第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布第3講二項式定理

課標要求命題點五年考情命題分析預測能用多項式運算法

則和計數原理證明

二項式定理，會用

二項式定理解決與

二項展開式有關的

簡單問題.展開式中的

特定項問題2023天津T11；2022新

高考卷ⅠT13；2020全

國卷ⅠT8；2020全國卷

ⅢT14；2020北京T3；

2019全國卷ⅢT4本講是高考常考內

容，主要考查二項展

開式的通項，求常數

項，求某項系數，求

某些項的系數和等，

主要以小題的形式出

現，難度不大.課標要求命題點五年考情命題分析預測能用多項式運算法則

和計數原理證明二項

式定理，會用二項式

定理解決與二項展開

式有關的簡單問題.二項式系數與

項的系數的問

題2022北京T8；2022

浙江T12預計2025年高考命

題常規，備考時要

掌握各種問題類型

及其求解方法.二項式定理的

綜合應用

學生用書P2291.二項式定理二項式定理二項展開式的通項Tk＋1＝①

，即為二項展開式的第

k＋1項.二項式系數

2.二項式系數的性質

A.－5B.5C.－10D.10

C123452.[教材改編]在(

x

－

y

)10的展開式中，系數最小的項是(

C

)A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項[解析]展開式共有11項，奇數項系數為正，偶數項系數為負，且第6項的二項式系

數最大，則展開式中系數最小的項是第6項.C12345

A.31B.32C.15D.16

A123454.[多選]下列說法正確的是(

CD

)B.在二項展開式中，系數最大的項為中間的一項或中間的兩項C.在(a＋b)n的展開式中，每一項的二項式系數都與a，b無關D.在(a＋b)n的展開式中，某項的系數與該項的二項式系數不同CD123455.[易錯題]已知(2

x

－1)

n

＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋…＋

anxn

(

n

∈N*)，設(2

x

－1)

n

的展開

式中所有項的二項式系數和為

Sn

，

Tn

＝

a

1＋

a

2＋…＋

an

(

n

∈N*)，則

S

4

＝

，

T

4＝

?.

16

0

12345

學生用書P230命題點1

展開式中的特定項問題角度1

形如(

a

＋

b

)

n

(

n

∈N*)的展開式中的特定項例1(1)[2023南京市中華中學檢測]若(2－

x

)6＝

a

0＋

a

1(1＋

x

)＋

a

2(1＋

x

)2＋…＋

a

6(1＋

x

)6，則

a

4＝(

B

)A.270B.135C.－135D.－270

B例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

60

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3方法技巧求形如(

a

＋

b

)

n

(

n

∈N*)的展開式中的特定項問題的步驟例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

A.430B.435C.245D.240

B例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

－28

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3方法技巧求形如(

a

＋

b

)

m

(

c

＋

d

)

n

(

m

，

n

∈N*)的展開式中特定項問題的步驟例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3角度3

形如(

a

＋

b

＋

c

)

n

(

n

∈N*)的展開式中的特定項例3(1)(

x

－

y

＋2)5的展開式中，

x

3

y

的系數為(

D

)A.80B.40C.－80D.－40

D

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

92

(2)(1＋2

x

－3

x

2)5的展開式中，

x

5的系數為

?.例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3方法技巧求形如(

a

＋

b

＋

c

)

n

(

n

∈N*)的展開式中的特定項問題的方法因式分

解法通過分解因式將三項式變成兩個二項式的積的形式，然后用二項式定理

分別展開.逐層展

開法將三項式分成兩組，用二項式定理展開，再把其中含兩項的一組展開，

從而解決問題.利用組

合知識把三項式(a＋b＋c)n(n∈N*)看成n個a＋b＋c的積，然后利用組合知識求

解.例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

A.－640B.－320C.640D.320

A例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3(2)(

x

2＋

x

＋

y

)5的展開式中，

x

5

y

2的系數為(

C

)A.10B.20C.30D.60

C例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3命題點2

二項式系數與項的系數的問題角度1

二項展開式中的系數和問題例4[多選]已知(1－2

x

)2023＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋…＋

a

2023

x

2023，則下列結論正確的

是(

ACD

)A.展開式中所有項的二項式系數的和為22023ACD例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3角度2

與二項展開式中的系數有關的最值問題例5(1)[全國卷Ⅰ]設

m

為正整數，(

x

＋

y

)2

m

展開式的二項式系數的最大值為

a

，(

x

＋

y

)2

m

＋1展開式的二項式系數的最大值為

b

，若13

a

＝7

b

，則

m

＝(

B

)A.5B.6C.7D.8

B例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

2.項的系數最值的求法

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

A.第5項的二項式系數最大B.所有項的系數之和為1C.有且僅有第6項的系數的絕對值最大D.展開式中共有4項有理項AB例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3(2)[2022浙江]已知多項式(

x

＋2)(

x

－1)4＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋

a

3

x

3＋

a

4

x

4＋

a

5

x

5，

則

a

2＝

，

a

1＋

a

2＋

a

3＋

a

4＋

a

5＝

?.

8

－2

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3命題點3

二項式定理的綜合應用例6(1)利用二項式定理計算1.056，則其結果精確到0.01的近似值是(

D

)A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34

D例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3(2)設

a

∈N，且0≤

a

＜26，若512020＋

a

能被13整除，則

a

的值為(

D

)A.0B.11或0C.12D.12或25

D例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3方法技巧二項式定理應用的常見題型及解題策略題型解題策略近似計算先觀察精確度，然后選取展開式中若干項求解.證明整除問題或求余數將被除式(數)合理的變形，拆成二項式，使被除式(數)展開后的每一

項都含有除式的因式.逆用二項式定理根據所給式子的特點結合二項展開式的要求，變形使之具備二項式

定理右邊的結構，然后逆用二項式定理求解.例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

A.0B.－2C.－1＋iD.－1－i

A例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3(2)若(2

x

＋1)100＝

a0＋

a1

x

＋

a2

x

2＋…＋

a100

x

100，則2(

a1＋

a3＋

a5＋…＋

a99)－3除以8的余數為

?.

5

例1例2例3訓練1例4例5訓練2例6訓練3

15

12345672.[命題點1角度2/全國卷Ⅲ](1＋2

x

2)(1＋

x

)4的展開式中

x

3的系數為(

A

)A.12B.16C.20D.24

A12345673.[命題點1角度3/2023湖南長沙第一中學段考](

x

－2

y

＋

z

)8的展開式中

x

3

y

3

z

2的系

數是

(用數字作答).

－4480

12345674.[命題點2角度1/2022北京高考]若(2

x

－1)4＝

a

4

x

4＋

a

3

x

3＋

a

2

x

2＋

a

1

x

＋

a

0，則

a

0＋

a

2＋

a

4＝(

B

)A.40B.41C.－40D.－41[解析]依題意，令

x

＝1，可得1＝

a4＋

a3＋

a2＋

a1＋

a0，令

x

＝－1，可得81＝a4－

a3＋

a2－

a1＋

a0，以上兩式相加可得82＝2(

a4＋

a2＋

a0)，所以

a0＋

a2＋

a4=41，故選B.B12345675.[命題點3]今天是星期二，經過7天后還是星期二，那么經過22021天后是(

D

)A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六

D1234567

－2

12345677.[命題點3]0.996的計算結果精確到0.001的近似值是(

B

)A.0.940B.0.941C.0.942D.0.943

B1234567

學生用書·作業幫P384

D1234567891011121314151617182.[2024湖北武漢第四十九中模擬](1＋

x

＋

x

2)(1－

x

)10的展開式中

x

5的系數為

(

D

)A.120B.135C.－140D.－162

D123456789101112131415161718

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

C123456789101112131415161718

A.－2B.－1C.1D.2D

123456789101112131415161718

A.n＝8B.展開式中x－2的系數為－448C.展開式中常數項為16D.展開式中所有項的系數和為1ABD123456789101112131415161718

1234567891011121314151617186.[多選/2024江蘇連云港統考]已知(1－2

x

)6＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋…＋

a

6

x

6，則下列

選項正確的是(

AC

)A.a0＝1B.a2＝120C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729D.a1＋a2＋…＋a5＝0AC123456789101112131415161718[解析]選項分析過程正誤A令x＝0，則1＝a0√B?C當r＝1，3，5時，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729D√?123456789101112131415161718

1234567891011121314151617188.[2024吉林一中、東北師大附中等校聯考](

x

2－

x

＋1)5的展開式中，

x

5的系數

為

?.[解析]

(

x

2－

x

＋1)5可以看作5個因式(

x

2－

x

＋1)相乘，要想得到含

x

5的項，可分

三種情況：①5個因式中選2個因式取

x

2，1個因式取－

x

，2個因式取1；②5個因式中選1個因式取

x

2，3個因式取－

x

，1個因式取1；

－51

1234567891011121314151617189.[2023湖北十堰6月統考](2

x

＋11)10的展開式中系數最大的項是第

項.

10

123456789101112131415161718

7

123456789101112131415161718

5(答案不唯一，

n

＝5

k

，

k

∈N*均可)

12345678910111213141516171812.若

x

8＝

a

0＋

a

1(

x

＋1)＋

a

2(

x

＋1)2＋…＋

a

8(

x

＋1)8，則

a

3＝

?.

－56

123456789101112131415161718

13.(1＋

x

)2＋(1＋

x

)3＋…＋(1＋

x

)9的展開式中

x

2的系數是(

D

)A.60B.80C.84D.120

D123456789101112131415161718

A.奇數項的二項式系數和為256B.第6項的系數最大C.存在常數項D.有理項共有6項BCD123456789101112131415161718

選

項分析過程正誤A?B由題意知展開式共11項，故第6項的系數最大√C√D當r＝0，2，4，6，8，10時，為有理項，故有理項共有6項√123456789101112131415161718

－3

12345678910111213141516171816.[2023成都模擬](5－3

x

＋2

y

)

n

展開式中不含

y

的項的系數和為64，則展開式中的

常數項為

?.

15625

123456789101112131415161718

17.[數學文化]“楊輝三角”揭示了二項式系數在三角形中的一種幾何排列規律，最

早在我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現.“楊輝三角”

是中國數學史上的一個偉大成就，激發了一批又一批數學愛好者的探究欲望.如圖，

由“楊輝三角”，下列敘述正確的是(

D

)楊輝三角第0行

1第1行

1

1第2行