10.2事件的相互獨立性第十章概率

前面我們研究過互斥事件、對立事件的概率性質,還研究過和事件的概率計算方法.對于積事件的概率，你能提出什么值得研究的問題嗎?

我們知道，積事件AB就是事件A與事件B同時發生.因此，積事件AB發生的概率一定與事件A、B發生的概率有關.那么，這種關系會是怎樣的呢?下面我們來討論一類與積事件有關的特殊問題.

下面兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件A和B，你覺得事件A發生與否會影響事件B發生的概率嗎?試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，

A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.分別計算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么發現?

對于試驗1，因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結果與第二枚硬幣的拋擲結果互相不受影響，所以事件A發生與否不影響事件B發生的概率.對于試驗2，因為是有放回摸球，第一次摸球的結果與第二次摸球的結果互相不受影響，所以事件A發生與否也不影響事件B發生的概率.試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，

A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.分別計算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么發現?

在試驗1中，用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為Ω=積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.P(A)=由古典概型概率計算公式，得而A={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4個等可能的樣本點.{(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，所以AB={(1,0)}.P(B)=P(AB)=于是有P(AB)=P(A)P(B).

試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設

A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.分別計算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么發現?

在試驗2中，樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16個等可能的樣本點.而A=AB={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，所以{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，積事件AB的概率P(AB)也等于P(A)與P(B)的乘積.P(A)=P(B)=P(AB)=于是也有P(AB)=P(A)P(B).

對任意兩個事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.這是因為必然事件Ω總會發生，不會受任何事件是否發生的影響；同樣，不可能事件?總不會發生，也不受任何事件是否發生的影響.當然，它們也不影響其他事件是否發生.思考：必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立嗎？必然事件Ω、不可能事件?都與任意事件相互獨立

互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件關系.如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立?以有放回摸球試驗為例,驗證A與,與B,與是否獨立,你有什么發現?我們就以實驗2來驗證.試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.第一次第二次12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)易得，n(Ω)=16，n(A)=8，8，n(B)=8，8，n()=4，n(A)=4，n(B)=4，n()=所以P(A)=P(A)P()=P()P(B)=P(B)=n()=P()P()=P()=因此A與，與B，與是獨立的.對于A與，因為A=AB∪A，而且AB與A互斥，所以P(A)=P(AB∪A)=P(AB)+P(A)=P(A)P(B)+P(A)P(A)=P(A)-P(A)P(B)=所以P(A)(1-P(B))=P(A)P()由事件的獨立性定義，A與相互獨立.類似地，可以證明事件與B，與也都相互獨立.注：我們知道，如果三個事件A、B、C兩兩互斥，那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但當三個事件A、B、C兩兩獨立時，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.例1一個袋子中有標號分別為1、2、3、4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設事件A=“第一次摸出球的標號小于3”,事件B=“第二次摸出球的標號小于3”，那么事件A與事件B是否相互獨立?{(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，解：因為樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}，且m≠n}，A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，B=此時P(AB)≠P(A)P(B)，因此，事件A與事件B不獨立.所以P(A)=AB={(1,2)，(2,1)}.P(B)=P(AB)=例2

甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.

“恰好有一人中靶”=A∪B，且A與B互斥，根據概率的加法公式和事件獨立性定義，得解:設A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，則

=“甲脫靶”,

=“乙脫靶”.由于兩個人射擊的結果互不影響，所以A與B相互獨立，A與，與B，與都相互獨立.由已知可得，P(A)=0.8，P(B)=0.9，P()=0.2，P()=0.1.AB=“兩人都中靶”，由事件獨立性的定義，得(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.(2)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)例2

甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.

(3)事件“兩人都脫靶”=，所以事件“至少有一人中靶”=AB∪A∪B，P()=P()P()=(1-0.8)×(1-0.9)=0.02.(4)方法1：且AB、A、B兩兩互斥，所以P(AB∪A∪B)=P(AB)+P(A)+P(B)=0.8×0.9+0.8×0.1+0.2×0.9=0.98.方法2：由于事件“至少有一人中靶”的對立事件是“兩人都脫靶”，根據對立事件的性質，得事件“至少有一人中靶”的概率為1-P()=1-0.2×0.1=0.98.例3

甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響.求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率.解：設A1、A2分別表示甲兩輪猜對1個、2個成語的事件，B1、B2分別表示乙兩輪猜對1個、2個成語的事件.根據獨立性假定,得P(A1)=P(A2)=P(B1)=P(B2)=P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=設A=“兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”，則A=A1B2∪A2B1，且A1B2與A2B1互斥，A1與B2、A2與B1分別相互獨立，所以因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是.1.對任意兩個事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.2.必然事件Ω、不可能事件?都與任意事件相互獨立.3.如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件也相互獨立.課堂小結1．袋內有3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”記為B，否則記為C，那么事件A與B，A與C的關系是(

)A．A與B，A與C均相互獨立B．A

與B相互獨立，A與C互斥C．A與B，A與C均互斥D．A與B互斥，A與C相互獨立A課堂檢測2．某同學做對某套試卷中每一個選擇題的概率都為0.9，則他連續做對第1題和第2題的概率是(

)A．0.64

B．0.56C．0.81 D．0.99C3．判斷下列各對事件哪些是互斥事件，哪些是相互獨立事件．(1)擲一枚骰子一次，