選擇性必修3總結及測試考點一排列組合【例1-1】（2024重慶開州）（多選）有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列說法正確的是（）A．若丙在甲、乙的中間（可不相鄰）排隊，則不同的排法有20種B．若五位同學排隊甲不在最左端，乙不在最右端，則不同的排法共有78種C．若五位同學排隊要求甲、乙必須相鄰且甲、丙不能相鄰，則不同的排法有36種D．若甲、乙、丙、丁、戊五位同學被分配到三個社區參加志愿活動，每位同學只去一個社區，每個社區至少一位同學，則不同的分配方案有150種【答案】BCD【解析】對于選項A：可知有三種可能：甲、乙之間只有一位同學，則不同的排法有種；甲、乙之間有兩位同學，則不同的排法有種；甲、乙之間有三位同學，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故A錯誤；對于選項B：可知有四種可能：甲在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙在最左端，則不同的排法有種；甲不在最右端，乙不在最左端，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故B正確；對于選項C：若甲、乙相鄰，則不同的排法有種；若甲、乙必須相鄰且甲、丙相鄰，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故C正確；對于選項D：若每位同學只去一個社區，則不同的排法有種；若有小區沒有人去，則有兩種可能：所有人去了一個小區，則不同的排法有種；所有人去了兩個小區，則不同的排法有種；不同的排法共有種，故D正確；故選：BCD.【例1-2】（2023·重慶永川·階段練習）（多選）從，，，，，中任取三個不同的數組成一個三位數，則在所組成的數中（

）A．偶數有個 B．比大的奇數有個C．個位和百位數字之和為的數有個 D．能被整除的數有個【答案】ACD【解析】對于A，先從，，中任取一個數放在個位，再任取兩個數放在十位和百位，一共有個，故正確；對于B，分2種情況討論,若百位數字為3或5,有個三位奇數,若百位數字為4或6,有個三位奇數,則符合題意的三位數有個，故錯誤；對于C，個位和百位的數可以是，，順序可以交換，再從剩下的數中任選一個放在十位上，所以一共有個，故正確；對于D，要使組成的數能被整除，則各位數之和為的倍數，取出的數有，，，，，，，，共種情況，所以組成的能被整除的數有個，故正確．故選：ACD.【例1-3】（2024江蘇常州）（多選）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區域進行著色，要求有公共邊的兩個區域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】選項A：表示先著色中間兩格下面一格.從4種顏色取3種，有個方法，上面一格，從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有個方法，故共有個不同方法.正確；選項B：,方法總數不對.錯誤；選項C：表示先對中間兩格涂顏色.從4種顏色取2種，共有個方法，上下兩格都是從與中間兩格不同的顏色中取出一個，有個方法.故共有個不同方法.正確；選項D：表示兩種情況：①上下兩格顏色相同，中間兩格從3個剩下的顏色取2種，共有個不同方法；②上下兩格顏色不同，中間兩格從2個剩下的顏色取2種，共有個不同方法.綜合①②可知方法總數為：個不同方法.正確.故選：ACD【例1-4】（2023江蘇泰州·開學考試）（多選）有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數正確的是A．分給甲?乙?丙三人，每人各2本，有90種分法；B．分給甲?乙?丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有90種分法；C．分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，有180種分法；D．分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分法；【答案】ABC【解析】對，先從6本書中分給甲2本，有種方法；再從其余的4本書中分給乙2本，有種方法；最后的2本書給丙，有種方法.所以不同的分配方法有種，故正確；對，先把6本書分成3堆:4本、1本、1本，有種方法；再分給甲?乙?丙三人，所以不同的分配方法有種，故正確；對，6本不同的書先分給甲乙每人各2本，有種方法；其余2本分給丙丁，有種方法.所以不同的分配方法有種，故正確；對，先把6本不同的書分成4堆:2本、2本、1本、1本，有種方法；再分給甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有種，故錯誤.故選：.考點二二項式定理【例2-1】（2024·江西）（多選）在的展開式中（

）A．二項式系數之和為 B．第項的系數最大C．所有項系數之和為 D．不含常數項【答案】ABD【解析】由于二項式系數之和為，故A正確．設展開式第項為，易知的系數均小于0，且，故第項的系數最大，為80，故B正確,令得所有項系數之和為，故C錯誤，當，則，但，故展開式不含常數項，D正確．故選：ABD．【例2-2】（23-24高二上·陜西西安·期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A.令，得，故A正確；B.中，含有項的系數為，故B正確；C.當時，，①所以，故C不正確；D.當時，，②①+②，得，所以，故D正確.故選：ABD【例2-3】（2024·河北）（多選）已知的展開式中所有項的系數之和為1，則（

）A．展開式的常數項為B．C．展開式中系數最大的項的系數為80D．所有冪指數為非負數的項的系數和為【答案】ACD【解析】令，得，解得，B錯誤；因為的展開式的通項公式為，可得，則，則有：展開式的常數項為，A正確；展開式中系數最大的項的系數為80，C正確；所有冪指數為非負數的項的系數和為，D正確．故選：ACD.【例2-4】（2024·遼寧）的展開式中的系數為（

）A．55 B． C．30 D．【答案】C【解析】對，有，令，有，令，有，則，故的展開式中的系數為.故選：C.【例2-5】（2024·安徽蚌埠）的展開式中，的系數為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】依題意，，，所以的展開式中，的系數為.故選：B考點三條件概率及全概率【例3-1】（2024河北）甲?乙?丙?丁4位同學報名參加學校舉辦的數學建模?物理探究?英語演講?勞動實踐四項活動，每人只能報其中一項，則在甲同學報的活動其他同學不報的情況下，4位同學所報活動各不相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設“甲同學報的活動其他同學不報”，“4位同學所報活動各不相同”，由題得，所以.故選：C.【例3-2】（2024·寧夏吳忠）已知甲同學從學校的2個科技類社團，4個藝術類社團，3個體育類社團中選擇報名參加，若甲報名了兩個社團，則在僅有一個是藝術類社團的條件下，另一個是體育類社團的概率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設事件為“僅有一個是藝術類社團”，事件為“另一個是體育類社團的概率”，則，，.故選：A.【例3-3】（2024·河南）已知口袋中有3個黑球和2個白球（除顏色外完全相同），現進行不放回摸球，每次摸一個，則第一次摸到白球的情況下，第三次又摸到白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”，依題意，在第一次摸到白球的情況下，口袋中有3個黑球和1個白球（除顏色外完全相同），所以，，，，則所求概率為.故選：B【例3-4】（2023湖南邵陽）一玩具制造廠的某一配件由A，B，C三家配件制造廠提供，根據三家配件制造廠以往的制造記錄分析得到數據：制造廠A，B，C的次品率分別為0.02，0.01，0.03，提供配件的份額分別為，，，設三家制造廠的配件在玩具制造廠倉庫均勻混合且不區別標記，從中隨機抽取一件配件，若抽到的是次品，則該次品來自制造廠C概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件來自于A制造廠，事件：抽到的配件來自于B制造廠，事件：抽到的配件來自于C制造廠，則，,故，則抽到的是次品，則該次品來自制造廠C概率為,故選：A【例3-5】（2024·河北滄州）某商場舉辦摸球贏購物券活動．現有完全相同的甲?乙兩個小盒，每盒中有除顏色外形狀和大小完全相同的10個小球，其中甲盒中有8個黑球和2個白球，乙盒中有3個黑球和7個白球．參加活動者首次摸球，可從這兩個盒子中隨機選擇一個盒子，再從選中的盒子中隨機摸出一個球，若摸出黑球，則結束摸球，得300元購物券；若摸出的是白球，則將摸出的白球放回原來盒子中，再進行第二次摸球．第二次摸球有如下兩種方案：方案一，從原來盒子中隨機摸出一個球；方案二，從另外一個盒子中隨機摸出一個球．若第二次摸出黑球，則結束摸球，得200元購物券；若摸出的是白球，也結束摸球，得100元購物券．用X表示一位參加活動者所得購物券的金額．(1)在第一次摸出白球的條件下，求選中的盒子為甲盒的概率．(2)①在第一次摸出白球的條件下，通過計算，說明選擇哪個方案第二次摸到黑球的概率更大；②依據以上分析，求隨機變量的數學期望的最大值.【答案】(1)(2)①方案二中取到紅球的概率更大；②【解析】（1）設試驗一次，“取到甲盒”為事件，“取到乙盒”為事件，“第一次摸出黑球”為事件，“第一次摸出白球”為事件，所以試驗一次結果為白球的概率為，所以，所以選到的袋子為甲盒的概率為.（2）①所以方案一中取到黑球的概率為：，方案二中取到黑球的概率為：，因為，所以方案二中取到黑球的概率更大.②隨機變量的值為，依據以上分析，若采用方案一：，，，，若采用方案二：，，，，所以隨機變量的數學期望的最大值.考點四超幾何分布及二項分布【例4-1】（2024·新疆）水果按照果徑大小可分為四類：標準果?優質果?精品果?禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標準得到的數據如下：等級標準果優質果精品果禮品果個數個10254025(1)若將頻率視為概率，從這100個水果中有放回地隨機抽取4個，求恰好有2個水果是禮品果的概率；(2)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取20個，再從抽取的20個水果中隨機地抽取2個，用表示抽取的是精品果的數量，求的分布列及數學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，0.8【解析】（1）設“從100個水果中隨機抽取一個，抽到禮品果”為事件，則，現有放回地隨機抽取4個，設抽到禮品果的個數為，則，故恰好抽到2個禮品果的概率為；（2）用分層抽樣的方法從100個水果中抽取20個，則其中精品果8個，非精品果12個，現從中抽取2個，則精品果的數量服從超幾何分布，所有可能的取值為，則，所以的分布列為：012故的數學期望.【例4-2】（2024上海）袋中有大小和質地均相同的10個球，其中4個黃球，6個白球，從中隨機地摸出3個球，用表示其中黃球的個數.(1)采用不放回摸球，求的分布；(2)采用有放回摸球，求的分布?期望和方差.【答案】(1)分布列見解析(2)分布列見解析，，.【解析】（1）各次試驗的結果不獨立，故服從超幾何分布.，其中.的分布為0123（2）每次摸到黃球的概率為，且各次試驗的結果是獨立的，故.，其中.的分布為，0123期望，方差.【例4-3】（23-24高二上·江西贛州·期末）現有一種趣味答題比賽，其比賽規則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰達人”勛章一枚；④結束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應的禮品．據主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會做的，有3道題是大家都不會做的．(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩定且每輪是否獲得勛章相互獨立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰達人”勛章的概率最大？【答案】(1)分布列見解析，數學期望為(2)獲得3枚或4枚“挑戰達人”勛章的概率最大.【解析】（1）由題知：可取2，4，6，8，則，，，，故的分布列為：2468則的期望.（2）解法一：由（1）知參賽選手在一輪比賽中獲得“挑戰達人”勛章的概率為，則某參賽選手在5輪挑戰比賽中，記獲得“挑戰達人”勛章的枚數為，則，故（），假設當時，概率最大，則，解得，而.故某參賽選手在5輪挑戰比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰達人”勛章的概率最大．解法二：由（1）知參賽選手在一輪獲得“挑戰達人”勛章的概率為，則某參賽選手在5輪挑戰比賽中，獲得“挑戰達人”勛章的枚數為，則，故（），所以Y的分布列為：012345從分布列中可以看出，概率最大為，所以參賽選手在5輪挑戰比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰達人”勛章的概率最大．考點五正態分布【例5-1】（2024·湖南邵陽）為了選拔創新型人才，某大學對高三年級學生的數學學科和物理學科進行了檢測（檢測分為初試和復試），共有4萬名學生參加初試.組織者隨機抽取了200名學生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.(1)根據頻率分布直方圖，求的值及樣本平均數的估計值；(2)若所有學生的初試成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，.規定初試成績不低于90分的學生才能參加復試，試估計能參加復試的人數；(3)復試筆試試題包括兩道數學題和一道物理題，已知小明進入了復試，且在復試筆試中答對每一道數學題的概率均為，答對物理題的概率為.若小明全部答對的概率為，答對兩道題的概率為，求概率的最小值.附：若隨機變量服從正態分布，則，.【答案】(1)0.02；69；(2)910（人）(3).【解析】（1），.樣本平均數的估計值為.（2）..能參加復試的人數約為（人）.（3）由題意有.答對兩道題的概率.而.令，則，當時，在內單調遞減；時，在內單調遞增.當時，.故概率的最小值為.【例5-2】（2024高二下·江蘇·專題練習）法國數學家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質量是1000g，上下浮動不超過50g．這句話用數學語言來表達就是：每個面包的質量服從期望為1000g，標準差為50g的正態分布．(1)已知如下結論：若X～N（μ，σ2），從X的取值中隨機抽取k（k∈N*，k≥2）個數據，記這k個數據的平均值為Y，則隨機變量Y～N.利用該結論解決下面問題．①假設面包師的說法是真實的，隨機購買25個面包，記隨機購買25個面包的平均值為Y，求P（Y≤980）；②龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數據都落在區間（950，1050）內，并得出計算25個面包的平均質量為978.72g．龐加萊通過分析舉報了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報該面包師的理由；(2)假設有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包3個．現隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求取出黑色面包個數的分布列及數學期望．附：①若隨機變量η服從正態分布N（μ，σ2），則P（μ－σ≤η≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤η≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤η≤μ＋3σ）≈0.9973；②通常把發生概率小于0.05的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發生．【答案】(1)①；②答案見解析(2)分布列見解析，【解析】（1）解：①因為，所以，又因為，所以，因為，所以.②由①知，又由這25個面包的平均質量為，因為，而為小概率事件，小概率事件基本不會發生，這就是龐加萊舉報該面包的理由.（2）解：設取出黑色面包的個數為，則的所有可能取值為，可得，，，所以分布列為012所以期望為.考點六回歸方程及獨立性檢驗【例6-1】（23-24山東·開學考試）為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數（單位：株）之間的相關關系，收集了4組數據，用模型去擬合與的關系，設與的數據如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（

）346722.54.57A．-2 B．-1 C． D．【答案】C【解析】由已知可得，，，所以，有，解得，所以，，由，得，所以，，則.故選：C.【例6-2】（2024·河南鄭州）某高中數學興趣小組，在學習了統計案例后，準備利用所學知識研究成年男性的臂長y（cm）與身高x（cm）之間的關系，為此他們隨機統計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數據：x159165170176180y6771737678(1)根據上表數據，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；(2)建立y關于x的回歸方程（系數精確到0.01）；(3)從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為X，求．參考數據：，，參考公式：相關系數，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)說明見解析(2)(3)【解析】（1）由表中的數據和附注中的參考數據得，，，，，，，∴．因為y與x的相關系數近似為0.997，說明y與x的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關系．（2）由及（1）得，，所以y關于x的回歸方程為．（3）X的取值依次為2，3，4，5，6，7，9，11，，，，，，，，,X的分布列X所以.【例6-3】（2024湖南邵陽）為響應國家綠色環保的政策，改善空氣質量，某監測部門對某地區空氣質量進行調研，隨機抽查該地區100天空氣中的PM2.5和濃度（單位：），得下表：PM2.53218468123710(1)估計事件“該地區一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150”的概率；(2)根據所給數據，完成下面的2×2列聯表：PM2.5根據所列的列聯表計算，并判斷是否有99%的把握認為該地區一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關？附公式和參考數據：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)(2)列聯表見解析，有【解析】（1）由表格可知，該地區天中，空氣中的PM2.5濃度不超過，且濃度不超過的天數有天，所以該地區一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過，且濃度不超過的概率；（2）由所給數據，可得列聯表為：PM2.5合計641680101020合計7426100根據列聯表中的數據可得，因為根據臨界值表可知，有的把握認為該地區一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關．【例6-4】（23-24廣東廣州·階段練習）中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，某數學建模小組為了獲得茶水溫度y（單位：）關于時間x（單位：min）的回歸方程模型，通過實驗收集在室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的7組數據，并對數據做初步處理得到如圖所示散點圖以及如表所示數據.

73.53.85表中：，(1)根據散點圖判斷，①與②哪一個更適宜作為該茶水溫度y關于時間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）請根據你的判斷結果及表中數據建立該茶水溫度y關于時間x的回歸方程；(2)已知該茶水溫度降至口感最佳，根據（1）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？附：（1）對于一組數據，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，（2）參考數據：，，，，【答案】(1)②更適宜，；(2)7.5min.【解析】（1）由散點圖知，更適宜的回歸方程為②，即.由，得，兩邊取自然對數，得，令，則，，結合表中數據，得，結合參考數據可得，由，得，所以茶水溫度y關于時間x的回歸方程為.（2）依題意，室溫下，茶水溫度降至口感最佳，即，整理得，于是，解得，所以在相同條件下，剛泡好的茶水大約需要放置7.5min才能達到最佳引用口感.單選題1．（2024·內蒙古呼和浩特）在寒假中，某小組成員去參加社會實踐活動，已知該組成員有4個男生?2個女生，現將他們分配至兩個社區，保證每個社區有2個男生?1個女生，則不同的分配方法有（

）種.A．6 B．9 C．12 D．24【答案】C【解析】男生的分配方法有,女生的分配方法有，所以總的分配方法有，故選：C2.（福建省泉州市2024屆高三質量監測（三）數學試題）中心極限定理是概率論中的一個重要結論．根據該定理，若隨機變量，則當且時，可以由服從正態分布的隨機變量近似替代，且的期望與方差分別與的均值與方差近似相等．現投擲一枚質地均勻分布的骰子2500次，利用正態分布估算骰子向上的點數為偶數的次數少于1300的概率為（

）附：若：，則，，．A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773【答案】D【解析】骰子向上的點數為偶數的概率，故，顯然，其中，，故，，由正態分布的對稱性可知，估算骰子向上的點數為偶數的次數少于1300的概率為.故選：D3．（2023·四川宜賓）下表為某外來生物物種入侵某河流生態后的前3個月繁殖數量（單位：百只）的數據，通過相關理論進行分析，知可用回歸模型對與的關系進行擬合，則根據該回歸模型，預測第7個月該物種的繁殖數量為（

）第個月123繁殖數量A．百只 B．百只C．百只 D．百只【答案】D【解析】由題意，兩邊取自然對數得，令，則，，，∵回歸直線必過樣本點的中心，∴，得，∴，則，當時，．故選：D.4．（2024·遼寧）展開式中的系數為（

）A．15 B．20 C．75 D．100【答案】A【解析】展開式中：若提供常數項3，則提供含有的項，可得展開式中的系數：若提供項，則提供含有的項，可得展開式中的系數：由通項公式可得．可知時，可得展開式中的系數為．可知時，可得展開式中的系數為．展開式中的系數為：．故選：A．5．（2023山東）某個班級共有學生40人，其中有團員15人．全班共分成4個小組，第一小組有學生10人，其中團員x人，如果要在班內選一人當學生代表，在已知該代表是團員的條件下，這個代表恰好在第一小組內的概率是，則x可能的值為（

）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】設在班內任選一個學生，該學生屬于第一小組，在班內任選一個學生，該學生是團員．則由已知，，所以，所以，故C正確．故選：C6.（2023吉林長春）隨機變量服從正態分布，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由隨機變量服從正態分布，其正態分布分布曲線的對稱軸為直線，則，，，且，，所以，當且僅當，即時，取等號.故選：D.7．（23-24高二下·湖南長沙·開學考試）甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質地均相同）.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.下列結論正確的個數是（

）①事件與相互獨立

②③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】顯然，，，是兩兩互斥的事件，且，，而，①錯誤；，，所以，②正確；，③正確；，④錯誤，綜上：結論正確的個數為2.故選：C.8．（2023廣東梅州）帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則不正確的是（

）A．全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B．放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法C．將其中的4個球投入4個盒子里的一個(另一個球不投入)，共有種放法D．全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法【答案】B【解析】對于A：每個球都可以放入4個不同的盒子，則共有種放法，A正確；對于B：放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，則有：全部投入4個不同的盒子里，每盒至少一個，相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，B錯誤；對于C：先選擇4個球，有種，再選擇一個盒子，有種，故共有種放法，C正確；對于D：全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，則相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，D正確；故選：B多選題9．（2023山西晉中）現有3位歌手和4名粉絲站成一排，要求任意兩位歌手都不相鄰，則不同的排法種數可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】第一種排法：分2步進行：①將4名粉絲站成一排，有種排法；②4人排好后，有5個空位可選，在其中任選3個，安排三名歌手，有種情況．則有種排法，第二種排法：先計算3位歌手站一起，此時3位歌手看做一個整體，有種排法，再計算恰好有2位歌手站一起，此時2位歌手看做一個整體，與另外一個歌手不相鄰，有種排法，則歌手不相鄰有種排法．故選：CD10．（2023江蘇蘇州）現安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有種B．若工廠甲必須有同學去，則不同的安排方法有37種C．若同學A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種【答案】BCD【解析】所有可能的方法有種，A錯誤.對于B，分三種情況：第一種：若有1名同學去工廠甲，則去工廠甲的同學情況為，另外兩名同學的安排方法有種，此種情況共有種，第二種：若有兩名同學去工廠甲，則同學選派情況有，另外一名同學的排法有3種，此種情況共有種，第三種情況，若三名同學都去工甲，此種情況唯一，則共有種安排方法，B正確.對于C，若A必去甲工廠，則B，C兩名同學各有4種安排，共有種安排，C正確.對于D，若三名同學所選工廠各不同，則共有種安排，D正確.故答案為：BCD11．（23-24湖北襄陽）已知的展開式第3項的系數是60，則下列結論正確的是（

）A． B．展開式中常數項是160C．展開式共有6項 D．展開式所有項系數和是【答案】AB【解析】的展開式第3項為，則由已知可得，解得，A正確；展開式的通項為，令得，故展開式中常數項是，B正確；展開式共有項，C錯誤；令可得展開式所有項系數和是，D錯誤.故選：AB.12．（2024·云南）已知，分別為隨機事件A，B的對立事件，，，則（

）A． B．C．若A，B獨立，則 D．若A，B互斥，則【答案】ACD【解析】因為，A正確，B錯誤；由獨立事件定義，若A，B獨立，則，，C正確；若A，B互斥，則，，，D正確．故選：ACD填空題13．（2023高三上·全國·專題練習）離散型隨機變量的概率分布規律為，其中是常數，則.【答案】【解析】，，解得：，.故答案為：.14．（23-24·上海·階段練習）三位好友進行乒乓球循環賽，先進行一局決勝負，負者下，由挑戰?的勝者，繼續進行一局決勝負，負者下，勝者下一局再接受第三人的挑戰，依此進行.假設三人水平接近，任意兩人的對決獲勝的概率都是且不受體力影響，已知三人共比賽了3局，那么這3局中三人各勝一局的概率為.【答案】/【解析】設比賽A獲勝為事件M，比賽C獲勝為事件N，比賽B獲勝為事件Q，且相互獨立，則，設三人共比賽了3局，三人各勝一局的概率為D，則.故答案為：.15．（23-24·山東·開學考試）從2，3，4，5，6，7，8中任取兩個不同的數，事件為“取到的兩個數的和為偶數”，事件為“取到的兩個數均為偶數”，則．【答案】【解析】表示“取到的兩個數為偶數且和為偶數”，，而，故，故答案為：.16．（2024·江蘇·專題練習）小張的公司年會有一小游戲：箱子中有材質和大小完全相同的六個小球，其中三個球標有號碼1，兩個球標有號碼2，一個球標有號碼3，有放回的從箱子中取兩次球，每次取一個，設第一個球的號碼是，第二個球的號碼是，記，若公司規定時，分別為一二三等獎，獎金分別為1000元，500元，200元，其余無獎．則小張玩游戲一次獲得獎金的期望為元．【答案】【解析】由題可知，取一次球，取得號碼是1的概率是，取一次球，取得號碼是2的概率是，取一次球，取得號碼是3的概率是，因為，，當，所以或，故；當，則，所以，當，則，所以，設獎金為，則．則它的分布列為10005002000所以．故答案為：解答題17．（23-24高二下·云南紅河）某校高一、高二、高三年級的學生人數之比為3:3:4，三個年級的學生都報名參加公益志愿活動，經過選拔，高一年級有的學生成為公益活動志愿者，高二、高三年級各有的學生成為公益活動志愿者．(1)設事件“在三個年級中隨機抽取的1名學生是志愿者”；事件“在三個年級中隨機抽取1名學生，該生來自高年級”（）．請完成下表中不同事件的概率并寫出演算步驟：事件概率概率值(2)若在三個年級中隨機抽取1名學生是志愿者，根據以上表中所得數據，求該學生來自于高一年級的概率．【答案】(1)表格見解析，演算步驟見解析(2)【解析】（1）根據三個年級的人數比值為，則，，，由每個年級的抽取比例可知，，，由全概率公式，得，事件概率概率值（2）該學生來自于高一年級的概率.18．（2024·安徽安慶）樹人高中擬組織學生到某航天基地開展天宮模擬飛行器體驗活動，該項活動對學生身體體能指標和航天知識素養有明確要求．學校所有3000名學生參加了遴選活動，遴選活動分以下兩個環節，當兩個環節均測試合格可以參加體驗活動．第一環節：對學生身體體能指標進行測試，當測試值時體能指標合格；第二環節：對身體體能指標符合要求的學生進行航天知識素養測試，測試方案為對A，B兩類試題依次作答，均測試合格才能符合遴選要求．每類試題均在題庫中隨機產生，有兩次測試機會，在任一類試題測試中，若第一次測試合格，不再進行第二次測試．若第一次測試不合格，則進行第二次測試，若第二次測試合格，則該類試題測試合格，若第二次測試不合格，則該類試題測試不合格，測試結束．經過統計，該校學生身體體能指標服從正態分布．參考數值：，，．(1)請估計樹人高中遴選學生符合身體體能指標的人數（結果取整數）；(2)學生小華通過身體體能指標遴選，進入航天知識素養測試，作答A類試題，每次測試合格的概率為，作答B類試題，每次測試合格的概率為，且每次測試相互獨立．①在解答A類試題第一次測試合格的條件下，求測試共進行3次的概率．②若解答A、B兩類試題測試合格的類數為X，求X的分布列和數學期望．【答案】(1)68(2)①；②分布列見解析，.【解析】（1）．所以符合該項指標的學生人數為：人．（2）①記表示解答A類試題第一次測試合格，，分別表示解答B類試題第一次和第二次測試合格，測試共進行3次記為事件M，則，．②設X的取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為X012P數學期望．19．（2024黑龍江大興安嶺地）碳排放是引起全球氣候變暖問題的主要原因．2009年世界氣候大會，中國做出了減少碳排放的承諾，2010年被譽為了中國低碳創業元年．2020年中國政府在聯合國大會發言提出：中國二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現碳中和．碳中和是指主體在一定時間內產生的二氧化碳或溫室氣體排放總量，通過植樹造林、節能減排等形式，以抵消自身產生的二氧化碳或溫室氣體排放量，實現正負抵消，達到相對“零排放”．如圖為本世紀來，某省的碳排放總量的年度數據散點圖．該數據分為兩段，2010年前該省致力于經濟發展，沒有有效控制碳排放；從2010年開始，該省通過各種舉措有效控制了碳排放．用x表示年份代號，記2010年為．用h表示2010年前的的年度碳排放量，y表示2010年開始的年度碳排放量．表一：2011~2017年某省碳排放總量年度統計表（單位：億噸）年份2011201220132014201520162017年份代號x1234567年度碳排放量y（單位：億噸）2.542.6352.722.802.8853.003.09(1)若關于x的線性回歸方程為，根據回歸方程估計若未采取措施，2017年的碳排放量；并結合表一數據，說明該省在控制碳排放舉措下，減少排碳多少億噸？(2)根據，設2011~2017年間各年碳排放減少量為，建立z關于x的回歸方程．①根據，求表一中y關于x的回歸方程（精確到0.001）；②根據①所求的回歸方程確定該省大約在哪年實現碳達峰？參考數據：．參考公式：．【答案】(1)3.3（億噸），0.21（億噸）(2)①；②大約在2026年實現碳達峰【解析】（1）2017年的估計值：（億噸），從而估計減少碳排放量為（億噸）．（2）①設，則，，∴∴∴，②∵y的對稱軸為，∴大約在2026年實現碳達峰，20．（2024·內蒙古包頭）為了比較兩種治療高血壓的藥（分別稱為甲藥，乙藥）的療效，隨機選取20位患者服用甲藥，20位患者服用乙藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均降低的血壓數值（單位：mmhg）．根據記錄的數據繪制了如下莖葉圖：

(1)根據莖葉圖判斷哪種藥的療效更好？并給出兩種理由進行說明；(2)求40位患者在服用一段時間后，日平均降低血壓數值的中位數，并將日平均降低血壓數值超過和不超過的患者數填入下面的列聯表：超過不超過服用甲藥服用乙藥(3)根據（2）中的列聯表，能否有的把握認為這兩種藥物的療效有差異？附：，0.150.100.052.0722.7063.841【答案】(1)乙藥的療效更好，理由見解析(2)，列聯表見解析(3)沒有95%的把握認為這兩種藥物的療效有差異【解析】（1）乙藥的療效更好．參考理由如下：（ⅰ）用各自的平均數說明．設甲藥觀測數據的平均數為，乙藥觀測數據的平均數為，由莖葉圖可知，，，因為，所以乙藥的療效更好．（ⅱ）用莖2和莖3上分布的數據說明．由莖葉圖可知