第12講一元二次方程的根與系數的關系掌握一元二次方程的根與系數的關系以及在各類問題中的運用.一.一元二次方程的根與系數的關系如果一元二次方程的兩個實數根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商.二.一元二次方程的根與系數的關系的應用(1)驗根．不解方程，利用根與系數的關系可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數；(3)不解方程，可以利用根與系數的關系求關于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關系，確定方程中字母系數的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數的關系可以進一步討論根的符號.設一元二次方程的兩根為、，則①當△≥0且時，兩根同號．當△≥0且，時，兩根同為正數；當△≥0且，時，兩根同為負數．②當△＞0且時，兩根異號．當△＞0且，時，兩根異號且正根的絕對值較大；當△＞0且，時，兩根異號且負根的絕對值較大．要點：（1）利用根與系數的關系求出一元二次方程中待定系數后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設置陷阱；（2）若有理系數一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數）．考點1：利用一元二次方程根與系數的關系求值例1．若、是一元二次方程的兩根，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元二次方程根與系數的關系計算求值即可．【解析】解：∵、是一元二次方程的兩根，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若、是一元二次方程的兩根，則，，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解答本題的關鍵．例2．設方程的兩個根為，，則的值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據一元二次方程根與系數的關系求解即可．【解析】解：由一元二次方程根與系數的關系得：．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是熟記，．考點2：通過化簡、變形利用一元二次方程根與系數的關系求值例3．已知關于的一元二次方程有兩個實數根，，若，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據一元二次方程根與系數關系代入求解即可得到答案．【解析】解：由題意可得，，，∵，∴，解得，故選A．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數關系：，．例4．已知、是方程的兩個實數根，則的值是（

）A．2016 B．2018 C．2022 D．2024【答案】A【分析】根據一元二次方程的解得出，根據一元二次方程根與系數的關系得出，代入代數式即可求解．【解析】解：∵、是方程的兩個實數根，∴，，即，∴，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數的關系，掌握以上知識是解題的關鍵．例5．若方程的兩個實數根為、，則的值為（

）A．7 B．3 C．－5 D．9【答案】C【分析】根據一元二次方程根與系數的關系即可得出答案．【解析】解：∵方程的兩個實數根為、，∴，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟知：若是一元二次方程的兩個根，則，；是解本題的關鍵．例6．已知，是一元二次方程的兩個實數根，則=（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得到，，對分式進行運算，代入求解即可．【解析】解：，是一元二次方程的兩個實數根則，，，故選B【點睛】此題考查了一元二次方程根與系數的關系以及分式的運算，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系，，是一元二次方程的兩個實數根，則，．例7．設，是一元二次方程的兩個根，那么的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據一元二次方程解的定義和根與系數的關系得到，，，進而推出，再推出，代入即可得到答案．【解析】解：∵，是一元二次方程的兩個根，∴，，。∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義和根與系數的關系，正確推出是解題的關鍵．考點3：利用一元二次方程根與系數的關系求參數例8．若關于x的一元二次方程的兩個根互為相反數，則m的值為（

）A．3或 B． C．3 D．2或【答案】A【分析】利用根與系數的關系，則這兩個根的和為零，從而得，解方程即可．【解析】設一元二次方程的兩個根分別為、，由題意得：，由一元二次方程根與系數的關系得：，解方程得：，，此時，判別式的值，符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系、解一元二次方程，關鍵是由根與系數的關系得到關于m的一元二次方程．例9．若關于的一元二次方程的兩根互為倒數，則（

）A．3 B．1 C． D．【答案】B【分析】設、是的兩根，根據根與系數的關系，得出，再根據倒數的定義，得出，再利用等量代換，得出，求出的值，再根據原方程有兩個實數根，即可求出符合題意的的值．【解析】解：設、是的兩根，∴根據根與系數的關系，可得：，∵方程的兩根互為倒數，∴可得，∴，解得：，∵方程有兩個實數根，∴，當時，，∴符合題意，當時，，∴不符合題意．∴，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系及根的判別式，熟練掌握根與系數的關系是解本題的關鍵．例10．是方程的兩個實根，若恰成立，則的值為（

）A． B．或 C． D．或1【答案】A【分析】根據根與系數的關系，結合判別式的取值范圍，進行求解即可．【解析】解：是方程的兩個實根，則：，解得：，，∴整理得：，解得：或，∵，∴；故選A．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系．熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．解題時要注意判別式的符號．考點4：利用一元二次方程根與系數的關系分析、判斷命題真假例11．關于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p為常數）根的情況下，下列結論中正確的是（）A．兩個正根B．一個正根，一個負根，正根的絕對值比負根的絕對值大C．兩個負根D．一個正根，一個負根，正根的絕對值比負根的絕對值小【答案】D【分析】方程整理為一般形式，設兩根分別為a，b，利用根與系數的關系表示出a+b與ab，判斷即可．【解析】解：設方程兩根設為a，b，方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，∴由根與系數的關系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，則一個正根，一個負根，正根的絕對值比負根的絕對值小．故選：D．【點睛】此題考查了根與系數的關系，絕對值，以及根的判別式，熟練掌握各自的性質是解本題的關鍵．例12．有兩個關于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個結論中，①如果，那么方程M和方程N有一個公共根為1；②方程M和方程N的兩根符號異號，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個根，那么一定是方程N的一個根；④如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必定是．其中錯誤的結論的個數是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】當時，得出，得出即可判斷①；根據根與系數的關系，由即可判斷②；將代入方程中可得出，方程兩邊同時除以4可得出，由此可得出是方程的一個根，即可判斷③；設相同的根為，將其代入兩方程中作差后可得出，解之可得出，進而可得出兩方程有相同的根，即可判斷④．【解析】解：，方程的一個根為1，方程有一個根為1，如果，那么方程和方程有一個公共根為1，結論①正確；，，，，方程和方程的兩根之積必相等，結論②正確；是方程的一個根，，即，是方程的一個根，結論③正確；設相同的根為，則，①②得：，．，，，，，．即有相同的根，結論④錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數的關系，逐一分析四條選項的正誤是解題的關鍵．考點5：利用一元二次方程根與系數的關系比較根的大小例13．設，是關于x的一元二次方程的兩個實數根．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將一元二次方程化成一般式，再根據根與系數關系得出x1+x2=(1m)=m1，x1x2=n，，然后根據，得出m1<0，n>0，即可求解．【解析】解：∵x2+x+n=mx，∴x2+（1m）x+n=0，∵，是關于x的一元二次方程的兩個實數根．∴x1+x2=(1m)=m1，x1x2=n，∵，∴x1+x2<0，x1x2>0，∴m1<0，n>0，∴m<1，n>0，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系“，是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），則x1+x2=，x1x2=”是解題的關鍵．例14．關于x的方程有兩個不相等的實數根，，則下列結論一定正確的是（

）A． B．C．當時， D．當時，【答案】C【分析】將原式整理為一元二次方程的一般式，根據關于x的方程(x?2)(x?3)=m有兩個不相等的實數根，運用根的判別式可判斷A選項；運用根于系數的關系可判斷選項B；運用求根公式可判斷選項C、D．【解析】解：(x?2)(x?3)=m整理為x2?5x+6?m=0，A、∵關于x的方程(x?2)(x?3)=m有兩個不相等的實數根，∴b2?4ac＞0，即(?5)2?4×1×(6?m)＞0，解得：m＞，故此選項正確，不符合題意；B、根據根于系數的關系可得：x1+x2=，∴，故此選項正確，不符合題意；C、當m>0時，，，∴當m>0時，x1<2<3<x2，故此選項錯誤，符合題意；D、由C可知此選項正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，解一元二次方程，解題的關鍵是熟知根的判別式以及根與系數的關系．考點6：解答證明題例15．已知關于x的方程：．(1)求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根；(2)若方程的兩個實數根，，滿足，求a的值．【答案】(1)見解析(2)或3【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）利用一元二次方程根與系數的關系，可得，從而得到，再由，可得到關于a的方程，即可求解．【解析】（1）解：根據題意得：，∴不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根；（2）解：根據題意得：，∴，即，∵，∴，解得：或3，即a的值為或3．【點睛】本題考查一元二次方程的根；熟練掌握判別式確定根的存在情況，靈活應用根與系數的關系是解題的關鍵．例16．關于的一元二次方程：(1)若方程有兩個不等的實數根，求的取值范圍；(2)若、是方程的兩根，且．求的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由根的判別式可得答案；（2）將，代入，計算可得答案．【解析】（1）解：關于的一元二次方程有兩個不等的實數根，，；（2）解：由一元二次方程根與系數的關系可得：，，，，，，．【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數的關系以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）熟練掌握“當時，方程有兩個不等實數根”；（2）根據根與系數的關系結合，得出關于的一元二次方程．例17．已知關于的方程(1)求證：無論取什么實數，這個方程總有兩個相異的實數根；(2)若這個方程的兩個實數根滿足，求的值及相應的．【答案】(1)詳見解析(2)，，；，，【分析】（1）證明方程有兩個相異的根，即求根的判別式，根據一元二次方程根的判別式即可求解；（2）根據韋達定理，兩根之和，兩根之積的關系即可求解．【解析】（1）證明：由題意得，在一元二次方程中，，，，∴∴，∵，即，∴無論取什么實數，方程總有兩個相異的實數根．故證明過程如上述所示．（2）解：據題意得，，，，，，∵方程總有兩個不相等的實數根，∴異號或有一個為，由，當時，，即，解得，此時，方程為，解得，；當，時，，解得，此時，方程為，解得，，故答案是：，，；，，．【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，理解和掌握一元二次方程根與系數的關系，根的判別式，韋達定理是解題的關鍵．例18．閱讀下列材料并完成練習題：已知一元一次方程的兩個實數根分別為和∵∴對比系數可得：，類比上面的證明方法：(1)如果一元三次方程的兩個實數根分別為，，，______，______，______．(2)已知方程，求值：______．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）將一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解為，再將其按照多項式乘以多項式的方式展開，最后得到，，，由此即可求解；（2）由（1）的結論代入即可求得，，，再將變形為，由此即可求解．【解析】（1）解：根據材料提示得，，∴，，，∴，，，故答案為：，，．（2）解：根據（1）的結論得，一元三次方程中，，，，，∴，，，且，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查根據一元二次方程的韋達定理推理一元三次方程中根與系數的關系，掌握一元二次方程中根與系數的關系，多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵．例19．閱讀下列材料：韋達定理：若一元二次方程的兩根分別為．則，．閱讀下面應用韋達定理的過程：若一元二次方程的兩根分別為．求的值．解：該一元二次方程的判別式，由韋達定理可得：，，解答下列問題：(1)設方程的兩根分別為，不解方程，利用韋達定理求代數式的值；(2)若關于x的一元二次方程的兩實數根分別為，且，利用韋達定理求k的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）利用一元二次方程根與系數的關系，可得，再代入，即可求解；（2）利用一元二次方程根與系數的關系和根的判別式，可得，，從而得到，再由可得到關于k的方程，即可求解．【解析】（1）解：∵，∴設方程的兩根分別為，由韋達定理得：，∴；（2）解：∵關于x的一元二次方程的兩實數根分別為，∴，∴，由韋達定理得：，∵，∴，即，∴，解得：（舍去）或1，所以k的值為1．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．一、單選題1．（2022·內蒙古包頭·中考真題）若是方程的兩個實數根，則的值為（

）A．3或 B．或9 C．3或 D．或6【答案】A【分析】結合根與系數的關系以及解出方程進行分類討論即可得出答案．【解析】解：∵，∴，,則兩根為：3或1，當時，，當時，，故選：A．【點睛】此題考查了根與系數的關系以及解二元一次方程，正確解出方程進行分類討論是解題的關鍵．2．（2022·四川宜賓·統考中考真題）已知m、n是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．0 B．－10 C．3 D．10【答案】A【分析】根據一元二次方程根與系數關系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．【解析】解：∵m、n是一元二次方程的兩個根，∴mn=－5，m2+2m5=0，∴m2+2m=5，∴=5－5=0，故選：A．【點睛】本題考查代數式求值，一元二次方程根與系數關系，方程解的意義，根據一元二次方程根與系數關系和方程解的意義得出mn=5，m2+2m=5是解題的關鍵．3．（2022·貴州黔東南·統考中考真題）已知關于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【分析】根據根與系數關系求出=3，a=3，再求代數式的值即．【解析】解：∵一元二次方程的兩根分別記為，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=a=3，∴a=3，∴．故選B．【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數關系，代數式的值，掌握一元二次方程的根與系數關系，代數式的值是解題關鍵．4．（2022·湖北武漢·統考中考真題）若關于x的一元二次方程有兩個實數根，，且，則（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【分析】根據一元二次方程有實數根先確定m的取值范圍，再根據一元二次方程根與系數的關系得出，把變形為，再代入得方程，求出m的值即可．【解析】解:∵關于x的一元二次方程有兩個實數根,∴,∴∵是方程的兩個實數根,∵，又∴把代入整理得,解得,故選A【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數的關系以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有兩個實數根”；（2）由根與系數的關系結合，找出關于m的一元二次方程．5．（2022·內蒙古呼和浩特·統考中考真題）已知，是方程的兩個實數根，則代數式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【分析】根據一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數的關系即可求解．【解析】解：解：∵，是方程的兩個實數根，∴，，故選A【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．二、填空題6．（2023·四川宜賓·統考中考真題）若關于x的方程兩根的倒數和為1，則m的值為___________．【答案】2【分析】根據根與系數的關系即可求出答案．【解析】解：設方程的兩個根分別為a，b，由題意得：，，∴，∴，解得：，經檢驗：是分式方程的解，檢驗：，∴符合題意，∴．故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．7．（2022·四川巴中·統考中考真題）、是關于的方程的兩個實數根，且，則的值為________．【答案】【分析】，然后根據方程的解的定義以及一元二次方程根與系數的關系，得到關于k的一元一次方程，即可解得答案．【解析】解：∵是方程的根∴，∴∴k=4故答案是4．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數的關系，掌握相關知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的問題是本題的解題關鍵．8．（2022·湖北鄂州·統考中考真題）若實數a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．【答案】【分析】先根據題意可以把a、b看做是一元二次方程的兩個實數根，利用根與系數的關系得到a+b=4，ab=3，再根據進行求解即可．【解析】解：∵a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程的兩個實數根，∴a+b=4，ab=3，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數的關系，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．9．（2022·山東日照·統考中考真題）關于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數根x1，x2，且，則m=__________．【答案】/0.125【分析】根據根與系數的關系得到x1+x2=2m，x1x2=，再由x12+x22=變形得到（x1+x2）22x1x2=，即可得到4m2m=，然后解此方程即可．【解析】解：根據題意得x1+x2=2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）22x1x2=，∴4m2m=，∴m1=，m2=，∵Δ=16m28m＞0，∴m＞或m＜0時，∴m=不合題意，故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，，．10．（2022·四川內江·統考中考真題）已知x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．【答案】2【分析】根據一元二次方程根與系數的關系以及解的定義得到x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根據＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，據此求解即可．【解析】解：∵x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，當k＝2時，關于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；當k＝5時，關于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實數解，不符合題意；∴k＝2，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．三、解答題11．（2023·四川南充·統考中考真題）已知關于x的一元二次方程(1)求證：無論m為何值，方程總有實數根；(2)若，是方程的兩個實數根，且，求m的值．【答案】(1)見解析(2)或．【分析】（1）根據一元二次方程根的情況與判別式的關系，只要判定即可得到答案；（2）根據一元二次方程根與系數的關系得到，，整體代入得到求解即可得到答案．【解析】（1）證明：關于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不論為何值，方程總有實數根；（2）解：∵，是關于x的一元二次方程的兩個實數根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值為或．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關系，一元二次方程根與系數的關系，熟記一元二次方程判別式與方程根的情況聯系、一元二次方程根與系數的關系是解決問題的關鍵．12．（2020·湖北·中考真題）已知關于x的一元二次方程有兩個實數根．（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根據建立不等式即可求解；(2)先提取公因式對等式變形為，再結合韋達定理求解即可．【解析】解：(1)由題意可知，，整理得：，解得：，∴的取值范圍是：．故答案為：．(2)由題意得：，由韋達定理可知：，，故有：，整理得：，解得：，又由(1)中可知，∴的值為．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程判別式、根與系數的關系、韋達定理、一元二次方程的解法等知識點，當＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當=0時，方程有兩個相等的實數根；當＜0時，方程沒有實數根．13．（2019·湖北黃石·統考中考真題）已知關于的一元二次方程有實數根.（1）求的取值范圍.（2）若該方程的兩個實數根為、，且，求的值.【答案】（1）.（2）.【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式△≥0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；（2）由根與系數的關系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，結合|x1x2|=4可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解析】（1）∵關于x的一元二次方程x26x+（4m+1）=0有實數根，∴△=（6）24×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x26x+（4m+1）=0的兩個實數根為x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=42，即3216m=16，解得：m=1．【點睛】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，解題的關鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有實數根”；（2）利用根與系數的關系結合|x1x2|=4，找出關于m的一元一次方程．一、單選題1．方程的兩根為，，下列各式正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據根與系數的關系直接求解即可．【解析】根據題意有：，，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系：若方程的兩根為，，則，．2．已知x2﹣2x﹣5＝0的兩個根為x1、x2，則x1+x2的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5【答案】B【分析】根據根與系數的關系x1+x2代入計算即可．【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩個根，∴x1+x22，故選：B．【點睛】此題考查了根與系數的關系，設x1，x2為方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，則有x1+x2，x1?x2=．3．若是一元二次方程的兩個根，則的值是（）A．4 B．3 C． D．【答案】B【分析】直接利用一元二次方程的根與系數的關系即可得．【解析】解：是一元二次方程的兩個根，，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟記一元二次方程的根與系數的關系是解題關鍵．4．已知，是一元二次方程的兩根，則的值為（

）A．0 B．2 C．1 D．－1【答案】B【分析】利用一元二次方程的解的定義，根與系數的關系，可得x1+x2=2，x12?2x1?1=0，兩式相加，即可求解．【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2?x?1=0的兩個根，∴x1+x2=1，x12?x1?1=0，兩式相加得：x12?x1?1+x1+x2=1移項得：x12+x2=2故選B【點睛】本題考查了一元二次方程，熟練掌握一元二次方程解的定義、根與系數的關系是解題的關鍵．5．已知、是一元二次方程的兩個實數根，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】通分：，根據韋達定理：一元二次方程根與系數的關系：，可得出答案．【解析】解：由韋達定理：，可得，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程韋達定理的應用，檢驗學生對一元二次方程根與系數的關系知識點的掌握情況．6．已知方程的兩根分別為、，則的值為（

）A．1 B． C．2023 D．【答案】B【分析】由題意得，，將代數式變形后再代入求解即可．【解析】解：∵方程的兩根分別為、，∴，，，∴∴．故選：B．【點睛】本題考查根的定義及根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，．熟練掌握代數式的求值技巧是解題的關鍵．7．若關于的一元二次方程（且）與關于的一元一次方程有一個公共解，且方程只有一個解，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由是方程和的一個公共解，可得出是方程的一個解，根據根與系數的關系即可得出，整理后即可得出結論．【解析】解：∵關于的一元二次方程與關于的一元一次方程有一個公共解，∴是方程的一個解，∵方程只有一個解，∴，整理得：．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的解以及根與系數的關系，根據根與系數的關系找出是解題的關鍵．8．若方程有兩個同號不等的實數根，則m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據方程有兩個同號不等的實數根，得到，以及兩根之積大于0，列出不等式組進行求解即可．【解析】解：∵方程有兩個同號不等的實數根，∴，解得：；故選：D．【點睛】本題考查根與判別式以及根與系數的關系．熟練掌握方程有兩個不相等的實數根，，以及兩根之積為是解題的關鍵．9．已知，，若，則下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先推出，，進而得到a、b相當于是關于x的一元二次方程的兩個實數根，由根與系數的關系即可得到．【解析】解：∵，，∴，，∴a、b相當于是關于x的一元二次方程的兩個實數根，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數根，則．10．若方程的兩個不相等的實數根滿足，則實數p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根據一元二次方程解的定義和根與系數的關系得到，，進而推出，則，，即可推出，然后代入，得到，再根據判別式求出符號題意的值即可得到答案．【解析】解：∵是方程的兩個相等的實數根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合題意，∴∴符合題意，故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，根的判別式，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值是解題的關鍵．二、填空題11．設分別是一元二次方程的根，填空：（1）．___________，___________．（2）．___________，___________．（3）．___________，___________．【答案】1/1.5/【分析】（1）根據一元二次方程根與系數的關系求解即可．（2）根據一元二次方程根與系數的關系求解即可．（3）根據一元二次方程根與系數的關系求解即可．【解析】（1）．，．（2）．，．（3）．，．故答案為：，1；，；，．【點睛】此題考查了一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數的關系：，．12．已知是一元二次方程的兩根，則________．【答案】8【分析】利用根與系數的關系求解即可．【解析】解：利用根與系數的關系可知：，故答案為：8．【點睛】本題考查一元二次方程中根與系數的關系：，關鍵是要記住公式．13．若α、β是方程的兩個實數根，則_____．【答案】4【分析】先根據一元二次方程根的定義得到，則，進而得出，然后根據一元二次方程根與系數的關系得，再利用整體代入的方法計算即可．【解析】解：∵α方程的實數根，∴，∴，∴，∵α、β是方程的兩個實數根，∴，∴．故答案為：4．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程的根的定義，得出是解題的關鍵．14．若實數，分別滿足，，且，則的值為______．【答案】【分析】先根據題意可以把、看作是一元二次方程的兩個實數根，利用根與系數的關系得到，再代入代數式進行求解即可．【解析】解：∵、分別滿足，∴可以、看作是一元二次方程的兩個實數根，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了代數式求值，一元二次方程根與系數的關系，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．15．若、為的兩根，則的值為______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個實數根，結合根與系數的關系轉化求解即可．【解析】解：α，β是方程的兩個實數根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程根與關系，若α，β是一元二次方程的兩根時，，．16．若，是關于x的方程的兩個實數根，則代數式的值是___________．【答案】7【分析】根據題意得到，，再將所求式子變形為，代入計算即可．【解析】解：∵，是關于x的方程的兩個實數根，∴，，∴，∴，故答案為：7．【點睛】此題主要考查了根與系數的關系，一元二次方程解的概念，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．17．關于的一元二次方程兩個實數根、且，則m的取值范圍是________；【答案】【分析】根據根的判別式、根與系數的關系列出關于的不等式組，通過解該不等式組，求得的取值范圍．【解析】解：∵的一元二次方程兩個實數根、∴，，解得：，∵，∴，解得：，∴．【點睛】本題考查了解不等式組，一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．18．若關于x的一元二次方程，當時，相應的一元二次方程的兩根分別記為則的值為_________．【答案】【分析】利用根與系數的關系得到，；，；…，；把原式變形，再代入，即可求出答案．【解析】解：∵，，∴由根與系數的關系得：，；，；…，；∴原式故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．三、解答題19．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0的兩個實根．（1）求m的取值范圍；（2）若m滿足2x1+x2＝m+1，求m的值．【答案】（1）m≤；（2）．【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個實數根，所以只需用求出m即可；（2）利用一元二次方程根與系數的關系，先得到，又，計算可得兩根，再由兩根的積建立等式求解即可.【解析】（1）由題意得：解得：故m的取值范圍為；（2）由題意得：聯立①得：將的值代入②得：解得：經檢驗，均在取值范圍內，符合要求故m的值為.【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程根與系數的關系，設有兩個實數根為，則有，這是常考點，需重點掌握.20．關于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有兩個不等實根x1，x2，（1）求實數k的取值范圍；（2）若方程兩實根x1，x2滿足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．【答案】（1）k＜；（2）k＝0【分析】（1）根據一元二次方程的根的判別式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根據根與系數的關系得出x1+x2=（2k1）=12k，x1?x2=k2，代入x1+x2+x1x21=0，即可求出k值．【解析】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有兩個不等實根x1，x2∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0∴k＜；（2）由根與系數的關系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k1?x2＝k2∵x1+x2+x1x2﹣1＝0∴1﹣2k+k2﹣1＝0∴k＝0或2∵由（1）得，k＜∴k＝2舍去∴k＝0．【點睛】本題考查解一元一次不等式，根的判別式和根與系數的關系等知識點，熟記根的判別式和根與系數的關系的內容是解題的關鍵．21．已知關于的一元二次方程.（1）若方程有實數根，求實數的取值范圍；（2）若方程兩實數根分別為，，且滿足，求實數的值【答案】（1）；（2）實數的值是1.【分析】（1）根據方程有實數根的條件，即Δ≥0求解即可；（2）由韋達定理把x1+x2和x1x2分別用含m的式子表達出來，然后根據x12+x22=16+x1x2求解即可.【解析】（1）由題意得當時，原方程有實數根，，;（2）由韋達定理得，

，解得

（舍去）實數的值是1.【點睛】本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，牢記（1）“當△≥0時，方程有實數根”；（2）根與系數的關系，是解題的關鍵.22．已知，是方程的兩根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據題意可得：，，然后將原式化為，再整體代入計算即可；（2）根據，整體代入計算后開平方根求得的值，將原式化為，再整體代入計算即可；（3）將原式化為，再整體代入計算即可；（4）由（2）知的值，再開算術平方根即可．【解析】（1）解：∵，是方程的兩根，∴，，∴，∴的值為；（2）∵∴，∴，∴，∴的值為；（3）∵，∴的值為；（4）由（2）知：，∴的值為．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則，．掌握查一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．23．已知關于的方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程的兩個實數根都是整數，求正整數的值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）求出判別式的符號，進行判斷即可；（2）根據根與系數的關系進行求解即可．【解析】（1）解：∵，∴；∵，∴方程總有兩個實數根；（2）解：設方程的兩個根為，則：，∵方程的兩個實數根都是整數，∴是整數，∵為正整數，∴．【點睛】本題考查根的判別式，根與系數的關系．熟練掌握判別式大于0，方程有兩個不相等的實數根，判別式等于0，方程有兩個相等的實數根，判別式小于0，方程沒有實數根，以及根與系數的關系，是解題的關鍵．24．關于x的一元二次方程：有實數根．(1)求m的取值范圍；(2)若，是方程的兩根，且，求m的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據有實數根，可得，然后解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到求出，，代入已知等式中，求出m值即可．【解析】（1）解：∵方程有實數根，∴，∴；（2）解：∵，是方程的兩個根，∴，，∵，∴，解得：，即m的值是2．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．25．已知關于x的一元二次方程(1)求證：無論m為何值，方程總有實數根；(2)若，是方程的兩個實數根，且，求m的值．【答案】(1)見解析(2)或．【分析】（1）根據一元二次方程根的情況與判別式的關系，只要判定即可得到答案；（2）根據一元二次方程根與系數的關系得到，，整體代入得到求解即可得到答案．【解析】（1）證明：關于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不論為何值，方程總有實數根；（2）解：∵，是關于x的一元二次方程的兩個實數根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值為或．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況與判別式關系，一元二次方程根與系數的關系，熟記一元二次