第12講圓的方程【學習目標】回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程【基礎知識】一、圓的定義平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓,定點稱為圓心,定長稱為圓的半徑二、圓的標準方程1.圓心為A(a,b)

,半徑為r(r>0)

的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

.當a=b=0時,方程為x2+y2=r2,表示以原點

為圓心,r為半徑的圓.2.圓的標準方程的兩個基本幾何要素:圓心

和半徑分別確定了圓的位置和大

小,從而確定了圓,所以只要a,b,r(r>0)三個量確定了,圓的方程就唯一確定了.三、點與圓的位置關系圓A的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心A(a,b),半徑為r(r>0).設所給點為M(x0,y0),則位置關系判斷方法幾何法代數法點在圓上|MA|=r?點M在圓A上點M(x0,y0)在圓A上?(x0-a)2+(y0-

b)2=r2點在圓內|MA|<r?點M在圓A內點M(x0,y0)在圓A內?(x0-a)2+(y0-

b)2<r2點在圓外|MA|>r?點M在圓A外點M(x0,y0)在圓A外?(x0-a)2+(y0-

b)2>r2四、求圓的標準方程的方法1.直接代入法已知圓心坐標和半徑大小,直接代入圓的標準方程即可.(1)利用條件確定圓心C(a,b)及半徑長r.(2)利用幾何性質,確定圓心C(a,b)及半徑長r.①圓心與切點的連線垂直于圓的切線;②圓心到切線的距離等于圓的半徑長;③圓的半徑長r,弦長的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2;④圓的弦的垂直平分線過圓心;⑤已知圓心所在的直線l及圓上兩點,則兩點連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不重合)與圓心所在直線l的交點即為圓心.2.待定系數法(1)根據題意,設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);(2)根據已知條件,建立關于a,b,r的方程組;(3)解方程組,求出a,b,r的值;(4)將a,b,r代入所設的方程中,即可得到所求圓的標準方程.五、圓的一般方程1.圓的一般方程的概念(1)當D2+E2-4F>0

時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程.(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示以為圓心,為半徑的圓.2.圓的一般方程在形式上的特點(1)x2和y2的系數相等且不為0;(2)不含xy項.六、與圓有關的軌跡問題1.用直接法求與圓有關的軌跡方程的一般步驟(1)建立適當的坐標系,用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;(2)列出適合條件P的點M的集合{M|P(M)};(3)用坐標表示P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;(5)證明以化簡后方程的解為坐標的點都是曲線上的點.簡記為:建系、設點、列式、代換、化簡、證明.直接法求點的軌跡方程的關鍵是找到一個能體現該動點運動特征的等量關系,再將該等量

關系坐標化并化簡,最后得動點的軌跡方程.2.求與圓有關的軌跡問題的方法(1)直接法:直接根據題目提供的條件列出方程.(2)定義法:根據圓、直線等定義列方程.(3)代入法:找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式.【考點剖析】考點一：根據圓的標準方程確定圓的幾何性質例1．(2023學年江蘇省揚州市高郵市第一中學高二上學期期末)已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為(

)A．1 B．2 C． D．考點二：利用圓的幾何性質確定圓的標準方程例2．(2023學年福建省永春第一中學高二下學期期初考試)已知兩點和則以為直徑的圓的標準方程是__________.考點三：圓的一般方程例3．(2023學年廣東省信宜市第二中學高二下學期月考)經過圓的圓心，且與直線平行的直線方程是(

)A． B．C． D．考點四：利用待定系數法確定圓的方程例4．(2023學年新疆石河子第二中學高二上學期第一次月考)三個頂點的坐標分別是，，，則外接圓方程是(

)A． B．C． D．考點五：根據圓的一般方程確定圓的幾何性質例5．(2023學年黑龍江省哈爾濱市第三十二中學高二下學期期中)已知圓方程的圓心為(

)A． B． C． D．考點六：點與圓的位置關系例6．(多選)(2023學年廣東省佛山市南海區南海執信中學高二上學期第二次段測)已知圓的方程是，則下列坐標表示點在圓外的有(

)A． B． C． D．考點七：與圓有關的軌跡問題例7．(2023學年四川省南充市南部縣第二中學高二下學期3月月考)已知圓的圓心在直線上，且過和兩點.(1)求圓的標準方程；(2)過點的直線與圓交于兩點，求弦中點的軌跡方程.【真題演練】1.(2023學年重慶市石柱中學校高二上學期第一次月考)若曲線：表示圓，則實數的取值范圍為(

)A． B．C． D．2.(2023學年福建省寧德市部分達標中學高二上學期期中聯合考試)某圓經過兩點，圓心在直線上，則該圓的標準方程為(

)A． B．C． D．3．(2023學年吉林省白山市高二上學期期末)已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為(

)A． B．C． D．4.(多選)(2023學年山東省濰坊市高二上學期期中)直線與圓的大致圖像可能正確的是(

)A． B．C． D．5.(多選)(2023學年山東省青島市第十九中學高二上學期)設有一組圓：，下列命題正確的是(

)A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經過點C．經過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為6.(2023學年重慶市主城區六校高二上學期期末)以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是____________．7.(2023-2021學年湖北省荊州市沙市第四中學高二上學期11月階段性測試)已知直線與圓相交于點和點．(1)求圓心所在的直線方程；(2)若圓心的半徑為1，求圓的方程8.(2023學年湖北省十堰市城區普高協作體高二上學期期中)直線過點且與直線平行.(1)求直線的方程；(2)求圓心在直線上且過點、的圓的方程.【過關檢測】1.(2023學年湖北省新高考聯考協作體高二下學期5月月考)與圓C：關于直線對稱的圓的方程為(

)A． B．C． D．2.已知點A(1，2)在圓C：外，則實數m的取值范圍為(

)A． B．C． D．3.(2023學年吉林省四平市第一高級中學高二上學期期末)已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．4.(2023學年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學校高二上學期期中)已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數的取值范圍是(

)A． B． C． D．5.(多選)(2023學年河北省鹽山中學高二上學期9月月考)已知圓M的一般方程為，則下列說法中正確的是(

)A．圓M的圓心為 B．圓M經過點C．圓M的半徑為25 D．圓M不經過第二象限6.(多選)(2023學年江蘇省常州市教育學會高二上學期期末)古希臘數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值m(m≠1)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，，點P滿.設點P的軌跡為C，則下列結論正確的是(

)A．C的方程為B．當A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線C．在C上存在K使得D．在x軸上存在異于A，B的兩個定點D，E，使得7.(2023學年天津市北辰區高二上學期期中)已知圓的圓心到直線的距離為2，則a的值為___________.8．(2023學年黑龍江省齊齊哈爾市高二上學期期末)四葉草也叫幸運草，四片葉子分別象征著：成功?幸福?平安?健康，表達了人們對美好生活的向往.梵克雅寶公司在設計四葉草吊墜的吋候，利用了曲線方程(如圖所示)進行圖案繪制.試求曲線圍成的封閉圖形的面積___________.9.(2023學年重慶市四川外語學院重慶第二外國語學校高二上學期10月月考)求滿足下列條件的方程.10.(2023學年安徽省六安中學高二上學期期中)在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上.(1)求圓的方程；(2)已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.第12講圓的方程【學習目標】回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程【基礎知識】一、圓的定義平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓,定點稱為圓心,定長稱為圓的半徑二、圓的標準方程1.圓心為A(a,b)

,半徑為r(r>0)

的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

.當a=b=0時,方程為x2+y2=r2,表示以原點

為圓心,r為半徑的圓.2.圓的標準方程的兩個基本幾何要素:圓心

和半徑分別確定了圓的位置和大

小,從而確定了圓,所以只要a,b,r(r>0)三個量確定了,圓的方程就唯一確定了.三、點與圓的位置關系圓A的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心A(a,b),半徑為r(r>0).設所給點為M(x0,y0),則位置關系判斷方法幾何法代數法點在圓上|MA|=r?點M在圓A上點M(x0,y0)在圓A上?(x0-a)2+(y0-

b)2=r2點在圓內|MA|<r?點M在圓A內點M(x0,y0)在圓A內?(x0-a)2+(y0-

b)2<r2點在圓外|MA|>r?點M在圓A外點M(x0,y0)在圓A外?(x0-a)2+(y0-

b)2>r2四、求圓的標準方程的方法1.直接代入法已知圓心坐標和半徑大小,直接代入圓的標準方程即可.(1)利用條件確定圓心C(a,b)及半徑長r.(2)利用幾何性質,確定圓心C(a,b)及半徑長r.①圓心與切點的連線垂直于圓的切線;②圓心到切線的距離等于圓的半徑長;③圓的半徑長r,弦長的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2;④圓的弦的垂直平分線過圓心;⑤已知圓心所在的直線l及圓上兩點,則兩點連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不重合)與圓心所在直線l的交點即為圓心.2.待定系數法(1)根據題意,設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);(2)根據已知條件,建立關于a,b,r的方程組;(3)解方程組,求出a,b,r的值;(4)將a,b,r代入所設的方程中,即可得到所求圓的標準方程.五、圓的一般方程1.圓的一般方程的概念(1)當D2+E2-4F>0

時,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程.(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示以為圓心,為半徑的圓.2.圓的一般方程在形式上的特點(1)x2和y2的系數相等且不為0;(2)不含xy項.六、與圓有關的軌跡問題1.用直接法求與圓有關的軌跡方程的一般步驟(1)建立適當的坐標系,用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;(2)列出適合條件P的點M的集合{M|P(M)};(3)用坐標表示P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;(5)證明以化簡后方程的解為坐標的點都是曲線上的點.簡記為:建系、設點、列式、代換、化簡、證明.直接法求點的軌跡方程的關鍵是找到一個能體現該動點運動特征的等量關系,再將該等量

關系坐標化并化簡,最后得動點的軌跡方程.2.求與圓有關的軌跡問題的方法(1)直接法:直接根據題目提供的條件列出方程.(2)定義法:根據圓、直線等定義列方程.(3)代入法:找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式.【考點剖析】考點一：根據圓的標準方程確定圓的幾何性質例1．(2023學年江蘇省揚州市高郵市第一中學高二上學期期末)已知圓：，點，則點到圓上點的最小距離為(

)A．1 B．2 C． D．答案:C解析：由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點到圓上點的最小距離為.故選C.考點二：利用圓的幾何性質確定圓的標準方程例2．(2023學年福建省永春第一中學高二下學期期初考試)已知兩點和則以為直徑的圓的標準方程是__________.答案:解析：因為和，故可得中點為，又，故所求圓的半徑為，則所求圓的標準方程是：.考點三：圓的一般方程例3．(2023學年廣東省信宜市第二中學高二下學期月考)經過圓的圓心，且與直線平行的直線方程是(

)A． B．C． D．答案:A解析：圓，，圓心為，所求直線與直線平行，可設直線方程為，把圓心代入得，解得，故所求直線方程為．故選A.考點四：利用待定系數法確定圓的方程例4．(2023學年新疆石河子第二中學高二上學期第一次月考)三個頂點的坐標分別是，，，則外接圓方程是(

)A． B．C． D．答案:B解析：設圓的一般方程為，因為，，在這個圓上，所以有，故選B考點五：根據圓的一般方程確定圓的幾何性質例5．(2023學年黑龍江省哈爾濱市第三十二中學高二下學期期中)已知圓方程的圓心為(

)A． B． C． D．答案:C解析：因為，即，所以圓心坐標為；故選C考點六：點與圓的位置關系例6．(多選)(2023學年廣東省佛山市南海區南海執信中學高二上學期第二次段測)已知圓的方程是，則下列坐標表示點在圓外的有(

)A． B． C． D．答案:AD解析：選項A中在圓外；選項B中在圓內；選項C中在圓內；選項D中在圓外.故選AD.考點七：與圓有關的軌跡問題例7．(2023學年四川省南充市南部縣第二中學高二下學期3月月考)已知圓的圓心在直線上，且過和兩點.(1)求圓的標準方程；(2)過點的直線與圓交于兩點，求弦中點的軌跡方程.解析：(1)設圓心，則，即，解得：，，又圓心，圓的標準方程為；(2)為弦中點，，即，設，則，，，即點的軌跡方程為：.【真題演練】1.(2023學年重慶市石柱中學校高二上學期第一次月考)若曲線：表示圓，則實數的取值范圍為(

)A． B．C． D．答案:B解析：由，得，由該曲線表示圓，可知，解得或，故選B.2.(2023學年福建省寧德市部分達標中學高二上學期期中聯合考試)某圓經過兩點，圓心在直線上，則該圓的標準方程為(

)A． B．C． D．答案:D解析：因為圓經過兩點，所以圓心在中垂線上，聯立解得圓心，所以圓的半徑，故所求圓的方程為，故選D3．(2023學年吉林省白山市高二上學期期末)已知圓M的圓心在直線上，且點，在M上，則M的方程為(

)A． B．C． D．答案:C解析：因為點，在M上，所以圓心在的中垂線上．由，解得，即圓心為，則半徑，所以M的方程為．故選C4.(多選)(2023學年山東省濰坊市高二上學期期中)直線與圓的大致圖像可能正確的是(

)A． B．C． D．答案:AC解析：A：直線不經過第四象限，所以，所以圓的圓心在第一象限，因此本選項可能正確；B：直線不經過第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，因此本選項不可能正確；C：直線不經過第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，又因為該圓經過原點，所以有，在圓的方程中，令，得或，因為，所以，因此本選項可能正確；D：直線不經過第二象限，所以，所以圓的圓心在第四象限，又因為該圓經過原點，所以有，在圓的方程中，令，得或，因為，所以，因此本選項不可能正確，故選AC5.(多選)(2023學年山東省青島市第十九中學高二上學期)設有一組圓：，下列命題正確的是(

)A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經過點C．經過點的圓有且只有一個D．所有圓的面積均為答案:ABD解析：A選項，圓心為，一定在直線上，A正確；B選項，將代入得：，其中，方程無解，即所有圓均不經過點，B正確；C選項，將代入得：，其中，故經過點的圓有兩個，故C錯誤；所有圓的半徑為2，面積為4.故選ABD6.(2023學年重慶市主城區六校高二上學期期末)以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是____________．答案:解析：圓心到直線的距離，又圓與直線相切，所以，所以圓的方程為.7.(2023-2021學年湖北省荊州市沙市第四中學高二上學期11月階段性測試)已知直線與圓相交于點和點．(1)求圓心所在的直線方程；(2)若圓心的半徑為1，求圓的方程解析：(1)PQ中點M(,),,所以線段PQ的垂直平分線即為圓心C所在的直線的方程:(2)由條件設圓的方程為:，由圓過P,Q點得得到關系式求解得到．則或故圓的方程為8.(2023學年湖北省十堰市城區普高協作體高二上學期期中)直線過點且與直線平行.(1)求直線的方程；(2)求圓心在直線上且過點、的圓的方程.解析：(1)因為直線與直線平行，則直線的方程可設為，又因為直線過點，所以，所以直線的方程為；(2)因為圓心在直線上，所以圓心坐標可設為，又因為該圓過點、，所以有，解得，所以圓心坐標為，半徑，故圓的方程為.【過關檢測】1.(2023學年湖北省新高考聯考協作體高二下學期5月月考)與圓C：關于直線對稱的圓的方程為(

)A． B．C． D．答案:C解析：圓C：的圓心，半徑．設點關于直線的對稱點為，則，所以圓C關于直線的對稱圓的方程為，故選C．2.已知點A(1，2)在圓C：外，則實數m的取值范圍為(

)A． B．C． D．答案:A解析：由題意，表示圓，故，即或點A(1，2)在圓C：外，故，即故實數m的取值范圍為或，即，故選A3.(2023學年吉林省四平市第一高級中學高二上學期期末)已知點，，，動點P滿足，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．答案:C解析：由題設，在以為直徑的圓上，令，則(不與重合)，所以的取值范圍，即為到圓上點的距離范圍，又圓心到的距離，圓的半徑為2，所以的取值范圍為，即.故選C4.(2023學年黑龍江省齊齊哈爾市恒昌中學校高二上學期期中)已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數的取值范圍是(

)A． B． C． D．答案:B解析：若表示圓，則，解得.“”是“”表示圓的必要不充分條件，所以實數的取值范圍是.故選B5.(多選)(2023學年河北省鹽山中學高二上學期9月月考)已知圓M的一般方程為，則下列說法中正確的是(

)A．圓M的圓心為 B．圓M經過點C．圓M的半徑為25 D．圓M不經過第二象限答案:AD解析：對于選項A、C，圓M的一般方程為，則圓的標準方程為．所以圓的圓心坐標，半徑為5．所以選項A正確，選項C不正確；對于選項B，將代入圓的方程，不滿足，所以選項B錯誤；對于選項D，令中的，得或，所以圓M被y軸截得的弦長為6，所以選項D正確．故選AD．6.(多選)(2023學年江蘇省常州市教育學會高二上學期期末)古希臘數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發現：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值m(m≠1)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，，點P滿.設點P的軌跡為C，則下列結論正確的是(

)A．C的方程為B．當A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線C．在C上存在K使得D．在x軸上存在異于A，B的兩個定點D，E，使得答案:BD解析：設點，則由可得，化簡可得，故A錯誤；當，，三點不共