8.6.1空間直線、平面的垂直考法一異面直線所成角【例1】（2024山東煙臺）如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，取的中點，連接,由題意知，,則異面直線與所成角為（或其補角），在中，,則,則異面直線與所成角的余弦值為，故選：C.【一隅三反】1．（2024·陜西）如圖，在直三棱柱中，為等腰直角三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】將直三棱柱補形為如圖所示的正四棱柱：連接、，則，則異面直線與所成角的平面角為(或其補角)，又，，由余弦定理可得：.故選：A2．（2023北京昌平·期末）如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，，在正方體中，易得，故直線與直線所成角的大小與直線與直線所成角大小相等，又，故為等邊三角形，故，即直線與直線所成角的大小為.故選：C.3．（2024北京）如圖，是圓錐的頂點，是底面直徑，點在底面圓上．若為正三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知，所以，設，則，可得，分別取的中點，連接，則，所以或其補角為異面直線與所成角，過點作于，連接，則為中點，與底面垂直，且，在中，，，所以，所以，所以在中，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.考法二線線垂直【例2-1】（2023北京）空間四邊形，，，分別是，，的中點，，，.求證：.【答案】證明見解析【解析】∵點G，E分別是CD，BC的中點，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的補角是異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即異面直線AC與BD所成的角是90°.∴AC⊥BD.【例2-2】（2023云南）如圖，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且為線段的中點．證明：.【答案】證明見解析【解析】取BC中點為G，連接DG，AG．因分別為中點，則．則四邊形是平行四邊形，故．因為，則，所以.【一隅三反】1．（2023福建福州）如圖，在正三棱柱中，E為棱AC的中點，.求證：.【答案】證明見解析【解析】如圖，取的中點F，連接EF，BF，∵E為AC的中點，F為的中點，∴，∴BE和EF所成角為，即為異面直線BE與所成角，且.在正三棱柱中，，.在等邊三角形ABC中，，在Rt△BCF中，.在△BEF中，，∴，∴.2．（2024天津）如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分別是BD1和AD的中點，求證：CD1⊥EF.【答案】證明見解析【解析】如圖，取CD1的中點G，連接EG，DG.∵E是BD1的中點，∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中點，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補角)是異面直線CD1與EF所成的角.又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1、四邊形CDD1C1都是正方形，又G為CD1的中點，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴異面直線CD1與EF所成的角為90°.所以CD1⊥EF.3（22·23高一·全國·課堂例題）已知是棱長為a的正方體（如圖）．

(1)正方體的哪些棱所在的直線與直線是異面直線？(2)求證直線與BC垂直．(3)求直線與AC的夾角．【答案】(1)，，，DA，DC，；(2)證明見解析；(3).【解析】（1）正方體共有12條棱，與相交的棱有6條，與平行的棱不存在，因此余下的6條棱所在直線分別與直線是異面直線，它們是，，，DA，DC，．（2）在正方體中，由，得與AD的夾角就是與BC的夾角，因為，則與BC的夾角為，所以．（3）連接，因為，于是四邊形是平行四邊形，即，從而與AC的夾角就是與的夾角，連接，而，與都是正方體的面對角線，則有，即是正三角形，所以與的夾角為，即與AC的夾角為．考法三線面垂直的判定【例3-1】（2024廣東湛江）如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，，證明：BD平面

【答案】證明見解析【解析】取中點，連，因為，，，，所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則得，，故，

因為，，平面，所以平面2（2024海南）如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱的中點，證明：平面【答案】證明見解析【解析】證明：在中，，，，則，所以，，又因為平面，平面，所以，，因為，、平面，因此，平面.【一隅三反】1．（2023高一課時練習）如圖，在正方體中，為的中點，.求證：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，，所以，平面；（2）連接，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又因為為的中點，為的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，而面，面，所以面.2．（2024天津）如圖，六棱錐的底面是邊長為1的正六邊形，平面，.(1)求證：直線平面；(2)求證：直線平面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）證明：∵正六邊形，∴，，∴，∴，∵平面，平面，∴直線平面.（2）在中，，易得，在中，，，∴,∴，因為平面，平面，故，∵,平面，故直線平面.3（2024內蒙古）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.(1)證明：平面.(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）記.因為四邊形是菱形，所以.因為平面平面，且，所以平面.因為平面，所以.因為平面平面，且，所以平面.（2）因為，所以點到平面的距離是3.因為四邊形是邊長為4的菱形，且，所以，則四棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，故三棱錐的體積.考法四面面垂直判定【例4】（2024河南）在四棱錐中，底面是正方形，平面．

(1)求證：平面⊥平面；(2)求證：平面⊥平面．【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析【解析】（1）因為平面，平面，所以，又因為底面是正方形，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.（2）因為平面，平面，所以，又因為底面是正方形，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.【一隅三反】1（2024廣西柳州）如圖，四邊形是正方形，平面，，分別為的中點，且．求證：平面平面．

【答案】證明見解析【解析】∵平面，，∴平面．又平面，∴．∵四邊形為正方形，∴．又，平面，∴平面．在中，分別為的中點，∴，∴平面．又平面，∴平面平面．2．（2023內蒙古）如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面為棱的中點，連接.求證：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）連接，交于點，連接，因為底面為矩形，所以為的中點，又為的中點，所以，因為平面，平面，故平面；（2）平面，平面，∴，∵底面為矩形，.又，平面，平面.又平面，平面平面.3（2024江蘇南京）正三棱柱的底面邊長與側棱長都是2，分別是的中點．(1)求三棱柱的全面積；(2)求證：∥平面；(3)求證：平面⊥平面．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【解析】（1）因為三棱柱是正三棱柱，且棱長均為2，所以底面是正三角形，側面均為正方形，故三棱柱的全面積為；（2）在正三棱柱中，因為分別是的中點，可知，又∥，所以四邊形是平行四邊形，故∥，又平面，平面，所以∥平面．（3）連，設與相交于，則由側面為正方形，可知與互相平分．在中，，在中，，故，連，則．又，，連，則，又與相交于，，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．考法五線面垂直的性質定理【例5-1】（2023上海）如圖，平面平面，，，垂足分別為，，直線平面，.求證：.【答案】證明見解析【解析】如圖：∵，，∴.同理.∵，，平面，∴平面.又∵，，∴.∵，，，平面，∴平面.∴.【例5-2】（2023安徽）圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，證明：面【答案】證明見解析【解析】證明：連接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面【例5-3】（2023廣東肇慶）如圖，在正三棱柱中，D是棱的中點.(1)證明：；(2)證明：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）由題意知，平面，為正三角形.由平面，得，因為D為AC的中點，所以，又平面，所以平面，而平面，所以；（2）如圖，取的中點F，連接，則且，且，所以四邊形、為平行四邊形，得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面.【一隅三反】1．（2023北京）如圖，已知正方體的棱長為2．，分別為與上的點，且，．求證：；【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，連接，．∵平面，平面，∴．∵四邊形是正方形，∴，又∵，平面，∴平面．又∵平面，∴．同理可得，又∵，平面，∴平面．∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵，∴．又∵，，平面，∴平面．∴．2．（22·23高一下·新疆省直轄縣級單位·階段練習）如圖，已知平面ACD，平面ACD，為等邊三角形，，F為CD的中點，求證：∥平面BCE.【答案】證明見詳解【解析】因為平面ACD，平面ACD，則∥，取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，且，由題意可得：∥，且，則∥，且，則為平行四邊形，可得∥，且平面BCE，平面BCE，所以∥平面BCE.

3．（2024湖北）如圖，在直三棱柱中，，，點是的中點．(1)求證：平面；(2)求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）證明：連接，交于點，連接，為平行四邊形對角線的交點，為的中點．在中，分別為的中點，，平面平面平面.（2）證明：是直三棱柱，平面，平面．是的中點，．平面平面，平面．在中，，在中，，，．平面平面，平面．考法六面面垂直的性質定理【例6-1】（2024·河南信陽）設兩條直線，，兩個平面，，則下列條件能推出的是（

）A．，，且 B．，，且C．，，且 D．，，且，【答案】A【解析】對于A，由，，得，而，所以；對于B，若，，且，此時，可能相交，如下圖所示：當，，，都與平行時，，相交，B錯誤；對于C，若，，且，此時，可能相交，如下圖所示：當，都與平行時，，相交，C錯誤；對于D，若，，且，，此時，可能相交，如下圖所示：當，都與平行時，，相交，D錯誤.故選：A【例6-2】（2023北京）如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，E是上一點，且，若平面平面．(1)求證：平面；(2)棱上是否存在點F，使得∥平面？請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；理由見解析【解析】（1）∵四邊形是平行四邊形，且，∴四邊形是菱形，且，∵平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，．與相交，平面，平面．（2）當F為的中點時，平面．理由如下：取F為的中點，G為的中點，連接，則，且．∵底面為菱形，且E為的中點，，且．，且．∴四邊形是平行四邊形，．平面平面平面．【一隅三反】1．（2023山東濟寧）已知不重合的平面、、和直線，則“”的充分不必要條件是（

）A．內有無數條直線與平行 B．內的任何直線都與平行C．且 D．且【答案】D【解析】對于A選項，若內有無數條直線與平行且這無數條直線是平行直線，則、平行或相交，即“內有無數條直線與平行”“”，A不滿足；對于B選項，由面面平行的定義可知，“內的任何直線都與平行”“”，B不滿足；對于C選項，若且，則、平行或相交，則“且”“”，C不滿足；對于D選項，由線面垂直的性質可知，若且，則，反之，若，則“且”不一定成立，故“且”是“”的充分不必要條件，D滿足.故選：D.2．（2023·河南·模擬預測）如圖，在三棱柱中，，平面平面為的中點.

(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）連接交于點，則為的中點，連接，因為為的中點，所以，又平面，且平面，所以平面.（2）連接，因為，所以四邊形為菱形，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以.

3．（2023高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，側面底面，側面是菱形，，，．若為的中點，求證：．【答案】證明見解析【解析】∵側面是菱形，∴，∵為的中點，∴，∵側面底面，側面底面，，底面，∴側面，∵側面，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴．4．（2023河南）如圖，已知長方形中，，，為的中點，將沿折起，使得平面平面．求證：．【答案】證明見解析【解析】在長方形中，，，為的中點，則，即有，于是，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以．單選題1．（2024·湖北）正方體中，為的中點，則直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】連接，根據正方體的性質可知，所以或其補角為直線DP與所成的角，因為平面，?平面，所以又，，?平面，所以平面又平面，所以設正方體的棱長為2，則在中，所以故直線與所成的角的正切值為.故選:C.2．（2023北京海淀）已知三棱柱中，側面底面，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】①已知側面底面，且側面底面，又平面，若，則由面面垂直的性質定理可得平面，平面，則，所以則“”是“”的必要條件；②若三棱柱是直三棱柱，底面是正三角形，則底面，平面，則滿足條件側面底面.又平面，則，但與不垂直.所以“”不是“”的充分條件.綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．（2023·廣東）如圖，在四面體中，，平面平面為線段的中點，則下列判斷錯誤的是（

）

A． B．平面C． D．平面【答案】C【解析】因為平面平面，平面平面，所以平面，即B項正確；因為平面，所以，即A正確；因為為線段的中點，所以，同理可得平面，即D正確；因為平面，平面，所以，平面，若，則平面，顯然不重合，故C錯誤.故選：C4．（22·23高一下·全國·課時練習）對于直線m、n和平面、，的一個條件是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】A選項中，根據，，，有可能出現的情況，所以A錯誤；B選項中，，，，不一定得到，如下圖，所以B錯誤；

C選項中，過作面與面交于，如下圖，

∵，，，∴，∵，，∴，∴，又，從而得到，所以C正確；D選項中，根據，，所以，而，所以得到，所以D錯誤.故選：C.5．（2023北京房山）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，平面，下列敘述中錯誤的是（

）A．∥平面 B．C． D．平面平面【答案】C【解析】對于選項A：在矩形中，∥，平面，平面，∥平面，故選項A正確；對于選項B：平面，平面，，在矩形中，，，平面，所以平面，而平面，，故選項B正確；對于選項C：因為平面，而平面，所以，所以，而，，在一般矩形中，與不垂直，所以，即，與不垂直，故選項C不正確；對于選項D：平面，平面，所以平面平面，故選項D正確．綜述：只有選項C不正確．故選：C.6．（2024江西上饒）設m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．，則 B．，則C．，則 D．，則【答案】D【解析】對于A，在長方體中，平面為平面，分別為直線，顯然滿足，而，此時不成立，A錯誤；對于B，在長方體中，平面，平面分別為平面，為直線，顯然滿足，而，此時不成立，B錯誤；對于C，在長方體中，平面，平面分別為平面，為直線，顯然滿足，而，此時不成立，C錯誤；對于D，因為，由線面垂直的性質知，，D正確.故選：D7．（22·23高一下·江蘇鎮江·期末）對于直線和不重合的平面，，下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】B【解析】對于A，若，，則可能相交，如圖，故A錯誤；對于B，若，，由線面垂直的性質可知，故B正確；對于C，若，，則可能平行，如圖，故C錯誤；對于D，若，，，則可能，如圖，故D錯誤.故選：B.8．（2024陜西）已知在邊長為6的菱形中，，點，分別是線段，上的點，且．將四邊形沿翻折，當折起后得到的幾何體的體積最大時，下列說法其中正確的是（

）

A．B．C．平面平面D．平面平面【答案】C【解析】在幾何體中，平面，平面，平面，平面，則平面，平面，而平面，因此平面平面，顯然，即四邊形都是平行四邊形，且≌，因此幾何體是三棱柱，在菱形中，作于，交于，則，，

在幾何體中，平面，則平面，顯然，幾何體的體積，當且僅當時取等號，因此幾何體的體積最大時，，而平面，于是平面，又平面，從而平面平面，C正確；

由平面，則，又，則，而是中點，即不垂直于，而，因此不垂直于，不垂直于，A錯誤；顯然，則與成角，因此不垂直，B正確；假定平面平面，由平面平面，得平面平面，在平面內過作于，而平面平面，則平面，又平面，則，由平面，平面，得，而平面，于是平面，又平面，因此與矛盾，即假定是錯的，D錯誤.故選：C多選題9．（2024貴州貴陽）已知,表示平面，m，n表示直線，則（

）A．若，n，則mB．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】CD【解析】A選項，若，n，則可能平行，相交或異面，故A錯誤；B選項，若，，則,可能相交或平行，故B錯誤；C選項，若，，由線面垂直性質可知，故C正確；D選項，若，，則,互相平行，故D正確.故選：CD10．（2024云南玉溪）在正方體中，E，F分別是線段BC，的中點，則（

）A．B．C．異面直線，EF所成角的正切值為D．異面直線，EF所成角的正切值為【答案】ABC【解析】如圖所示，F是線段的中點，連接交于F，F是線段的中點，故，故A正確；又，故，故B正確；由正方體的性質知，則異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，故是異面直線EF與所成角，故，故C正確：由正方體的性質知，則異面直線，EF所成角即為直線BC，EF所成角，故是異面直線EF與所成角，故，故D錯誤，故選：ABC．11．（2024黑龍江）（多選）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面的中點，則下列結論正確的是（

）A．平面B．C．平面D．平面【答案】ABC【解析】平面，平面，又，平面且平面，故A正確由平面，平面得又，是的中點，又平面，平面，平面，故B,C正確由平面，平面得因為與不平行因此與不垂直從而不與平面垂直，故D錯誤故選：ABC.12（2023河北）如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列說法中錯誤的是（

）．A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】ABD【解析】因為，且是的中點，所以，同理，，由于，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，又平面，所以平面平面，故正確；由于平面平面，若平面平面，而平面平面，則平面,但已知條件不能保證平面,所以平面與平面不一定垂直，故錯誤；同理平面與平面不一定垂直，故錯誤；由于，所以當時平面，當長度趨于0時，二面角接近，故平面與平面不一定垂直，故錯誤；故選：.填空題13．（2023廣東）如圖，在三棱錐中，，且，E，F分別是棱，的中點，則EF和AC所成的角等于【答案】45°【解析】如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG．，F分別是CD，AB的中點，，，且，．為EF與AC所成的角．又，．又，，，為等腰直角三角形，，即EF與AC所成的角為45°．14．（2024·安徽）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有條【答案】8【解析】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．15．（2023廣東）下圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，有以下判斷：①BF與DN平行；②CM與BN是異面直線；③DF與BN垂直；④AE與DN是異面直線．則判斷正確的個數是【答案】2【解析】把平面展開圖折起，得到如圖所示的正方體,則BF與DN是異面直線，故①錯誤；CM與BN平行，故②錯誤；由題可知，所以DF與BN垂直，故③正確；AE與DN是異面直線，故④正確；故正確個數為2．（2023湖南永州）如圖，正三棱柱中，點E為正方形的中心，點F為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為【答案】2【解析】在正三棱柱中，取中點，連接，由點E為正方形的中心，得，而，于是，由為棱的中點，得，則四邊形是平行四邊形，有，即或其補角就是異面直線與所成的角，顯然正三棱柱所有棱長都相等，令棱長為2，則，等腰底邊上的高，，所以異面直線與所成角的正切值為.解答題17．（2023廣東潮州）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點E，滿足，，現將，分別沿，折起，使，，得到如圖（2）所示的幾何體，求證：【答案】證明見解析【解析】證明：在中，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，在中，，且，在中，，所以，因為，，平面