學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學1。任意角的三角函數（1）任意角的三角函數由初中所學可知銳角的三角函數是通過直角三角形定義的.但角的概念推廣以后，用直角三角形定義一個角的三角函數就有了一定的局限性。在上一節的學習中我們在直角坐標系中研究了任意角.同樣,我們也可以在直角坐標系中定義任意角的三角函數。聯想發散初中學習的銳角三角函數是用直角三角形邊的比值來定義的，受直角三角形的約束,不能類似地定義任意角的三角函數。如果建立平面直角坐標系，就可用角的終邊上點的坐標來定義任意角的三角函數，以進一步研究它的性質。對于一個任意角α，讓其頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合，在α的終邊上任取(異于原點的)一點P(x,y）。記P到原點的距離為r，則P與原點的距離r=（如圖1-2圖1-2當α為銳角時，過P作PM⊥x軸于M，則三角形OMP為直角三角形，則由銳角三角函數的定義可得sinα=,cosα=，tanα=。此定義與初中所學的三角函數的定義實質相同.一般地，對任意α我們規定：①比值叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=；②比值叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=；③比值叫做α的正切,記作tanα，即tanα=.此外，比值叫做α的余切，記作cotα=；比值叫做α的正割,記作secα=；比值叫做α的余割，記作cscα=.由初中所學的三角形相似的知識可知對于確定的角α，比值和都是唯一確定的，因此正弦和余弦都是角α的函數。當α=+kπ，k∈Z時,角α的終邊與和—的終邊相同，都落在y軸上，此時P點的橫坐標x為0，比值無意義,即此時tanα無意義，除此之外，對于確定的角α(α≠+kπ,k∈Z),比值也是唯一確定的，所以正切也是角α的函數。正弦函數、余弦函數和正切函數都稱為三角函數.聯想發散函數是由定義域、值域、對應法則三部分構成的，三角函數的自變量是角，比值是函數值，“求正弦”“求余弦”“求正切"等是對應法則.深化升華對于任意角的三角函數應注意以下幾點：①角是“任意角”,當β=2kπ+α（k∈Z）時，β與α的同名三角函數值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數值相等；②實際上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用.③三角函數是以“比值"為函數值的函數；三角函數的值的大小僅與角有關，而與終邊上所取的P點的位置無關，即對于確定的角α，這些比值都不會隨點P在角α的終邊上的位置的改變而改變.④r＞0，但x、y的正負卻隨象限的變化而不同，故三角函數的符號應由象限確定（今后將專門研究).誤區警示sinα、cosα、tanα等三角函數的記法表示一個整體，離開自變量α的sin、cos、tan等都是沒有意義的.例如sinα并不表示“sin”與“α”的乘積，就像函數“f(x)”不表示“f”與“x"的乘積一樣，sinα是一個比值，如sin，它表示的正弦值，即sin=.同理，cosα、tanα的意義也是一樣的。(2)三角函數值的符號由初中所學過的知識我們知道銳角的三角函數均為正值，現在我們把銳角擴充為任意角，并且用坐標定義了任意角的三角函數，則任意角的三角函數的符號又是怎樣的呢？要回答這個問題，這就用到了三角函數的定義：sinα=；cosα=；tanα=.由于r為正值,則角α的正弦值的符號與y的符號相同；角α的余弦值的符號與x的符號相同;角α的正切值的符號取決于x、y的符號,當x、y相同時正切值為正值，當x、y符號相異時正切值為負值.所以,當角的終邊在第一象限時,由于角α終邊上點的坐標均為正值,故角α的三角函數為正值；當角的終邊在第二象限時，由于角α終邊上點的縱坐標為正值，橫坐標為負值,則角的正弦值為正值，其他的三角函數值為負值；當角的終邊在第三象限時，由于角α終邊上點的坐標均為負值，則角的正切值為正值,其他的三角函數值為負值;當角的終邊在第四象限時，由于角α終邊上點的橫坐標為正值,縱坐標為負值,則角的余弦值為正值，其他的三角函數值為負值。學法一得三角函數的符號是由角終邊所在象限所確定的，要想掌握三角函數的符號,應掌握各象限中的點及坐標軸上點坐標的特點。記憶要訣綜合三角函數值在各象限的符號，從取正號方面來看,可記憶為：“一全正，二正弦，三正切，四余弦",即“一全正"是指在第一象限的各三角函數值均為正；“二正弦”指的是在第二象限只有正弦值為正值；“三正切”指的是在第三象限只有正切值為正值；“四余弦”指的是在第四象限只有余弦值為正值.2.有向線段與三角函數線(1）有向線段規定了方向(即規定了起點和終點)的線段稱為有向線段。類似地，可以把規定了正方向的直線稱為有向直線,例如數軸就是有向直線.當有向線段AB在有向直線l上或與有向直線l平行時,根據有向線段AB與有向直線l的方向相同或相反，分別把它的長度添上正號或負號所得的數叫做有向線段的數量，記為AB，為了區分有向線段和它的數量，一般在有向線段前加上“有向線段”。誤區警示有向線段AB書寫時不能寫成BA，這種寫法是錯誤的.這是因為在書寫有向線段時,一定要將起點寫在前而終點寫在后。深化升華當有向線段的方向與有向直線的方向相同時，有向線段的數量為正數；當有向線段的方向與有向直線的方法相反時，有向線段的數量為負數.（2)三角函數線設任意角α的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，由于角α的三角函數值與點P在角終邊上的位置無關，所以為了簡單起見，取r=1，即選取角α的終邊與單位圓(圓心在原點O,半徑等于單位長度的圓)的交點為P點，則sinα=y，cosα=x.如圖1-圖1又不難得出有向線段OM、OP的長度分別為｜x|、｜y|。若x＞0,則OM看作與x軸同向，OM具有正值x；若x＜0，OM看作與x軸反向，OM具有負值x，所以總有OM=x，同理，有MP=y，所以有sinα=MP,cosα=OM。則有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線和余弦線。過點A(1,0）作單位圓切線，與α角的終邊（角的終邊在第一或第四象限如圖1-2-3中①④）或其反向延長線（角的終邊在第二、三象限，如圖1-2—3中①②)交于T（1，y′）,則當角的終邊在y軸的右側時，tanα==y′；當角的終邊在y軸的左側時，T（—1，-y′)在角的終邊上，此時tanα==y′.又有向線段AT的長度為｜y′｜，當y′＞0時，有向線段AT與y軸方向相同,此時有y′=AT;當y′＜0時，有向線段AT與y軸方向相反，此時有y′=AT,所以tanα=有向線段MP、OM、AT統稱為三角函數線.誤區警示書寫正弦線時，一定要注意不能寫成PM，而應寫成MP.這是因為三角函數線為有向線段，當線段中含有原點時,原點為起點；當線段中不含原點時，垂足為起點，對于正切線應注意其起點坐標始終是(1，0).當角α的終邊在x軸上時，正弦線和正切線分別變成一個點；當角α的終邊在y軸上時，余弦線變為一個點，而正切線不存在。辨析比較三角函數線都是有向線段,當它們的方向與坐標軸的方向相同時,對應的三角函數值為正值；當它們的方向與坐標軸的方向相反時，對應的三角函數值為負值.正弦線的起點在x軸上,且與y軸平行，余弦線的起點是原點，它在x軸上，正切線的起點為(1,0），它與y軸平行。學法一得學習三角函數線，應從它的方向和它與坐標軸的位置關系入手.由于角的集合和實數的集合之間可以建立一一對應的關系,因此三角函數可以看作是以實數為自變量的函數，在弧度制下三角函數的定義域如下：y=sinαRy=cosαRy=tanα{α｜α≠kπ+(k∈Z）｝利用三角函數線，我們可以比較兩個角同名三角函數值的大小、求已知三角函數值所對應的角、解簡單的三角不等式、求三角函數的定義域等.同時它也是學習三角函數的圖象和性質的基礎。深化升華正弦線、余弦線、正切線解釋了正弦函數、余弦函數、正切函數的幾何意義，是從“形”的方面研究三角函數，直觀、形象.3。同角三角函數關系（1)公式的推導方法一：設角α終邊與單位圓交于點P，則P點的坐標為(cosα,sinα)，又由OP的長度為1不難得出sin2α+cos2α=1；由正切函數的定義,可知當α≠+kπ，k∈Z時，有tanα=。方法二：由于sinα=,cosα=，tanα=,cotα=，當α≠kπ+（k∈Z）時,有=·==tanα;又x2+y2=r2，所以sin2α+cos2α=（)2+(）2===1。由上我們可得以下公式：sin2α+cos2α=1,tanα=。(2）公式的變形如：sin2α+cos2α=1可變形為sin2α=1-cos2α、sinα=±（α為第一、二象限角取正號；α為第三、四象限角時取負號）等.=tanα可變形為sinα=tanα·cosα、cosα=等.深化升華對于同角三角函數關系應注意：①“同角"的概念與角的表達形式無關,它可以是正角、負角和零角,也可以是具體的角,還可以是字母或代數式。如:sin23α+cos23α=1，=tan等，均成立.②上述關系（公式）都必須在定義域允許的范圍內才能成立.③據此，由一個角的任一三角函數值可求出這個角的其余各三角函數值,且因為利用“平方關系”公式,最終需求平方根，會出現兩個解的情況，因此應盡可能少用（實際上,至多只用一次）。誤區警示對于同角三角函數基本關系式應以“同角”為大前提，比如sin2α+cos2β=1就不一定成立了，這是因為等式中的兩個角不相同.此外等式tan=也不成立，這是因為tan不存在，因此,同角三角函數基本關系式必須在使三角函數有意義的范圍內使用。（3）公式的應用利用同角三角函數關系：sin2α+cos2α=1，tanα=，我們可以求值——即已知一個三角函數值求該角的其他三角函數值；化簡含有三角函數的式子和證明三角恒等式。①求值利用同角三角函數基本關系式求值常見的有三種類型：1）已知角α的某一三角函數值及角α所在的象限，求角α的其他三角函數值。事實上，如果已知角α的某一三角函數值及角α所在的象限,那么角α就是確定的,α的其他三角函數值也就隨之確定了。解此類題的難點是如何根據角α終邊所在的象限求出它的其他三角函數值，其突破點是正確運用平方根及象限角的概念.2）已知角α的某一三角函數值，但不知角α終邊所在的象限,求角α的其他的三角函數值。事實上，如果已知角α的某一三角函數值，但不知角α終邊所在的象限，那么角α的終邊位置一般有兩個.解此類題的難點是如何根據角的三角函數值確定角的終邊位置,進而求出其他的三角函數值,其突破點還是正確運用平方根及象限角的概念.3)已知角α的某一三角函數值是用字母給出的，且沒有指定角α所在的象限，求角α的其他三角函數值。解此類題的一般步驟是:首先對字母分類;其次在各類中按第（2）類中的解法解題.誤區警示已知角α的某一三角函數值，求角α的其他三角函數值時，極易產生遺漏，比如已知sinα=，在求cosα的值時,極易得出cosα=這一錯誤結論。產生遺漏的原因：一是沒有確定好或不去確定角α終邊的位置；二是利用平方關系時，漏掉了負的平方根。②化簡化簡實際上是一種沒有指定答案的恒等變形，但要盡量把結果化成最簡形式.化簡的思路是：盡可能地化為同類三角函數后再化簡.對于三角函數式的化簡結果應滿足下述要求：函數的種類盡可能地少；次數盡可能地低；盡可能地化為積的形式；盡可能地不含三角函數;盡可能地將根號內的式子移到根號外.③利用同角三角函數的關系式證明三角恒等式證明恒等式的過程實質上就是通過分析、轉化和消去等式兩邊的差異來促成兩邊統一的一個過程。常見的證明方法有：1)從等式的一邊開始,證明它等于另一邊；2)先證得另一個等式成立，從而推出需要證明的等式成立;3）證明左、右兩邊都等于同一個式子；4）比較的方法證明三角恒等式,即證明兩邊差為零或商為1。4。三角函數的誘導公式（1)三角函數誘導公式由三角函數的定義可知,終邊相同的角的同一三角函數值相等，即有sin(2kπ+α)=sinα，k∈Z,cos(2kπ+α）=cosα，k∈Z,tan(2kπ+α）=tanα,k∈Z,我們稱此組公式為公式一，此外這組公式也可以記為sin(360°k+α）=sinα,k∈Z,cos(360°k+α）=cosα,k∈Z,tan（360°k+α)=tanα,k∈Z。公式一的作用是可以將任意角的三角函數轉化為0°—360°范圍內的角的三角函數.若角α的終與角β的終邊關于x軸對稱(如圖1-圖1-2-4sinβ=—sinα，cosβ=cosα。又-α與α的終邊關于x軸對稱，故有sin（—α）=—sinα,cos(-α)=cosα,tan（-α)=—tanα,我們稱此組公式為公式二.由此公式,我們可知正弦函數和正切函數是奇函數，而余弦函數是偶函數。聯想發散由誘導公式二的推導過程，可知正弦、余弦函數的圖象分別關于原點和y軸對稱。這個性質就是我們后面所講的正弦函數和余弦函數的奇偶性.公式二的作用是將負角的三角函數轉化為正角的三角函數。若角α的終邊與角β的終邊關于y軸對稱（如圖1—圖1-2-5sinβ=sinα，cosβ=—cosα.又角π—α與α的終邊關于y軸對稱，故有sin(π—α）=sinα,cos(π-α)=—cosα,tan（π-α)=—tanα，我們稱此組公式為公式三,此外這組公式也可以記為sin(180°—α)=sinα,cos（180°—α)=-cosα,tan(180°-α）=-tanα,公式三的作用是將第二象限角的三角函數轉化為第一象限角的三角函數.若角α的終邊與角β的終邊關于原點對稱（如圖1-圖1sinβ=—sinα，cosβ=—cosα。又角π+α與α的終邊關于原點對稱，故有sin(π+α)=—sinα,cos（π+α)=-cosα，tan（π+α）=tanα,我們稱此組公式為公式四，此外這組公式也可以記為sin(180°+α）=-sinα，cos(180°+α）=-cosα，tan（180°+α）=tanα，公式四的作用是將第三象限角的三角函數轉化為第一象限角的三角函數.記憶要訣對上面四組誘導公式，可簡記為“函數名不變，符號看象限”.具體方法如下：此四組誘導公式不改變函數的名稱，在判斷符號時，將α視為銳角，然后確定α＋k·360°（k∈Z)，—α，180°±α的終邊位置,利用它們的終邊位置來確定符號.比如sin(180°—α）與sinα的關系,若將α視為銳角,則180°-α是第二象限，正弦值為正值,則有sin(180°-α)=sinα.若角α的終邊與角β的終邊關于直線y=x對稱（如圖1—圖1-2-7sinβ=cosα,cosβ=sinα。又角-α與α的終邊關于y軸對稱，故有sin(-α）=cosα，cos（—α）=sinα.我們稱此組公式為公式五,此外這組公式也可以記為sin(90°—α)=cosα,cos（90°-α)=sinα.又sin（+α）=sin［-（—α)]=cos（—α)=cosα,cos（+α)=cos［—(—α)］=sin(—α）=—sinα.故有sin（+α）=cosα，cos（+α）=—sinα，我們稱此組公式為公式六，此外這組公式也可以記為sin（90°+α）=cosα，cos（90°+α）=—sinα。以上六組公式我們稱它們為三角函數的誘導公式。記憶要訣對上面兩組誘導公式,可簡記為“函數名稱變互余，符號看象限”.具體方法如下:這兩組誘導公式改變函數的名稱，在判斷符號時，將α視為銳角，然后確定90°±α的終邊位置,利用它們的終邊位置來確定符號.比如sin（90°-α）與cosα的關系,若將α視為銳角,則90°—α是第一象限,余弦值為正值,則有sin（90°—α)=cosα.深化升華上面六組誘導公式可歸納為k·90°±α（k∈Z)的三角函數值與α三角函數值之間的關系，當k為偶數時得角α的同名三角函數值,當k為奇數時得角α的異名三角函數值。然后在前面加上一個把角α看成銳角時原三角函數值的符號。可簡記為“奇變偶不變，符號看象限”。辨析比較誘導公式所揭示的是終邊具有對稱關系的兩個角的三角函數之間的關系。它實現了不同角的三角函數之間的轉化，而同角三角函數關系式所揭示的是同角的三角函數之間的關系,實現的則是同角的三角函數名稱之間的轉化.對于誘導公式應注意：公式中的角α為任意角，它可以是正角、負角和零角,也可以是具體的角,還可以是字母或代數式。(2）誘導公式的作用與應用誘導公式的作用在于化任意角的三角函數為0°—90°范圍內的角的三角函數.其步驟為：將任意角的三角函數化為相應正角的三角函數,再化為0°—360°范圍內角的三角函數,進而化為銳角的三角函數。這一轉化過程充分體現了將未知化為已知的化歸思想.記憶要訣上述步驟可簡記為“負化正,大化小,最后化銳角".利用誘導公式,我們可以處理三角函數的求值、化簡和證明的有關問題。典題·熱題知識點1任意角的三角函數例1（1)已知角α的終邊經過點P(7m，-24m(2）已知角α的終邊經過P(4a,-3a思路分析：本題主要利用三角函數的定義.(1)中點位置確定，則可先設出一點，求出點到原點的距離，然后利用定義求解即可；（2）中點的坐標中含參數，則需分類討論.解：（1）由定義及已知可得r==-25m，所以sinα==，cosα==。所以sinα+cosα=。(2）由于r==5|a｜。若a＞0，r=5a,則sinα==-,cosα==，∴2sinα+cosα=。若a＜0，r=—5a，則sinα==,cosα==-,∴2sinα+cosα=.方法歸納如果角α的終邊上一點的坐標已經確定，則可根據三角函數的定義求其三角函數值。若點坐標中含有參數時，可根據具體情況來決定是否進行分類討論.例2已知點P（x,3）在角α的終邊上，且sinα=,求tanα。思路分析:由三角函數的定義可以通過sinα=得到點P的橫坐標,從而再用tanα=求出tanα的值.解：由于r=，則有sinα==，由此可得x=±4。所以tanα===±.方法歸納本題的關鍵是根據角α的正弦列出方程，從而根據三角函數的定義來求角的正切值。例3已知θ是第三象限角且cos＜0，問是第幾象限角？思路分析：解題的關鍵是將角θ的范圍表示出來，進而表示出的范圍，再根據cos＜0來確定的終邊位置。解：由于θ是第三象限角，則有（2k+1)π＜θ＜（2k+1）π+(k∈Z）,∴kπ+＜＜kπ+(k∈Z)，則是第二或第四象限角.又∵cos＜0，則是第二或第三象限角。∴必為第二象限角.方法歸納已知角的范圍可知其三角函數的符號,反過來，已知一個角的三角函數的符號，我們也可以判斷出其大致范圍.深化升華當角的正弦值為正值,則角的終邊在第一、二象限或y軸的正半軸上，當角的正弦值為負值,則角的終邊在第三、四象限或y軸的負半軸上;當角的余弦值為正值，則角的終邊在第一、四象限或x軸的正半軸上，當角的余弦值為負值,則角的終邊在第二、三象限或x軸的負半軸上；當角的正切值為正值，則角的終邊在第一、三象限，當角的正切值為負值，則角的終邊在第二、四象限。知識點2有向線段與三角函數線例4分別作出和-的正弦線、余弦線和正切線．思路分析：利用單位圓中三角函數線的作法作圖．解：(1)在直角坐標系中作單位圓，如圖1—2—8，以Ox軸為始邊作角，角的終邊與單位圓交于點P，作PM⊥Ox軸，垂足為M,由單位圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線與OP的反向延長線交于T點，則sin=MP,cos=OM,tan=AT，即的正弦線為有向線段MP,余弦線為有向線段OM,正切線為有向線段AT．圖1（2)同理可作出-的正弦線、余弦線和正切線,如圖1—2sin(—)=M1P1，cos(-)=O1M1，tan(-）=A1T1，即-的正弦線為有向線段M1P1,余弦線為有向線段O1M1,正切線為有向線段A1T1．圖1-2方法歸納三角函數線是單位圓中的有向線段，在作某角的三角函數線時，一定要先作單位圓。正弦線的起點在x軸上且與y軸平行，余弦線在x軸上，以原點為起點，正切線的起點為(1,0）且與y軸平行,這就是畫三角函數線的主要依據.例5已知sinα=，求出角α的終邊,然后求出角α的取值集合。思路分析:可利用單位圓中的有向線段-—三角函數線求角的取值集合.解：如圖1—2—10，已知角α的正弦值為，可知MP=，則P點的縱坐標為，所以在y軸上取點(0，），過點作x軸的平行線，交單位圓與M、N兩點,則OM、ON為角α的終邊，因而角α的取值集合為{α|α=2kπ+或α=2kπ+，k∈Z}.圖1方法歸納利用三角函數線求已知三角函數值所對的角的集合時，首先在［0，2π)內找出符合條件的角，再用終邊相同的角的集合表示出來即可。例6利用三角函數線比較下列各組數的大小：（1）sin與sin;(2)tan與tan.思路分析：畫出三角函數線，利用三角函數比較大小.解：如圖1-2-11，作出和的正弦線和正切線，在圖中，P1M1和AT1分別為的正弦線和正切線，P2M2和AT圖1-2由圖可知sin＞sin，tan＜tan.方法歸納三角函數線是三角函數值的體現，從三角函數線的方向可看出三角函數值的正負，其長度是三角函數值的絕對值。因此,比較兩個三角函數值的大小,可以借助三角函數線。例7求下列函數的定義域:(1）y=;(2）y=+log2（2sinx-）。思路分析：(1）中要使根號有意義；(2）中要使根號和對數式都有意義.解：(1）由題意得即由圖1—2-圖1｛x|+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z｝.(2)如圖1-2圖1即所以函數y=+log2（2sinx—)的定義域為｛x｜-＜x＜—或＜x＜或＜x＜}.方法歸納函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，求函數的定義域一般是解不等式或不等式組.在求不等式或不等式組的解集時,要注意分清是求交集還是求并集。解簡單的三角不等式一般是利用單位圓中的有向線段，此外解簡單的三角不等式也可以利用三角函數的圖象。在求解時,首先找出它在區間［0,2π］上的解集，再根據它的周期性求出其在實數范圍或其他范圍內的解集.知識點3同角三角函數關系例8(1)已知α是第三象限角，且sinα=-,求角α的余弦、正切.（2）已知cosα=—，求sinα，tanα的值.（3)已知tanα是非零實數，用tanα表示sinα，cosα.思路分析:利用基本關系式、公式變形和分類討論的數學思想.解：(1）因為sin2α+cos2α=1，所以cos2α=1-sin2α=1-(-)2=.又因為α是第三象限角，所以cosα＜0.于是cosα=—=—。從而tanα==（—)×（—）=。（2)因為cosα＜0,且cosα≠-1,所以α是第二象限或第三象限的角。如果α是第二象限的角，則有sinα=,tanα==×（-）=—。如果α是第三象限的角，則有sinα=—，tanα=.(3)因為sin2α+cos2α=1，所以sin2α=1—cos2α.又因為=tanα，所以tan2α===—1.于是=1+tan2α，cos2α=.由tanα是非零實數，可知角α的終邊不在坐標軸上。從而cosα=sinα=tanα·cosα=深化升華利用同角三角函數基本關系式，在已知一個三角函數值而求其他三角函數值時,應首先根據所給三角函數值和已知條件判斷角的終邊位置,如果沒法判斷的話應注意分類討論.而在具體求解時應首先利用平方關系，再利用其他關系。例9已知sinα=，cosα=,α是第四象限角,求tanα的值。思路分析：利用同角三角函數關系式.解：∵sin2α+cos2α=1，∴()2+()2=1。化簡，整理得m（m—8）=0,∴m1=0,m2=8。當m=0時,sinα=,cosα=—(與α是第四象限角不符);當m=8時,sinα=—,cosα=,∴tanα=-.方法歸納在平時解題時要注意題中的隱含條件,如本題中就隱含著（）2+(）2=1這一條件.例10已知sinα=3cosα,求下列各式的值.(1);（2)sinαcosα；(3)3sin2α+2.思路分析：若由sinα=3cosα可得tanα=3，求sinα、cosα的值，則要將α分為一、三象限討論，那么sinα、cosα的正負號就不確定了，所以解本題要注意應用基本關系式.對于(2)（3）兩題還應注意“1”的代換.解：由sinα=3cosα,根據基本關系式可得tanα=3。(1).(2)∵sinαcosα===，又tanα=3,代入得sinαcosα===.(3)3sin2α+2=3sin2α+2（sin2α+cos2α）=5sin2α+2cos2α==。方法歸納這類題的解法體現了化歸思想的應用,即對只含有正弦、余弦的齊次式，可根據同角三角函數的商數關系，通過除以某一齊次項，轉化成只含有正切的式子.這種化弦為切的技巧，有著廣泛的應用。深化升華凡是分子、分母是某個角的正弦、余弦函數的齊次多項式，都可以用這個角的正切函數來表示。在三角知識中“1"的變換很多，除了平方關系之外,還有為了湊出某個公式的條件，也可以乘以“1”。例11已知f（x)=。若α∈(，π)，則f(cosα)+f（-cosα）可化簡為_________________。思路解析：本題化簡的主要目的是去根號，可首先“湊”同角三角關系式，以達到去根號的目的.由已知可得f(cosα)+f（-cosα)===+。又α∈（，π），f（cosα)+f(—cosα）=+=。答案：方法歸納根式型三角函數式的化簡目的應化為“最簡根式”或不含根號的式子。在本題化簡的過程中含有絕對值,在去絕對值時一般要分類討論,由于本題中角的象限已給，故不必討論。例12求證：=。思路分析：本題的證法較多，可從左推右,可證左右歸一，也可由右推左。此題很好地體現了證明三角恒等式的一些常用方法。證明:（方法一)左邊===。右邊====.∴左邊=右邊，原等式成立。（方法二）左邊====+=+==右邊.(方法三）左邊=====右邊.（方法四)左邊=(tanα+sinα)·=（tanα+sinα)·=（tanα+sinα）·=(tanα+sinα）·==右邊.（方法五）∵tan2αsin2α=tan2α（1—cos2α),∴tan2αsin2α=tan2α-sin2α。∴=.方法歸納本題列舉了五種證法，其中證法一是切化弦的思想，這是利用基本式化簡三角式和證明三角恒等式常用的思想方法;證法二、證法三涉及到了添項的方法，有一定的技巧性；證法四強調了一個目標意識，即右邊有tanα+sinα這一項，在左邊運算時保留這一項；證法五利用了證明等價命題的方法，較為簡潔.例13已知x=acosα,y=bsinα(a≠0，b≠0)，求證：=1。思路分析:利用同角三角函數關系式,即sin2α+cos2α=1。證明：由已知可得cosα=,sinα=,又sin2α+cos2α=1，所以有=1.方法歸納證明具有條件的三角恒等式，要樹立目標意識,仔細分析所要證明的式子的結構特征，不斷調整證明過程中式子的結構，向目標邁進.本題中sin2α+cos2α=1起到了架設橋梁的作用.例14已知tan2α=2tan2β+1,求證:sin2β=2sin2α-1。思路分析：該題是條件恒等式的證明，關鍵是條件等式的應用。證法一:由已知得tan2β=，則sin2β======-1=2sin2α—1。證法二:由已知tan2α=2tan2β+1，得=+1,sin2α·cos2β=2sin2β·cos2α+cos2α·cos2β，即sin2α（1-sin2β）=2sin2β·cos2α+cos2α(1-sin2β），整理得sin2β（sin2α+cos2α）=sin2α-cos2α.∴sin2β=sin2α—（1—sin2α)=2sin2α—1.方法歸納條件等式的證明一般有兩種思路，一是當從欲證等式的一邊推向另一邊的適當的時候將條件代入，二是直接將條件等式變形為欲證等式。例15已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），求tanθ及sin3θ—cos3θ的值.思路分析：本題主要應用sinα±cosα與sinα·cosα的關系。解：由sinθcosθ=—，0＜θ＜π，得cosθ＜0,∴θ∈（，π）。（sinθ—cosθ）2=,得sinθ-cosθ=。聯立tanθ=—.又sin3θ-cos3θ=（）3—（—)3=，或sin3θ—cos3θ=（sinθ—cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ）=×(1—)=.方法歸納當題目的已知條件中出現“sinx±cosx”或“sinxcosx”時,可考慮利用等式“（sinx±cosx)2=1—2sinxcosx"解題.巧妙變式在上面的題目中，直接給出了已知sinα±cosα的值，然后利用sinα±cosα與sinα·cosα的關系使題目得到解決。本題也可以變換條件,由于sinα、cosα和差與積有一定的關系，因此,也可以將它們與一元二次方程聯系在一起。例如:關于x的方程2x2—（）x+m=0的兩根為sinα和cosα，且α∈(0,2π)，(1)求+的值；(2)求m的值；(3)求方程的兩根及此時的角α.思路解析:利用同角基本關系式和一元二次方程根與系數的關系解題.對于(1）先將其化簡,再利用一元二次方程根與系數的關系找出sinα和cosα之間的關系代入求值即可;對于（2)則直接利用根與系數的關系求解;（3)則在(2)的基礎上求出sinα和cosα的值，然后在(0,2π)內找角即可.知識點4誘導公式例16求sin315°-sin(-480°)+cos(-330°)的值。思路分析:利用誘導公式化為銳角的三角函數值后再求值。解：原式=sin(360°—45°）+sin（360°+120°）+cos(-360°+30°）=-sin45°+sin60°+cos30°=。方法歸納應用誘導公式化簡三角函數的一般步驟：1°用“—α”公式化為正角的三角函數；2°用“2kπ+α"公式化為［0,2π]角的三角函數；3°用“π±α”或“2π-α"公式化為銳角的三角函數。例17(1）已知sin(3π+α)=—，求的值.(2）已知cos（-α）=，求cos(+α）—sin2（α—)的值．（3）已知方程sin（α-3π)=2cos(α—4π),求的值.（4)已知tan（π-α）=a2,｜cos(π-α)|=-cosα,求的值.思路分析：(1)（3）先利用同角三角函數基本關系式和誘導公式將條件和所求化簡后再求值;(2)應注意—α與+α的關系；(4)要注意題目中的隱含條件。解：（1）∵sin（3π+α）=sin(π+α）=—sinα,∴sinα=。∴原式==—sinα=-.（2）cos(+α）=cos［π-（—α)］=-cos(—α）=-,sin2（α-）=sin2［—（—α）］=1-cos2（-α）＝1—（)2=，∴cos(+α)-sin2(α—）=--=-.(3)∵sin(α-3π)=2cos（α-4π)，∴—sin（3π-α)=2cos（4π-α).∴-sin(π-α)=2cos(-α).∴sinα=-2cosα，且cosα≠0.∴原式==-.(4）由題設：tanα=—a2≤0,｜cosα|=—cosα,即cosα≤0。由此：當a≠0時，tanα＜0，cosα＜0，α為第二象限角，∴原式=—=-secα=。當a=0時，tanα=0,α=kπ，∴cosα=±1。∵cosα≤0,∴cosα=—1.∴原式=—=1=（a=0）。綜上所述,=.方法歸納對于條件和結論比較復雜的求值問題，一般需要先將條件化簡后再求值.深化升華利用誘導公式時要注意公式中的角是任意角，它可以是具體的數,也可以是代數式,且還應注意誘導公式是恒等式可以左右互推.例18求證：=-1,k∈Z。思路分析：利用誘導公式時，要注意對k分類討論,即分為奇數和偶數.證明：若k是偶數，即k=2n（n∈Z），則左邊===-1，若k是奇數,即k=2n+1（n∈Z),則左邊===—1.∴原式成立。方法歸納本題根據誘導公式的轉化功能，需對k進行分類討論，即分為奇數、偶數兩類分別討論,這種分類方法是解題的需要,決不是人為隨意的構想.例19設f（α）＝，求f（）.思路分析：化簡f(α）后，再運用誘導公式求f（）的值.解：由于sin(360°-α）=sin[360°+(-α）］=sin（—α）=-sinα,sin（90°+α）=cosα，cos(180°+α)=—cosα，所以有f（α）===.又cos=，所以f(）=.方法歸納在求值問題中，當所求的是一個代數式的值時，一般先化簡代數式,再求值.例20判斷下列函數的奇偶性.（1)f(x）=x2+cosx；（2）f（x)=xcosx+sinx。思路分析：應用函數奇偶性的判斷及正余弦函數的誘導公式。解：(1）因為函數的定義域為R，關于原點對稱，又f（-x）=(—x）2+cos(—x)=x2+cosx=f（x）,所以函數f(x）=x2+cosx是偶函數.（2）因為函數的定義域為R，關于原點對稱，又f(-x)=（-x）cos（—x）+sin（—x）=-xcosx-sinx=-f（x)，所以函數f（x)=xcosx+sinx是奇函數.方法歸納判斷函數的奇偶性主要是利用函數奇偶性的定義，找出f（x)與f（—x)的關系，進行判斷.深化升華函數的奇偶性是函數的一種性質,所以在研究函數的奇偶性時，應首先研究函數的定義域。只有定義域關于原點對稱的函數才有可能具有奇偶性，否則它既不是奇函數也不是偶函數。巧妙變式本例中所給的函數的解析式不需要化簡就可以直接找出f(x)與f(-x）的關系進行判斷,但有些函數在判斷其奇偶性時,需要將其解析式化簡后才能判斷。例如判斷函數y=Asin(+x）(A≠0)的奇偶性．思路解析：先利用誘導公式將函數的解析式化為最簡形式，再利用奇偶性的定義進行判斷.問題·探究交流討論探究問題1教材中同角基本關系式只給出“sin2α+cos2α=1”和“tanα=”兩種，結合所學過的三角知識,你還能找出什么關系式？探究過程：學生甲：由于sinα=，cosα=，secα=，cscα=,則可得出sinαcscα=1,cosαsecα=1.學生乙：由于cotα=，tanα=，則可以得出tanαcotα=1，cotα==cosαcscα等一些結論.學生丙:由于x2+y2=r，則1+tan2α===sec2α.學生丁：除了上面的結論之外還有1+cot2α=csc2α,再根據上面的結論還可以得到許多不同的結論，如cos2α=、sin2α=等。探究結論：根據三角函數的定義可以得到如下一些常見的結論，如:sinαcscα=1，cosαsecα=1，tanαcotα=1,cotα=