[在此處鍵入]第13講函數(shù)模型及其應(yīng)用知識梳理1、幾種常見的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型，為常數(shù)且二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，2、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學模型；（3）解模：求解數(shù)學模型，得出結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．必考題型全歸納題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型【例1】（2024·全國·高三專題練習）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過.已知甲車的剎車距離與車速之間的關(guān)系為，乙車的剎車距離與車速之間的關(guān)系為.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現(xiàn)象（

）A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速【答案】C【解析】對于甲車，令，即解得（舍）或，所以甲未超速；對于甲車，令，即解得（舍）或，所以乙超速；故選:C.【對點訓練1】（2024·全國·高三專題練習）如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，所以，且，所以，又，所以，解得，即，設(shè)，，則，，所以在中，有，令，所以，所以，因為，所以，則要使最大，即要取得最小值，即取得最大值，即在取得最大值，令，，所以的對稱軸為：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，即最大，此時，即，所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為：.故選：B.【對點訓練2】（2024·云南·統(tǒng)考二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格：一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價格37元32元30元27元25元張師傅準備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件【答案】C【解析】設(shè)購買的件數(shù)為，花費為元，則，當時，，當時，，所以最多可購買這種產(chǎn)品件，故選：C.【對點訓練3】（2024·全國·高三專題練習）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品，需另投入成本萬元.其中，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每年利潤的最大值為（

）A．720萬元 B．800萬元C．875萬元 D．900萬元【答案】C【解析】該企業(yè)每年利潤為當時，在時，取得最大值；當時，（當且僅當時等號成立），即在時，取得最大值；由，可得該企業(yè)每年利潤的最大值為.故選：C【解題方法總結(jié)】1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．2、構(gòu)造分段函數(shù)時，要準確、簡潔，不重不漏．題型二：對勾函數(shù)模型【例2】（2024·全國·高三專題練習）某企業(yè)投入萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為，設(shè)備年平均費用為萬元，則年后的設(shè)備維護費用為，所以年的平均費用為（萬元），當且僅當時，等號成立，因此，為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為.故選：B.【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實體店體驗安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是___________萬元.【答案】【解析】根據(jù)題意，得到，進而得到月利潤的表示，結(jié)合基本不等式，即可求解.由題意，產(chǎn)品的月銷量萬件與投入實體店體驗安裝的費用萬元之間滿足，即，所以月利潤為，當且僅當時，即時取等號，即月最低利潤為萬元.故答案為:.【對點訓練5】（2024·全國·高三專題練習）迷你KTV是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中，，曲線段是圓心角為的圓弧，設(shè)該迷你KTV橫截面的面積為，周長為，則的最大值為___________．（本題中取進行計算）【答案】【解析】設(shè)圓弧的半徑為，根據(jù)題意可得：令，則根據(jù)基本不等式，，當卻僅當，即時取“=”.，時，故答案為：.【對點訓練6】（2024·全國·高三專題練習）磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形截去同心扇形所得部分．已知扇環(huán)周長，大扇形半徑，設(shè)小扇形半徑，弧度，則①關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式_________．②若雕刻費用關(guān)于x的解析式為，則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為________．【答案】，；【解析】由題意可知，，，，所以，，，扇環(huán)周長，解得，磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為，則，即雕刻面積與雕刻費用之比為，則，令，則，，當且僅當時（即）取等號，所以磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為.故答案為：，；【解題方法總結(jié)】1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；2、利用模型求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型【例3】（2024·全國·高三專題練習）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【答案】B【解析】由題意，設(shè)年平均增長率為，則，所以，故年平均增長率為20%.故選：B【對點訓練7】（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習）近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到m3激增到2021年的m3.從2000年開始統(tǒng)計，記k表示從2000年開始的第幾年，，.經(jīng)計算機擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費量，是2000年的天然氣消費量，是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為m3，2018年的天然氣消費量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，A．m3 B．m3C．m3 D．m3【答案】B【解析】據(jù)題意，，兩式相除可得，又因為，故選：B．【對點訓練8】（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預測）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于，否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內(nèi)，可以用指數(shù)模型:描述血氧飽和度（單位）隨機給氧時間（單位:時）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，為參數(shù).已知，給氧1小時后，血氧飽和度為，若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至少還需要（

）小時.（參考數(shù)據(jù):）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，，則，，所以，則使血氧飽和度達到正常值，給氧時間至少還需要小時.故選：D.【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學物質(zhì)，是昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預報和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由題意，，所以），即．又，所以．因為，所以．故選：B．【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，，，，，．故選：D．【解題方法總結(jié)】1、在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型．2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題．題型四：已知函數(shù)模型的實際問題【例4】（2024·全國·高三專題練習）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：，其中為時間（單位：），為環(huán)境溫度，為物體初始溫度，為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為的情況下，一桶咖啡由降低到需要.則的值為_________．【答案】【解析】由題意，把，，，代入中，得，所以，所以，解得.故答案為：.【對點訓練11】（2024·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預測）當生物死亡后，它機體內(nèi)碳14會按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量與死亡時間之間的函數(shù)關(guān)系式，（其中為生物死亡之初體內(nèi)的碳14含量，為死亡時間（單位：年），通過測定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為，則該生物的死亡時間大約是______年前．【答案】【解析】由題意，生物體內(nèi)碳14含量與死亡時間之間的函數(shù)關(guān)系式，因為測定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為，令，可得，所以，解得年.故答案為：年.【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時間（小時）變化的規(guī)律近似滿足表達式《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車___________.（精確到小時）【答案】4【解析】當時，由得，解得，舍去；當時，由得，即，解得，因為，所以此駕駛員至少要過4小時后才能開車.故答案為：4【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）能源是國家的命脈，降低能源消耗費用是重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：厘米）滿足關(guān)系：，經(jīng)測算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣.設(shè)為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使達到最小值時，隔熱層厚度__________厘米.【答案】【解析】由題意得，當時，，解得，又，所以，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：.【對點訓練14】（2024·全國·高三專題練習）某地在20年間經(jīng)濟高質(zhì)量增長，GDP的值（單位，億元）與時間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時的值.假定，那么在時，GDP增長的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當取很小的正數(shù)時，【答案】0.52【解析】由題可知，所以，所以,即GDP增長的速度大約是.故答案為：.【解題方法總結(jié)】求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵（1）認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗．題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題【例5】（2024·浙江·高三專題練習）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米【答案】B【解析】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形，于，，要使水橫斷面面積最大，則此時資金3萬元都用完，則，解得米，設(shè)，則，故，且，梯形的面積，當時，，此時，即當過水橫斷面面積最大時，水