絕密★本科目考試啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．M{x|4x，N{x|1x）MN（1.已知集合x4x3x1x1A.2x1x4D.zi1z（2.iA.1ii1iD.1xy2xy0的圓心到xy20的距離（32）23.A.232D.64x4.x的二項展開式中x3的系數(shù)為（）413A.156D.ab·ab05.已知向量a，b，則“”是“ab或ab”）條件．A.必要而不充分條件充分且必要條件充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件πf1（fxx01，fx1，|xx|2min6.，）212A123D.4S1dd12.1，d2n1n與27.記水的質(zhì)量為dSn系為（）A.n21第1共頁1nB2S1nn若S1n2；112nnS1n2；1D.若S1128.已知以邊長為4442222）23A.23D.322，2,y2y2x是函數(shù)圖象上不同的兩點，則下列正確的是（1,y9.）11y21x21y21x2log2log2log2log2A.D.22221y21y212122210.若集合x),0txx,y|yxt(x2表示的圖形中，兩點間最大距離為d、面積為S，）A.d3，S1d3，S1d，S1D.dS1，第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.2y16x，則焦點坐標(biāo)為________．已知拋物線ππ，且αβ的終邊關(guān)于原點對稱，則12.已知,的最大值為________．63x21，則過3,0且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率為________．y213.已知雙曲線414.已知三個圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個圓柱的直徑為65mm，第二、三個圓柱的直徑為325mm，第三個圓柱的高為230mm，求前兩個圓柱的高度分別為________．Mk|ka，b不為常數(shù)列且各項均不相同，下列正確的______.nb，k15.naaa，bn①②③均為等差數(shù)列，則M中最多一個元素；均為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；nnn，bn為等差數(shù)列，b為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；n第2共頁a單調(diào)遞增，b單調(diào)遞減，則M中最多一個元素.n④n三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.316.在△a7，A為鈍角，sin2BbB．71）求A；2）從條件①、條件②和條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求△的面積．131452①b7BcsinA3．注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分．17.已知四棱錐P-ABCDAD1，32E是AD上一點，PEAD．1）若F是中點，證明：．2）若AB，求平面PAB與平面夾角的余弦值．18.已知某險種的保費為0.4萬元，前3次出險每次賠付萬元，第4次賠付賠償次數(shù)01234在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：1）求隨機抽取一單，賠償不少于2次的概率；2i）毛利潤是保費與賠償金額之差．設(shè)毛利潤為X，估計X的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險期的保費下降4%，已賠償過的增加．估計保單下一保險期毛利潤的數(shù)學(xué)期望．x22y2221ab02的t19.已知橢圓方程：tab的直線l與橢圓交于，，，連接交橢圓于D．C1）求橢圓方程和離心率；2）若直線的斜率為0．fxx1x20.在t,f處切線為．t0t第3共頁1fx1）若切線l的斜率k單調(diào)區(qū)間；2）證明：切線l不經(jīng)過0；O0,0，其中t0，，切線l與y軸交于點B時．當(dāng)3）已知k1，At,ft，Cft2△15S△，符合條件的A的個數(shù)為？）（參考數(shù)據(jù)：，，．對于給定有窮數(shù)列Mi,j,s,ti2,j3,4,s5,6,t7,8,2ijst21.設(shè)集合，kMi,j,s,tkkkk，定義變換T：將數(shù)列AA:a1n8:,,...,，及序列n12sTTA21i,j,s,tTA1TA1i,j,s,t111111222221A．T...TTA作，得到數(shù)列，記為sA，寫出；1）給定數(shù)列A和序列:1,3,5,7,6,8,1,3,5,7aaaaaaaa4A為212345678出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；aaaaA為常數(shù)列”3A“存在序列1357aaaaaaaa”．8的充要條件為“1234567第4共頁絕密★本科目考試啟用前2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共12頁，150分.考試時長120分鐘..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．M{x|4x，N{x|1x）MN（1.已知集合x1x1x4x3A.2x1x4D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.MN3，【詳解】由題意得故選：A.zi1z（2.iA.1ii1iD.1【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.zii11i，【詳解】由題意得故選：xy2xy0的圓心到xy20的距離（）23.A.23232D.6【答案】C【解析】第5共頁【分析】求出圓心坐標(biāo)，再利用點到直線距離公式即可.2x6y0x12y3210，【詳解】由題意得x2y21323xy2032則其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為，122故選：4x4.x的二項展開式中x3的系數(shù)為（）413A.156D.【答案】B【解析】r43【分析】寫出二項展開式，令，解出r然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.2r4r4【詳解】xx的二項展開式為r1Cr4x4rxCr41xr,r2,3,4，2r43r2，令，解得26.2故所求即為C24故選：ab·ab05.已知向量a，b，則“”是“ab或ab”）條件．A.必要而不充分條件充分且必要條件【答案】A充分而不必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】abab0ab【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.ababa2b2022ab【詳解】因為，可得ab，abab0ab，等價于ababab0，可知必要性成立；若ab或ab，可得abab0ab若，無法得出ab或ab，0,babab，可知充分性不成立；，滿足ab且aabab0綜上所述，“”是“ab且ab”的必要不充分條件.第6共頁故選：A.π2f1fxx01，fx1，|xx|6.，（）212minA.123D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運算求解.fxfx為的最大值點，xx【詳解】由題意可知：為的最小值點，12Tπ212Tπ，則22π且0，所以2.T故選：7.記水的質(zhì)量為系為（S1dd12.1，d2n1n與2dSn）A.n211n2S1nn若S1n2；112nnS1n1D.若S12；12【答案】C【解析】S1ne2.11，討論與的大小關(guān)系，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷S1.【分析】根據(jù)題意分析可得S12e2.2S11S12dS11ne2.11【詳解】由題意可得，解得，；S1d2n2e2.2S1S1S1S1若若S1S1，可得nn12e2.1e2.22.12.2S1S10，可得nn1；122.12.2第7共頁S1S1S12.1e2.2S1S1，可得nn；12若e2.12.2結(jié)合選項可知C正確，錯誤；故選：C.8.已知以邊長為4442222）23A.23D.322【答案】D【解析】，利用等體【分析】取點作輔助線，根據(jù)題意分析可知平面PEF積法求點到面的距離.【詳解】如圖，底面為正方形，當(dāng)相鄰的棱長相等時，不妨設(shè)22，AB,CDE,FPE,,，連接，分別取的中點,PE,，則E，AB，所以平面PEF，過P作EF的垂線，垂足為OPOEF，由平面，，，由題意可得：23,4222，121PEPFPEPFPOEFPO3則，可得，2EF所以四棱錐的高為3.當(dāng)相對的棱長相等時，不妨設(shè)4，22，第8共頁42，此時不能形成三角形，與題意不符，這樣情況不存在.故選：D.，2,y2y2x是函數(shù)圖象上不同的兩點，則下列正確的是（1,y9.）11y21x21y21x2log2log2log2A.D.22221y21y2log2121222【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷；舉例判斷即可.xxy2x01y2，即，2x1x2【詳解】由題意不妨設(shè)，因為函數(shù)是增函數(shù)，所以021221221221y21222xx2220，對于選項：可得122y2122121ylog2x根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以log2log22A正確，B錯誤；22xx1yy2對于選項：例如，12121y321ylog22log20,1log2211xC錯誤；22211xx2y,y對于選項D：例如，1212241y381ylog22log2331log2231xD錯誤，2222故選：A.10.若集合x),0txx,y|yxt(x2表示的圖形中，兩點間最大距離為d、面積為S，）A.d3，S1d3，S1d，S1D.dS1，【答案】C【解析】2yxyx【分析】先以t為變量，分析可知所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，結(jié)合圖形分析求解即可.1x2第9共頁x2x2xxx0t，【詳解】對任意給定xxtx2xxx2xx2xyx2，2yxyx再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，1x2A,B2,2,C2,4，如圖陰影部分所示，其中d可知任意兩點間距離最大值；1S△121陰影部分面積2故選：“以形助數(shù)數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結(jié)合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準(zhǔn)確把握條件、結(jié)論與幾何圖形的對應(yīng)關(guān)系，準(zhǔn)確利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求解．第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.2y16x，則焦點坐標(biāo)為________．已知拋物線【答案】4,0【解析】p2【分析】形如2,p0的拋物線的焦點坐標(biāo)為,0，由此即可得解.y2y16x，所以其焦點坐標(biāo)為0.2【詳解】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：4,0.ππ，且αβ的終邊關(guān)于原點對稱，則12.已知,的最大值為________．631##0.5【答案】【解析】2π2kπ,kZ【分析】首先得出，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可求解最值.π2kπ,kZππcos，【詳解】由題意，從而ππ6313312因為,，所以cos的取值范圍是的取值范圍是,,，，222π4π312當(dāng)且僅當(dāng)2kZ取得最大值，且最大值為.31故答案為：.2x21，則過3,0且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率為________．y213.已知雙曲線41【答案】【解析】2【分析】首先說明直線斜率存在，然后設(shè)出方程，聯(lián)立雙曲線方程，根據(jù)交點個數(shù)與方程根的情況列式即可求解.x25【詳解】聯(lián)立x3與y1，解得y2，這表明滿足題意的直線斜率一定存在，42，則過點0ykx3且斜率為的直線方程為，，kk設(shè)所求直線斜率為2xy12，化簡并整理得：14kx24kx36k4022224ykx322Δ24k0或2436k2414k02由題意得14k，11k或無解，即k，經(jīng)檢驗，符合題意.221故答案為：.214.已知三個圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個圓柱的直徑為65mm，第二、三個圓柱的直徑為325mm，第三個圓柱的高為230mm，求前兩個圓柱的高度分別為________．第共頁2【答案】【解析】【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個圓柱的高度.2232523252π2π230hh10，【詳解】設(shè)第一個圓柱的高為，第二個圓柱的高為1222652325πh1π221152hh，故，212故答案為：.Mk|ka，b不為常數(shù)列且各項均不相同，下列正確的是______.nb，k15.naaaa，bn①②③④均為等差數(shù)列，則M中最多一個元素；均為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；nnnn，bn為等差數(shù)列，b為等比數(shù)列，則M中最多三個元素；n單調(diào)遞增，b單調(diào)遞減，則M中最多一個元素.n【答案】【解析】【分析】利用兩類數(shù)列的散點圖的特征可判斷①④的正誤，利用反例可判斷②的正誤，結(jié)合通項公式的特征及反證法可判斷③的正誤.a,b【詳解】對于①，因為而兩條直線至多有一個公共點，故M中至多一個元素，故①正確.n均為等差數(shù)列，故它們的散點圖分布在直線上，nn2n1,n21,則a,b均為等比數(shù)列，nnan為偶數(shù)時，有an2n1n2n1，此時M中有無窮多個元素，n故②錯誤.q1abk0，，nbnn若M中至少四個元素，則關(guān)于的方程Aqnb至少有4個不同的正數(shù)解，nqq1由yAq和nyknbn的散點圖可得關(guān)于的方程b至多有兩個不同的解，n若矛盾；nb奇數(shù)解的個數(shù)和偶數(shù)解的個數(shù)，n若當(dāng)qq1，考慮關(guān)于nnb有偶數(shù)解，此方程即為Aqb，q0方程至多有兩個偶數(shù)解，且有兩個偶數(shù)解時，q0Aq,ybny單調(diào)性相反，nb至多一個偶數(shù)解，Aqnb有奇數(shù)解，此方程即為Aqnb，當(dāng)方程至多有兩個奇數(shù)解，且有兩個奇數(shù)解時q0即q0q0Aq,ybny單調(diào)性相反，nb至多一個奇數(shù)解，Aqq0，q0不可能同時成立，nb不可能有4個不同的正數(shù)解，故③正確.故b為遞減數(shù)列，前者散點圖呈上升趨勢，na對于④，因為為單調(diào)遞增，n后者的散點圖呈下降趨勢，兩者至多一個交點，故④正確.【點睛】思路點睛：對于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的討論，可以利用兩者散點圖的特征來分析，注意討論兩者性質(zhì)關(guān)系時，等比數(shù)列的公比可能為負，此時要注意合理轉(zhuǎn)化.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.316.在△a7，A為鈍角，sin2BbB．71）求A；2）從條件①、條件②和條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求△的面積．131452①b7BcsinA3．注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個解答計分．2π【答案】（）A；3342）選擇①無解；選擇②和③△面積均為.【解析】）利用正弦定理即可求出答案；33（2）選擇①，利用正弦定理得B，結(jié)合（1）問答案即可排除；選擇②，首先求出sinB，再3代入式子得b3，再利用兩角和的正弦公式即可求出C，最后利用三角形面積公式即可；選擇③，首53先得到c5，再利用正弦定理得到sinC，再利用兩角和的正弦公式即可求出B，最后利用三14角形面積公式即可；【小問1詳解】3由題意得2sinBBbB，因為A為鈍角，7b2a733則B02sinBbsinB3sinAsinA，解得sinA，7272πA為鈍角，則A【小問2詳解】.33332π選擇①b7sinBb7，因為AB為銳角，則B，3314142ABπ，不合題意，舍棄；13233B選擇②，因為B為三角形內(nèi)角，則sinB1，143333則代入2sinBb得2b，解得b3，772π32π2πsinCsinABsinBsinBsinB33313353,2212153153則SabsinC73.2144535csinA3c3，解得c5，選擇③，則有22275ac5314則由正弦定理得3sinC，解得sinC，sinAsinC22531114C為三角形內(nèi)角，則cosC1，142π32π2πsinBsinACsinCsinCsinC則33315333，22121333則△sinB752417.已知四棱錐P-ABCDAD1，32E是AD上一點，PEAD．1）若F是中點，證明：．2）若AB，求平面PAB與平面夾角的余弦值．【答案】（）證明見解析302）30【解析】1PD的中點為SSF,SC為平行四邊形，由線面平行的判定定理可.得2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面APB和平面的法向量后可求夾角的余弦值.【小問1詳解】1SF,SCSF//ED,SF1取PD的中點為S，2ED//BC,ED2BCSF//BC,SFBC，故四邊形為平行四邊形，而，，故.【小問2詳解】21AE//BC,AE=BC，為平行四邊形，故，所以故四邊形PE,PADCEPE,CEED而PAD，，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A,B,C1,0,0,D2,0,P0,0,2，則則2,2,2,2,m,y,z，設(shè)平面PAB的法向量為m0y2z0m，xy2z0m0的法向量為n,,c，設(shè)平面n0ab0，nb2c0n01故,n，5630故平面PAB與平面夾角的余弦值為3018.已知某險種的保費為0.4萬元，前3次出險每次賠付萬元，第4次賠付賠償次數(shù)01234在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：1）求隨機抽取一單，賠償不少于2次的概率；2i）毛利潤是保費與賠償金額之差．設(shè)毛利潤為X，估計X的數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險期的保費下降4%，已賠償過的增加．估計保單下一保險期毛利潤的數(shù)學(xué)期望．1【答案】（）2）(i)0.122【解析】）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;2為賠付金額，則3，用頻率估計概率后可求的分布列及數(shù)學(xué)期望，EX從而可求.EYⅱ）先算出下一期保費的變化情況，結(jié)合（1）的結(jié)果可求【小問1詳解】.設(shè)A為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，603010800100603010101PA由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得.【小問2詳解】（?。┰O(shè)為賠付金額，則3，800451001P0,P0.8由題設(shè)中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得，1000100010603303P1.6)PP2.4)，，1000501010001001，10001004133130.278E00.81.62.4故51050100100EX故（萬元）.410.496%0.41.20.4032ⅱ）由題設(shè)保費的變化為，55EY故（萬元）x22y2221ab02tt19.已知橢圓方程：ab的直線l與橢圓交于，，，連接交橢圓于D．C1）求橢圓方程和離心率；2）若直線的斜率為0．x2y22【答案】（）e4222）t2【解析】2，進一步得，由此即可得解；a）由題意得bc:yt,t2Ax,y,Bx,y2AB，1122yy2412kt241x1,12AD:y1y1x0，即可得解.定理有121222k2【小問1詳解】2由題意bc2，從而ab2c22，2x2y221，離心率為e所以橢圓方程為；422【小問2詳解】B,D顯然直線AB斜率存在，否則重合，直線BD斜率不存在與題意不符，同樣直線AB斜率不為0，否則直線AB與橢圓無交點，矛盾，:yt,t2Ax,y,Bx,y從而設(shè)，，112222xy1，化簡并整理得12kx4ktxt40，22242yt1t284k2t0Δ16k2t282k2222k,t由題意應(yīng)滿足4k2t0，22412kt2412,12，22k12D2,2，若直線BD斜率為0，由橢圓的對稱性可設(shè)1yxxy1AD:y2，在直線AD方程中令，x01124kt21y22y1xtxt21xtxx222yC122121t1，得1212124tt2，22t22204k4k22k應(yīng)滿足k應(yīng)滿足kk或，k02222綜上所述，t2滿足題意，此時kk或.22fxx1xt0處切線為．t,f20.在t1fx1）若切線l的斜率k單調(diào)區(qū)間；2）證明：切線l不經(jīng)過0；O0,0，其中t0，，切線l與y軸交于點B時．當(dāng)3）已知k1，At,ft，Cft2△15S△，符合條件的A的個數(shù)為？（參考數(shù)據(jù)：，，）(0)).【答案】（）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為2）證明見解析【解析】（）2）直接代入k1，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；k1ttyft)1(xtt0)Ft)t)（2）寫出切線方程，將代入再設(shè)新函數(shù)，1t利用導(dǎo)數(shù)研究其零點即可；t2S15S13t)2t0，再設(shè)新函數(shù)（3）分別寫出面積表達式，代入得到1tt1tht)13t)tt0)研究其零點即可.【小問1詳解】1xf(x)xxf(x)1(x，1x1x當(dāng)fx0x，fx0；xf(x)在(0)上單調(diào)遞減，在(0,)上單調(diào)遞增.(0)).則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】k1xkf(x)1，切線l的斜率為1，1t(xtt0)，kyft)1則切線方程為1tk1tkft)t1,ft)t1將代入則，1tk1ttt即tkt)ttt)，t)0，1t1ttFt)t)令，1tFt)在t(0,)存在零點.l過11ttt2，F(xiàn)(t)在Ft)F(0)0，F(xiàn)t)0)上單調(diào)遞增，1tt)2t)F(t)在(0,)無零點，與假設(shè)矛盾，故直線l0).【小問3詳解】1x2k1f(x)xxf(x)10.1x1x1SACOtft)ly(0,q)與軸交點B為，2q0t0時，若，則此時l與f(x)必有交點，與切線定義矛盾.q0q0，由（2.11tytt1xt，則切線l的方程為tx0yqyt)令.t1tt12S15Stft)tt)，tt1t13t)t150ht)13t)tt0)，1t滿足條件的A有幾個即ht)有幾個零點.t132t2t11t(t2t29t4(2ttht)2，2(t2(t2(t21ththt0當(dāng)，此時，此時單調(diào)遞減；21當(dāng)t,4htht0單調(diào)遞增；2t0，此時ht單調(diào)遞減；當(dāng)t1h(0)hh(4)13ln520131.6200.80，21524725725h(24)13ln2548所以由零點存在性定理及ht)26ln548261.614820.540，2512ht)ht),4上必有一個零點，的單調(diào)性，在上必有一個零點，在2SACO15SABO綜上所述，有兩個零點，即滿足的A有兩個.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用的是反證法，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點問題.．對于給定有窮數(shù)列Mi,j,s,ti2,j3,4,s5,6,t7,8,2ijst21.設(shè)集合，kMi,j,s,tkkkk，定義變換T：將數(shù)列AA:a1n8:,,...,，及序列n12si,j,s,tTA1TA1i,j,s,t1TTA2111111222221A．T...TTA作，得到數(shù)列，記為sA，寫出；1）給定數(shù)列A和序列:1,3,5,7,6,8,1,3,5,7aaaaaaaa4A為212345678出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；aaaaA為常數(shù)列”3A“存在序列1357aaaaaaaa的充要條件為“”．12345678A:4,5,8,4,3,10【答案】（）2）不存在符合條件的，理由見解析3）證明見解析【解析】）直接按照A的定義寫出A即可；2）利用反證法，假設(shè)存在符合條件的，由此列出方程組，進一步說明方程組無解即可；3）分充分性和必要性兩方面論證.【小問1詳解】A:4,5,8,4,3,10由題意得【小問2詳解】假設(shè)存在符合條件的，可知；的第1,2Aaas3,4aas項之和為，34項之和為126212sa21則，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，234sa443故不存在符合條件的；【小問3詳解】a1n8T...TTAa1n8a，特別規(guī)定0,n我們設(shè)序列必要性：為.k21k,nn:,,...,，使得sA若存在序列為常數(shù)列.12aaas,3aas,5aas,7as,8aaas,3aaaaa，所以.ss,2s,4s,5s,6s,7s,8則ss,2s,4s,6a的定義，顯然有k,2j1j4k2,....，T...TTAk,2jk1,2j1ak1,2j，這里k21aaaaaaaa所以不斷使用該式就得到，充分性：，必要性得證.12345678aaaaaaaa8若.1234567aaaaaaaaaaaa，所以12345678由已知，為偶數(shù)，而1357a2a4684aaa35a也是偶數(shù).712121A中，使得T...TTA是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列我們設(shè)saaas,3aas,5aas,7as,8最小的一個.ss,2s,4s,6ak,2jk1,2j1k1,2j，這里j1,2,3,4，k2,....上面已經(jīng)證明k,2j1aaaaaaaaasas,2as,3as,4as,5as,6as,7as,8從而由.12345678ijstakk,3k,5k,7aaaa和的奇偶性保持不變，k,2k,4k,6k,8kkkkaaaaaaaa