第八章《成對數據的統計分析》章末復習提升與檢測知識體系能力整合一、線性回歸分析1．回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法．其基本步驟為通過散點圖和經驗選擇經驗回歸方程的類型，然后通過一定的規則確定出相應的經驗回歸方程，通過一定的方法進行檢驗，最后應用于實際或對響應變量進行預測．2．主要培養數學建模和數據分析的素養．【例1】某村在推進鄉村振興的過程中，把做活鄉村產業作為強村富民的重要抓手，因地制宜推進茶葉種植，成立了茶葉合作社．為了對茶葉在銷售旺季進行合理定價，合作社進行了市場調研，得到了銷售旺季時銷量（噸）關于售價（元/公斤）的散點圖．

(1)求關于的線性回歸方程；(2)該合作社2023年茶葉總產量為150噸，如果在銷售旺季時售價為250元/公斤，在銷售旺季沒能售出的，年底以每公斤100元的價格賣給批發商，則該合作社2023年的總銷售額為多少萬元？公式及參考數據：關于的線性回歸方程為，其中，；，，，．【解題技法】解決回歸分析問題的一般步驟(1)畫散點圖．根據已知數據畫出散點圖．(2)判斷變量的相關性并求經驗回歸方程．通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關關系．在此基礎上，利用最小二乘法求eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))，然后寫出經驗回歸方程．(3)回歸分析．畫殘差圖或計算R2，進行殘差分析．(4)實際應用．依據求得的經驗回歸方程解決實際問題．【跟蹤訓練】如圖是某機構統計的某地區2016年至2022年生活垃圾無害化處理量y（單位：萬噸）的折線圖．注：年份代碼17分別對應年份20162022．求y關于t的回歸直線方程（系數精確到0.01），并預測2024年該地區生活垃圾無害化處理量．參考數據：，，，參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小乘估計公式分別為，．二、獨立性檢驗1．獨立性檢驗研究的問題是有多大把握認為兩個分類變量之間有關系．為此需先列出2×2列聯表，從表格中可以直觀地得到兩個分類變量是否有關系．另外等高堆積條形圖能更直觀地反映兩個分類變量之間的情況．獨立性檢驗的思想是可以先假設二者無關系，求隨機變量χ2的值，若χ2大于臨界值，則拒絕假設，否則，接受假設．2．通過計算χ2的值，進而分析相關性結論的可信程度，提升數學運算、數據分析的素養．【例2】（2023?甲卷（文））一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養在高濃度臭氧環境，對照組的小白鼠飼養在正常環境，一段時間后統計每只小白鼠體重的增加量（單位：．試驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為25．218.820.221.322.523.225.826.527.530.126．634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為27．89.211.412.413.215.516.518.018.819.228．820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）計算試驗組的樣本平均數；（2）（ⅰ）求40只小白鼠體重的增加量的中位數，再分別統計兩樣本中小于與不小于的數據的個數，完成如下列聯表；對照組試驗組（ⅱ）根據中的列聯表，能否有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環境中與在正常環境中體重的增加量有差異？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【解題技法】獨立性檢驗的一般步驟(1)根據樣本數據制成2×2列聯表．(2)根據公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計算χ2的值．(3)查表比較χ2與臨界值的大小關系，作出統計判斷．【跟蹤訓練】（2022?甲卷）甲、乙兩城之間的長途客車均由和兩家公司運營．為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯表：準點班次數未準點班次數2402021030（1）根據上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；（2）能否有的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關？附：．0.1000.0500.0102.7063.8416.635三、數形結合思想在獨立性檢驗中的應用1．數形結合思想就是在解決與幾何圖形有關的問題時，將圖形信息轉換成代數信息，利用數量特征，將其轉化為代數問題；在進行回歸分析時，常利用散點圖、殘差圖等說明線性相關情況或模型的擬合效果．在獨立性檢驗中，我們常用等高堆積條形圖直觀地反映數據的情況，從而可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關系．2．主要培養數學抽象和數學運算的素養．【例3】某機構為了了解患色盲是否與性別有關，隨機抽取了1000名成年人進行調查，在調查的480名男性中有38名患色盲，520名女性中有6名患色盲，分別利用圖形和獨立性檢驗(α＝0.001)的方法來判斷患色盲與性別是否有關．【解題技法】解獨立性檢驗的應用問題的關注點(1)兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題．(2)兩個準確：①準確畫出2×2列聯表；②準確理解χ2.【跟蹤訓練】某電視傳媒公司為了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查．如圖所示的是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖．將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據已知條件完成下面的2×2列聯表，依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否據此認為“體育迷”與性別有關？性別“體育迷”情況合計非體育迷體育迷男女1055合計(2)將上述調查所得到的頻率視為概率．現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，均值E(X)和方差D(X)．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.050.01xα3.8416.635四、轉化與化歸思想在非線性回歸分析中的應用1．轉化與化歸思想主要體現在非線性回歸分析中．在實際問題中，并非所有的變量關系均滿足線性關系，故要選擇適當的函數模型去擬合樣本數據，再通過代數變換，把非線性問題線性化．2．主要培養數學建模和數學運算的素養．【例4】數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲，玩家需要根據盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數字，并滿足每一行?每一列?每一個粗線宮()內的數字均含19，不重復.數獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數獨大賽初級組的比賽，賽前小明在某數獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平均速度(秒)與訓練天數(天)有關，經統計得到如表的數據：(天)1234567(秒)990990450320300240210（1）現用作為回歸方程模型，請利用表中數據，求出該回歸方程；（2）請用第（1）題的結論預測，小明經過100天訓練后，每天解題的平均速度約為多少秒？參考數據(其中)18450.370.55參考公式：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【解題技法】非線性化的回歸分析問題，畫出已知數據的散點圖，選擇跟散點圖擬合得最好的函數模型進行變量代換，作出變換后樣本點的散點圖，用線性回歸模型擬合．【跟蹤訓練】中國茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類型以及水溫有關．經驗表明，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時飲用，可以產生最佳口感．某學習研究小組通過測量，得到了下面表格中的數據（室溫是）．泡制時間01234水溫85797471654.24.14.03.93.8（1）小組成員根據上面表格中的數據繪制散點圖，并根據散點圖分布情況，考慮到茶水溫度降到室溫（即）就不能再降的事實，決定選擇函數模型來刻畫．①令，求出關于的線性回歸方程；②利用①的結論，求出中的與．（2）你認為該品種綠茶用的水大約泡制多久后飲用，可以產生最佳口感？參考數據：．參考公式：．章末檢測(時間：120分鐘，滿分：150分)一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．為調查中學生近視情況，隨機抽取某校男生150名，女生140名，其中，男生中有80名近視，女生中有70名近視.在檢驗這些中學生眼睛近視是否與性別有關時，最有說服力的方法是（）A．均值與方差 B．排列與組合C．概率 D．獨立性檢驗2．觀察下列散點圖，則①正相關，②負相關，③不相關，圖中的甲、乙、丙三個散點圖按順序相對應的是（

）．

A．①②③ B．②①③ C．①③② D．③①②3．對兩個變量進行線性相關性檢驗，得線性相關系數，對兩個變量進行線性相關性檢驗，得線性相關系數，則下列判斷正確的是（

）A．變量與變量正相關，變量與變量負相關，變量與變量的線性相關性更強B．變量與變量負相關，變量與變量正相關，變量與變量的線性相關性更強C．變量與變量正相關，變量與變量負相關，變量與變量的線性相關性更強D．變量與變量負相關，變量與變量正相關，變量與變量的線性相關性更強4．獨立性檢驗中，假設：變量與變量沒有關系，則在上述假設成立的情況下，估算概率，表示的意義是A．變量與變量有關系的概率為B．變量與變量沒有關系的概率為C．變量與變量沒有關系的概率為D．變量與變量有關系的概率為5．某考察團對全國10大城市進行職工人均工資水平x（千元）與居民人均消費水平y（千元）統計調查發現，y與x具有相關關系，回歸方程為=0.66x+1.562．若某城市居民人均消費水平為7.675（千元），估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為（）A．83% B．72% C．67% D．66%6．某科研機構為了研究中年人禿頭是否與患有心臟病有關，隨機調查了一些中年人的情況，具體數據如下表所示：有心臟病無心臟病禿發20300不禿發5450根據表中數據得，由斷定禿發與患有心臟病有關，那么這種判斷出錯的可能性為附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．0.1 B．0.05C．0.01 D．0.0017．相關變量的散點圖如圖所示，現對這兩個變量進行線性相關分析，方案一：根據圖中所有數據，得到線性回歸方程，相關系數為；方案二：剔除點，根據剩下數據得到線性回歸直線方程：，相關系數為.則（

）

A．B．C．D．8．用模型擬合一組數據組，其中，設，得變換后的線性回歸方程為，則（

）A． B． C．70 D．35二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．下列說法正確的是（

）A．在兩個變量與的列聯表中，當越大，兩個變量有關聯的可能性越大B．若所有樣本點都在經驗回歸方程上，則變量間的相關系數是C．決定系數越接近1，擬合效果越好D．獨立性檢驗一定能給出明確的結論10．已知在最小二乘法原理下，具有相關關系的變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量之間的相關數據如表所示，則下列說法錯誤的是（）x681012y6m32A．變量之間呈正相關關系B．可以預測，當時，C．可求得表中D．由表格數據知，該回歸直線必過點11．某大學為了解學生對學校食堂服務的滿意度，隨機調查了50名男生和50名女生，每名學生對食堂的服務給出滿意或不滿意的評價，得到如下列聯表．經計算，則可以推斷出（

）．滿意不滿意男3020女4010A．該學校男生對食堂服務滿意的概率的估計值為B．該學校男生比女生對食堂服務更滿意C．依據的獨立性檢驗，可以認為男、女生對該食堂服務的評價有差異D．依據的獨立性檢驗，可以認為男、女生對該食堂服務的評價有差異三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中橫線上)12．某車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗．根據收集到的數據(如表)，由最小二乘法求得經驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件數x/個1020304050加工時間y/min62758189現發現表中有一個數據看不清，請你推斷出該數據的值為________．13.對某臺機器購置后的運營年限x(x＝1,2,3，…)與當年利潤y的統計分析知具備線性相關關系，經驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10.47－1.3x，估計該臺機器使用________年最合算．14．某部門通過隨機調查89名工作人員的休閑方式是讀書還是健身，得到的數據如下表：單位：人性別休閑方式讀書健身合計女243155男82634合計325789在犯錯誤的概率不超過________的前提下認為性別與休閑方式有關系．四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．（本小題滿分13分）冶煉某種金屬可以用舊設備或新設備，為了檢驗用這兩種設備生產的產品中所含雜質的關系，調查結果如表所示.設備所含雜質雜質高雜質低舊設備37121新設備22202根據表中數據試判斷含雜質的高低與設備新舊有無關系．16．（本小題滿分15分）在改革開放40年成就展上某地區某農產品近幾年的產量統計表：年份201420152016201720182019年份代碼123456年產量（萬噸）6.66.777.17.27.4（1）根據表中數據，建立關于的線性回歸方程．（2）根據線性回歸方程預測2020年該地區該農產品的年產量．17．（本小題滿分15分）電視傳媒公司為了了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名．下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．單位：人性別是否為體育迷合計非體育迷體育迷男女合計(1)根據已知條件完成2×2列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？(2)將日均收看該體育項目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．附：參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.01xα3.8416.63518．（本小題滿分17分）互聯網使我們的生活日益便捷，網絡外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一調查機構針對該市市場占有率較高的甲，乙兩家網絡外賣企業（以下稱外賣甲、外賣乙）的經營情況進行了調查，調查結果如下表：1日2日3日4日5日