4.3.3探索三角形全等的條件（3）數學（北師大版）七年級

下冊第四章三角形學習目標1.探索并正確理解三角形全等的判定方法“SAS”.2.會用“SAS”判定方法證明兩個三角形全等及進行簡單的應用．3.了解“SSA”不能作為兩個三角形全等的條件.

導入新課

小偉作業本上畫的三角形被墨跡污染了，他想畫一個與原來完全一樣的三角形，他該怎么辦？請你幫助小偉想一個辦法，并說明你的理由．讓我們一起繼續探索三角形全等的條件吧！

導入新課1.什么叫全等三角形？能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.2.我們已經學過了哪幾種判定兩個三角形全等的方法？邊邊邊(SSS)，角邊角(ASA)，角角邊(AAS).3.如果已知一個三角形的兩邊及一角，那么有幾種可能的情況呢？“兩邊及夾角”“兩邊和其中一邊的對角”ABCABC它們能判定兩個三角形全等嗎？導入新課講授新課三角形全等的判定（“邊角邊”）一活動1．學生分組活動：畫一個三角形，使它的兩條邊長分別是2.5cm，3.5cm，其中一個角是40°討論：兩個三角形的兩條邊和其中一邊的對角對應相等時，這兩個三角形全等么？講授新課探究一：兩條邊長分別是2.5cm，3.5cm，這兩條邊的夾角為40°，這樣做出的兩個三角形全等．2.5cm3.5cm40°全等講授新課畫一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A：①畫∠DA′E＝∠A；②在射線A′D上截取A′B′＝AB，在射線A′E上截取A′C′＝AC；③連接B′C′．CBAC′B′A

′DE講授新課CBAC′B′A′DE將△A′B′C′剪下，發現△ABC與△A′B′C′全等．講授新課知識要點

“邊角邊”判定方法兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（簡稱“邊角邊”和“SAS”）．幾何語言：CBAFED在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B＝∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．必須是夾角講授新課探究二：活動1.如果“兩邊及一角”條件中的角是其中一邊的對角，比如兩條邊分別為2.5cm，3.5cm，長度為2.5cm的邊所對的角為40°，情況會怎樣呢？小明和小穎按照所給條件分別畫出了下面的三角形，由此你發現了什么？與同伴進行交流.不全等講授新課圖中的△ABC與△ABD滿足兩邊及其中一邊對角相等的條件，但△ABC與△ABD不全等．這說明，有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等．B

A

CD活動2.（1）把一長一短兩根細木棍的一端用螺釘鉸合在一起，使長木棍的另一端與射線BC的端點B重合．適當調整好長木棍與射線BC所成的角后，固定住長木棍，把短木棍擺起來．講授新課（2）①畫∠DB′E＝∠B；②在射線B′D上截取B′A′＝BA；③以A′為圓心，以AC長為半徑畫弧，此時只要∠C≠90°，弧線一定和射線B′E交于兩點C′，F，也就是說可以得到兩個三角形滿足條件，而兩個三角形是不可能同時和△ABC全等的．CBAC′B′A′EFD講授新課也就是說：兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等．所以它不能作為判定兩三角形全等的條件．歸納總結：“兩邊及一內角”中的兩種情況只有一種情況能判定三角形全等．即：兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等．（簡記為“邊角邊”或“SAS”）．講授新課ABCDA′B′C′D′EE'FF'已知：如圖，△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′，AE和A'E'，AF和A'F'，分別是△ABC和△A′B′C′的高和角平分線.試說明AD＝A′D′，AE＝A′E′

，AF＝A′F′并用一句話說出你的發現.對于全等三角形的對應邊上的中線是否相等，你現在有想法了嗎？全等三角形的對應線段（角平分線、高、中線）相等講授新課例：

如圖，AC和BD相交于點O，OA＝OC，OB＝OD.試說明：DC∥AB.解：∵在△ODC和△OBA中，OD=OB(已知)∠DOC=∠BOA(對頂角相等)OC=OA(已知)∴△ODC≌△OBA(SAS)．∴∠C＝∠A(或者∠D＝∠B)(全等三角形的對應角相等)，∴DC∥AB(內錯角相等，兩直線平行)．講授新課找相等邊的方法：1.公共邊；2.等線段加(減)同線段其和(差)相等；3.由中點得到線段相等；4.全等三角形的對應邊相.當堂檢測1.下列條件中，不能證明△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DFC當堂檢測2.如圖,a,b,c分別表示△ABC的三邊長,則圖中與△ABC(

)B當堂檢測3.兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形ABCD是一個箏形，其中AD＝CD，AB＝CB，對角線AC，BD相交于點O，詹姆斯在探究箏形的性質時，得到如下結論：①AC⊥BD；②AO＝CO＝

AC；③△ABD≌△CBD.其中正確的結論有(

)A．0個B．1個C．2個D．3個D當堂檢測4.要測量圓形工件的外徑,工人師傅設計了如圖所示的卡鉗,O為卡鉗兩柄交點,且有OA=OB=OC=OD,若圓形工件恰好通過卡鉗AB,則這個工件的外徑必是CD之長,其中的依據是全等三角形的判定條件_____SAS當堂檢測5.如圖，AC＝DC，BC＝EC，請你添加一個適當的條件：______________________________________，使得△ABC≌△DEC.∠ACB＝∠DCE或∠ACD＝∠BCE或AB＝DE當堂檢測6.如圖，點A，F，E，C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF.試說明：△ABE≌△CDF.解：∵BE∥DF，∴∠AEB＝∠CFD(兩直線平行，內錯角相等).又∵AF＝CE，∴AF＋FE＝CE＋EF，即AE＝CF.在△ABE和△CDF中，

AE=CF(已證)

∠AEB＝∠CFD(已證)

BE=DF(已知)∴△ABE≌△CDF(SAS)．當堂檢測7.如圖，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD，那么AD=BC嗎？分析：如果△AOD≌△BOC，那么AD＝BC．通過在圖形中表示已知條件可知，在△AOD和△BOC中有兩對邊對應相等，雖然還已知∠AOC＝∠BOD，但是∠AOC和∠BOD不是這兩個三角形的內角，不能直接利用“SAS”來證明全等，如果能證明∠AOD＝∠BOC，就可以用“SAS”證明△AOD≌△BOC了．利用等式的性質，易證∠AOD＝∠BOC．DABCO當堂檢測即∠AOD=∠BOC解：

∵∠AOC=∠BOC（已知）

∴∠AOC-∠AOB=∠BOD-∠AOB（等式的性質）

在△AOD和△BOC中，OA=OB（已知），∠AOD＝∠BOC（已證），OD=OC（已知），△AOD≌△BOC（SAS）

∴AD=BC

（全等三角形的對應邊相等）．∵DABCO當堂檢測8.如圖，AB=AC，AD=AE，那么，CD=BE嗎？ABCABACDEDE解：在△ABE和△ACD中，AB=AC（已知），∠A＝∠A（公共角），AE=AD（已知），

∴△ABE≌△ACD（SAS）．∴CD=BE（全等三角形的對應邊相等）．分解當堂檢測9.如圖所示，在湖的兩岸點A，B之間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接測量A，B兩點之間的距離．請你用學過的數學知識按以下要求設計一個測量方案．(1)畫出測量示意圖；(2)寫出測量步驟；(3)計算點A，B之間的距離(寫出求解或推理過程，結果用字母表示)．當堂檢測解：(1)如圖.(2)在湖岸上找到可以直接到達點A，B的一點O，連接BO并延長到點C，使OC＝OB；連接AO并延長到點D，使OD＝OA，連接CD，則測量出CD的長度即為AB的