.

21.(I)—；(II)c--^13,cos(2A-C)=.

【解析】

(I)運用正弦定理和二角和的正弦公式，化簡csinA=asinC+],即可求出角。的大?。?/p>

(II)通過面積公式和a-b=l,可以求出a,d這樣用余弦定理可以求出c,用余弦定理求出cosA,根據同角的

三角函數關系，可以求出sinA,這樣可以求出sin2A,cos2A,最后利用二角差的余弦公式求出cos(2A-C)的值.

【詳解】

ac