27.2與圓有關的位置關系第2課時切線長定理及三角形的內切圓3.切線第27章圓1.掌握切線長的定義及切線長定理；2.初步學會運用切線長定理進行計算與證明.3.了解有關三角形的內切圓和三角形的內心的概念.回顧：POBA1.如圖所示，直線AB和半徑為r的圓O的位置關系是________，有_______個交點，點到圓心的距離OP=_____.相切1r2.同學們玩過悠悠球嗎？悠悠球的旋轉的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數學圖形？探究一：切線長定理及應用問題1:上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線，如果點P是圓外一點，又怎么作該圓的切線呢？O.PABPOA可以做兩條過圓外的一點作圓的切線，可以作幾條？●P揭示概念：切線上一點到切點之間的線段的長叫作這點到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量.②切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．思考：切線長與切線的區別在哪里？問題2：PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對折，設圓上點與A重合的點為B.

OB是☉O的一條半徑嗎？PB是☉O的切線嗎？（利用圖形軸對稱性解釋）PA、PB有何關系？

∠APO和∠BPO有何關系？O.PAB通過上述操作，你發現了什么？請證明你所發現的結論.APOB發現：PA=PB；∠OPA=∠OPB證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點

∴OA⊥PA，OB⊥PB

即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB試用文字語言敘述你所發現的結論！BPOA切線長定理:過圓外一點所畫的圓的兩條切線的切線長相等.PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:注意：切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.歸納總結：1.已知：如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，Q為AB上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA、PB于E、F點，已知PA=12cm，求△PEF的周長.EAQPFBO解：∵PA、PB、EF為切線∴EQ=EA,FQ=FB,PA=PB，∴PE+EQ=PA=12cm，PF+FQ=PB=PA=12cm∴周長為24cm練一練：探究二：三角形的內切圓與內心問題3：小明在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？問題4：如果最大圓存在，它與三角形三邊應有怎樣的位置關系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切問題5：如何求作一個圓，使它與已知三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應滿足什么條件？圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.(2)在△ABC的內部，如何找到滿足條件的圓心I呢？

三角形三條角平分線交于一點，這一點與三角形的三邊距離相等.圓心I應是三角形的三條角平分線的交點.歸納總結：1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內切圓,☉I是△ABC的內切圓.2.三角形內切圓的圓心叫做這個三角形的內心,點I是△ABC的內心.3.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.△ABC是☉I的外切三角形.BACI三角形內心的性質：三角形的內心在三角形的角平分線上，且到三角形三邊距離相等.練一練：2.如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點I是△ABC的內心，求∠BIC的度數.解：連接IB，IC.ACI∵點I是△ABC的內心，∴IB，IC分別是∠B，∠C的平分線，B在△IBC中，2.如圖,已知點O是△ABC的內心,且∠ABC=60°,∠ACB=80°,則∠BOC=

.1.如圖,PA、PB是☉O的兩條切線,切點分別是A、B,如果AP=4,∠APB=40°,則∠APO=

，PB=

.BPOA第1題ABCO第2題20°4110°3.如圖,在△ABC中,已知∠ABC=90°,在AB上取一點E,以BE為直徑的☉O恰與AC相切于點D,若AE=2,AD=4.(1)求☉O的直徑BE的長.(2)計算△ABC的面積.解:(1)連接OD,∴OD⊥AC,∴△ODA是直角三角形,設☉O半徑為r,∴AO=r+2,∴(r+2)2-r2=16,解得:r=3,∴BE=6.(2)∵∠ABC=90°,∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切線.∵CD切☉O于D,∴CB=CD,令CB=x,∴AC=x+4,AB=8.∴S△ABC=×8×6=24.∵x2+82=(x+4)2,∴x=6,1.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角；APO。BECD