2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題卷I（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.）1.已知函數(shù)，則從1到的平均變化率為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解即可.【詳解】函數(shù)從1到的平均變化率為故選：B2.曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由函數(shù)，得，則，，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：D3.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：米）與時(shí)間（單位：秒）滿(mǎn)足關(guān)系式，則當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（）A.10米/秒 B.8米/秒 C.6米/秒 D.12米/秒【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，所以米/秒.故選:C.4.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式逐個(gè)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得，，，，顯然A正確.故選：A5.已知函數(shù)，則（）A.3 B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出導(dǎo)函數(shù)，再令，計(jì)算出，由此可得，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕裕獾茫纱丝芍怨蔬x：A6.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值，即得答案.【詳解】由，得，故，故選：A7.函數(shù)在上的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值，得到值域.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，故，因?yàn)椋裕仕蟮闹涤驗(yàn)椋蔬x：A8.某工廠需要建一個(gè)面積為的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用材料最省，則堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為（）A.16m，16m B.32m，16mC.32m，8m D.16m，8m【答案】B【解析】【分析】求出新墻總長(zhǎng)度的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，確定最小值點(diǎn)，即可求得答案.【詳解】如圖所示，設(shè)場(chǎng)地一邊長(zhǎng)為xm，則另一邊長(zhǎng)為m，因此新墻總長(zhǎng)度，則，令，得或(舍去)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則L在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴是L的最小值點(diǎn)，此時(shí)，故當(dāng)堆料場(chǎng)的寬為16m，長(zhǎng)為32m時(shí)，可使砌墻所用的材料最省.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.未全對(duì)給3分，全對(duì)6分.）9.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】求導(dǎo)，得到，進(jìn)而得到函數(shù)解析式及導(dǎo)函數(shù)解析式，代入求值，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，令，解得，A錯(cuò)誤；BCD選項(xiàng)，，所以，BC正確，D錯(cuò)誤.故選：BC10.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）．A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算即可判斷.【詳解】因?yàn)椋蔄不正確；因?yàn)椋蔅正確；因?yàn)椋蔆正確；因?yàn)椋蔇不正確；故選：BC.11.設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'x，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.函數(shù)在上為增函數(shù) B.函數(shù)在上為增函數(shù)C.函數(shù)有極大值和極小值f1 D.函數(shù)有極大值和極小值【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合的圖象，分析的取值情況，即可得到的單調(diào)性與極值點(diǎn).【詳解】由圖可知當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故A正確，B錯(cuò)誤，則在處取得極大值，處取得極小值，即函數(shù)有極大值和極小值，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD卷II（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)在處的切線方程為，求_______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，根據(jù)切點(diǎn)在曲線也在直線上求解．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線斜率為，又在處的切線方程為，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在處的切點(diǎn)為，且切點(diǎn)也在切線上，所以．.故答案為：513.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”設(shè)，則在區(qū)間上的“新駐點(diǎn)”為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】利用“新駐點(diǎn)”的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕睿矗茫驗(yàn)椋獾茫裕瘮?shù)在上的“新駐點(diǎn)”為．故答案為：．14.某個(gè)體戶(hù)計(jì)劃同時(shí)銷(xiāo)售A，B兩種商品，當(dāng)投資額為x千元時(shí)，在銷(xiāo)售A，B商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，，如果該個(gè)體戶(hù)準(zhǔn)備共投入5千元銷(xiāo)售A，B兩種商品，為使總收益最大，則B商品需投________千元．【答案】##1.5【解析】【分析】列出利潤(rùn)關(guān)于投資B商品x千元的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值.【詳解】設(shè)投入經(jīng)銷(xiāo)B商品x千元，則投入經(jīng)銷(xiāo)A商品的資金為千元，所獲得的收益千元，則，可得，當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15題13分；16-17題15分；18-19題17分）15.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（每小題4分，需有答題過(guò)程）（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】；【小問(wèn)3詳解】令，令，則；【小問(wèn)4詳解】.16.已知函數(shù)（），且．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）將代入f'x的表達(dá)式即可解出，從而得到的解析式；（2）由導(dǎo)數(shù)的定義可知所求直線為經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線，然后將點(diǎn)斜式方程化為一般式即可.【小問(wèn)1詳解】由，得，又，所以，解得，即．【小問(wèn)2詳解】由（1），得，，所以，即切點(diǎn)為，又切線的斜率為，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即．17.已知函數(shù)與函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求曲線與曲線在公共點(diǎn)處的公切線方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；（2）設(shè)曲線與曲線的公切點(diǎn)為Px0,y【小問(wèn)1詳解】，，.在點(diǎn)處的切線方程為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)曲線與曲線的公切點(diǎn)為Px0,，，令，即，或（舍），，∴所求公切線方程：，即.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得函數(shù)在處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．小問(wèn)1詳解】，定義域，函數(shù)在處的切線方程為即【小問(wèn)2詳解】由可得，解之得或由可得，解之得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為19.高二學(xué)農(nóng)期間，某高中組織學(xué)生到工廠進(jìn)行實(shí)踐勞動(dòng).在設(shè)計(jì)勞動(dòng)中，某學(xué)生欲將一個(gè)底面半徑為，高為的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi).（1）求該圓柱的側(cè)面積的最大值；（2）求該圓柱的體積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓柱的半徑為，高為，由題意得，用表示，計(jì)算圓柱的側(cè)面積，利用基本不等式求出側(cè)面積的最大值．（2）