第02講：因式分解【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、公式法(立方和、立方差公式)這就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)．運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．考點(diǎn)二、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式．而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提取．因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理．這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．考點(diǎn)三、十字相乘法1．型的因式分解(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．.因此，.2．一般二次三項(xiàng)式型的因式分解大家知道，．反過(guò)來(lái)，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成．這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．題型突破題型一：提取公因式和公式法因式分解1．多項(xiàng)式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一個(gè)因式是x﹣2y，另一個(gè)因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣12．因式分解(1)(2)(3)(4)3．閱讀下列材料：已知a2+a-3=0，求a2(a+4)的值．解：∵a2=3-a，∴a2(a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=-a2-a+12=-(3-a)-a+12=9，∴a2(a+4)=9．根據(jù)上述材料的做法，完成下列各小題：（1）若a2-a-10=0，則2(a+4)(a-5)的值為____________．（2）若x2+4x-1=0，求代數(shù)式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．4．【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解或有關(guān)運(yùn)算．例如：對(duì)于．（1）用配方法分解因式；（2）當(dāng)取何值，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？解：（1）原式．（2）由（1）得：，，，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是．【問(wèn)題解決】利用配方法解決下列問(wèn)題：(1)用配方法因式分解：；(2)試說(shuō)明不論為何值，代數(shù)式恒為負(fù)數(shù)；(3)若已知且，求的值．題型二：分組分解法5．把下列各式因式分解(1)a(a-3)+2(3-a)

(2)(3)(4)6．（1）分解因式：（2）分解因式：7．閱讀下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解，如，細(xì)心觀察這個(gè)式子會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，分解過(guò)程為：分組組內(nèi)分解因式整體思想提公因式這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：；(2)已知的三邊滿足，判斷的形狀并說(shuō)明理由．8．閱讀材料：若，求x，y的值．解：∵∴∴∴，∴根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：（1），求的值；（2），，求的值．題型三：十字相乘法9．閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解．例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；10．因?yàn)椋@說(shuō)明多項(xiàng)式有一個(gè)因式為，我們把代入此多項(xiàng)式發(fā)現(xiàn)能使多項(xiàng)式的值為0．利用上述閱讀材料求解：(1)若是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，求的值；(2)若和是多項(xiàng)式的兩個(gè)因式，試求，的值．(3)在（2）的條件下，把多項(xiàng)式因式分解．11．因式分解：(1)(2)12．閱讀材料：解方程x2+2x﹣35＝0我們可以按下面的方法解答：（1）分解因式x2+2x﹣35，①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：x2＝x?x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：?7x﹣5x＝2x．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑簒2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．（2）根據(jù)乘法原理：若ab＝0，則a＝0或b＝0，則方程x2+2x﹣35＝0可以這樣求解x2+2x﹣35＝0方程左邊因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0所以原方程的解為x1＝5，x2＝﹣7（3）試用上述方法和原理解下列方程：①x2+5x+4＝0；②x2﹣6x﹣7＝0；③x2﹣6x+8＝0；④2x2+x﹣6＝0．題型四：因式分解的綜合13．已知，求下列代數(shù)式的值：（1）（2）14．把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式．再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，則的值為______．15．嘉淇上小學(xué)時(shí)得知“一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)字之和能被3整除，那么這個(gè)數(shù)就能被3整除”，她后來(lái)做了如下分析：嘉淇的分析：∵為整數(shù)，5為整數(shù)，∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．(1)通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證能否被3整除；(2)用嘉淇的方法證明能被3整除；(3)設(shè)是一個(gè)四位數(shù)．，，，分別為對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，請(qǐng)論證“若能被3整除，則這個(gè)數(shù)可以被3整除”．16．材料一：若一個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與十位數(shù)字之和為10，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為10，則稱這個(gè)四位數(shù)為“十全數(shù)”．交換這個(gè)“十全數(shù)”的千位數(shù)字與十位數(shù)字的位置，百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置，得到新的四位數(shù)叫做這個(gè)“十全數(shù)”的“對(duì)應(yīng)數(shù)”．例如：1298是“十全數(shù)”，其“對(duì)應(yīng)數(shù)”為9812；5752是“十全數(shù)”，其“對(duì)應(yīng)數(shù)”為5257．材料二：若一個(gè)數(shù)能表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式，則稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)．例如：，則0是完全平方數(shù)；，則121是完全平方數(shù)．(1)證明：一個(gè)“十全數(shù)”與其“對(duì)應(yīng)數(shù)”之差能被11整除；(2)記為“十全數(shù)”，為的“對(duì)應(yīng)數(shù)”，且．若，求滿足是完全平方數(shù)的所有“十全數(shù)”．【專題突破】一、單選題17．下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．18．下列分解因式正確的是（

）A． B．C． D．19．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，則a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．320．已知是自然數(shù)，且滿足，則的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．821．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(

)A．0 B．1 C．2 D．322．圖2是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，用S表示面積，則（）A． B． C． D．23．已知中，，若，，，且，則（

）A． B． C． D．二、填空題24．分解因式：______．25．若且，則_____．26．化簡(jiǎn)：＝____________．27．多項(xiàng)式的最小值為________．28．如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形，已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5.，且．（1）若a，b是整數(shù)，則的長(zhǎng)是___________；（2）若代數(shù)式的值為零，則的值是___________．29．閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題：若是關(guān)于x的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是________．三、解答題30．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．31．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．32．分解因式：．33．把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)增加問(wèn)題的條件，這種解題方法叫做配方法，配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問(wèn)題等都有著廣泛的應(yīng)用．例1．用配方法因式分解：．原式．例2．若，利用配方法求的最小值；；∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述自主學(xué)習(xí)材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：______；(2)用配方法因式分解：；(3)若，求的最小值是多少；(4)已知，求的值．34．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．35．閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．例如．根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題．(1)用配方法分解因式：；(2)求多項(xiàng)式的最小值；(3)已知，，是的三邊長(zhǎng)，且滿足，求的周長(zhǎng)．36．利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．例如．根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題