課題5.3.2函數的最大（小）值(第2課時)一、教學內容用導數判斷函數的單調性，運用導數求函數的極值與最大（小）值的應用。二、教學目標1.熟練掌握運用導數求函數的單調區間，求函數的極值與最大（小）值；2.學會用導數解決數學中的函數問題和生產生活中的最優化問題。三、教學重點與難點重點熟練運用導數判斷函數的單調性并求函數的極值與最大（小）值及相關應用；難點將函數中相關問題，生產生活中的問題的解決轉化為單調性和極值最值問題的解決。四、教學過程設計1.知識回顧問題1我們前兩節課學習了哪些內容？預設 學習了用導數去判斷函數的單調性，并求出函數的單調區間，根據函數的單調性求函數的極值和最大（小）值；設計意圖 帶領學生復習回顧最值與極值的區別與聯系，知道可以利用最值法進行不等式的證明.問題2請判斷函數f(x)=(x+1)?x的單調性,并求出f(x)的極值；預設 解⑴函數的定義域為R.f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(?x)'1ex+(x+1)ex(x+2)ex令f'(x)=0，解得x=-2.f'(x)，f(x)的變化情況如表5.3-4所示.表5.3-4x-2-0+單調遞減 單調遞增所以，在區間(-∞,-2)上單調遞減，在區間(-2,+∞)上單調遞增.當時，f(x)有極小值.設計意圖熟悉用導數求單調區間和極值最值，為后面的應用作準備.2.能力深化問題3 畫出函數f(x)=(x+1)?x的大致圖像嗎？追問1 要想畫出圖像，我需要知道該函數的哪些性質和特點？預設 需要知道該函數的單調性，奇偶性，極值點、最值點等特殊點及變化趨勢.追問2 問題2中，我們已經判斷出了函數的單調性并求出了函數的單調區間，同時也求出了該函數的極值和極值點，還需要求出什么？預設還需要求出該函數經過的特殊點和變化趨勢.令，解得.當時，；當x>-1時，f(x)>0.所以，的圖象經過特殊點A(-2,-?12)，B(-1,0),C(0,1).當時，與2一次函數相比，指數函數y=?-x呈爆炸性增長，從而f(x)=x+1→0；?-x當x→+∞時，，f'(x)→+∞.根據以上信息,我們畫出f(x)的大致圖象如圖5.3-17所示.y-2-11xO 1-1圖5.3-17設計意圖 教會學生用導數研究函數的單調性，極值等性質以及畫函數大致圖像的問題，并由畫圖過程提煉出函數作圖的基本步驟，理清這些步驟與求函數單調區間，求函數極值等問題的步驟之間的聯系.問題4你能求出方程的解的個數嗎？追問1你覺得應該怎么去求？直接解這個方程可以嗎？預設 用現有的解方程的知識解決不了.追問2如何轉化呢？預設 方程的解的個數為函數y=f(x)的圖像與直線y=a的交點個數.由（1）及圖5.3-17可得，當x=-2時，f(x)有最小值f(-2)=-1.?2所以,關于方程f(x)=a(a∈R)的解的個數有如下結論當時，解為0個；3當a=-1或a≥0時，解為1個；當-1<a<0時，解為2個.?2e2設計意圖讓學生聯系零點存在性定理，從而帶領學生得到以下階段小結.階段小結 由例7可見，函數f(x)的圖象直觀地反映了函數f(x)的性質.通常，可以按如下步驟畫出函數f(x)的大致圖象（1）求出函數f(x)的定義域；（2）求導數f'(x)及函數f'(x)的零點；（3）用f'(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區間，列表給出f'(x)在各區間上的正負，并得出f(x)的單調性與極值；（4）確定f(x)的圖象所經過的一些特殊點，以及圖象的變化趨勢；（5）畫出f(x)的大致圖象.設計意圖 及時的階段小結，讓問題明確化，過程系統化，方法條理化，提高解決問題的能力.問題5我們還能運用導數解決函數中的哪些問題呢？例1 利用函數的單調性，證明不等式ex31+x.追問 如何轉化？預設 要證ex31+x，只要證ex-x-130，即證f(x)=ex-x-130，只要證fmin(x)30追問 本題轉化為了什么問題？預設 函數求最值問題.f(x)=ex-x-1設計意圖 讓學生體會常見的數學問題的轉化路徑，培養轉化與化歸的能力.3.實際問題4引導語下面我們通過實例介紹導數在解決實際問題中的應用.問題6飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品般比大包裝的要貴些？你想從數學上知道它的道理嗎？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大?例2 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是分，其中r（單位cm）是瓶子的半徑.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.⑴瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？⑵瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？追問 實際生活中的問題，我們如何處理？預設 轉化為數學問題.追問 轉化為數學中的什么問題？預設 轉化為函數求最值問題，從而用導數來解決.解由題意可知，每瓶飲料的利潤是3y=f(r)=0.2×43πr3-0.8πr2=0.8π(r3-r2),0<r≤6.所以令f'(r)=0，解得.當時，；當r∈(2, 6)時，.因此，當半徑r>2時，f'(r)>0.f(r)單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r<2時，f'(r)<0，單調遞減，即半徑越大，利潤越低.⑴半徑為6cm時，利潤最大.⑵半徑為2cm時，利潤最小，這時f(2)<0，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值.5換一個角度如果我們不用導數工具，直接從函數f(r)的圖象(圖5.3-18)上觀察，你有什么發現？yO123r圖5.3-18從圖象上容易看出，當時，f(3)=0，即瓶子的半徑是3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當r>3時，利潤才為正值.當r∈(0, 2)時，f(r)是減函數，你能解釋它的實際意義嗎?通過此問題的解決，我們很容易回答開始時的問題，請同學們自己作出回答.設計意圖意在通過實例介紹導數在解決實際問題中的應用,數學學習的最終目的是用于生活，服務于生活，解決生活中的問題.4.課堂練習⑴利用函數的單調性，證明下列不等式，并通過函數圖象直觀驗證sinx<x,x∈(0,π).⑵如圖，用鐵絲圍成一個上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為am2.為使所用材料最省，圓的直徑應為多少？設計意圖 讓學生學會運用函數求導的方法解決6生活中的優化問題.5.課堂小結問題7通過本節課的學習，你有哪些收獲？(1)知識內容方面（2）技能方法方面（3）思想態度方面師生活動 由學生獨立進行思考，適當交流后，師生共同總結.本節課我們回顧了用導數判斷函數的單調性，求函數的極值和最值，同時解決了函數中的其他問題（方程的根的問題、圖像及圖像交點問題，不等式問題），并學習了如何用導數解決實際生活中的最值問題.設計意圖 通過回顧歸納本節課所學，讓孩子們有一個清晰的邏輯知識鏈，對整個解決問題的方法有個系統的認知，培養邏輯推理能力，轉化與化歸能力.6.作業設計，目標檢測習題5.3綜合運用第12（2）；綜合運用第8題；拓廣探索第13題.設計意圖不同題型對知識有不同要求，讓學生根據自己所掌握知識學會解決問題，體會用導數解決問題的方法.體現學以致用的觀念，消除學生學生學無所用的思想顧慮.而第13題則是對學有余力的同學提出了要求，因材施教.7.目標檢測設計組1.函數f(x)=x3+ax2-(3+2a)x+1在x=1處取得極大值，則實數a的取值范圍為（ ）A．(-￥，-3) B．(-3，+￥) C．(-￥，3) D．(3，+￥)2.已知函數f(x)=2mx-4lnx.7（1）當m=1時，求f(x)的單調遞增區間；（2）若f(x)與g(x)=12mx2+2x的圖象上恰有兩對關于y軸對稱的點，求m的取值范圍.設計意圖加強學生運用新知識的意識，學以致用，培養學生解決問題的能力和調動學生學習的積極性，提高學生思維的廣度.組1.已知