課時作業10空間幾何體的三視圖、表面積與體積A基礎達標1.棱長為2eq\r(3)的正四面體的三視圖如圖所示，俯視圖是正三角形，則主視圖的腰長等于()A．2B．3C．eq\r(11)D．2eq\r(3)2．[2024·四川省成都市第七中學高三月考]如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某個零件的三視圖，則這個零件的體積等于()A．6πB．8πC．10πD．12π3．[2024·貴州省凱里市第一中學高三模擬]某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是長為1，寬為eq\f(2,3)的矩形，俯視圖為扇形，若球O的體積與該幾何體的體積相等，則球O的半徑為()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．1D．eq\f(3,4)4．[2024·河南省商丘市部分學校測試]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．11＋2eq\r(5)B．15＋eq\r(5)C．15＋2eq\r(5)D．16＋2eq\r(5)5．[2024·廣西柳州市高三模擬]如圖，將底面半徑為2的圓錐放倒在平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓本身恰好滾動了2周，則()A．圓錐的母線長為8B．圓錐的表面積為8πC．圓錐的側面綻開圖扇形圓心角為eq\f(π,2)D．圓錐的體積為eq\f(8\r(3)π,3)6．[2024·內蒙古赤峰市高三二模]某三棱錐的三視圖如圖所示，則此三棱錐外接球的體積是________．7.如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為________.8．[2024·四川省成都市陽安中學檢測]已知四棱錐S-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐S-ABCD的外接球的表面積為________．B素養提升9.[2024·寧夏銀川市六盤山高級中學三模]如圖所示為某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為________．10．[2024·甘肅省金昌市高三二模]已知三棱錐A-BCD內接于球O，點M，N分別為AB，CD的中點，且MN⊥AB，MN⊥CD.若AB＝2CD＝2MN＝12，則球O的體積為________．課時作業10空間幾何體的三視圖、表面積與體積1．解析：由俯視圖邊長為2eq\r(3)，易知正四面體底面外接圓半徑為2，∴正四面體的體高為h＝eq\r(（2\r(3)）2－22)＝2eq\r(2)，∴正視圖腰長為l＝eq\r(（2\r(2)）2＋（\r(3)）2)＝eq\r(11).故選C.答案：C2．解析：依據幾何體的三視圖轉換為直觀圖為：該幾何體由一個底面半徑為1，高為2的圓柱和一個底面半徑為2，高為3的圓錐組成；故這個零件的體積V＝eq\f(1,3)×π×22×3＋π×12×2＝6π.故選A.答案：A3．解析：由三視圖可知，該幾何體是四分之一個圓柱（高為eq\f(2,3)，底面半徑為1），其體積V＝eq\f(1,4)π×12×eq\f(2,3)＝eq\f(π,6)，設球O的半徑為r，則eq\f(4,3)π×r3＝eq\f(π,6)，解得r＝eq\f(1,2).故選A.答案：A4．解析：依據幾何體的三視圖得該幾何體為如圖所示的多面體，且AE＝DF＝1，BH＝CG＝AD＝BC＝AB＝DC＝HG＝EF＝2，所以EH＝GF＝eq\r(22＋（2－1）2)＝eq\r(5)，則其表面積為eq\f(1,2)×（1＋2）×2×2＋2×2×2＋1×2＋2×eq\r(5)＝16＋2eq\r(5).故選D.答案：D5．解析：由題意，圓錐在平面內轉回原位置時，圓本身恰好滾動了2周，即可知圓錐的側面綻開圖的面積即圓錐的側面積是以母線為半徑形成的圓面積的eq\f(1,2)，設圓錐母線長為l，即有π×2×l＝eq\f(1,2)×π×l2，∴l＝4，故A錯誤；圓錐的表面積為π×2×4＋π×22＝12π，故B錯誤；由題意可知，圓錐的側面綻開圖是以母線為半徑形成的圓的一半，故側面綻開圖扇形圓心角為π，故C錯誤；圓錐的體積為eq\f(1,3)π×22×eq\r(42－22)＝eq\f(8\r(3)π,3)，故D正確．故選D.答案：D6．解析：三棱錐A-BCD直觀圖如圖，其所在長方體長寬均為1，高為2，此三棱錐外接球的直徑為此長方體的體對角線eq\r(12＋12＋22)，則此三棱錐外接球的半徑為eq\f(\r(6),2)，該球體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\r(6)π.答案：eq\r(6)π7．解析：由題意可知大球的半徑為R＝2，設小球的半徑為r，如圖，設大球的球心為O，小球的球心為C，E為小球與上底面的切點，作OD⊥CE交于點D，由題意可知，OD＝2eq\r(2)－eq\r(2)r，CD＝4－r，CO＝2＋r，所以（2＋r）2＝（4－r）2＋（2eq\r(2)－eq\r(2)r）2，即r2－10r＋10＝0，r∈（0，2），解得r＝eq\f(10－\r(100－40),2)＝5－eq\r(15).答案：5－eq\r(15)8．解析：如圖，依據三視圖可還原得四棱錐S-ABCD，設O1為矩形ABCD的中心，O2為△SAB的外心，O為四棱錐S-ABCD的外接球的球心，過S做SH⊥平面ABCD，連接OS，OO1，OO2，O1H，O2A，由三視圖可知四邊形ABCD為矩形，BC＝4，AB＝2，H為AB的中點，SH＝2，AH＝1.因為四棱錐S-ABCD外接球的球心O滿意OO1⊥平面ABCD，OO2⊥平面SAB，所以HO2∥OO1，又HO2?平面SAB，所以OO2⊥HO2，同理得OO1⊥HO1.所以四邊形HO2OO1為矩形．在矩形ABCD中，HO1＝2，在△O2HA中，因為HOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋HA2＝AOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，即（2－SO2）2＋12＝SOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，所以SO2＝eq\f(5,4)，在△SO2O中，外接球半徑SO＝eq\r(SOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝eq\r(\f(25,16)＋4)＝eq\f(\r(89),4)，所以外接球的表面積為4π×eq\f(89,16)＝eq\f(89,4)π.答案：eq\f(89,4)π9．解析：由三視圖還原原幾何體如圖所示，由圖可知，原幾何體為三棱錐P-ABC，且平面PAC⊥平面ABC，取AC的中點D，連接PD、BD，則AD＝CD＝eq\r(3)，BD＝PD＝3，由三視圖可知BD⊥AC，PD⊥AC，因為BD∩PD＝D，則AC⊥平面PBD，由勾股定理可得AB＝BC＝PA＝PC＝eq\r(32＋3)＝2eq\r(3)＝AC，則△ABC、△PAC均為正三角形，因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PD⊥AC，PD?平面PAC，所以PD⊥平面ABC，因為BD?平面ABC，所以PD⊥BD，過△ABC的外心E在平面PBD內作EO⊥BD，過△PAC的外心F在平面PBD內作FO⊥PD，設EO∩FO＝O，因為AC⊥平面PBD，EO?平面PBD，則EO⊥AC，因為EO⊥BD，AC∩BD＝D，所以EO⊥平面ABC，同理，FO⊥平面PAC，所以，O為三棱錐P-ABC的外接球球心，因為E為等邊△ABC的外心，則DE＝eq\f(1,3)BD＝1，同理DF＝1，在平面PBD內，因為OF⊥DF，DE⊥DF，OE⊥DE，DE＝DF，所以四邊形OEDF為正方形，所以OF＝DE＝1，因為PF＝PD－DF＝2，所以OP＝eq\r(OF2＋PF2)＝eq\r(5)，因此，該幾何體外接球的表面積為4π·OP2＝20π.答案：20π10．解析：依題意知，MN既是AB的垂直平分線，又是CD的垂直平分線，