2023-2024學(xué)年浙江省寧波市余姚實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，每小題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，共30分）1．（3分）下列事件中，是必然事件的是A．同位角相等 B．打開電視，正在播出《新聞聯(lián)播》 C．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈 D．長度為4，6，9的三條線段可以圍成一個(gè)三角形2．（3分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，則為A． B． C． D．0.6183．（3分）下列和之間的函數(shù)表達(dá)式中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．4．（3分）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓分別交、于點(diǎn)、點(diǎn)，則弧的度數(shù)為A． B． C． D．5．（3分）下列說法中，正確的是A．長度相等的弧是等弧 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．三角形外心到三邊距離相等 D．不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓6．（3分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，，則線段的長為A． B． C． D．7．（3分）一只不透明袋子中裝有1個(gè)綠球和若干個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同，某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將口袋中的球拌勻，從中隨機(jī)摸出個(gè)球，記下顏色后再放回口袋中．不斷重復(fù)這一過程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到黑球的頻數(shù)14218626066810641333摸到黑球的頻率0.71000.62000.65000.66800.66500.6665該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，由此估計(jì)這個(gè)口袋中黑球有個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．18．（3分）如圖，兩個(gè)等圓和相交于、兩點(diǎn)，且經(jīng)過的圓心，則的度數(shù)為A． B． C． D．9．（3分）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，，將該拋物線向右平移3個(gè)單位后，與原拋物線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為A． B． C．3 D．10．（3分）在面積為144的正方形中放兩個(gè)正方形和正方形（如圖），重合的小正方形的面積為4，若點(diǎn)、、在同一直線，則陰影部分面積為A．36 B．40 C．44 D．48二、填空題（本大題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）某校準(zhǔn)備從，兩名女生和，兩名男生中任選2人代表學(xué)校參加沈陽市初中生辯論賽，則所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率是．12．（4分）點(diǎn)到上各點(diǎn)的最大距離為5，最小距離為1，則的半徑為．13．（4分）已知是二次函數(shù)，則．14．（4分）如圖，在中，為上一點(diǎn)，連結(jié)并延長交延長線于點(diǎn)．如果，那么．15．（4分）如圖，一張扇形紙片，，，將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則圖中未重疊部分（即陰影部分）的面積為．16．（4分）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上第三象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．三、解答題（第17-18題各6分，第19-22題各8分，第23題10分，第24題12分）17．（6分）“青年北侖”建設(shè)是北侖建設(shè)的一大亮點(diǎn)，現(xiàn)將質(zhì)地大小完全相同，上面標(biāo)有“青”“年”“北”“侖”字樣的四個(gè)彩球放入同一個(gè)袋子．（1）小慧在袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)彩球，記下字樣后放回，攪勻，再摸出一個(gè)彩球，請用列表或畫樹狀圖的方法，寫出所有的可能；（2）在（1）的條件下能拼出“北侖”（不分先后）的概率是多少？18．（6分）圖1、圖2均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段，，的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，回答下列問題：（1）在圖1中，，；（2）在圖2中請用一把無刻度的尺子，畫出線段三等分點(diǎn)，．（保留作圖痕跡）19．（8分）拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，連接，．求的面積．20．（8分）如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過點(diǎn)作，垂足為．（1）求證：△△；（2）若，，求的長．21．（8分）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，連接，．（1）若，，求的長度；（2）若平分，求證：．22．（8分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元件，試營業(yè)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．（1）請直接寫出每天銷售量（件與銷售單價(jià)（元之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤（元與銷售單價(jià)（元之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出的取值范圍）；（3）商場的營銷部結(jié)合實(shí)際情況，決定該文具的銷售單價(jià)不低于30元，且每天的銷售量不得少于160件，那么該文具如何定價(jià)每天的銷售利潤最大，最大利潤是多少？23．（10分）定義：兩個(gè)角對應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做余等三角形．如圖1，在和中，若，且，則和是余等三角形．（1）圖2，等腰直角，其中，，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），則圖中△和△是余等三角形，并求證：．（2）圖3，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的半徑為5，且，①求證：和是余等三角形．②圖4，連接交于點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，若，，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．24．（12分）如圖1，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，已知，設(shè)，．（1）請直接寫出，，（用或相關(guān)的代數(shù)式表示）；（2）作分別交、于、（如圖，求的長；（3）連結(jié)，若，求的最小值；（4）在（3）的條件下，請直接寫出的最小值時(shí)，．

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市余姚實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，每小題僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，共30分）1．（3分）下列事件中，是必然事件的是A．同位角相等 B．打開電視，正在播出《新聞聯(lián)播》 C．經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈 D．長度為4，6，9的三條線段可以圍成一個(gè)三角形【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：、同位角相等，是隨機(jī)事件，不符合題意；、打開電視，正在播出特別節(jié)目新聞聯(lián)播》，是隨機(jī)事件，不符合題意；、經(jīng)過紅綠燈路口，遇到綠燈，是隨機(jī)事件，不符合題意；、因，所以長度為4，6，9的三條線段可以圍成一個(gè)三角形，故此事件是必然事件，符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2．（3分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，則為A． B． C． D．0.618【分析】直接根據(jù)黃金分割的定義求解．【解答】解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，而，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割：把一條線段分成兩條線段，若較長線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，那么叫把著個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)，且較長線段等于整個(gè)線段的倍．3．（3分）下列和之間的函數(shù)表達(dá)式中，是二次函數(shù)的是A． B． C． D．【分析】利用二次函數(shù)的定義分別分析得出即可．【解答】解：、，是二次函數(shù)，所以選項(xiàng)正確；、，最高次數(shù)是3，不是二次函數(shù)，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，最高次數(shù)是1，不是二次函數(shù)，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，右邊不是整式，不是二次函數(shù)，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．4．（3分）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓分別交、于點(diǎn)、點(diǎn)，則弧的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先利用互余計(jì)算出，再利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)得到，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)求解．【解答】解：，，，，，，的度數(shù)為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．5．（3分）下列說法中，正確的是A．長度相等的弧是等弧 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．三角形外心到三邊距離相等 D．不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓【分析】根據(jù)確定圓的條件，等弧的定義，三角形外心的性質(zhì)，逐一判斷即可解答．【解答】解：、在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧是等弧，故不符合題意，、不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故不符合題意；、三角形外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故不符合題意；、不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，角平分線的性質(zhì)，圓的認(rèn)識，垂徑定理，確定圓的條件，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念的解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，，則線段的長為A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作，易證，從而得，可求得，再證明，得，，從而可證得，通過轉(zhuǎn)化可得，從而可求解．【解答】解：過點(diǎn)作，如圖所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，解得：．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是作出正確的輔助線，并對相似三角形的判定條件與性質(zhì)的掌握與應(yīng)用．7．（3分）一只不透明袋子中裝有1個(gè)綠球和若干個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同，某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將口袋中的球拌勻，從中隨機(jī)摸出個(gè)球，記下顏色后再放回口袋中．不斷重復(fù)這一過程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到黑球的頻數(shù)14218626066810641333摸到黑球的頻率0.71000.62000.65000.66800.66500.6665該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，由此估計(jì)這個(gè)口袋中黑球有個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)約為0.667，據(jù)此知摸出黑球的概率為0.667，繼而得摸出綠球的概率為0.333，求出袋子中球的總個(gè)數(shù)即可得出答案．【解答】解：該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)約為0.667，估計(jì)摸出黑球的概率為0.667，則摸出綠球的概率為，袋子中球的總個(gè)數(shù)為，由此估出黑球個(gè)數(shù)為，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計(jì)概率：大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．8．（3分）如圖，兩個(gè)等圓和相交于、兩點(diǎn)，且經(jīng)過的圓心，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】連接，，可得△是等邊三角形，再根據(jù)圓周角定理即可解答．【解答】解：連接，，和是等圓，，△是等邊三角形，，，，（圓周角定理）．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了相交兩圓的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，得出△是等邊三角形是解題關(guān)鍵．9．（3分）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，，將該拋物線向右平移3個(gè)單位后，與原拋物線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為A． B． C．3 D．【分析】將拋物線向右平移3個(gè)單位后得到，然后聯(lián)立組成方程組求解即可．【解答】解：將拋物線向右平移3個(gè)單位后得到，根據(jù)題意得：，解得：，交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故選：．【點(diǎn)評】考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識，解題的關(guān)鍵是了解拋物線平移規(guī)律，并利用平移規(guī)律確定平移后的函數(shù)的解析式．10．（3分）在面積為144的正方形中放兩個(gè)正方形和正方形（如圖），重合的小正方形的面積為4，若點(diǎn)、、在同一直線，則陰影部分面積為A．36 B．40 C．44 D．48【分析】根據(jù)題意和圖形，可以求得和的長，然后根據(jù)圖形可知，陰影部分的面積就是正方形的面積減去正方形的面積和正方形的面積，再加上正方形的面積，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：由題意可得，，，設(shè)正方形的邊長為，則，，，，，，，，，即，解得，，（舍去），即，則，陰影部分的面積是：，故選：．【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二、填空題（本大題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）某校準(zhǔn)備從，兩名女生和，兩名男生中任選2人代表學(xué)校參加沈陽市初中生辯論賽，則所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率是．【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出所選代表恰好為1名女生和1名男生的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：共有12種等可能的情況數(shù)，其中恰好為1名女生和1名男生的有8種，則所選代表恰好為1名女生和1名男生的概率是．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求事件或的概率．12．（4分）點(diǎn)到上各點(diǎn)的最大距離為5，最小距離為1，則的半徑為3或2．【分析】當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，最大距離與最小距離之和就是圓的直徑，可以求出圓的半徑．當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，最大距離與最小距離之差就是圓的直徑，可以求出圓的半徑．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離是5，最小距離是1，所以圓的直徑為6，半徑為3．當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離是5，最小距離是1，所以圓的直徑為4，半徑為2．故答案為：3或2．【點(diǎn)評】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離，可以得到圓的直徑，然后確定半徑的值．13．（4分）已知是二次函數(shù)，則．【分析】利用二次函數(shù)的定義，可得出及，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：是二次函數(shù)，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的定義，牢記“一般地，形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)”是解題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，在中，為上一點(diǎn)，連結(jié)并延長交延長線于點(diǎn)．如果，那么．【分析】由四邊形是平行四邊形，可得，，即可證得，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，一張扇形紙片，，，將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則圖中未重疊部分（即陰影部分）的面積為．【分析】根據(jù)陰影部分的面積等于扇形面積減去弓形面積計(jì)算即可．【解答】解：由折疊可知，，，，，為等邊三角形，，，，，，，陰影部分的面積，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積與等邊三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用扇形公式是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上第三象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】由拋物線的解析式求得、、的坐標(biāo)，利用勾股定理的逆定理證得，即可得出，由，得出，作軸，交的延長線與，作的平分線，交于，則，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，從而求得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立，解方程組即可求得的坐標(biāo)．【解答】解：拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得或1，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，，，作軸，交的延長線與，作的平分線，交于，則，，，，，設(shè)直線的解析式為，把的坐標(biāo)代入得，，，直線的解析式為，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，證得是解題的關(guān)鍵．三、解答題（第17-18題各6分，第19-22題各8分，第23題10分，第24題12分）17．（6分）“青年北侖”建設(shè)是北侖建設(shè)的一大亮點(diǎn)，現(xiàn)將質(zhì)地大小完全相同，上面標(biāo)有“青”“年”“北”“侖”字樣的四個(gè)彩球放入同一個(gè)袋子．（1）小慧在袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)彩球，記下字樣后放回，攪勻，再摸出一個(gè)彩球，請用列表或畫樹狀圖的方法，寫出所有的可能；（2）在（1）的條件下能拼出“北侖”（不分先后）的概率是多少？【分析】（1）根據(jù)題意列表得出所有等可能的結(jié)果數(shù)即可；（2）從（1）中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解可得．【解答】解：（1）列表如下：青年北侖青青青青年青北青侖年年青年年年北年侖北北青北年北北北侖侖侖青侖年侖北侖侖由表可知共有16種等可能的結(jié)果數(shù)；（2）共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中能拼出“北侖”（不分先后）的有2種結(jié)果，能拼出“北侖”（不分先后）的概率為．【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．18．（6分）圖1、圖2均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段，，的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，回答下列問題：（1）在圖1中，，；（2）在圖2中請用一把無刻度的尺子，畫出線段三等分點(diǎn)，．（保留作圖痕跡）【分析】（1）構(gòu)建直角三角形解決問題求出，利用相似三角形的性質(zhì)求出相似比．（2）利用平行線等分線段定理解決問題即可．【解答】解：（1），，，．故答案為：，3．（2）如圖，，即為所求作．【點(diǎn)評】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．19．（8分）拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，連接，．求的面積．【分析】求出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，再求出三角形的面積，根據(jù)可求出答案．【解答】解：（1）連接，令，，解得或1，，，令，，得，，頂點(diǎn)，，，．的面積為3．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)與軸交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，學(xué)會(huì)利用分割法求四邊形的面積．20．（8分）如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過點(diǎn)作，垂足為．（1）求證：△△；（2）若，，求的長．【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)可得出，由可得出，利用等角的余角相等可得出，進(jìn)而可證出△△；（2）利用相似三角形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出，再在△中，通過解直角三角形即可求出的長．【解答】（1）證明：四邊形為矩形，．，垂足為，．，，．△△．（2）解：△△，，．在△中，，，，即的長為2．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用兩個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似，證出△△；（2）在△中，通過解直角三角形求出的長．21．（8分）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，連接，．（1）若，，求的長度；（2）若平分，求證：．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出，再由已知條件得出圓的半徑為5，在中，由勾股定理得出即可，從而得出；（2）過點(diǎn)作，垂足為，由角平分線的性質(zhì)得出，從而得出．【解答】解：（1）是的直徑，弦，，，，，，在中，，，；（2）過點(diǎn)作，垂足為，平分，，．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理，掌握定理的內(nèi)容并熟練地運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．22．（8分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元件，試營業(yè)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．（1）請直接寫出每天銷售量（件與銷售單價(jià)（元之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤（元與銷售單價(jià)（元之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出的取值范圍）；（3）商場的營銷部結(jié)合實(shí)際情況，決定該文具的銷售單價(jià)不低于30元，且每天的銷售量不得少于160件，那么該文具如何定價(jià)每天的銷售利潤最大，最大利潤是多少？【分析】（1）根據(jù)題意，可以寫出每天銷售量（件與銷售單價(jià)（元之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)利潤（售價(jià)成本）銷售量，可以寫出每天所得的銷售利潤（元與銷售單價(jià)（元之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）將（2）中函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)該文具的銷售單價(jià)不低于30元，且每天的銷售量不得少于160件，可以得到的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到該文具如何定價(jià)每天的銷售利潤最大，最大利潤是多少．【解答】解：（1）由題意可得，，即每天銷售量（件與銷售單價(jià)（元之間的函數(shù)關(guān)系式是；（2）由題意可得，，即每天所得的銷售利潤（元與銷售單價(jià)（元之間的函數(shù)關(guān)系式是；（3），該函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，該文具的銷售單價(jià)不低于30元，且每天的銷售量不得少于160件，且，解得，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，答：該文具定價(jià)為34元件時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是2240元．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．23．（10分）定義：兩個(gè)角對應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做余等三角形．如圖1，在和中，若，且，則和是余等三角形．（1）圖2，等腰直角，其中，，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），則圖中△和△是余等三角形，并求證：．（2）圖3，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的半徑為5，且，①求證：和是余等三角形．②圖4，連接交于點(diǎn)，連接，為上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，若，，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）由是等腰直角三角形，根據(jù)余等三角形定義，可得和是余等三角形，過作于，過作于，證明和是等腰直角三角形，得，，，中，用勾股定理即可得；（2）①連接并延長交于，連接、，根據(jù)，可得，從而，可得，，同理可得：，而，根據(jù)余等三角形，可知和是余等三角形；②連接、，過作于，過作于，證明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可得，由，有，，從而，得，設(shè)，，則，，在中，得，在中，，得，故，而．【解答】解：（1）是等腰直角三角形，