專題21.10二次函數(shù)中的三大類型新定義問題【滬科版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生二次函數(shù)中的三大類型新定義問題的理解！【類型1二次函數(shù)問題中的新定義問題】1．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)．若二次函數(shù)y=x2-2x+c（A．-5<c<4 B．0<c<1 C．【答案】D【分析】由點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點(diǎn)在直線y=2x上，由-1<【詳解】解：由題意可得二倍點(diǎn)所在直線為y=2將x=-1代入y=2x將x=4代入y=2x設(shè)A(-1,-2)，B聯(lián)立y=2x與y=即x∵拋物線與直線y=2∴Δ=4解得c<4當(dāng)直線x=-1和直線x=4與拋物線交點(diǎn)在點(diǎn)A，B上方時(shí)，拋物線與線段把x=-1代入y=x把x=4代入y=x∴3+c解得c>0∴0<c故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題求解．2．（2023春·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．若互異二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1且圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），則這個(gè)互異二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是（

）A．12 B．14 C．1 D【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸和互異二次函數(shù)的特點(diǎn)計(jì)算即可；【詳解】由題可知：此函數(shù)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，且對(duì)稱軸為直線x＝1且圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），設(shè)此函數(shù)為y=∴-b2a∴此函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為14故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（m，n）和點(diǎn)P′（m，n′），若滿足m≥0時(shí)，n′=n4；m＜0時(shí)，n′=n，則稱點(diǎn)P′（m，n′）是點(diǎn)P（m，n）的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)P1（2，5）的限變點(diǎn)是P1′（2，1），點(diǎn)P2（2，3）的限變點(diǎn)是P2′（2，3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y=x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（

）A．-2≤n'≤2 B．1≤n'【答案】D【分析】根據(jù)新定義得到當(dāng)m≥0時(shí)，n′=m2+4m+24=（m2）2+2，在0≤m≤3時(shí)，得到2≤n′≤2；當(dāng)m＜0時(shí)，n′=m24m2=（m2）26，在1≤m＜0時(shí)，得到2≤n′≤3，即可得到限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是2≤n′≤3．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)m≥0時(shí)，n′=m2+4m+24=（m2）2+2，∴當(dāng)0≤m≤3時(shí)，2≤n′≤2，當(dāng)m＜0時(shí)，n′=m24m2=（m2）26，∴當(dāng)1≤m＜0時(shí)，2＜n′≤3，綜上，當(dāng)1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是2≤n′≤3，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)限變點(diǎn)的定義得到n′關(guān)于m的函數(shù)．4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語學(xué)校校考期末）定義：我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)稱為“青竹點(diǎn)”．例如：點(diǎn)1,2、-2.5,-5……都是“青竹點(diǎn)”．顯然，函數(shù)y=x2的圖象上有兩個(gè)“青竹點(diǎn)”：(1)下列函數(shù)中，函數(shù)圖象上存在“青竹點(diǎn)”的，請(qǐng)?jiān)跈M線上打“√”，不存在“青竹點(diǎn)”的，請(qǐng)打“×”．

①y=2x-1________；

②y=-x2(2)若拋物線y=-12x2-m+1（(3)若函數(shù)y=14x2+b-c+2x+a+【答案】(1)×；√；×(2)m(3)c【分析】（1）根據(jù)“青一函數(shù)”的定義直接判斷即可；（2）根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關(guān)于m的不等式，即可求解；（3）根據(jù)題意得出關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)根的判別式得出關(guān)于a的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)最值求解即可．【詳解】（1）解：①令2x∴函數(shù)y=2x-1圖像上不存在“青竹點(diǎn)②令-x解得：x1=-1+2∴函數(shù)y=-x2+1圖像上存在“青竹點(diǎn)”-1+③令x2∴函數(shù)y=x2+2圖像上不存在“青竹點(diǎn)（2）解：由題意得-1整理，得x2∵拋物線y=-12x2-m∴Δ=解得m<3（3）解：由題意得1整理，得x∵函數(shù)y=14x2∴Δ整理，得a∴當(dāng)b=c時(shí)，a的最小值為∵當(dāng)-1≤b≤2時(shí)，a∴3-∴c=【點(diǎn)睛】本題屬于函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式．5．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖像與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：y=2x2(1)函數(shù)y=14(2)當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，函數(shù)y=(1-a)(3)已知點(diǎn)(m,p),(m,q【答案】(1)y=(2)a=(3)當(dāng)m=-4或m=0時(shí)，p=q；當(dāng)m【分析】（1）根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y=（2）根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y=(1-（3）先根據(jù)友好同軸二次函數(shù)的定義，找出y1=ax2+4ax【詳解】（1）設(shè)友好同軸二次函數(shù)為y=由函數(shù)y=對(duì)稱軸為直線x=--22×1∴a=1-14=∴b∴友好同軸二次函數(shù)為y=（2）由函數(shù)y=(1-a)該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為y=①當(dāng)a>0時(shí)，x=4時(shí)，解得：a=②當(dāng)a<0時(shí)，x=1時(shí)，解得：a=-2綜上所述，a=（3）由函數(shù)y1該函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為y2把(m,pp=am則p-∵a∴(2a①當(dāng)p-q>0時(shí)，pm2解得：m<-4②當(dāng)p-q<0時(shí)，pm2解得：-4<③當(dāng)p-q=0時(shí)，pm2解得：m=-4綜上所述，當(dāng)m=-4或m當(dāng)m<-4或m當(dāng)-4<m<0【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及新定義問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及研究手段，準(zhǔn)確根據(jù)題意求出符合要求的友好同軸二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．6．（2023春·浙江金華·九年級(jí)校考期中）定義：若拋物線y＝ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，稱此拋物線為定弦拋物線．(1)判斷拋物線y＝x2+2x﹣3是否是定弦拋物線，請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)一定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，且它的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)間的連線所圍成的圖形是直角三角形，求該拋物線的表達(dá)式；(3)若定弦拋物線y＝x2+bx+c（b＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），當(dāng)2≤x≤4時(shí)，該拋物線的最大值與最小值之差等于OB之間的距離，求b的值．【答案】(1)是定弦拋物線，理由見解析(2)y=-3(3)b＝﹣4或-【分析】（1）令y＝0，求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷；（2）分開口向上向下討論，利用定弦拋物線的定義和對(duì)稱軸可求出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，用相似求出與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得答案；（3）根據(jù)對(duì)稱軸和所給范圍分情況討論即可．【詳解】（1）解：當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，則|x1x2|＝4，即該拋物線是定弦拋物線；（2）：當(dāng)該拋物線開口向下時(shí)，如圖所示．∵該定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，設(shè)C則n解得：m∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED為直角三角形∴由題意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，3）設(shè)該定弦拋物線表達(dá)式為y=把E（0，3）代入求得a∴該定弦拋物線表達(dá)式為y=-當(dāng)該拋物線開口向上時(shí)，同理可得該定弦拋物線表達(dá)式為y=∴綜上所述，該定弦拋物線表達(dá)式為y=-33（3）解：若-b2≤2，則在2≤x當(dāng)x＝4時(shí)該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝2時(shí)該定弦拋物線取最小值．∴l(xiāng)6+4b+c(4+2b+c)＝-b2解得：b＝﹣4，∵-b2∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若2≤-b2≤3，則在2≤x當(dāng)x＝4時(shí)該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝-b∴16+4b+c﹣4c-b2解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤-b2∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若3<-b2≤4，則在2≤x當(dāng)x＝2時(shí)該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝-b∴4+2b+c﹣4c-b2解得：b＝﹣5±17∵3<-b2∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5±17若-b2＞4，則在2≤x當(dāng)x＝2時(shí)該定弦拋物線取最大值，當(dāng)x＝4時(shí)該定弦拋物線取最小值．∴4+2b+c(16+4b+c)＝-b2解得：b＝283∵-b2＞∴b＜﹣8，∴b＝﹣283∴綜上所述b＝﹣4或-28【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合性質(zhì)，包括與x軸交點(diǎn)問題，最值問題，以及和相似的結(jié)合，準(zhǔn)確地理解定弦拋物線的定義以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·九年級(jí)期末）定義：若拋物線y1=a1x+h2+k1與拋物線(1)已知拋物線y1=-14x(2)如圖1，將一副邊長(zhǎng)為42的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，E，D的拋物線為y1，經(jīng)過A、B、C的拋物線為y2，請(qǐng)立接寫出y【答案】(1)y(2)y1=-18x2+8【分析】（1）將y2=x2-2x-3化作頂點(diǎn)式，可求出a2，h和k2的值，根據(jù)“（2）根據(jù)七巧板各個(gè)圖形之間的關(guān)系可求出各個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可表示點(diǎn)A，B，C，D，E的坐標(biāo)，分別求出y1和y2的解析式，再根據(jù)“共軛拋物線【詳解】（1）解：y2∴a2=1，h=-1∵拋物線y1=-1∴a1=a2-y1（2）解：如圖，由題意得，DF=AF=42，則AG=GF=DG=∵點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，∴BO=∴B-2,0，C2,0，A-4,6∴可設(shè)拋物線y1=a∴-16a1+6=8，-4+2∴拋物線y1拋物線y2∴a1=-18，h=0，k1=8∵-18×∴滿足a2=-4a∴y1、y【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的新定義類問題，主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，一般式及交點(diǎn)式三種方式的變換，熟知相關(guān)運(yùn)算是解題關(guān)鍵．8．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：如果拋物線y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點(diǎn)(1)求拋物線y=(2)求拋物線y=(3)設(shè)m，n為正整數(shù)，且m≠1，拋物線y=x2+4-mtx-4mt的雅禮弦長(zhǎng)為l1，拋物線y=-x2+t【答案】(1)4(2)2(3)m=2，n=2或m【分析】（1）根據(jù)定義求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法求得AB=(n（3）根據(jù)題意，分別求得l1,l2，根據(jù)s=l12-l22，求得出s與【詳解】（1）解：x2x-∴x1=3∴雅禮弦長(zhǎng)AB=4（2）x2+(n∴AB∵Δ=(n∴AB∵1≤n∴當(dāng)n=1時(shí)，AB最小值為2當(dāng)n=3時(shí)，AB最大值小于2∴22（3）由題意，令y=∴x1+則l1同理l2s=(∵m∴要不論t為何值，S≥0即：(m由題意得：m2-1>0解得：(mn-4∵m，n為正整數(shù)，且m則m=2，n=2或m=4【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·河南濮陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y=x23x2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x23x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請(qǐng)參考小明的方法解決下面問題：(1)直接寫出函數(shù)y=x23x2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)y=-x2+43mx-2與y=x22nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)(3)已知函數(shù)y=12(x-1)(x+4)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試證明經(jīng)過點(diǎn)A1，B1【答案】(1)y＝x23x＋2；(2)1(3)見解析【分析】（1）根據(jù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)；（2）根據(jù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，根據(jù)負(fù)數(shù)奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，可得答案；（3）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得A1，B1，C1，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，可得a2，b2，c2，可得旋轉(zhuǎn)函數(shù)．【詳解】（1）解：由y=x23x2函數(shù)可知a1＝1，b1＝3，c1＝?2．由a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，得a2＝1，b2＝3，c2＝2．函數(shù)y＝x2＋3x?2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為y＝x23x＋2；（2）由y=-x2+43mx-2與y＝x2?得?2n＝43m，?2＋n＝解得n＝2，m＝?3．當(dāng)m＝2，n＝?3時(shí)，(m+n)2020＝（2?3）2020＝（?1）2020＝1；（3）∵當(dāng)y＝0時(shí)，12(x-1)(x+4)=0，解得x＝∴A（?1，0），B（4，0）．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝12×（?4）＝2，即C（0，2由點(diǎn)A，B，C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，得A1（1，0），B1（?4，0），C1（0，2）．設(shè)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)y＝a(x+1)x-4，將C1解得a=-∴過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)y=-1而y∴a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，∴經(jīng)過點(diǎn)A1、B1、C1的二次函數(shù)與函數(shù)y=12(x【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；對(duì)新定義的理解能力．10．（2023春·山西大同·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：定義：我們把自變量為x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c（任務(wù)：（1）寫出二次函數(shù)y=x2+3x-4（2）二次函數(shù)y=x2+3x-4的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和-4，它的“親密函數(shù)”的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______，猜想二次函數(shù)y=ax2+（3）二次函數(shù)y=x2+bx-2021的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和-2021【答案】（1）y=x2-3x-4；（2）4和1；互為相反數(shù)；（3【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y=x2+3x（2）利用“親密函數(shù)”建立y=0時(shí)方程，解方程，得出“親密函數(shù)”與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，與原函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)比較，得出規(guī)律即可；（3）先將函數(shù)變形，發(fā)現(xiàn)與“親密函數(shù)”類似，根據(jù)原函數(shù)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)得出“親密函數(shù)”與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用2x等于交點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出x得出所求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)y=x2+3x-4故答案為：y=（2）x2-3它的“親密函數(shù)”的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4和1，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c（b2故答案為4和1；互為相反數(shù)；（3）y=4∵二次函數(shù)y=x2+bx-2021∴二次函數(shù)y=x2-bx-2021∴y=4x2-2bx-∴2x=1,2x=2021，∴x=-12∴二次函數(shù)y=4x2-2bx-【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)，仔細(xì)閱讀題目，抓住實(shí)質(zhì)，拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)和一元二次方程的根，利用“親密函數(shù)”變形得出新函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【類型2二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題中的新定義問題】1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b叫做一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax＋b叫做二次函數(shù)y=ax2+a+bx+b的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且【答案】y【分析】由“滋生函數(shù)”和“本源函數(shù)”的定義，運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)y=【詳解】解：由題意得﹣解得a∴函數(shù)y=ax故答案為：y=【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算下的一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是充分理解新定義“本源函數(shù)”．2．（2023春·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果函數(shù)圖象上存在橫?縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．例如，點(diǎn)1,1是函數(shù)y=-2x+3的不動(dòng)點(diǎn)．已知二次函數(shù)y(1)若點(diǎn)-1,-1是該二次函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求b(2)若該二次函數(shù)始終存在不動(dòng)點(diǎn)，求b的取值范圍．【答案】(1)1+3或(2)b【分析】（1）根據(jù)“不動(dòng)點(diǎn)”定義，建立方程求解即可；（2）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義求出函數(shù)，再根據(jù)判別式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：依題意把點(diǎn)-1,-1代入解析式y(tǒng)得-1=1-2b+2+b（2）解：設(shè)點(diǎn)t,t是函數(shù)則有t=t2∵關(guān)于t的方程有實(shí)數(shù)解，∴Δ=2b【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與新定義“不動(dòng)點(diǎn)”應(yīng)用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情況與判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解并利用新定義解決問題．3．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y1=2kx+k與函數(shù)y2(1)若k=2，則“和函數(shù)”y=(2)若“和函數(shù)”y為y=x2+bx-2(3)若該“和函數(shù)”y的頂點(diǎn)在直線y=-x上，求【答案】(1)x2(2)-5，-(3)k=3或-【分析】（1）將k=2代入函數(shù)y1=2kx+（2）y的解析式為y=y1+y（3）先得出和函數(shù)y=y1+y【詳解】（1）解：當(dāng)k=2時(shí)，y∵函數(shù)y2=x∴y=4故答案為：x2（2）解：∵函數(shù)y1=2kx+k∴和函數(shù)y的解析式為y=∵和函數(shù)y的解析式為y=∴b=2k-∴k=-5，b故答案為：-5，-（3）解：由題意得和函數(shù)為y==（∴和函數(shù)的頂點(diǎn)為（1-∵和函數(shù)的頂點(diǎn)在y=-∴-k整理得k2解得k1=3，故答案為：k=3或-【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)兩點(diǎn)Ax1,y1(1)①已知點(diǎn)A-2,1，則d②函數(shù)y=-2x+40≤x≤2的圖象如圖①所示，(2)函數(shù)y=x2-5x+7x≥0【答案】(1)①3，②1,2(2)3，2,1【分析】（1）①根據(jù)公式dA,B=x1-x2+y1-y2直接計(jì)算即可；②根據(jù)函數(shù)y（2）函數(shù)y=x2-5x+7化為頂點(diǎn)式為：y=x-522+34，即可得【詳解】（1）①∵A-2,1，∴dO故答案為：3；②∵點(diǎn)B是函數(shù)y=-2∵函數(shù)y=-2∴xB≥0，yB∵dO∴0-x∴xB∵yB∴yB解得：xB∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：1,2，（2）函數(shù)y=x2∴y=∵x≥0，點(diǎn)D∴yD≥34，∴dO∴dO∴dO∴當(dāng)xD=2時(shí)，dO∴yD∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：2,1，即最小值為3，D點(diǎn)坐標(biāo)為2,1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分理解定義的兩點(diǎn)間距離：dA5．（2023春·上海·九年級(jí)上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)校考期中）我們定義【a，b，c】為函數(shù)y=ax2+bx+c的“特征數(shù)”，如：函數(shù)y=2x2-3x+5的“特征數(shù)”是【2，-(1)若一個(gè)函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，-4，1】，將此函數(shù)圖像先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到一個(gè)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是______(2)將“特征數(shù)”是【0，-33，-1】的圖像向上平移2(3)在（2）中，平移前后的兩個(gè)函數(shù)圖像分別與y軸交于A、B兩點(diǎn)，與直線x=-3分別交于D、C兩點(diǎn)，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，并求出以A、B、C、(4)若（3）中的四邊形與“特征數(shù)”是【1，-2b，b2【答案】(1)【1，0，-2(2)y(3)圖見解析；面積為2(4)-【分析】（1）由已知可知y=x2-4x+1（2）由已知可知函數(shù)為y=-33（3）令x=0，求出A(0,-1)，B(0,1)，令x=-3，求出D-3（4）由已知可得y=x2-2bx+b2【詳解】（1）解：∵函數(shù)的特征數(shù)是【1，-4，1∴函數(shù)為y=將函數(shù)向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=∴函數(shù)y=x2-2的“特征數(shù)”是【1故答案為：【1，0，-2（2）∵函數(shù)的“特征數(shù)”是【0，-33，∴y=-∵函數(shù)圖象向上平移2個(gè)單位，∴平移后函數(shù)為y=-故答案為：y=-（3）解：令x=0，則A∴AB=2令x=-3，則D-∴CD=2，AO∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=∴四邊形ABCD是菱形．S四邊形（4）∵函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，-2b，∴y=∴由函數(shù)圖象得：函數(shù)與AD邊無交點(diǎn)，∴函數(shù)與BC邊有交點(diǎn)，將B(0,1)代入函數(shù)y=x將C-3，2代入函數(shù)∴-3【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合、新定義，函數(shù)的平移，理解定義，能將定義與所學(xué)函數(shù)知識(shí)結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·福建龍巖·九年級(jí)校考期末）定義：對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：一次函數(shù)y=x(1)已知點(diǎn)A（2，1）