第一章立體幾何初步（B）(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，如果EF，GH交于一點(diǎn)P，則()A．P一定在直線BD上B．P一定在直線AC上C．P一定在直線AC或BD上D．P既不在直線AC上，也不在直線BD上2．下列說法不正確的是()A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形B．圓錐的過軸的截面是一個(gè)等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺(tái)平行于底面的截面是圓面3．水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖所示，是一個(gè)正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面是()A．0B．9C．快4．如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，則△AOB的面積是()A．6B．3eq\r(2)C．6eq\r(2)D．125．下列命題正確的是()A．一條直線與一個(gè)平面平行，它就和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行B．平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行C．平面外的兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線也與此平面平行D．與兩個(gè)相交平面的交線平行的直線，必平行于這兩個(gè)平面6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB與∠A1O1B1A．相等B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ)D．以上均不對(duì)7．正方體ABCD－A1B1C1D1中與AD1A．平面DD1C1CB．平面AC．平面A1B1C1D1D．平面A18．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積等于()A．4B．6C．89．若圓臺(tái)兩底面周長(zhǎng)的比是1∶4，過高的中點(diǎn)作平行于底面的平面，則圓臺(tái)被分成兩部分的體積比是()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．1D．eq\f(39,129)10．設(shè)α、β是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A．若l⊥α，α⊥β，則lβB．若l∥α，α∥β，則lβC．若l⊥α，α∥β，則l⊥βD．若l∥α，α⊥β，則l⊥β11．已知從球的一內(nèi)接長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為3,4,5，則此球的表面積為()A．25πB．50πC．125πD．均不正確12．如圖，在空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，若BD＝6cm，梯形EFGH的面積為28cm2，則平行線EH、FG間的距離為()A．8cmB．6cmC．4cmD．9cm二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．設(shè)平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)S，且點(diǎn)S位于平面α，β之間，AS＝8，BS＝6，CS＝12，則SD＝________．14．已知用斜二測(cè)畫法，畫得正方形的直觀圖的面積為18eq\r(2)，則原正方形的面積為________．15．空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．①若AC＝BD，則四邊形EFGH的形狀是______；②若AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀是______．16．如圖，四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是SA上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E滿足條件：____________時(shí)，SC∥平面EBD．三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)畫出如圖所示的四邊形OABC的直觀圖．(要求用斜二測(cè)畫法，并寫出畫法)18．(12分)某幾何體的三視圖如圖所示，P是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，G是PB的中點(diǎn)．(1)根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；(2)在直觀圖中，①證明：PD∥面AGC；②證明：面PBD⊥面AGC．19．(12分)如圖所示，一個(gè)封閉的圓錐型容器，當(dāng)頂點(diǎn)在上面時(shí)，放置于錐體內(nèi)的水面高度為h1，且水面高是錐體高的eq\f(1,3)，即h1＝eq\f(1,3)h，若將錐頂?shù)怪茫酌嫦蛏蠒r(shí)，水面高為h2，求h2的大小．20．(12分)如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E為PA的中點(diǎn)．求證：平面EDB⊥平面ABCD．21．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一點(diǎn)．(1)若CD∥平面PBO，試指出點(diǎn)O的位置；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD．22．(12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)．(1)證明：EF∥平面PAD；(2)求三棱錐E－ABC的體積V．第一章立體幾何初步(B)答案1．B[如圖，∵P∈HG，HG面ACD，∴P∈面ACD，同理P∈面BAC，面BAC∩面ACD＝AC；∴P∈AC，選B．]2．C3．B4．D[△OAB為直角三角形，兩直角邊分別為4和6，S＝12．]5．C[可以以正方體為載體作出判斷．]6．C7．B[因?yàn)锳D1⊥A1D，且AD1⊥A1B1，所以AD1垂直于平面A1DB1．]8．A[由三視圖得幾何體為四棱錐，如圖記作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD為直角梯形．∠DAB＝90°，∴V＝eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB＋CD)×AD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝4，故選A．]9．D[設(shè)上，下底半徑分別為r1，r2，過高中點(diǎn)的圓面半徑為r0，由題意得r2＝4r1，r0＝eq\f(5,2)r1，∴eq\f(V上,V下)＝eq\f(r\o\al(2,1)＋r1r0＋r\o\al(2,0),r\o\al(2,2)＋r2r0＋r\o\al(2,0))＝eq\f(39,129)．]10．C[當(dāng)l⊥α，α⊥β時(shí)不一定有l(wèi)β，還有可能l∥β，故A不對(duì)，當(dāng)l∥α，α∥β時(shí)，lβ或l∥β，故B不對(duì)，若α∥β，α內(nèi)必有兩條相交直線m，n與平面β內(nèi)的兩條相交直線m′，n′平行，又l⊥α，則l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此C正確，若l∥α，α⊥β，則l與β相交或l∥β或lβ，故D不對(duì)．]11．B[由題意知，球的直徑為2R＝eq\r(32＋42＋52)＝5eq\r(2)，∴S球＝4×π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))2＝50π．故選B．]12．A[由題知，EH＝eq\f(1,2)BD＝3cm，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD＝4cm．設(shè)平行線EH、FG之間距離為d，則28＝eq\f(1,2)×(3＋4)×d，∴d＝8cm，故選A．]13．9解析由面面平行的性質(zhì)得AC∥BD，eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,SD)，解得SD＝9．14．72解析設(shè)原正方形邊長(zhǎng)為x，則直觀圖中平行四邊形底為x，高為h′＝eq\f(1,2)x·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)x，面積為S′＝x·eq\f(\r(2),4)x＝eq\f(\r(2),4)x2，即eq\f(\r(2),4)x2＝18eq\r(2)，∴x2＝72，∴原正方形面積為72．15．菱形矩形16．E是SA的中點(diǎn)解析連接AC交BD于O，則O為AC中點(diǎn)，∴EO∥SCEO面EBD，SC面EBD，∴SC∥面EBD．17．解直觀圖如下圖所示．(1)畫軸：在直觀圖中畫出x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°．(2)確定A′，B′，C′三點(diǎn)，在x′軸上取B′使O′B′＝4．過(2,0)，(4,0)兩點(diǎn)作y′軸的平行線，過(0,2)，(0，－1)兩點(diǎn)作x′軸的平行線，得交點(diǎn)A′，C′．(3)順次連接O′A′，A′B′，B′C′，C′O′并擦去輔助線，就得到四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′．18．(1)解該幾何體的直觀圖如圖所示(2)證明①連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接OG，因?yàn)镚為PB的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以O(shè)G∥PD．又OG面AGC，PD面AGC，所以PD∥面AGC．②連接PO，由三視圖，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO．又AO⊥BO，所以AO⊥面PBD．因?yàn)锳O面AGC，所以面PBD⊥面AGC．19．解當(dāng)錐頂向上時(shí)，設(shè)圓錐底面半徑為r，水的體積為：V＝eq\f(1,3)πr2h－eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)r))2·eq\f(2,3)h＝eq\f(19,81)πr2h．當(dāng)錐頂向下時(shí)，設(shè)水面圓半徑為r′，則V＝eq\f(1,3)π·r′2·h2．又r′＝eq\f(h2r,h)，此時(shí)V＝eq\f(1,3)π·eq\f(h\o\al(2,2)r2,h2)·h2＝eq\f(πh\o\al(3,2)r2,3h2)，∴eq\f(πh\o\al(3,2)r2,3h2)＝eq\f(19,81)πr2h，∴h2＝eq\f(\r(3,19),3)h，即所求h2的值為eq\f(\r(3,19),3)h．20．證明設(shè)AC∩BD＝O，連接EO，則EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝eq\r(2)a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD為交線，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．21．(1)解∵CD∥平面PBO，CD平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD．又BC∥AD，∴四邊形BCDO為平行四邊形．則BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即點(diǎn)O是靠近點(diǎn)D的線段AD的一個(gè)三等分點(diǎn)．(2)證明∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB底面ABCD，且AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD．又PD平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．又PD平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．22．(1)證明在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD，∴EF∥AD．又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD．(2)解連接AE