3.2.2奇偶性【知識梳理】知識點一函數(shù)奇偶性的定義前提條件：奇(偶)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱知識點二用奇偶性求解析式如果已知函數(shù)的奇偶性和一個區(qū)間[a，b]上的解析式，想求關(guān)于原點的對稱區(qū)間[－b，－a]上的解析式，其解決思路為：(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．知識點三奇偶性與單調(diào)性若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間[a，b]和[－b，－a]上具有相同的單調(diào)性；若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間[a，b]和[－b，－a]上具有相反的單調(diào)性．【基礎(chǔ)自測】1．下列函數(shù)中奇函數(shù)的個數(shù)為()①f(x)＝x3； ②f(x)＝x5；③f(x)＝x＋eq\f(1,x)； ④f(x)＝eq\f(1,x2).A．1B．2C．3D．4【答案】C2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≥0，,gx，x<0，))且f(x)為偶函數(shù)，則g(－2)等于()A．6B．－6C．2D．－2【答案】A【詳解】g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.【答案】4【詳解】f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函數(shù)，∴a＝4.4．函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，若x>0時，f(x)＝x，則x<0時，f(x)＝________.【答案】－x【詳解】方法一令x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－x，又∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x(x<0)．方法二利用圖象(圖略)可得x<0時，f(x)＝－x.5．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))【詳解】依題意有f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，0]上單調(diào)遞減，∴|2x－1|<eq\f(1,3)，即－eq\f(1,3)<2x－1<eq\f(1,3)，解得eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).【例題詳解】一、判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1).(4)；(5)；(6)；(7).【詳解】(1)函數(shù)的定義域為R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(2)f(x)的定義域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．(4)由，得，且，所以的定義域為，關(guān)于原點對稱，所以.又，所以是奇函數(shù).(5)因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(6)對于函數(shù)，，其定義域為，關(guān)于原點對稱.因為對定義域內(nèi)的每一個，都有，所以，，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(7)函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱.①當(dāng)時，，所以，，所以；②當(dāng)時，，所以；③當(dāng)時，，所以.綜上，可知函數(shù)為奇函數(shù).(8)（多選）已知是定義在R上的偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義逐一判斷即可.【詳解】解：因為是定義在R上的偶函數(shù)，所以，對于A，因為，所以為偶函數(shù)，故滿足題意；對于B，因為，所以為奇函數(shù)，故不滿足題意；對于C，易得為偶函數(shù)，故滿足題意；對于D，因為，所以不為偶函數(shù)，故不滿足題意；故選：AC跟蹤訓(xùn)練1判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【詳解】(1)，定義域為，有，則函數(shù)為奇函數(shù)，(2)，定義域為，有，則函數(shù)為偶函數(shù)，(3)因為，所以，則有，解得，則函數(shù)定義域為，且，所以和同時成立，故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，(4)，其定義域為，其定義域不關(guān)于原點對稱，則是非奇非偶函數(shù)．(5)由題意知的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱.當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.綜上所述，知對于任意，都有，所以，函數(shù)為偶函數(shù).(6)設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù)B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù)C．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù)【答案】A【詳解】由f(x)是偶函數(shù)，可得f(－x)＝f(x)，由g(x)是奇函數(shù)可得g(－x)＝－g(x)，故|g(x)|為偶函數(shù)，∴f(x)＋|g(x)|為偶函數(shù)．二、由奇偶性求解析式命題角度1求對稱區(qū)間上的解析式例2(1)已知是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)求在上的解析式即可.【詳解】在上有，∴，又是奇函數(shù)，∴，故.故選：C.(2)已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，．求當(dāng)時，的解析式．【答案】當(dāng)時，．【分析】設(shè)時，，則，再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)即可得時，求的解析式．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，所以，又是偶函數(shù)，∴，∴，所以當(dāng)時，．(3)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式．【詳解】因為x∈(－∞，0)時，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)．因為f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x(x－1)，x∈(－∞，0)．f(0)＝0.所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x，x≥0，,－xx－1，x<0.))跟蹤訓(xùn)練2(1)若函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，______．【答案】【分析】設(shè)，則所以，化簡即得解.【詳解】解：設(shè)，則所以所以所以.所以當(dāng)時，.故答案為：(2)若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．則當(dāng)時，______，若，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】

【分析】根據(jù)給定條件利用偶函數(shù)的定義即可求出時解析式；再借助函數(shù)在單調(diào)性即可求解作答.【詳解】因函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，；依題意，在上單調(diào)遞增，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：；(3)已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，.(=1\*romani)求在上的解析式；(=2\*romanii)解不等式.【答案】(=1\*romani)；(=2\*romanii)【分析】(=1\*romani)由偶函數(shù)的定義求解即可；(=2\*romanii)分與討論，結(jié)合一元二次不等式的解法即可求解【詳解】(=1\*romani)令，則，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，即在上的解析式為.(=2\*romanii)當(dāng)時，可化為，解得，當(dāng)時，可化為，解得，所以不等式的解集為.命題角度2構(gòu)造方程組求解析式例3若定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足．則_______．【答案】【分析】利用題給條件列方程組即可求得的解析式【詳解】由題意，，則由可得，即由，可得故答案為：跟蹤訓(xùn)練3設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．【詳解】∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1).①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)，②(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).三、由奇偶性求參數(shù)例4(1)若函數(shù)，（a，）為奇函數(shù)，則的值為（）A． B． C．1 D．4【答案】B【分析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，通過帶特殊值可以求出的值，從而得到答案【詳解】利用和可得：解得：，，所以，.故選B.(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則___________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)建立方程求出a的值，再將1代入即可求解【詳解】∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即f（﹣x），∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a），即2x2+（2a﹣1）x﹣a＝2x2﹣（2a﹣1）x﹣a，∴2a﹣1＝0，解得a．故故答案為【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程是解決本題的關(guān)鍵．(3)已知是定義在上的偶函數(shù)，則________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，進(jìn)而求得.【詳解】由于是定義在上的偶函數(shù)，所以，，所以，不恒為，所以，所以.故答案為：跟蹤訓(xùn)練4(1)已知定義域為的奇函數(shù)，則_______.【答案】3【分析】由定義域關(guān)于0對稱得，由奇函數(shù)的定義求得，從而可得結(jié)論．【詳解】由題意，，是奇函數(shù)，則恒成立，即，恒成立，，，所以．故答案為：3.(2)若函數(shù)是偶函數(shù)，則正數(shù)a的值為________．【答案】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可得，化簡整理即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，所以，所以.故答案為：.四、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較大小例5(1)若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)在上是增函數(shù)，且，可得，，的大小關(guān)系，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得，，的大小關(guān)系．【詳解】因為在上是增函數(shù)，且，所以，又為偶函數(shù)，所以，則，故選：B．(2)定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知條件得出單調(diào)性，再由偶函數(shù)把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，由單調(diào)性得結(jié)論．【詳解】因為對任意的，有，所以當(dāng)時，，所以在上是減函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以，，因為，所以，即．故選：D．(3)定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序號)①f(a)>f(－b)； ②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)； ④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．【答案】①③⑤【詳解】f(x)為R上奇函數(shù)，增函數(shù)，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正確，②錯誤．x∈[0，＋∞)時，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正確，④錯誤．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正確．跟蹤訓(xùn)練5(1)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)【答案】A【詳解】因為函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．(2)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(1)和f(－10)的大小關(guān)系為()A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)關(guān)系不定【答案】A【詳解】∵f(x)是偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．五、由函數(shù)奇偶性解不等式例6(1)已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】分別在和的情況下，根據(jù)的正負(fù)，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由得：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，由得：；為偶函數(shù)，若，則當(dāng)時，；綜上所述：的解集為或.故選：C.(2)設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性即可得，解不等式即可.【詳解】由于是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增,則，有，解得，即不等式的解集為，故選：B(3)已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則不等式的解集為______．【答案】；【分析】根據(jù)函數(shù)解析式先求當(dāng)時不等式的解，再由奇函數(shù)對稱性求出時的解，又，綜上即可得出不等式解集.【詳解】當(dāng)時，，解得，因為是上的奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點對稱所以當(dāng)時，，又由是上的奇函數(shù)，所以，即，綜上，的解集為.故答案為：跟蹤訓(xùn)練6(1)已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷的奇偶性與單調(diào)性，并用奇偶性與單調(diào)性解不等式，要注意定義域的限制.【詳解】為偶函數(shù)，且在上遞減.∵，∴，∵，，∴且，∴.故選：B(2)已知是定義在上的奇函數(shù)，且對任意且，都有，若，則不等式的解集為________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)又已知得函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，可得函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象解不等式即可得解集.【詳解】解：已知是定義在上的奇函數(shù)，則，且又對任意且，都有，不妨設(shè)，則，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，則函數(shù)的大致圖象如下圖：根據(jù)圖象可得不等式的解集為：.故答案為：.(3)已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則不等式的解集為__________.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得定義域關(guān)于原點對稱求出，，再利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性即可求出不等式的解集.【詳解】根據(jù)奇函數(shù)定義可知，可得，函數(shù)定義域為；又，可得，所以；易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式即為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性可得，解得.故答案為：六、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例7已知函數(shù)f(x)對?x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x＜0時，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；(3)當(dāng)x∈[1，2]時，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【詳解】(1)因為函數(shù)的定義域為R，令，所以，即，令，所以，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)．(2)不妨設(shè)，所以，而，所以，，即，故函數(shù)為R上的減函數(shù)．(3)由（1）可知，函數(shù)為奇函數(shù)，而，所以，故原不等式可等價于，而函數(shù)為R上的減函數(shù)，所以，又，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即實數(shù)m的取值范圍為．跟蹤訓(xùn)練7已知函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－.（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）求證：f(x)在R上是減函數(shù)；（3）求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）最大值是2，最小值是－2.【分析】（1）由已知令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，由此可得證．（2）在R上任取x1，x2，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．再由已知判斷f(x1)＞f(x2)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義可得證；（3）由（2）得f(x)在R上是減函數(shù)，由此可求得函數(shù)的最值.【詳解】（1）證明：因為函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．（2）證明：在R上任取x1，x2，且x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．又因為當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，而x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，因此f(x)在R上是減函數(shù)．（3）解：因為f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x)在[－3，3]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3，3]上的最大值是2，最小值是－2.【課堂鞏固】1．下列圖象中，不可能是的圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用特殊值，分類討論，借助反比例函數(shù)、對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行排除.【詳解】當(dāng)a＝0時，，為反比例函數(shù)，對應(yīng)A中圖象，故A錯誤；當(dāng)時，是對勾函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，且時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對應(yīng)D中圖象，故D錯誤；當(dāng)時，為奇函數(shù)，且時，，均單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，對應(yīng)C中圖象，故C錯誤.故選：B.2．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由得，則，且，，為奇函數(shù)，排除BC，當(dāng)且時，，排除A，故選：D．3．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知定義域關(guān)于原點對稱，由此列出方程，求得答案.【詳解】因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則，解得,而當(dāng)時，函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以.故選：A.4．已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（

）A． B． C．或3 D．或【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義求解.【詳解】當(dāng)時，由，得，解得（舍去）或；根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可知當(dāng)時，由，得(舍)或，綜上，故選:B.5．若定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)在在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.【詳解】因為為的奇函數(shù)，又，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在在上單調(diào)遞增，由，可得，或，或，由，，可得；由，，可得；所以的解集為.故選：D.6．若奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性以及，知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，進(jìn)而根據(jù)分式不等式進(jìn)行求解.【詳解】由是奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且可知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，又或，解得：或滿足的x的取值范圍是或故選：D7．若為奇函數(shù)，則實數(shù)______.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義結(jié)合指數(shù)運算求解.【詳解】若為奇函數(shù)，則，故，解得.故答案為：1.8．函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【詳解】因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以，函數(shù)是偶函數(shù)，所以，所以，故答案為：.9．已知是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的解析式為______，不等式的解集是______．【答案】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)由條件求出函數(shù)在上的解析式，根據(jù)的解析式化簡不等式求其解集.【詳解】設(shè)，則，則，因為函數(shù)為偶函數(shù)，，所以當(dāng)時，．若，則當(dāng)時，，化簡可得解得；當(dāng)時，，化簡可得，解得，所以所求不等式的解集為．故答案為：，.10．已知函數(shù),則不等式的解集為______．【答案】【分析】先分析的奇偶性,再對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),判斷單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性列出不等式,解出即可.【詳解】解:由題意可知,函數(shù)的定義域為,且,所以函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時,因為不恒為零,所以函數(shù)在上為增函數(shù),因為,只需,即,可得,整理可得,解得.故答案為:【點睛】方法點睛:該題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題,屬于難題,關(guān)于解不等式的方法有:(1)根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性;(2)求導(dǎo)或者直接觀察法判斷函數(shù)在上的單調(diào)性;(3)根據(jù)單調(diào)性奇偶性,列出不等式解出.11．定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)k的取值范圍______．【答案】【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求出的表達(dá)式，然后代入中，分離出參數(shù)，得，令，則，然后利用基本不等式可求出的最小值，從而可求得結(jié)果【詳解】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，由，得，所以，所以，所以不等式可化為，因為，所以，所以，令，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，所以，即實數(shù)k的取值范圍為，故答案為：12．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.求的值.【答案】【分析】利用奇函數(shù)在原點有意義，則，且，可解出a，b的值.【詳解】已知函數(shù)f(x)是定義在上的奇函數(shù)，則，且，，解得，故，顯然，滿足題設(shè).所以.13．已知定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求函數(shù)在R上的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)（1，2].【分析】（1）設(shè)，則，然后將代入已知解析式并根據(jù)奇偶性化簡，進(jìn)而求出函數(shù)在R上的解析式；（2）判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，然后結(jié)合函數(shù)的對稱性并比較區(qū)間端點值的大小即可求出答案.【詳解】（1）當(dāng)時，則，，又∵為偶函數(shù)，∴．∴當(dāng)時，，∴.（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，函數(shù)是偶函數(shù).∴在上單調(diào)遞增.又∵在上單調(diào)遞增，∴.∴，則，故實數(shù)的取值范圍是（1，2].【課時作業(yè)】1．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先判定A,B不是奇函數(shù)，然后根據(jù)冪函數(shù)的知識判定C,D的單調(diào)性.【詳解】A.定義域為R，當(dāng)時，不是奇函數(shù)，；B.定義域為R，當(dāng)時，不是奇函數(shù)，C.的定義域為R，由可知是奇函數(shù)，當(dāng)時，,由于,且在不全為零的情況下，恒成立，∴在定義域R上是單調(diào)遞增函數(shù)；

D.是奇函數(shù)，在定義域的兩個子區(qū)間和內(nèi)都是單調(diào)遞減，但在定義域上不是單調(diào)遞減(時的函數(shù)值為，時的函數(shù)值為2，).故選：C.2．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性求在上的表達(dá)式.【詳解】令，則，故，又是定義在上的奇函數(shù)，∴.故選：D.3．是定義在上的偶函數(shù)，那么的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可求出的值，進(jìn)而可得定義域，再由偶函數(shù)的定義求出的值可得的解析式，再求的最小值即可.【詳解】因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以，可得，所以，定義域為因為即對于恒成立，所以，即對于恒成立，所以，所以，當(dāng)時，故選：D.4．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再結(jié)合特殊的函數(shù)值排除一個選項后得正確結(jié)論．【詳解】由題可得函數(shù)定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，故排除BD，由，，故C錯誤，故選：A.5．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)解析式，再考慮和兩種情況，解不等式得到答案.【詳解】當(dāng)時，，.當(dāng)時，，即，解得，故；當(dāng)時，，即，解得或，故.綜上所述：.故選：B.6．已知函數(shù)的定義域為，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性的定義列出和的方程組求解即可．【詳解】函數(shù)的定義域為，設(shè)函數(shù)，，則，，即，解得，所以，故選：B7．定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義，將自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間上，利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，，又，且在上是減函數(shù)，所以.故選：A8．函數(shù)是偶函數(shù)的充分必要條件是（

）．A． B．C．且 D．，且【答案】C【分析】利用偶函數(shù)的定義求得恒成立，即可求出a，c，再驗證時情況即可判斷作答.【詳解】顯然函數(shù)定義域為R，因是偶函數(shù)，即，亦即，整理得，而不恒為0，因此，，即且，當(dāng)時，也是偶函數(shù)，D不正確，所以一定正確的是C.故選：C9．已知定義在上的偶函數(shù)在上是增函數(shù)，且，則使的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】使用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】∵是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，的取值范圍是.故選：C.10．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且是上的嚴(yán)格減函數(shù)，若，則滿足不等式的x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將等價于和，根據(jù)奇函數(shù)以及單調(diào)性即可求解.【詳解】由是R上的奇函數(shù)，且是上的嚴(yán)格減函數(shù)，若可知：且在也嚴(yán)格單調(diào)遞減，故當(dāng)和時，，當(dāng)和時，，故等價于和，解得，故選：B11．（多選）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，，偶函數(shù)，且在為增函數(shù)，符合題意；對于，，不是偶函數(shù)，不符合題意；對于，，是偶函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在為增函數(shù)，符合題意；對于，，是偶函數(shù)，且在為增函數(shù)，符合題意；故選：．12．（多選）已知函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．若，則或 D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因為，所以，故A正確；因為，所以，故B正確；若，則，解得：或，故C正確；若，則，解得：或，故D不正確.故選：ABC.13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則____________；【答案】或【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的定義可求出，即可求解.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)可知，恒成立，解得或，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，故答案為：或【點睛】本題主要考查了奇函數(shù)的定義，根據(jù)解析式求函數(shù)值，屬于中檔題.14．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值域是__________.【答案】【解析】利用偶函數(shù)性質(zhì)，賦值可求出函數(shù)解析式，再求值域即可.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以有，代入得：，解得：.所以，故答案為：.15．設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，記，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則不等式的解集為_____【答案】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用的單調(diào)性，即可解不等式.【詳解】解：因為，且是定義在上的偶函數(shù)，則，∴函數(shù)為偶函數(shù)，原不等式可化為，即，又因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解之得：或，故答案為：16．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則函數(shù)的解析式為_________；若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)．則不等式的解集為_________．【答案】

【分析】由奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，即可求出函數(shù)的解析式；利用偶函數(shù)在軸左右兩邊單調(diào)性相反，結(jié)合，即可列出不等式組，則可求出答案.【詳解】當(dāng)時，，則，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的解析式為；因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．故答案為：；.17．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，.（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）求出函數(shù)在上的解析式；（3）若函數(shù)，，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）增區(qū)間為，；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)奇偶性，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解；（2）設(shè)，則，利用求出時函數(shù)的解析式，即可求解；（3）由（2）可