2025版新高考版高考總復習數學9.2橢圓五年高考考點1橢圓的定義和標準方程1.(2021新高考Ⅰ,5,5分,易)已知F1,F2是橢圓C:x29+y24=1的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MFA.13B.12C.9D.6答案C2.(2023全國甲文,7,5分,中)設F1,F2為橢圓C:x25+y2=1的兩個焦點,點P在C上,若PF1·PF2=0,則|PF1A.1B.2C.4D.5答案B3.(2022全國甲文,11,5分,中)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13,A1,A2分別為C的左、右頂點,B為C的上頂點.若BA.x2C.x23+y答案B4.(2023全國甲理,12,5分,中)設O為坐標原點,F1,F2為橢圓C:x29+y26=1的兩個焦點,點P在C上,cos∠F1PF2=35,A.13答案B5.(2019課標Ⅰ理,10,5分,中)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為()A.x2C.x2答案B6.(2019課標Ⅲ理,15,5分,中)設F1,F2為橢圓C:x236+y220=1的兩個焦點,M為C上一點且在第一象限.若△MF1F2為等腰三角形答案(3,15)7.(2020課標Ⅱ理,19,12分,中)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合,C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A,B兩點,交C2于C,D兩點,(1)求C1的離心率;(2)設M是C1與C2的公共點.若|MF|=5,求C1與C2的標準方程.解析(1)由已知可設C2的方程為y2=4cx,其中c=a2?b2.不妨設A,C在第一象限,由題設得A,B的縱坐標分別為b2a,-b2a;C,D的縱坐標分別為2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24設M(x0,y0),則x024c2+y023c2由于C2的準線為x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5?c)24c2+4(5?c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C8.(2019天津文,19,14分,難)設橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F,左頂點為A,上頂點為B.已知3|OA(1)求橢圓的離心率;(2)設經過點F且斜率為34的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P,圓C同時與x軸和直線l相切,圓心C在直線x=4上,且OC∥AP.求橢圓的方程解析(1)設橢圓的半焦距為c,因為3|OA|=2|OB|,所以3a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,所以,橢圓的離心率為12(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故橢圓方程為x24c2+y23c2=1.由題意,F(-c,0),則直線l第一步:先由直線與橢圓位置關系求出點P坐標.點P的坐標滿足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化簡,得到7代入l的方程,解得y1=32c,y2=-9因為點P在x軸上方,所以Pc,第二步:由OC∥AP求得圓心C的坐標.由圓心C在直線x=4上,可設C(4,t).因為OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故t4解得t=2.則C(4,2).第三步:由圓與直線l的相切關系求出c的大小,進而求得橢圓方程.因為圓C與x軸相切,所以圓的半徑長為2,又由圓C與l相切,得34(4+c)?21+342=2,可得c考點2橢圓的幾何性質1.(2018課標Ⅰ文,4,5分,易)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個焦點為(2,0),A.1答案C2.(2019北京理,4,5分,易)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b答案B3.(2023新課標Ⅰ,5,5分,易)設橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2.若e2=3e1,則aA.23C.3答案A4.(2023新課標Ⅱ,5,5分,中)已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,直線y=x+m與C交于A,B兩點,若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍,則m=(A.2答案C5.(2022全國甲理,10,5分,中)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A,點P,Q均在C上,且關于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為1A.3答案A6.(2017課標Ⅰ文,12,5分,中)設A,B是橢圓C:x23+y2m=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120°,A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,3]∪[4,+∞)答案A7.(2021全國乙理,11,5分,難)設B是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點,若C上的任意一點P都滿足|PB|≤2bA.22C.0,答案C8.(2021浙江,16,6分,中)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦點F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若過F1的直線和圓x?12c2+y2=c2相切,與橢圓在第一象限交于點P,答案2559.(2022新高考Ⅱ,16,5分,難)已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A,B兩點,l與x軸、y軸分別交于M,N兩點,且|MA|=|NB|,|MN|=23答案x+2y10.(2022新高考Ⅰ,16,5分,難)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上頂點為A,兩個焦點為F1,F2,離心率為12.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點,|答案1311.(2022天津,19,15分,難)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,右頂點為(1)求橢圓的離心率e;(2)已知直線l與橢圓有唯一公共點M,與y軸交于點N(N異于M),記點O為坐標原點,若|OM|=|ON|,且△OMN的面積為3,求橢圓的標準方程.解析(1)∵|BF|=c2+b2=a,|∴|BF||AB|=aa2+b∴c=a2?b2=2b,(2)由(1)知橢圓方程為x23由題可知直線l的斜率存在且不為0,設l:y=kx+m(k≠0),由橢圓的對稱性,不妨設k<0,m>0,如圖.則有|OM|=|ON|=m.聯立得x則有(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3b2=0,Δ=0?3b2k2+b2-m2=0,由根與系數的關系得xM=-3mk3k2+1,代入直線l的方程,有yM=m3k2設直線OM的傾斜角為θ,∴kOM=tanθ=yMxM=?13k=33,∴∴S△OMN=12m2sin∠∴3b2×13+b2-4=0,可得b2=2∴橢圓的標準方程為x26三年模擬綜合基礎練1.(2023江蘇南通一模)2022年神舟接力騰飛,中國空間站全面建成,我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中,飛船與空間站的對接需要經過多次變軌.某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓,其遠地點(長軸端點中離地面最遠的點)距地面S1,近地點(長軸端點中離地面最近的點)距地面S2,地球的半徑為R,則該橢圓的短軸長為()A.S1B.2SC.(SD.2(答案D2.(2024屆廣東普寧二中第一次月考,5)已知離心率53的橢圓C的方程為x2m+y2n=1(mA.2B.125答案C3.(2023廣東深圳二模)設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,直線l過點F1.若點F2關于l的對稱點P恰好在橢圓C上,且F1A.1答案C4.(2024屆湖北武漢武鋼三中月考,7)古希臘數學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發現了橢圓的光學性質:從橢圓的一個焦點射出的光線,經橢圓反射,其反射光線必經過橢圓的另一個焦點.設橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,若從橢圓右焦點F2發出的光線經過橢圓上的點A和點B反射后,滿足AB⊥AD,且cos∠A.1答案D5.(2024屆湖北武昌實驗中學月考,5)已知橢圓C:x216+y212=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P是橢圓C上的動點,m=|PF1|,n=|PF2|,則A.9C.20?3答案A6.(多選)(2023湖北武漢四調)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點和一個頂點在圓x2+y2-5x-4A.1答案BCD7.(多選)(2024屆廣東深圳開學模考,11)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,左、右焦點分別為F1,F2,上頂點為P,若過F1且傾斜角為30°的直線l與橢圓E交于A,B兩點,A.直線PF2的斜率為-3B.橢圓E的短軸長為4C.PFD.四邊形APBF2的面積為48答案ACD8.(2023江蘇省包場高級中學檢測,13)已知橢圓x210?m+y2答案79.(2024屆河北邢臺一中月考,16)設F1,F2分別是橢圓C的左,右焦點,過點F1的直線交橢圓C于M,N兩點,若MF1=3F1N,且cos∠MNF2=45,則cos答案310.(2024屆福建廈門國祺中學第一次月考,22)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0(1)求橢圓C的方程;(2)設直線l:y=x-2與橢圓C交于M,N兩點,O是原點,求△OMN的面積.解析(1)由題意得2所以b2=a2-c2=3,所以橢圓C的方程為x29(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),聯立y=x?2,x29+y2Δ=(-12)2-4×4×3>0,由根與系數的關系得x1+x2=3,x1x2=34所以|MN|=1+1又O到直線l:x-y-2=0的距離d=|0?0?2所以△OMN的面積為12綜合拔高練1.(2023廣東廣州階段測試,3)記p:“方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示橢圓”,q:“函數f(x)=13x3+(m-2)x2+x無極值”,則p是q的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案B2.(2024屆湖北武漢華中師大附中開學考,6)已知F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N,若MA.3答案A3.(多選)(2023廣東汕頭二模,9)已知曲線C:x2+y2cosα=1,α∈[0,π],則下列結論正確的是()A.曲線C可能是圓,也可能是直線B.曲線C可能是焦點在y軸上的橢圓C.當曲線C表示橢圓時,α越大,橢圓越圓D.當曲線C表示雙曲線時,它的離心率有最小值,且最小值為2答案ABD4.(多選)(2024屆云南師范大學附中月考,10)已知點F為橢圓C:x24+y23=1的左焦點,點P為C上的任意一點,點A的坐標為(1,3A.|PA|+|PF|的最小值為13B.|PA|+|PF|的最大值為7C.|PF|-|PA|的最小值為13D.|PF|-|PA|的最大值為1答案ABD5.(2023山東濰坊二模)如圖,菱形架ABCD是一種作圖工具,由四根長度均為4的直桿用鉸鏈首尾連接而成.已知A,C可在帶滑槽的直桿l上滑動;另一根帶滑槽的直桿DH的長度為4,且一端記為H,另一端用鉸鏈連接在D處,上述兩根帶滑槽直桿的交點P處有一栓子(可在帶滑槽的直桿上滑動).若將H,B固定在桌面上,且兩點之間距離為2,轉動桿HD,則點P與點B距離的最大值為.

答案36.(2023江蘇揚州中學開學考,15)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),若橢圓上存在點P(異于長軸的端點),使得csin∠PF1F2=asin∠PF2答案(2-1,1)7.(2024屆廣東四校第一次聯考,21)過原點O的直線與橢圓E:x29+y2b2=1(b>0)交于A,B兩點,R(2,(1)求橢圓E的方程;(2)直線AR交橢圓于另一個交點C,P92,m(m≠0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,求解析(1)由題知S△ABR=2S△OAR=2×12×|OR|×|yA|=2|yA|≤2|b|,又S△ABR的最大值為25所以b=5,故橢圓E的方程為x29(2)設直線AC的方程為x=2+ty,A(x1,y1),C(x2,y2),由x=2+ty,x29+y25=1?(∴y1+y2=-20t5t2+9,y1·由P92,m,R(2,0)得k2∴k=m=m58.(2024屆福建漳州第一次質檢,21)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F1(-(1)求C的方程.(2)不過原點O的直線l與C交于P,Q兩點,且直線OP,PQ,OQ的斜率成等比數列.(i)求l的斜率;(ii)求△OPQ的面積的取值范圍.解析(1)設橢圓的右焦點為F2,則由題知,橢圓C的右焦點坐標為F2(3,0).因為橢圓過點A3,所以2a=(3+3)2+又c=3,所以b=a2?c2=1,所以C的方程為x2(2)(i)由題知,直線l的斜率存在,且不為0.設l:y=kx+m(k≠0,m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),聯立y=kx+m,x2+4y2=4,消y得(1+4k2)x2+