6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示必備知識·自主學習1.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個_________的向量,叫做把向量正交分解.互相垂直2.平面向量的坐標表示(1)產生過程單位向量xi+yja=(x,y)(0,0)(2)本質:向量的坐標表示實現了向量的“量化”表示.(3)應用:為向量的坐標運算奠定基礎.3.平面向量加、減運算的坐標表示(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)4.向量坐標與點的坐標的聯系(1)條件:O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),(2)結論:=_______,=_______,=____________.(3)語言表述:①以原點為起點的向量的坐標等于其終點坐標;②一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的_____的坐標減去_____的坐標.(x1,y1)(x2,y2)(x2-x1,y2-y1)終點起點【思考】向量坐標與點的坐標的區別是什么?提示:(1)表示形式不同.向量a=(x,y)中間用等號連接,而點的坐標A(x,y)中間沒有等號.(2)意義不同.點A(x,y)的坐標(x,y)表示點A在平面直角坐標系中的位置,向量a=(x,y)的坐標(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個向量的終點不同,則這兩個向量的坐標一定不同. (

)(2)向量可以平移,平移前后它的坐標發生變化. (

)(3)兩向量差的坐標與兩向量的順序無關. (

)提示:(1)×.對于同一個向量,無論位置在哪里,坐標都一樣.(2)×.當向量確定以后,向量的坐標就是唯一確定的,因此向量在平移前后,其坐標不變.(3)×.根據兩向量差的運算,兩向量差的坐標與兩向量的順序有關.2.(教材二次開發:練習改編)在平面直角坐標系中,已知點P(1,2),Q(4,3),那么向量=________.

【解析】

答案:(3,1)3.設i,j是平面直角坐標系內分別與x軸,y軸正方向相同的兩個單位向量,O為坐標原點,若=4i+2j,=3i+4j,則的坐標是________.

【解析】因為=(4,2),=(3,4),所以=(4,2)+(3,4)=(7,6).答案:(7,6)關鍵能力·合作學習類型一平面向量的坐標表示(數學抽象)【題組訓練】1.如圖,{e1,e2}是一個基底,且e1=(1,0),e2=(0,1),則向量a的坐標為(

)A.(1,3) B.(3,1)C.(-1,-3) D.(-3,-1)2.如果用i,j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量,且那么可以表示為 (

)A.2i+3j B.4i+2jC.2i-j D.-2i+j3.在平面直角坐標系xOy中,向量a,b的方向如圖所示,且|a|=2,|b|=3,則a的坐標為________,b的坐標為________.

【解析】1.選A.因為e1,e2分別是與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量,由題圖可知a=e1+3e2,根據平面向量坐標的定義可知a=(1,3).2.選C.記O為坐標原點,則=2i+3j,=4i+2j,所以=4i+2j-(2i+3j

)=2i-j.3.設點A(x,y),B(x0,y0),因為|a|=2,且∠AOx=45°,所以x=2cos45°=,y=2sin45°=.又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,所以x0=3cos120°=-,y0=3sin120°=,故a=b=答案:

【解題策略】求向量坐標的方法(1)定義法:根據平面向量坐標的定義得a=xi+yj=,其中i,j分別為與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量.(2)平移法:把向量的起點移至坐標原點,終點坐標即為向量的坐標.(3)求差法:先求出這個向量的起點、終點坐標,再運用終點坐標減去起點坐標即得該向量的坐標.【補償訓練】已知邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30°角.求點B和點D的坐標和的坐標.【解析】由題知B,D分別是30°角,120°角的終邊與單位圓的交點.設B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函數的定義,得x1=cos30°=,y1=sin30°=,所以Bx2=cos120°=-,y2=sin120°=,所以D所以類型二平面向量加、減的坐標運算(數學運算)【典例】1.已知點A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量= (

)A.(-7,-4) B.(7,4)C.(-1,4) D.(1,4)2.已知向量a,b的坐標分別是(-1,5),(2,-7),求a+b,a-b的坐標.【思路導引】1.根據向量減法的三角形法則,找到的關系,應用向量的加、減法坐標運算求坐標.2.直接應用向量的加、減法坐標運算公式求坐標.【解析】1.選A.=(3,2)-(0,1)=(3,1),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).2.a+b=(-1,5)+(2,-7)=(1,-2),a-b=(-1,5)-(2,-7)=(-3,12).【解題策略】平面向量加、減坐標運算的方法(1)若已知向量的坐標,則直接應用兩個向量和、差的運算法則進行運算.(2)若已知有向線段兩端點的坐標,則必須先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算.(3)求一個點的坐標,可以轉化為求以原點為起點,該點為終點的向量的坐標.【跟蹤訓練】在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線.若=(-1,3),=(2,5),則等于 (

)A.(-2,-4) B.(4,-1)C.(3,5) D.(2,4)【解析】選B.因為所以=(3,2),所以=(4,-1).【補償訓練】若A,B,C三點的坐標分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐標.【解析】因為=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以+=(-2,10)+(-8,4)=(-10,14);-=(-8,4)-(-10,14)=(2,-10).類型三平面向量加、減坐標運算的應用(邏輯推理、數學運算)【典例】已知平行四邊形ABCD的三個頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(4,2),而且A,B,C,D四點按逆時針方向排列.(1)求向量的坐標;(2)求點D的坐標.【思路導引】(1)終點坐標減起點坐標求向量的坐標,同時注意的關系;(2)方法一:轉化為求向量的坐標;方法二:設點D的坐標,根據的坐標列方程求未知數得坐標.【解析】(1)因為A(-1,-2),B(3,-1),C(4,2),所以

(2)方法一:由(1)知,又因為所以所以點D的坐標為方法二:設點D坐標為由(1)知,又A(-1,-2),所以所以所以所以點D坐標為(0,1).【變式探究】將本例條件改為“已知平面上三個點的坐標分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),且A,B,C,D四點構成平行四邊形”,求點D的坐標.【解析】設點D坐標為,分以下三種情況討論:(1)若四邊形ABCD為平行四邊形,得即所以所以解得D(2,2).(2)若四邊形ABDC為平行四邊形,得即所以所以解得D(4,6).(3)若四邊形ADBC為平行四邊形,得即所以所以解得D(-6,0).因此,使A,B,C,D四點構成平行四邊形的點D的坐標是(2,2)或(4,6)或(-6,0).【解題策略】關于向量加減坐標運算的應用(1)由向量的坐標定義知,兩向量相等的充要條件是它們的坐標相等,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b?x1=x2且y1=y2.(2)利用向量的坐標運算解題,主要是根據相等的向量坐標相同這一原則,通過列方程(組)進行求解;也可以利用基向量法,主要借助向量加、減運算的三角形、平行四邊形法則.【跟蹤訓練】已知向量若=a+b+c,且A(1,1),則向量的終點B的坐標為 (

)A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)【解析】選A.=a+b+c

設終點為B,則所以所以所以終點B的坐標為(9,1).【補償訓練】在平面直角坐標系xOy中,四邊形ABCD的邊AB∥DC,AD∥BC.已知點A(-2,0),B(6,8),C(8,6),則D點的坐標為________.

【解析】方法一:由題意知,四邊形ABCD是平行四邊形,所以設D(x,y),則(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),所以x=0,y=-2,即D(0,-2).方法二:由題意知,四邊形ABCD為平行四邊形,所以即所以=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2),即D點的坐標為(0,-2).答案:(0,-2)核心素養易錯提醒方法總結核心知識1.向量的正交分解.2.向量的坐標表示.3向量加、減運算的坐標表示已知兩個向量坐標表示的和、差運算：(1)若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差的運算法則進行．(2)若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．

1.向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關，而與它們的具體位置無關．2.當向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標不變．1.數學抽象：平面向量的坐標表示.2.邏輯推理：平面向量的坐標表示的推導；有向線段的向量表示.3.數學運算：兩個向量坐標表示的和、差運算；4.數學建模：將幾何問題轉化為代數問題.課堂檢測·素養達標1.給出下列幾種說法:①相等向量的坐標相同;②平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標;③一個坐標對應唯一的一個向量;④平面上一個點與以原點為起點,該點為終點的向量一一對應.其中正確說法的個數是 (

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.由向量坐標的定義不難看