第十章概率章末小結及測試考法一事件的類型【例1-1】（2023陜西）在12件同類產品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件．其中為必然事件的是（

）．A．3件都是正品 B．至少有1件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【例1-2】（2023陜西漢中）（多選）同時拋擲兩枚均勻的骰子，記第一枚骰子擲出的點數與第二枚骰子擲出的點數之差為，則表示的隨機事件不可能是（

）A．第一枚擲出5點，第二枚擲出2點 B．第一枚擲出3點，第二枚擲出3點C．第一枚擲出1點，第二枚擲出2點 D．第一枚擲出6點，第二枚擲出2點【例1-3】（2023江蘇）（多選）下列現象中，是隨機現象的有（

）A．在一條公路上，交警記錄某一小時通過的汽車超過300輛B．若a為整數，則a＋1為整數C．發射一顆炮彈，命中目標D．檢查流水線上一件產品是合格品還是次品考法二事件的關系與運算【例2-1】（2024云南）（多選）對于一個隨機試驗，設是樣本空間，是隨機事件，是樣本點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【例2-2】（2024湖北）（多選）在一次隨機試驗中，事件發生的概率分別是0.2，0.3，0.5，則下列說法錯誤的是（

）A．與是互斥事件，也是對立事件 B．是必然事件C． D．【例2-3】（2023江蘇無錫）（多選）已知事件A，B發生的概率分別為，，則（

）A． B．C．若A與B互斥，則 D．一定有【例2-4】（2024山東）文具盒中有圓珠筆3支，鋼筆2支，從中無放回地任取3支．(1)用集合A表示事件“3支都是圓珠筆”；(2)用集合B表示事件“恰有2支是圓珠筆”；(3)用集合C表示事件“恰有1支是圓珠筆”；(4)用A，B，C表示；(5)解釋事件，，，的含義．考法三古典概型【例3-1】（2024廣西·開學考試）某環保小組共有5名成員，其中男成員有2人，現從這5人中隨機選出3人去某社區進行環保宣傳.(1)求所選的3人中恰有1名男成員的概率；(2)求所選的3人中至少有2名女成員的概率.【例3-2】（2024·四川成都）2023世界科幻大會在成都舉辦，為了讓同學們更好地了解科幻，某學校舉行了以“科幻成都，遇見未來”為主題的科幻知識通關賽，并隨機抽取了該校50名同學的通關時間（單位：分鐘）作為樣本，發現這些同學的通關時間均位于區間，然后把樣本數據分成，，，，，六組，經過整理繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．(1)計算a的值，并估算該校同學通關時間低于60分鐘的概率；(2)擬在通關時間低于60分鐘的樣本數據對應的同學中隨機選取2位同學贈送科幻大會入場券，求此2人的通關時間均位于區間的概率．考法四概率的性質【例4-1】（2024新疆昌吉·開學考試）（多選）下列命題正確的是（

）A．對立事件一定是互斥事件B．若為不可能事件，則C．若事件，，兩兩互斥，則D．事件，滿足，則，是對立事件【例4-2】（2024浙江杭州）（多選）已知事件A，B，且，則下列結論正確的是（

）A．如果，那么B．如果A與B互斥，那么C．如果A與B相互獨立，那么D．如果A、B與C兩兩互斥，那么【例4-3】（2024·全國·模擬預測）設是隨機事件，且，則．【例4-4】（2023湖北武漢·期中）已知事件與事件互斥，若，，那么.【例4-5】（2023上海寶山）已知事件與事件互斥，如果，，那么.考法五事件的相互獨立【例5-1】（2023河南）有4個相同的球，分別標有數字，從中不放回隨機取兩次，每次取1個球，表示事件“第一次取出的球的數字是奇數”，表示事件“第二次取出的球的數字是偶數”，表示事件“兩次取出的球的數字之和是奇數”，表示事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則下列關系成立的是（

）A．與相互獨立B．與相互獨立 C．與相互獨立 D．與相互獨立【例5-2】（2024·云南昆明）甲、乙、丙三人參加一次考試，考試的結果相互獨立，他們合格的概率分別為，，，則三人中恰有兩人合格的概率是（

）A． B． C． D．考法六綜合運用【例6-1】（2024·內蒙古赤峰）為了營造濃厚的讀書氛圍，激發學生的閱讀興趣，凈化學生的精神世界，赤峰市教育局組織了書香校園知識大賽，全市共有名學生參加知識大賽初賽，所有學生的成績均在區間內，組委會將初賽成績分成組：加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試估計這名學生初賽成績的平均數及中位數（同一組的數據以該組區間的中間值作為代表）；（中位數精確到0.01）(2)組委會在成績為的學生中用分層抽樣的方法隨機抽取人，然后再從抽取的人中任選取人進行調查，求選取的人中恰有人成績在內的概率.【例6-2】（2023廣東茂名）“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節的一項活動，出現在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節時制迷，猜謎的人眾多．開始時是好事者把謎語寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因為謎語既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會各階層的歡迎．在一次元宵節猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學獨立競猜，甲同學猜對了12道，乙同學猜對了8道，丙同學猜對了n道．假設每道燈謎被猜對的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學恰有一個人猜對的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求n的值．單選題1．（2023重慶渝中）甲、乙兩人比賽下中國象棋，若甲獲勝的概率是，下成和棋的概率是，則乙獲勝的概率是（

）A． B． C． D．2.（2024湖北孝感）假設，且A與B相互獨立，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.583．（2024廣東惠州）下列關于概率的命題，錯誤的是（

）A．對于任意事件A，都有B．必然事件的概率為1C．如果事件A與事件B對立，那么一定有D．若A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，則4．（2023陜西咸陽）奧林匹克運動會會旗中央有5個互相套連的圓環，顏色自左至右，上方依次為藍、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲．在手工課上，老師將這5個環分發給甲、乙、丙、丁、戊五位同學，每人分得1個，則事件“甲分得紅環”與“乙分得紅環”是（

）A．對立事件 B．互斥且對立事件C．互斥但不對立事件 D．既不互斥又不對立事件5．（2023四川遂寧）拋擲一顆質地均勻的骰子，有如下隨機事件：“點數為”，其中；“點數不大于2”，“點數大于2”，“點數大于4”下列結論是判斷錯誤的是

（

）A．與互斥 B．，C． D．，為對立事件6．（2024安徽淮北）擲一枚骰子，設事件出現的點數不大于3，出現的點數為偶數，則（

）A． B．事件A與是互斥事件C．出現的點數為2 D．事件A與是對立事件7．2024陜西商洛）在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件，，，的概率分別為，，，，則下列說法正確的是（

）A．與是互斥事件，也是對立事件B．與是互斥事件，也是對立事件C．與是互斥事件，但不是對立事件D．與是互斥事件，也是對立事件8．（2023湖南）甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設事件“甲擊中靶”，事件“乙擊中靶”，事件“靶未被擊中”，事件“靶被擊中”，事件“恰一人擊中靶”，對下列關系式（表示的對立事件，表示的對立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正確的關系式的個數是（

）A． B． C． D．多選題9．（2023山東棗莊·期末）已知為兩個事件，，，則的值可能為（

）A． B． C． D．10．（2024四川攀枝花）某人打靶時連續射擊兩次，記事件為“第一次中靶”，事件為“至少一次中靶”，事件為“至多一次中靶”，事件為“兩次都沒中靶”.下列說法正確的是（

）A． B．與是互斥事件C． D．與是互斥事件，且是對立事件11．（2023·廣東廣州·期末）下列關于概率的命題，正確的是（

）A．對于任意事件，都有B．必然事件的概率為1C．如果事件與事件互斥，那么一定有D．若，是一個隨機試驗中的兩個事件，則12．（2024·貴州貴陽）有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是奇數”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是偶數”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是奇數”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是偶數”，則（

）A．乙發生的概率為 B．丙發生的概率為C．甲與丁相互獨立 D．丙與丁互為對立事件填空題13．（23-24高一上·全國·課時練習）下列現象中，是確定性現象的是．①長度為3，4，5的三條線段可以構成一個直角三角形；②打開電視機，正好在播新聞；③從裝有3個黃球、5個紅球的袋子中任意摸4個，全部都是黃球；④下周六是晴天．14．（2024山西朔州）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個黃球”，“取出的2球至少有一個白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為.①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤.15（2023全國·課時練習）一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為，取得兩個綠球的概率為，則至少取得一個紅球的概率為.16．（2024廣東梅州）某產品分甲、乙、丙三級，其中甲級屬正品，乙、丙兩級屬次品.若生產中出現乙級產品的概率為0.03，出現丙級產品的概率為0.01，則對成品任意抽查一件抽得正品的概率為.解答題17．（2024四川瀘州）已知甲?乙?丙參加某項測試時，通過的概率分別為0.6，0.8，0.9，而且這3人之間的測試互不影響．(1)求甲?乙?丙都通過測試的概率；(2)求甲?乙?丙至少有一人通過測試的概率；(3)求甲?乙?丙恰有有兩人通過測試的概率．18．（2023安徽合肥）某工廠對生產的一批零件的尺寸進行測量，共計測量20000個，測量所得數據如下頻率分布直方圖所示：(1)求圖中的值以及尺寸在內的零件數量；(2)求這批零件尺寸的平均數和中位數（同一組數據用該組區間的中間值代替，結果精確到0.1）；(3)現采用分層抽樣的方法，從尺寸在和內的零件中隨機抽取6個，再從這6個零件中任取2個，求至少有1個零件的尺寸在內的概率．19．（2023湖南長沙·開學考試）2023年底，某商業集團總公司根據相關評分細則，對其所屬25家商業連鎖店進行了年度考核評估，將各連鎖店的評估分數按，，，分成4組，其頻率分布直方圖如圖所示．總公司還依據評估得分，將這些連鎖店劃分為A、、、四個等級，等級評定標準如表所示．評估分數評定等級A(1)估計該商業集團各連鎖店評估得分的第64百分位數；(2)從評估分數不小于80的連鎖店中隨機抽取2家介紹營銷經驗，求至少抽到1家A等級的概率．20．（2023·四川成都）設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響，已知在某一小時內，甲、乙都不需要照顧的概率為0.6，甲、丙都不需要照顧的概率為0.4，乙、丙都需要照顧的概率為0.125.(1)分別求甲、乙、丙每臺機器在這一小時內不需要照顧的概率；(2)計算這一小時內至少有一臺機器不需要照顧的概率.21．（2023福建廈門）第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京國家體育場開幕，“冬奧熱”在國民中迅速升溫.某電視臺舉辦“冬奧會”知識挑戰賽，初賽環節，每位選手先從A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三類問題中選擇一類.該類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答錯誤則被淘汰，若回答正確則需從余下兩類問題中選擇一類繼續回答.該類題庫隨機提出一個問題，該選手若回答正確則取得復賽資格，本輪比賽結束，否則該選手需要回答由最后一類題庫隨機提出的兩個問題，兩個問題均回答正確該選手才可取得復賽資格，否則被淘汰.已知選手甲能正確回答A，B兩類問題的概率均為，能正確回答C類問題的概率為，每題是否回答正確與回答順序無關，且各題回答正確與否相互獨立.(1)已知選手甲先選擇A類問題且回答正確，接下來他等可能地選擇B，C中的一類問題繼續回答，求他能取得復賽資格的概率；(2)為使取得復賽資格的概率最大，選手