專題二翻折問題

知識與方法

折疊問題的實質是軸對稱問題，是全等變換，其性質如下：

1.圖形的全等：圖中必有全等圖形，對應邊相等、對應角相等；

2.點的對稱性：對稱點連線被對稱軸（折痕所在直線）垂直平分.

典例精析

例1小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖221①，在RtAABC中,/ACB=90o,/B=3（F,AC=l第一步,

在AB邊上找一點D,將紙片沿CD折疊點A落在A處，如圖②;第二步，將紙片沿CA折疊，點D落在D處，如

圖③.當點D”恰好落在直角三角形紙片的邊上時.線段AD的長為.

答案：［或：2—V3

【簡析】①當點D，恰好落在直角三角形紙片的AB邊上時，設AC交AB邊于點E,如圖2-2-2①,由題意

AADC△A'DC△A'D'C,A'C垂直平分線段DD',

貝！］AD'A'C=Z.DA'C=ZX=60。,4c=AC=1,易求CE=^-,：.A'E=1-冬

從而可得.A'D'=2A'E=2-V3.

圖2-2-2

②當點D恰好落在直角三角形紙片的BC邊上時，如圖②，

由題意.得△ADCgZ\ADCgAA'D'C,^ACD=AA'CD=^A'CD'=^ACB=30。，則^D'A'C=

ADA'C=ZX=60。,4c=AC=1.可得A'D'=^A'C=

綜上，線段AD的長為T或22-VI

例2（沿中位線折疊）如圖223,在RtAABC^,ZACB=9O°,AB=5,BC=3,W,^A折疊到點C處，則折痕DE的

長度為.

A

圖2-2-3

答案：|

【簡析】由折疊的性質可知，DE是AABC的中位線，.?.DE=|,

變式1（沿邊的垂直平分線折疊）如圖224,在直角三角形ABC中,NACB=90o,AB=5,BC=3,將點A折疊到點

B處，則折痕DE的長度為

型索--

口木.8

【簡析】解法一：（相似處理）圖2-2-4

易知AADES/SABC,；.AE=DE和—=%.解得DE=-.

438

解法二：（勾股定理處理）

設CD=x，則.AD=BD=4-x,%2+32=（4-x）2,解得％=測BD=^.：.DE=［信了一針=得

解法三：（面積處理）

117111

SABC=^ABD+^BCDI■,--x3x4=-x3x-+-x5xDE.,DE=—.

變式2（沿角平分線折疊）如圖2-2-5,在R3ABC中,NACB=9。。,AB=5,BC=3,將點C折疊至!JAB邊上的點E

處,折痕為BD,則DE的長度為.

圖2-2-5

答案：也可用變式1中三種方法）

變式3（沿斜邊中線折疊）已知，如圖2-2-6,在R3ABC中,NACB=90。,AB=5,BC=3,將點B沿斜邊AB上的中

線CD折疊到點E處，連接AE,則AE的長度為.

答案：f

【簡析】解法一：（隱圓處理）

本題出現了斜邊上的中線，可知CD=AD=BD,又由折疊可知DE=BD,則可得A,E,C,B四點共圓，轉化為圓的

內接四邊形處理.

如圖227,延長AE,BC交于點G,由折疊可知:CE=BC,

圖2-2-7

則CE等于BC,；./GAC=NBAC.則可由ASA證得AGAC之△BAC,即GA=BA=5.設AE=x，貝！JGE=5-x,

易知AGECs/iGBA,則署=晶即==即AE=

(jDAD6333

解法二：（面積處理）

如圖228,連接BE.由折疊性質可知CD垂直平分BE,則S=S+S=2SABCD=SAABC,

四也形BLHDCDEBCD

I2久

，BExCD=BCxAC.；.BE='由解法一可知NAEB=90。，2E=J52-（—）=-./\

解法三：（勾股定理處理）：S2-2-8B

如圖2-2-9過點D作DGLAE于G,連接BE交CD于點F,易得ADAG/ABDE利用等積法可求出8F=￡，利

—%

CB

圖2-2-9

解法四：（旋轉處理）

如圖2-2-10,WAAEC繞點C順時針旋轉NECB的度數可得AABC,

由解法一,知NAEC+/ABC=180。,

.,./ABC+/ABC=180。.貝！］A；B,A三點共線.

過點C作CFJ_AA；垂足為F,

12916

??.CF=—,BDFR=-,AF=—.

555

77

??.A'B=g.即AE=

圖2-2-10

變式4如圖2211在R3ABC中,NACB=90tAB=5,BC=3,將點A折疊到點A處，且EA=BC,則折痕DE的

長度為

圖2-2-11

答案：等

變式5如圖2212,在RtAABC中,/ACB=901AB=5,BC=3,將點A折疊到點A處，且AB=1,則折痕DE的長度

為

圖2212

答案：野

變式6如圖2-2-13,在RtAABC+，ZACB=90°,AB=5,BC=3,W,1^A折疊到點A處，使四邊形ADA'E為菱形,

則折痕DE的長度為

答案：竽

例3（沿對角線折疊）如圖2-2-14,將矩形紙片ABCD沿AC折疊點B的對應點為E,線段CE交AD于點F,

已知AB=3,BC=4,貝U線段AF的長為

圖2-2-14

記聾-—

口木,8

【簡析】矩形折疊一般都會形成等腰三角形，是解題的突破口.“角平分線+平行線T等腰三角形”（知2推1很

重要）.

解法一：（勾股定理處理）設AF=x，則CF=x,DF=4-x,在RtADFC中，

%2=（4-x）2+3?,解得%

O

解法二：（三角函數處理）

如圖2-2-15,過點F作FGLAC于點G,則AG=1,AF=^—,

2COSZ.DAC

變式1（沿對角線的垂直平分線折疊）如圖2-2-16,折疊矩形紙片ABCD,使點B與點D重合,折痕為EF,已知

AB=3,BC=4,則EF=

【簡析】解法一：（勾股定理處理）

如圖2217,連接BD交EF于點O,設BF=xJ^DF=x,CF=4—x,在RtADFC中,.%2=（4一支y+3?,解得％=冬.

8

即DF=葛由折疊可知OD=3BD=|,則由勾股定理可得OF=?.?.EF=?

oZZo4

解法二：（相似處理）

如圖2218,連接BD交EF于點O,過點E作EGLBC于點G,

圖2-2-18

則可得AEGFs^BCD（矩形中的“十字”必相似）,

*言即

解法三：（面積處理）

“角平分線+平行線一等腰三角形”（知2推1很重要）.

連接BE,BD易得四邊形BEDF為菱形，則BFxCD=BDXEFX

即空x3=5xEFx3

82

15

???EF=—.

4

變式2（直角頂點折疊到某一邊上）如圖2219在矩形紙片ABCD中,AB=3,BC=5,沿過點C的直線折疊點B落

到AD邊上的點E處，折痕為CF,則折痕CF的長為

圖2-2-19

答案：|V10

【簡析】解法一：（相似處理）

由折疊可知,CE=CB=5,則DE=4,由“一線三直角”可得:AAEFsaDCE,可得EF=|.

由勾股定理可知CF=

解法二：（構造等腰三角形處理）

如圖2220延長DA,CF交于點G,易得AECG為等腰三角形,，EG=5.

圖2-2-20

由解法一可得DE=4,則DG=9,由勾股定理可得：（GC=3VIU,又???△GAFs^CBF,相似比為CF=|GC=

三國

3

變式3（直角頂點折疊到矩形外側）如圖2-2-21,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7.將點B折疊到E處,折痕為

PC,PE交AD于點F,且AF=2,貝！］PB=.

答案：|

【簡析】解法一：（勾股定理）

如圖2222,連接CF.

VAF=2,ADF=5.

由勾股定理可知CF=5V2,

由折疊可知CE=7,則由勾股定理可得EF=1.設PB=x廁PE=X,PF=X-1,AP=5-X,A（X-l）2=（5-%）2+22.

解得%=和PB=1.

解法二：（構造等腰三角形法，“角平分線+平行線一等腰三角形”）

如圖2223,延長PE,CD交于點G.

G

可知ACPG為等腰三角形，且GP=CG.

由AAPFsZXDGH得-=—=

91DGDF5

設AP=2x,GD=5x則PB=5-2x,

???PE=5-2x.

VGC=5+5x,

；.GE=7x.由勾股定理得:（（5+5久）2=72+（7x）2,解得匕=幺冷=：（舍去）.（為什么會產生兩個解呢？留個懸

43

念讀者自行解決）

37

???AP=2%PB=-.

22

變式4（直角頂點折疊到矩形外側）如圖2-2-24在矩形ABCD中,AB=8,BC=10,將點B折疊到E處折痕為

PC,PE交AD于點F,且AF=EF,則PB=.

【簡析】（勾股定理+全等處理）如圖2225，設CE交AD于點G,在R3CDG中，由勾股定理可得PB=y.

變式5（二次折疊）已知，如圖2-2-26①,在矩形ABCD中,AB=3,對折矩形紙片，將BC邊與AD邊重合，折痕為

MN,再將矩形紙片展開；如圖②，將點A折疊到MN上,并使折痕經過點B,同時得到線段AB則折痕

BE二

圖2-2-26

答案：2V3

反思與總結

由上述題型可知，我們應抓住折疊的一個本質即折疊是一種全等變換，會藏有相等的角和邊，這些條件恰恰是

我們解題的關鍵.我們還要樹立方程思想，運用已知關系構造等式求解.一般來說，折疊問題求長度均可通過勾股定

理、相似、三角函數、面積法求解，我們解題時要學會靈活運用.

折疊問題中的“一二一”：

“一個本質+二項歸類+一種思想”.

一個本質一折疊問題的本質是全等變換；

二項歸類一折疊問題通常用于求角度和長度；

一種思想一方程思想.

進階訓練

1.如圖2227,將口ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點E處，交BC于點F.若/ABD=48）/CFD=40。,

則NE的度數為（)

A.102°B.112°

C.122°D.92°

2.如圖2228,將矩形ABCD折疊，使點C與點A重合,折痕為EF,EF與AC交于點。.若AE=5,BF=3,則AO

的長為（）

A.V5對而C.2V5D.4V5

3.如圖2-2-29,在AABC中,D是AC邊上的中點，連接BR把ABDC沿BD翻折彳導至以BDC,DC與AB交于

點E,連接AC.若AD=AC=2,BD=3,,則點D到BC的距離為)

追B?粵C.V7D.V13

圖2-2-29圖2-2-30

4.如圖2230在R3ABC中,NACB=9（T,AC=8,BC=6,將邊BC沿CN折疊使點B落在AB上的點B處，再

將邊AC沿CM折疊，使點A落在CB，的延長線上的點A，處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點N,M,則線段

A'M的長為)

A-1B-iC-1Di

5.如圖2-2-31,在RtAABC紙片中,/ACB=9(T,AC=4,BC=3,點D,E分別在AB,AC上，連接DE,將AADE沿DE

翻折，使點A的對應點F落在BC的延長線上.若FD平分/EFB,則AD的長為()

AA.—25B.?

9

6.如圖2232,已知AD〃BC,AB，BC,AB=3,E為射線BC上T動點，連接AE,將AABE沿AE折疊，點B

落在點B處過點B作AD的垂線.分別交AD,BC于M,N兩點.當B為線段MN的三等分點時，BE的長為（）

AA.-3B.|V2

2

c-洪述D.|夜或|V5

7.如圖2-2-33,對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF,把紙片展平后再次折疊，使點A落在

EF上的點A處，得到折痕BM,BM與EF相交于點N.若直線BA交直線CD于點O,BC=5,EN=1廁OD的

長為（）

A.-V3C.L曲D.-43

2345

圖2-2-33圖2-2-34

8.如圖2234,矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=3,點P在BC上，將ACDP沿DP折疊點C落在點E

處,PE,DE分別交AB于點O,F,且OP=OFJIJcosZADF的值為（）

A.—B.—C.—D.—

13151719

9.如圖2235,在RtAABC中,NBAC=9(T,AB=2&,AC=6,點E在線段AC上,且AE=1,D是線段BC上的一

點，連接DE,將四邊形ABDE沿直線DE翻折，得到四邊形FGDE.當點G恰好落在線段AC上時,AF=

10.如圖2236是一張矩形紙片ABCD,M是對角線AC的中點點E在BC邊上把ADCE沿直線DE折

疊，使點C落在對角線AC上的點F處若MF=AB,則/DAF=度.

11.如圖2-2-37①，在AABC中，AB=4V2,ZB=45°,ZC=60°.

(1)求BC邊上的高線長.

(2)E為線段AB的中點點F在邊AC上，連接EF,沿EF將AAEF折疊得至以PEF.

①如圖2237②，當點P落在BC上時，求/AEP的度數

②如圖2237③，連接AP,當PFJ_AC時，求AP的長

圖2-2-37

12.如圖2238直線y=-1比+6與x軸交于點B,與y軸交于點A,點P為線段AB的中點，點Q是線段

OA上一動點(不與點O,A重合).

(1)請直接寫出點A,點B,點P的坐標.

⑵連接PQ,在第一象限內將AOPQ沿PQ翻折得到AEPQ,點O的對應點為點E.若/OQE=90。,求線段AQ的

長.

(3)在(2)的條件下，設拋物線y=ax2-2a2x+a3+a+l(a豐0)的頂點為點C.

①若點C在APQE內部(不包括邊)，求a的取值范圍.

②在平面直角坐標系內是否存在點C,使|CQ-CE|最大？若存在，請直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理

由.

13.如圖2239①，在RtAABC中,NACB=90o,/A=6(T,CD是斜邊AB上的中線，點E為射線BC上一點，將

△BDE沿DE折疊，點B的對應點為點F.

⑴若AB=&直接寫出CD的長(用含a的代數式表示)；

(2)若DFLBC,垂足為G,點F與點D在直線CE的異側，連接CF,如圖②，判斷四邊形ADFC的形狀，并說

明理由；

(3)若DFLAB,直接寫出/BDE的度數.

圖2-2-39

14.在矩形ABCD中，BC=aD點、E.F分別是邊AD,BC上的動點，且AE=CF,連接EF,將矩形ABCD沿EF

折疊，點C落在點G處，點D落在點H處.

⑴如圖2240①，當EH與線段BC交于點P時,求證:PE=PF;

⑵如圖②，當點P在線段CB的延長線上時,GH交AB于點M,求證:點M在線段EF的垂直平分線上；

⑶當AB=5時在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長.

圖2-2-40

15.如圖2241,已知正方形ABCD,點E是BC邊上一點，將AABE沿直線AE折疊，點B落在點F處”連接

BF并延長，與/DAF的平分線相交于點H,與AE,CD分別相交于點G,M,連接HC.

(1)求證:AG=GH.

⑵若AB=3,BE=1,求點D到直線BH的距離.

(3)當點E在BC邊上(端點除外)運動時,/BHC的大小是否變化？為什么?

圖2-2-41

答案

進階訓練I

1.B［解析］:口ABCD中,AD〃BC,

.\ZADB=ZDBC.

由折疊可得/ADB=/BDF,

-?.ZDBC=ZBDF.

又NDFC=40。，

ZDBC=ZBDF=ZADB=2O°.

又NABD=48。，

AABD中，乙4=180°-20°-48°=112°.

AZE=ZA=112°.

故選B.

2.C［解析］由折疊可得/AFO=/CFO,AF=CF,

???四邊形ABCD是矩形，

??.AD/7BC,ZB=90°..\ZCFO=ZAEO.

二ZAFO=ZAEO.AE=AF=5=CF.

BF=3,.-.AB=y］AF2-BF2=4,BC=8

???AC=7AB2+B>2=“6+64=4A/5.

Z.由對折得：CM=。。==2逐.故選c.

3.B［解析］如圖，連接CC,則CC」BD,垂足記為F.

,/D是AC邊上的中點,/.DA=DC.

由折疊可知.DC'=DC,

貝！］DA=DC=DC',.\ZAC'C=90°.

AC=AD=2,

：.CC=2V3,DF=1,BF=2,BC=回點D到BC的距離等于點D到BC的距離，考慮用等積法過點D作DH

_LBC交BC于H,

則BD.CF=BCDH代入解得：DH=--=蜉，故選B.

777

4.B［解析］VAC=8,BC=6,ZACB=90°,AAB=10.

VAB'CN,AA'CM分別由△BCN,4ACM翻折得至!J,

AB'CN^ABCN^A^M^△ACM.

JZA!CM=ZACM,ZB,CN=ZBCN,ZB*NC=ZBNC=90°,B'C=BC=6,A'C=AC=8.

JA'B'=8-6=2,ZMCN=45°.

???ZNMC=45°.

???ZAMC=ZA'MC=135°.

???^ArMB=135°-45°=90°.

NA'MB=NCNM.A'M〃CN.

???△CNB's/XAMB：

設CN二x,MB'=a,貝!］MN=x,NB'=x-a,

2

B'N=BN=-4x.

在RtABCN中,BN2+CN2=SC2,

gx)2+比2=62,解得x=,負值已舍).

7724R

A'M=AM=10-BM=10--4x=10--4X5-=5

5.D［解析］如圖，過點D作DHLBC于H在RtAABC中,NACB=9(T,AC=4,BC=3,由勾股理，得AB

V32+42=5.

?.?將AADE沿DE翻折得AFDE,

,?.AD=DF,ZA=ZDFE.

；FD平分/EFB,

ZDFE=ZDFH..\ZDFH=ZA.

設DH=3x,在RtADHF中，sinzDFH=sinA=|,

DF=5x.BD=5-5x.

△BDHs^BAC,.??!!=彤.=竽.

44cL20

AD=5%=—.

77

6.D［解析卜①當MB'=時,如圖,R3AMB，中，AB'=AB=3,MB'==1,

AM=<AB'2-MB'2=2&.

：AD//BC,AB±BC,MN_LAD,

四邊形ABNM是矩形.

BN=AM=2V2.

設BE=x，則B'E=x,EN=2yf2-x,

RtAB'EN中，B'N=MN-MB'=2,EN2+B'N2=B'E2,

(2V2—x)2+22=/,解得x=芋.

，BE的長為苧；

②當N星=：MN時，如圖.

NB'=-MN=1,

3

MB'=2股BE=y，同①可得y=詈,

???BE的長為言.

綜上所述，BE的長為苧或若故選D.

7.B［解析］：EN=1，，由三角形中位線定理彳導AM=2.

由折疊的性質，可得.AM=2,

7AD//EEJ7t3

?,.ZAMB=ZA'NM.\'7N^A'

VZAMB=ZA'MB,

.-?4A'NM=4A'MB.

A'N=A'M=2..-.A'E=3,A'F=2.

過M點作MGXEFTG,

.*.NG=EN=1.AA'G=1.

由勾股定理得MG=V22-I2=V3,

BE=MG=V3.

???OF:BE=A'F-.A'E=2:3,

■.OF=OD=y/3--=

333

故選B.

8.C［解析］由題意得:RtADCP絲RtADEP,；.DC=DE=4,CP=EP.

在AOEFfflAOBP中,/EOF=/BOP,/E=/B,OF=OP,

ZXOEF絲△OBP(AAS).；.OE=OB,EF=BP.

設EF=x,!I!UBP=x,DF=4-x,

XBF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,

AF=AB-BF=4-(3-x)=l+x.

在RtADAF中，AF2+AD2=DF2,

即(1+x)2+32=(4-x)2,

解得x=|,二EF=l，DF=4-|=y.

.?.在RtADAF中,COS/.ADF=^=||.

.乎［解析］如圖過點作于「

9FFHJ_ACH??將四邊形ABDE沿直線DE翻折彳導到四邊形FGDE,AB=

FG=2五,AE。

=EF=l,ZBAC=ZEFG=90°.D

???EG=y/EF2+"2="+8=3.

rHFFG心

smZ-1F71E7G=—=—,

???EFEGF

?竺一越■HF--

133

4

??.AH=AE+EH=

3

：.AF=/AH—"=

10.18［解析］連接DM,如圖:

4。

BEC

???四邊形ABCD是矩形,???NADC=90。.

TM是AC的中點,???DM=AM=CM.

JNFAD二NMDA,NMDC=NMCD.

DC,DF關于DE對稱,DF=DC.

NDFONDCF.

MF=AB,AB=CD,DF=DC,MF=FD.

JZFMD=ZFDM.

NDFC=NFMD+NFDM,

???NDFC=2NFMD.

ZDMC=ZFAD+ZADM,

NDMC=2NFAD.

設NFAD=x。,則.乙DFC=4x°f

：.ZMCD=ZMDC=4x°.

ZDMC+ZMCD+ZMDC=180°,

2x+4x+4x=180,x=18.

11.解:⑴如圖過點A作ADLBC于D.

在RtAABD中，AD=AB-sin45°=4讓xy=4.

???BC邊上的高線長為4.

⑵①由折疊知AAEF取APEF,AE=EP.

,-'E為線段AB的中點,AE=EB.

；.BE=EP.ZEPB=ZB=45°.

ZPEB=90°./.ZAEP=180°-90°=90°.

②由⑴可知："=合=學

VPFXAC,

/.ZPFA=90°.

由折疊知△AEFgAPEF,

JZAFE=ZPFE=45°.

AZAFE=ZB.

NEAF=NCAB,

AAAEF^AACB.

AF_AE日門AF_2V2

贏=I?即南=逅?

3

AF=2V3.

在RtAAFP中,AF=FP,

：.AP=&AF=2V6.

12.解:⑴A(0,6),B(4,0),P(2,3).

(2)如圖，過點P作PFLOA于F.

乙OQE=90^OQP=^OQE=45°.

；.QF=PF.

點P(2,3),QF=PF=2,OF=3./.OQ=5.

?.?點A(0,6),，AO=6.

；.AQ=6-5=1,即AQ的長為1.

(3)①y=a(%2—2ax+a2)+a+1=a(x—a)2+a+l,

其頂點C的坐標為(a,a+l).

，點C是直線y=x+l(x力0)上一點.

"?ZOQE=90°,OQ=5,

當y=5時,x=4.

又：點P(2,3)在直線y=x+l上，

..?當點C在APQE內部(不含邊)時，a的取值范圍是2<a<4.

②存在點C使ICQ-CEI最大，其坐標為((蔡，蔡)

13.解:(1)CD=|a.

(2)四邊形ADFC是菱形.理由如下：

由折疊的性質得DF=DB,

VZA=60°,.,.ZB=30°.

1

???AC=-AB=AD=DB./.AC=DF.

2

???DFJ_BC,???AC〃DF.

???四邊形ADFC是平行四邊形.

VAD=DB=DF,

???平行四邊形ADFC是菱形.

(3)NBDE=45。或NBDE=135°.

［解析］分兩種情況：點E在線段BC上，點E在BC的延長線上，如圖①，圖②.

14.解:⑴證明:,?.四邊形ABCD是矩形，

JAD//BC.JNDEF=NEFB.

由翻折變換可知,NDEF=ZPEF,

???ZPEF=ZPFE.APE=PE

(2)證明:如圖，連接AC交EF于O,連接PM,PO.

VAE//CF,/.ZEAO=ZFCO.

AE=CF,ZAOE=ZCOF,

???AAEO^ACFO(AAS).OE=OE

,/PE=PF,/.PO平分NEPF.

AD=BC,AE=FC,ED=BF.

由折疊的性質可知ED=EH,；.BF=EH.

PE-EH=PF-BF.PB=PH.