Page11四川省仁壽縣2024-2025學年高二數學上學期1月期末考試（理）試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時間120分鐘.留意事項：1．答題前，務必將自己的姓名、考號填寫在答題卡規定的位置上.2．答選擇題時，必需運用2B鉛筆將答題卡上對應題號的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號3．答非選擇題時，必需運用0.5毫米黑色簽字筆將答案書寫在答題卡規定的位置上.4．考試結束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、命題“”的否定是（

）A．B．C． D．，【答案】B2、在空間直角坐標系中，點在平面上的射影到坐標原點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C3、已知圓與拋物線的準線相切，則（

）A． B． C．8 D．2【答案】D4、設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則.B．若，，，則.C．若，，則.D．若，，，則.【答案】B5、已知，則是的A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C6、已知圓的圓心在直線上，且圓與軸的交點分別為，則圓的標準方程為（

）A．B．C．D．【答案】B7、某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A8、執行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）A． B． C． D．【答案】B9、如圖，在三棱錐中，，二面角的正切值是，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A10、已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，．若雙曲線右支上存在點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B11、已知橢圓，P是橢圓C上的點，是橢圓C的左右焦點，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A12、如圖，已知正方體的棱長為1，點M為棱AB的中點，點P在側面及其邊界上運動，下列命題：①當時，異面直線與所成角的正切值為2；②當點到平面的距離等于到直線的距離時，點的軌跡為拋物線的一部分；③存在點P滿意；④滿意的點P的軌跡長度為；其中真命題的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D對于①，如圖，CP與AD所成的角即CP與BC所成的角，因為，所以，，，由余弦定理，，由正弦定理，，所以，即CP與AD所成的角的正切值為2，①正確；對于②，點P到平面的距離即點P到直線的距離，點P到直線的距離即點P到的距離，依據拋物線的定義當兩距離相等時點P的軌跡為拋物線一部分，②正確；對于③選項，假設，點到距離可以轉化成，正好點，且始終垂直平面，所以只須要讓即可，點軌跡是以B為圓心，長度為1的圓上，同理，，只須要讓即可，點P軌跡是以C1為圓心，長度為的圓上，如圖1.又因為，所以兩個圓相交有交點，即存在點P滿意，選項③正確；對于④選項，過M點作交BC于點G，過M點作交于H，則，因為，所以，同理，，平面，平面平面，所以點的軌跡為，所以選項④正確.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13、已知雙曲線，則該雙曲線的實軸長為【答案】214、設分別為直線和圓上的動點，則的最小值為【答案】15、在菱形ABCD中，，將沿BD折疊，使平面ABD⊥平面BCD，則AD與平面ABC所成角的正弦值為___________【答案】16、過的直線l與拋物線E：交于，兩點，且與E的準線交于點C，點F是E的焦點，若的面積是的面積的3倍，則___________【答案】三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17、如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，點在線段上且.(1)證明：平面;(2)證明：平面.【詳解】（1）證明：連接交于點，連接,∵，,∴△∽△,即，又∵，∴∴又∵、∴

（2）∵平面，平面，∴，又∵，且是直角梯形，∴，即，∴，又∵，且平面，∴平面.18、圓內有一點，過的直線交圓于A、B兩點.(1)當弦AB被平分時，求直線AB的方程；(2)若圓與圓相交于E，F兩點，求．【答案】（1）即（2）19、已知O為坐標原點，位于拋物線C：上，且到拋物線的準線的距離為2．(1)求拋物線C的方程；(2)已知點，過拋物線焦點的直線l交C于M，N兩點，求的最小值以及此時直線l的方程．【答案】（1）依據題意可得，又，解得，，故所求拋物線C方程，（2）設點，，拋物線的焦點坐標為．當直線l的斜率等于0時，不符合題意；當直線l的斜率不等于0時，設過拋物線焦點的直線l的方程為：；由，消去x得：，，得，由韋達定理得，，因為．所以當時，取得最小值為13．此時直線l的方程為．20、如圖在四棱錐中，底面，且底面是平行四邊形.已知是中點.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）面，且，.∵是中點,所以.同理可證：.又面，面，,平面.∵面，∴平面平面.（2），.以A為原點，分別為x，y，z軸正方向建系，如圖：則.設平面的法向量則，得，不妨取，則.由（1）得是平面的一個法向量，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.21、已知橢圓，長軸是短軸的倍，點在橢圓上，且點在軸上的投影為點．(1)求橢圓的方程；(2)設過點的且不與軸垂直的直線交橢圓于、兩點，是否存點，使得直線，直線與軸所在直線所成夾角相等？若存在，懇求出常數的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）解：依題意，即，所以橢圓即，又橢圓過點，所以，解得，所以，所以橢圓方程為；（2）解：因為直線不與軸垂直，所以設直線為，，，由，消去整理得，，所以，，因為，所以，所以，即，即，即，解得.22、橢圓的離心率是，點是橢圓上一點，過點的動直線與橢圓相交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)求面積的最大值；(3)在平面直角坐標系中，是否存在與點不同的定點，使恒成立？存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【詳解】（1）依據題意，得，解得，橢圓C的方程為.依題意，設，設直線為，聯立，消去，得，恒成立，，故，令，所以，當且僅當，即時取得等號，綜上可知：面積的最大值為.（3）當平行于軸時，設直線與橢圓相交于兩點，假如存在點滿意條件，則有，即，所以點在軸上，可設的坐標為；當垂直于