2025屆上海市復旦附中數學高二上期末學業質量監測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是（）A.6 B.8C.9 D.102．下列說法中正確的是（）A.棱柱的側面可以是三角形B.棱臺的所有側棱延長后交于一點C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形D.正棱錐的各條棱長都相等3．如圖，已知多面體，其中是邊長為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.4．已知，，，執行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.5．下列數列是遞增數列的是（）A. B.C. D.6．已知橢圓的左焦點是，右焦點是，點P在橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：37．圓關于直線對稱圓的標準方程是（）A. B.C. D.8．為了解青少年視力情況，統計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數，葉表示十分位數，則該組數據的中位數是（）A. B.C. D.9．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.10．已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是A. B.C. D.11．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.12．若等軸雙曲線C過點，則雙曲線C的頂點到其漸近線的距離為（）A.1 B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數x，y滿足方程，則的最大值為_________14．已知，，且，則的最小值為___________15．若，，三點共線，則m的值為___________.16．如果點在運動過程中，總滿足關系式，記滿足此條件的點M的軌跡為C，直線與C交于D，E，已知，則周長的最大值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線中心在原點，離心率為2，一個焦點（1）求雙曲線方程；（2）設Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若，求直線l的方程18．（12分）某城鎮為推進生態城鎮建設，對城鎮的生態環境、市容市貌等方面進行了全面治理，為了解城鎮居民對治理情況的評價和建議，現隨機抽取了200名居民進行問卷并評分（滿分100分），將評分結果制成如下頻率分布直方圖，已知圖中a，b，c成等比數列，且公比為2（1）求圖中a，b，c的值，并估計評分的均值（各段分數用該段中點值作代表）；（2）根據統計數據，在評分為“50～60”和“80～90”的居民中用分層抽樣的方法抽取了6個居民．若從這6個居民中隨機選擇2個參加座談，求所抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率19．（12分）在2021年“雙11”網上購物節期間，某電商平臺銷售了一款新手機，現在該電商為調查這款手機使用后的“滿意度”，從購買了該款手機的顧客中抽取1000人，每人在規定區間內給出一個“滿意度”分數，評分在60分以下的視為“不滿意”，在60分到80分之間（含60分但不含80分）的視為“基本滿意”，在80分及以上的視為“非常滿意”.現將他們的評分按，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數和“滿意度”評分的中位數的估計值.（2）若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調查者中抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人，記這3人中對該款手機“非常滿意”的人數為X.①寫出X的分布列，并求數學期望；②若被抽取的這3人中對該款手機“非常滿意”的被調查者將獲得100元話費補貼，其他被調查者將獲得50元話費補貼，請求出這3人將獲得的話費補貼總額的期望.20．（12分）如圖，在長方體中，，，是棱的中點（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由21．（12分）已知數列的前n項和，遞增等比數列滿足，且.（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前n項和為.22．（10分）已知復數，是實數.（1）求復數z；（2）若復數在復平面內所表示的點在第二象限，求實數m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】計算拋物線的準線，根據距離結合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，到軸的距離是4，故到準線的距離是，故點到該拋物線焦點的距離是.故選：A.2、B【解析】根據棱柱、棱臺、球、正棱錐結構特征依次判斷選項即可.【詳解】棱柱的側面都是平行四邊形，A不正確；棱臺是由對應的棱錐截得的，B正確；不是所有幾何體的表面都能展開成平面圖形，例如球不能展開成平面圖形，C不正確；正棱錐的各條棱長并不是都相等，應該為正棱錐的側棱長都相等，所以D不正確.故選：B.3、C【解析】利用面面垂直性質結合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標系，用向量法可解.【詳解】取的中點O，連接OB，過O在平面ACDE面內作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O為原點，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系則，，，設平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點C到平面ABD的距離.故選：C4、B【解析】計算出、的值，執行程序框圖中的程序，進而可得出輸出結果.【詳解】，，則，執行如圖所示的程序，，成立，則，不成立，輸出的值為.故選：B.5、C【解析】分別判斷的符號，從而可得出答案.【詳解】解：對于A，，則，所以數列為遞減數列，故A不符合題意；對于B，，則，所以數列為遞減數列，故B不符合題意；對于C，，則，所以數列為遞增數列，故C符合題意；對于D，，則，所以數列遞減數列，故D不符合題意.故選：C.6、A【解析】求出橢圓的焦點坐標，再根據點在橢圓上，線段的中點在軸上,求得點坐標，進而計算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設點坐標為，線段的中點為，因為線段中點在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.7、D【解析】先根據圓的標準方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關于直線的對稱點，進而寫出圓的標準方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標準方程為.故選：D.8、B【解析】將樣本中的數據由小到大進行排列，利用中位數的定義可得結果.【詳解】將樣本中的數據由小到大進行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數據的中位數為.故選：B.9、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.【考點定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質.10、C【解析】當時，，函數有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C考點：1、函數的零點；2、利用導數求函數的極值；3、利用導數判斷函數的單調性11、B【解析】先根據直線平行求得，再根據公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當時，，，此時，故兩直線平行時又之間的距離為，故選：B.12、A【解析】先求出雙曲線C的標準方程，再求頂點到其漸近線的距離.【詳解】設等軸雙曲線C的標準方程為，因為點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線C的標準方程為，故上頂點到其一條漸近線的距離為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】設，根據直線與圓的位置關系即可求出【詳解】由于，設，所以點既在直線上，又在圓上，即直線與圓有交點，所以，，即故答案為：14、25【解析】根據，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為25，故答案為：2515、【解析】根據三點共線與斜率的關系即可得出【詳解】由，，三點共線，可知所在的直線與所在的直線平行，又，由已知可得，解得故答案為：16、8【解析】根據橢圓定義判斷出軌跡，分析條件結合橢圓定義可知當直線x=m過右焦點時，三角形ADE周長最大.【詳解】，到定點，的距離和等于常數，點軌跡C為橢圓，且故其方程為，則為左焦點，因為直線與C交于D，E，則，不妨設D在軸上方，E在軸下方，設橢圓右焦點為A'，連接DA'，EA'，因為DA'＋EA'≥DE，所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，所以△ADE的周長，當時取得最大值8，故答案為：8三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）依題意設所求的雙曲線方程為，則，再根據離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；（2）依題意可得直線的斜率存在，設，即可得到的坐標，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標，再根據的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；【小問1詳解】解：設所求的雙曲線方程為（，），則，，∴，又則，∴所求的雙曲線方程為【小問2詳解】解：∵直線l與y軸相交于M且過焦點，∴l的斜率一定存在，則設．令得，∵且M、Q、F共線于l，∴或當時，，，∴，∵Q在雙曲線上，∴，∴，當時，，代入雙曲線可得：，∴綜上所求直線l的方程為：或18、（1），，，均值為65.6（2）【解析】（1）根據a，b，c成等比數列且公比為2，得到a，b，c的關系，利用頻率之和為1，求出a，b，c，估計評分的均值；（2）利用列舉法得到基本事件，求出相應的概率.【小問1詳解】由題意得，，，有，所以，即，解得，于是，評分在40～50，50～60，60～70，70～80，80～90，90～100的概率分別為0.15，0.20，0.30，0.20，0.10，0.05，則均分估計值為【小問2詳解】評分在“50～60”和“80～90”分別有40人和20人則所抽取的6個居民中，評分在“80～90”一組有2人，記為A1，A2，評分在“50～60”一組4人，記為B1，B2，B3，B4從這6人中選取2人的所有基本事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），共15個其中至少有1個評分在“80～90”的基本事件有9個則所求的概率，即抽取的2個居民中至少有1個評分在“80～90”的概率為19、（1）65分（2）①分布列答案見解析，數學期望：；②172.5元【解析】（1）由圖可知中位數在第二組，則設中位數為，從而得，解方程可得答案，（2）①由題意可求得“不滿意”與“基本滿意”的用戶應抽取17人，“非常滿意”的用戶應抽取3人，則X的可能取值分別為0，1，2，3，然后求出對應的概率，從而可求得其分布列和期望，②設這3人獲得的話費補貼總額為Y，則，然后由①結合期望的性質可求得答案【小問1詳解】這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數為.由頻率分布直方圖可得，得分的中位數為，則，解得，所以中位數為65分.【小問2詳解】①若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調查者中抽取20人，則“不滿意”與“基本滿意”的用戶應抽取人，“非常滿意”的用戶應抽取人，X的可能取值分別為0，1，2，3，，，，，則X的分布列為X0123P故.②設這3人獲得的話費補貼總額為Y，則（元），所以元，故這3人將獲得的話費補貼總額的期望為172.5元.20、(1)證明見解析（2）（3）存點，【解析】(1)先證明平面，由平面，可證明結論.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標系,分別求出平面與平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)設，,則，則由向量法結合條件可得答案.【詳解】（1）在長方體中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分別為軸，建立空間直角坐標系因為，，是棱的中點則則為平面的一個法向量.設為平面的一個法向量.,所以，即取，可得所以如圖平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.(3)設，，則由（2）平面的一個法向量設與平面所成角為則解得，取所以存在點，滿足條件.21