第21章二次函數與反比例函數21.5反比例函數第二課時反比例函數的圖象和性質1.(2023安徽蚌埠禹會二模)反比例函數y=-

的大致圖象是(M9121006)(

)

A

B

C

D基礎過關全練知識點3反比例函數的圖象及畫法D解析∵k=-1<0,∴此函數圖象在第二、四象限.故選D.2.(跨學科·物理)(2023湖南懷化中考)已知壓力F(N)、壓強p

(Pa)與受力面積S(m2)之間有如下關系式:F=pS.當F為定值時,

下列圖象大致表示壓強p與受力面積S之間的函數關系的是

(M9121006)(

)

A

B

C

DD解析∵壓力F(N)、壓強p(Pa)與受力面積S(m2)之間有如下

關系式:F=pS,∴當F為定值時,壓強p與受力面積S之間的函數

關系是反比例函數關系,故選D.3.畫出函數y=

的圖象.(M9121006)(1)完成下列表格:x-6-4-3-2-112346y-1

-2

632

1(2)描點,畫圖.

解析

(1)填表如下:x-6-4-3-2-112346y-1-1.5-2-3-66321.51(2)描點,連線,如圖.

知識點4反比例函數的性質4.(2024安徽亳州蒙城期中)已知反比例函數y=

的圖象在它所處的象限內,y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是(M91

21006)(

)A.m>1B.m≥1

C.m<1D.m>0A解析∵反比例函數y=

在各個象限內,y隨x的增大而減小,∴m-1>0,∴m>1.故選A.5.(2024安徽合肥三十八中期中)如圖,一次函數y=ax+b的圖

象與反比例函數y=

的圖象交于點A(2,3),B(m,-2),則不等式ax+b>

的解集是(M9121006)(

)

A.-3<x<0或x>2B.x<-3或0<x<2AC.-2<x<0或x>2D.-3<x<0或x>3解析∵A(2,3)在反比例函數的圖象上,∴k=6.又B(m,-2)在

反比例函數的圖象上,∴m=-3.∴B(-3,-2).∴當ax+b>

時,-3<x<0或x>2.故選A.6.(2023湖北武漢中考)關于反比例函數y=

,下列結論正確的是(M9121006)(

)A.圖象位于第二、四象限B.圖象與坐標軸有公共點C.圖象所在的每一個象限內,y隨x的增大而減小D.圖象經過點(a,a+2),則a=1C解析反比例函數y=

的圖象位于第一、三象限,與坐標軸沒有交點,故A,B選項錯誤;反比例函數y=

的圖象在每一個象限內,y隨x的增大而減小,故C選項正確;反比例函數y=

的圖象經過點(a,a+2),∴a(a+2)=3,解得a=1或a=-3,故D選項錯誤.

故選C.7.(新考向·開放性試題)(2022福建中考)已知反比例函數y=

的圖象分別位于第二、四象限,則實數k的值可以是

.(只需寫出一個符合條件的實數)-3解析∵反比例函數的圖象位于第二、四象限,∴k<0,∴k的

取值不唯一,可取-3.答案不唯一.8.(新獨家原創)(轉化法求面積)如圖,在平面直角坐標系中,平

行四邊形的中心在原點,且平行四邊形的一組對邊與x軸平

行,平行四邊形的面積為4,則平行四邊形與雙曲線相交形成

的陰影部分的面積為

.(M9121006)1解析如圖,根據圖象的性質,將題圖中第三象限內的陰影部

分與第一象限內的陰影部分拼在一起,組成的四邊形OABC

的面積是平行四邊形面積的

,即所求面積為4×

=1.

9.(教材變式·P47例3)已知反比例函數y=

.(M9121006)(1)如果這個反比例函數的圖象與直線y=-

x的一個交點坐標為(a,5),求出a和k的值,并直接寫出另一個交點的坐標;(2)如果對于反比例函數y=

,當x<0時,y的值隨x值的增大而增大,求k的取值范圍.解析

(1)∵點(a,5)在直線y=-

x上,∴5=-

a,解得a=-3,∴點(-3,5)在反比例函數y=

的圖象上,則5=

,解得k=-7.∵直線y=-

x過原點,∴反比例函數y=

的圖象與直線y=-

x的另一個交點的坐標為(3,-5).(2)由x<0時,y的值隨x值的增大而增大,可知2k-1<0,解得k<

.知識點5反比例函數的系數k的幾何意義10.(數形結合思想)(2023山東淄博臨淄期末)下面四個圖中反

比例函數的表達式均為y=

,則陰影部分的面積為3的有

(

)

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個B解析第1個題圖中,陰影部分的面積為3;第2個題圖中,陰影

部分的面積為

×3=1.5;第3個題圖中,陰影部分的面積為2×

×3=3;第4個題圖中,陰影部分的面積為3+2×

×3=6.故選B.11.(2023云南昆明十中開學測試)如圖,點A、B是雙曲線y=

上的點,分別過點A、B作x軸和y軸的垂線段,若圖中陰影部

分的面積為2,則兩個空白矩形面積的和為

.(M9121

006)

8解析如圖,∵點A、B是雙曲線y=

上的點,∴

=

=6.∵

=2,∴

+

=6+6-2-2=8.

方法歸納雙曲線中的面積與k的關系如圖,過雙曲線y=

(k≠0)上任意一點P(x,y)分別作x軸,y軸的垂線PM,PN,垂足分別為M,N,所得的矩形PMON的面積等于|

k|.連接點P與原點O,還可以得到兩個直角三角形,這兩個直

角三角形的面積都等于

.k的正負性可由圖象所在象限確定.12.(2023福建中考,9,?)如圖,正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數y=

和y=

的圖象的四個分支上,則實數n的值為(M9121006)(

)A.-3B.-

C.

D.3能力提升全練A解析如圖,連接正方形的對角線,由正方形的性質知對角線交于原點O,過點A,B分別作x軸的垂線,垂足分別為點C、D,點B在函數y=

的圖象上,∵四邊形是正方形,∴AO=BO,∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°,∴∠CAO=90°-∠AOC=∠BOD,

∴△AOC≌△OBD,∴

=

=

=

,∵點A在第二象限內,∴n=-3,故選A.

13.(安徽常考·反比例函數與一次函數綜合題)(2024安徽安慶

期中,21,?)如圖,一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=

的圖象交于A(2,m)、B(-1,-6)兩點.(M9121006)(1)求反比例函數和一次函數的表達式;(2)求△AOB的面積;(3)根據圖象直接寫出當x為何值時,ax+b-

>0.

解析

(1)把(-1,-6)代入y=

,得-6=

,解得k=6,∴反比例函數的表達式為y=

.把(2,m)代入y=

,得m=3,∴點A的坐標為(2,3).把(-1,-6),(2,3)代入y=ax+b,得

解得

∴一次函數的表達式為y=3x-3.(2)如圖,設直線AB與y軸交于點C,把x=0代入y=3x-3,得y=-3,∴OC=3.∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=

×OC·|xB|+

×OC·xA=

×3×1+

×3×2=

.

(3)由ax+b-

>0得ax+b>

,∵直線與雙曲線的交點為A(2,3)、B(-1,-6),∴由圖象可知,-1<x<0或x>2時,ax+b-

>0.14.(抽象能力)(新考向·過程性學習試題)在函數的學習中,我

們經歷了“確定函數表達式→畫函數圖象→利用函數圖象

研究函數性質→利用圖象解決問題”的學習過程.我們常常

利用描點、平移或翻折的方法畫函數圖象.小明根據學到的

函數知識探究函數y1=

的圖象與性質,并利用圖象解決問題.小明列出了y1與x的幾組對應的值,如下表:素養探究全練x…-4-3-2-101234…y1…42m242

n

…(1)根據表格中x和y1的對應關系可得,m=

,n=

.(2)在平面直角坐標系中,畫出該函數的圖象.根據函數圖象,

寫出該函數的一條性質:

.(3)當函數y1的圖象與直線y2=ax+1有三個交點時,直接寫出a

的取值范圍.

解析

(1)∵y1=

∴x=-2時,m=y1=|2×(-2)+4|=0.∵x=0時,y1=4,∴b=4,∴當x≥0時,y1=

,∴x=3時,n=y1=1.(2)描點、連線,函數圖象如圖所示(圖中實線).

性質:答案不唯一,如:當x<-2時,y隨x的增大而減小.(3)0≤a<

或a=-7+4

.【詳解】①當直線y=ax+1經過(-2,0)時,a=

.觀察圖象可知,函數y1的圖象與直線y2=ax+1有三個交點時,a

的取值范圍為0≤a<

;②由

得ax2+(a+1)x-3=0,當Δ=0時,a2+14a+1=0,解得a=-7+4

或-7-4

(舍去).∴a的取值范圍為0≤a<

或a=-7+4

.例題

(2024安徽蚌埠懷遠期中)已知點A(-2,y1),點B(1,y2),點

C(3,y3)都在反比例函數y=?的圖象上,則?(

)A.y2<y1<y3B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1D.y1<y3<y2微專題反比例函數的函數值的大小比較D解析∵A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)都在反比例函數y=

的圖象上,∴y1=

=-2.5,y2=

=5,y3=

.∴y1<y3<y2.故選D.變式1.(系數由數字變為字母)(2024安徽合肥四十七中期中)若點

A(-3,y1)、B(-1,y2)、C(3,y3)都在反比例函數y=

(k>0)的圖象上,則y1、y2、y3的大小關系是

(

)A.y1>y2>y3B.y3>y1>y2C.y2>y1>y3D.y1>y3>y2B解析∵反比例函數y=

中,k>0,∴函數圖象的兩個分支分別位于第一、三象限,且在每一象限內,y隨x的增大而減小.

∵-3<-1<0,∴點A(-3,y1),B(-1,y2)位于第三象限,∴y2<y1<0,∵

3>0,∴點C(3,y3)位于第一象限,∴y3>0,∴y3>y1>y2.故選B.2.(點的橫坐標由數字變成字母)(2024安徽阜陽臨泉期中)若

點(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)分別在反比例函數y=-

的圖象上,且x1<0<x2<x3,則下列判斷中正確的是

(

)A.y1<y2<y3B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1D.y3<y2<y1C解析由題意,得點(x1,y1)在第二象限,(x2,y2)和(x3,y3)在第四

象限,∴y1>0,∵x2<x3,∴y2<y3<0,∴y2<y3<y1.故選C.3.(系數和橫坐標都變成字母)(2024安徽六安匯文中學月考)

反比例函數y=

的圖象上有三個點(x1